2020-2021学年四川省乐山市高一（上）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年四川省乐山市高一（上）期末数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年四川省乐山市高一（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合A＝{4，5，6，8}，B＝{3，5，7，8}，则A∩B＝（　　）
A．{3，5} B．{6，8}
C．{5，8} D．{3，4，5，6，7，8}
2．（5分）函数f（x）＝•的定义域是（　　）
A．{x|x≥﹣5} B．{x|x≤2} C．{x|﹣5≤x≤2} D．{x|x≥2或x≤﹣5}
3．（5分）下列各角中，与﹣30°终边相同的角为（　　）
A．210° B．﹣390° C．390° D．30°
4．（5分）已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为（　　）
A．2 B．sin2 C． D．2sin1
5．（5分）已知A＝{x|﹣2≤x≤4}，B＝{x|x＞a}，A∩B≠∅，则实数a的取值范围是（　　）
A．a≥﹣2 B．a＜﹣2 C．a≤4 D．a＜4
6．（5分）已知cosα﹣3sinα＝0，则的值为（　　）
A．﹣ B．﹣ C． D．
7．（5分）函数f（x）＝ex﹣1+2x﹣4的零点所在的区间是（　　）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
8．（5分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝cosx与y＝sinx的图象交点坐标可能是（　　）
A．（，1） B．（，） C．（，﹣1） D．（π，0）
9．（5分）函数y＝ax与y＝﹣logax（a＞0，且a≠1）在同一坐标系中的图象只可能是（　　）
A． B．
C． D．
10．（5分）今有一组实验数据如表：
t
1.99
3.0
4.0
5.1
6.12
v
1.5
4.04
7.5
12
18.1
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（　　）
A．v＝log2t B．v＝logt C．v＝ D．v＝2t﹣2
11．（5分）将函数f（x）＝2sin（x+）的图象向右平移个单位后，再保持图象上点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数g（x）的图象，则g（1）+g（2）+…+g（2021）的值为（　　）
A． B．2+2 C． D．
12．（5分）已知函数f（x）＝若关于x的方程f（x）＝﹣x+a（a∈R）恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为（　　）
A．[，] B．（，] C．（，]∪{1} D．[，]∪{1}
二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.
13．（5分）sin（﹣）的值为　 　．
14．（5分）已知幂函数y＝f（x）的图象过点（2，），则f（）＝　 　．
15．（5分）已知x1，x2是函数f（x）＝Asin（ωx+）（A＞0，ω＞0）的两个零点，若|x1﹣x2|的最小值为，则f（x）的单调递增区间为　 　．
16．（5分）已知函数f（x）＝（a＞0且a≠1），若f（x）有最小值，则实数a的取值范围为　 　．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知全集U＝{x|x2+x﹣12≤0}，A＝{x|≤0}，B＝{x||x|≤1}．
（1）求∁UA；
（2）求∁U（A∪B）；
18．（12分）已知f（α）＝．
（1）化简f（α）；
（2）若α的终边经过点P（﹣3，4），求f（α）．
19．（12分）已知函数f（x）＝lg在（﹣3，3）上为奇函数，其中m＞0．
（1）求m的值；
（2）若g（x）＝f（x）+3，且g（a）＝2，求的g（﹣a）值．
20．（12分）一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x（x∈N*）件．当x≤20时，年销售总收入为（33x﹣x2）万元；当x＞20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元，
（1）y（万元）与x（件）的函数关系式为？
（2）该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大，并求出最大值．（年利润＝年销售总收入﹣年总投资）
21．（12分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的图象如图所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的对称轴方程和对称中心；
（3）求f（x）在[﹣，]上的值域．

22．（12分）定义在D上的函数f（x），如果满足“存在常数M＞0，对任意x∈D，都有|f（x）|≤M成立”，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．已知f（x）＝1+a•（）x+（）x．
（1）当a＝1时，判断函数f（x）在（﹣∞，0）上是否为有界函数，请说明理由；
（2）若f（x）在[﹣1，0]上的最小值为﹣1，求a的值；
（3）若函数f（x）在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．

2020-2021学年四川省乐山市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合A＝{4，5，6，8}，B＝{3，5，7，8}，则A∩B＝（　　）
A．{3，5} B．{6，8}
C．{5，8} D．{3，4，5，6，7，8}
【分析】由集合A与B，求出两集合的交集即可．
【解答】解：∵A＝{4，5，6，8}，B＝{3，5，7，8}，
∴A∩B＝{5，8}．
故选：C．
2．（5分）函数f（x）＝•的定义域是（　　）
A．{x|x≥﹣5} B．{x|x≤2} C．{x|﹣5≤x≤2} D．{x|x≥2或x≤﹣5}
【分析】根据函数成立的条件进行求解即可．
【解答】解：要使函数有意义，则2﹣x≥0，
得x≤2，
即函数的定义域为{x|x≤2}，
故选：B．
3．（5分）下列各角中，与﹣30°终边相同的角为（　　）
A．210° B．﹣390° C．390° D．30°
【分析】写出与﹣30°终边相同的角的集合，取k值得答案．
【解答】解：与﹣30°边相同的角的集合为{α|α＝30°+k•360°}（k∈Z）．
取k＝﹣1，得α＝﹣390°．
故选：B．
4．（5分）已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为（　　）
A．2 B．sin2 C． D．2sin1
【分析】连接圆心与弦的中点，则得到一个弦一半所对的角是1弧度的角，由于此半弦是1，故可解得半径是，弧长公式求弧长即可．
【解答】解：连接圆心与弦的中点，则由弦心距，弦长的一半，半径构成一个直角三角形，半弦长为1，其所对的圆心角也为1
故半径为
这个圆心角所对的弧长为2×＝
故选：C．
5．（5分）已知A＝{x|﹣2≤x≤4}，B＝{x|x＞a}，A∩B≠∅，则实数a的取值范围是（　　）
A．a≥﹣2 B．a＜﹣2 C．a≤4 D．a＜4
【分析】将集合表示在数轴上，要使A∩B≠∅，必须a＜4．
【解答】解：∵A＝{x|﹣2≤x≤4}，B＝{x|x＞a}，A∩B≠∅，
将集合表示在数轴上，如图所示，

要使A∩B≠∅，必须a＜4．
故选：D．

6．（5分）已知cosα﹣3sinα＝0，则的值为（　　）
A．﹣ B．﹣ C． D．
【分析】由已知可得cosα＝3sinα，代入所求即可化简求解．
【解答】解：因为cosα﹣3sinα＝0，
所以cosα＝3sinα，
则＝＝．
故选：C．
7．（5分）函数f（x）＝ex﹣1+2x﹣4的零点所在的区间是（　　）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
【分析】判断函数的连续性，由零点判定定理判断求解即可．
【解答】解：函数f（x）＝ex﹣1+2x﹣4是连续函数且单调递增，
∵f（1）＝1+2﹣4＝﹣1＜0，
f（2）＝e+4﹣4＝e＞0
∴f（1）f（2）＜0，
由零点判定定理可知函数的零点在（1，2）．
故选：B．
8．（5分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝cosx与y＝sinx的图象交点坐标可能是（　　）
A．（，1） B．（，） C．（，﹣1） D．（π，0）
【分析】由题意得，sinx＝cosx≠0，即tanx＝1，从而可求x，结合选项可求．
【解答】解：由题意得，sinx＝cosx≠0，
故tanx＝1，
则x＝，k∈Z，
当k＝0时，x＝，y＝，
故选：B．
9．（5分）函数y＝ax与y＝﹣logax（a＞0，且a≠1）在同一坐标系中的图象只可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】本题是选择题，采用逐一排除法进行判定，再根据指对数函数图象的特征进行判定．
【解答】解：根据y＝﹣logax的定义域为（0，+∞）可排除选项B，
选项C，根据y＝ax的图象可知0＜a＜1，y＝﹣logax的图象应该为单调增函数，故不正确
选项D，根据y＝ax的图象可知a＞1，y＝﹣logax的图象应该为单调减函数，故不正确
故选：A．
10．（5分）今有一组实验数据如表：
t
1.99
3.0
4.0
5.1
6.12
v
1.5
4.04
7.5
12
18.1
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（　　）
A．v＝log2t B．v＝logt C．v＝ D．v＝2t﹣2
【分析】观察表中的数据找到速度的变化规律，从变化趋势上选择适当的函数模型即可求解．
【解答】解：从表中的数据的变化趋势看，函数递增的速度不断加快，
对应四个选项，A选项的对数型函数，其递增速度不断变慢，不符合，
选项B，随着t的增大，速度变小，不符合，
选项D是以一个恒定的幅度变化，其图象是一条直线，不符合本题的变化规律，
选项C，函数的二次型，对比数据，其最接近实验数据的变化趋势，符合题意，
故选：C．
11．（5分）将函数f（x）＝2sin（x+）的图象向右平移个单位后，再保持图象上点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数g（x）的图象，则g（1）+g（2）+…+g（2021）的值为（　　）
A． B．2+2 C． D．
【分析】由题意利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性，求得要求式子的值．
【解答】解：将函数f（x）＝2sin（x+）的图象向右平移个单位后，可得y＝2sin 的图象；
再保持图象上点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，
可得y＝g（x）＝2sin 的图象，显然，g（x）的周期为8，
则g（1）+g（2）+…+g（2021）＝2[sin+sin+sin+sin+…+sin]
＝2[252×0+sin+sin+sin+sin+]＝2×（1+）＝2+，
故选：C．
12．（5分）已知函数f（x）＝若关于x的方程f（x）＝﹣x+a（a∈R）恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为（　　）
A．[，] B．（，] C．（，]∪{1} D．[，]∪{1}
【分析】分别作出y＝f（x）和y＝﹣x的图象，考虑直线经过点（1，2）和（1，1）时，有两个交点，直线与y＝在x＞1相切，求得a的值，结合图象可得所求范围．
【解答】解：作出函数f（x）＝的图象，
以及直线y＝﹣x的图象，
关于x的方程f（x）＝﹣x+a（a∈R）恰有两个互异的实数解，
即为y＝f（x）和y＝﹣x+a的图象有两个交点，
平移直线y＝﹣x，考虑直线经过点（1，2）和（1，1）时，
有两个交点，可得a＝或a＝，
考虑直线与y＝在x＞1相切，可得ax﹣x2＝1，
由△＝a2﹣1＝0，解得a＝1（﹣1舍去），
综上可得a的范围是[，]∪{1}．
故选：D．

二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.
13．（5分）sin（﹣）的值为　　．
【分析】由题意利用诱导公式，计算求得结果．
【解答】解：sin（﹣）＝sin（﹣+）＝sin＝，
故答案为：．
14．（5分）已知幂函数y＝f（x）的图象过点（2，），则f（）＝　2　．
【分析】求出幂函数的解析式，然后求解函数值即可．
【解答】解：设幂函数为：f（x）＝xa，
幂函数f（x）的图象过点，
可得＝2a．解得a＝
则＝＝2．
故答案为：2．
15．（5分）已知x1，x2是函数f（x）＝Asin（ωx+）（A＞0，ω＞0）的两个零点，若|x1﹣x2|的最小值为，则f（x）的单调递增区间为　[kπ﹣，kπ+]，k∈z　．
【分析】由已知可求周期T，进而可求ω，然后结合正弦函数的单调性即可求解．
【解答】解：由题意得，＝，即T＝π，
所以ω＝2，f（x）＝Asin（2x+），
令﹣≤2x+，
则，
故f（x）的单调递增区间为[]，k∈Z．
故答案为：[]，k∈Z．
16．（5分）已知函数f（x）＝（a＞0且a≠1），若f（x）有最小值，则实数a的取值范围为　（0，]∪（1，]　．
【分析】讨论a的取值，分类利用函数单调性以及最值之间的关系列不等式求解．
【解答】解：f（2）＝2（a﹣2）+2a+1＝4a﹣3，
当x＝2时，2a2﹣1＝2a，
①若a＞2，则当x≤2时为增函数，此时无最小值，不合题意；
②若a＝2，当x≤2时，f（x）＝5，当x＞2时，2•2x﹣1＝2x＞4，此时无最小值，不合题意；
③若1＜a＜2，当x≤2时，f（x）为减函数，此时f（x）≥f（2）＝4a﹣3，
当x＞2时，f（x）为增函数，且此时f（x）＞2a，要使f（x）有最小值，
则4a﹣3≤2a，即2a≤3，a≤，则1＜a≤；
④若0＜a＜1，当x≤2时f（x）为减函数，此时f（x）≥f（2）＝4a﹣3，
当x＞2时，f（x）为减函数，且f（x）＞0，要使f（x）有最小值，
则4a﹣3≤0，即a≤，则0＜a≤，
综上所述，1＜a≤或0＜a≤，
∴实数a的取值范围是（0，]∪（1，]．
故答案为：（0，]∪（1，]．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知全集U＝{x|x2+x﹣12≤0}，A＝{x|≤0}，B＝{x||x|≤1}．
（1）求∁UA；
（2）求∁U（A∪B）；
【分析】（1）求出全集U和集合A，由此能求出∁UA．
（2）求出集合B，从而求出A∪B，由此能求出∁U（A∪B）．
【解答】解：（1）∵全集U＝{x|x2+x﹣12≤0}＝{x|﹣4≤x≤3}，
A＝{x|≤0}＝{x|﹣4≤x＜﹣1}，
∴∁UA＝{x|﹣1≤x≤3}．
（2）A＝{x|﹣4≤x＜﹣1}，B＝{x||x|≤1}＝{x|﹣1≤x≤1}．
∴A∪B＝{x|﹣4≤x≤1}，
∴∁U（A∪B）＝{x|1＜x≤3}．
18．（12分）已知f（α）＝．
（1）化简f（α）；
（2）若α的终边经过点P（﹣3，4），求f（α）．
【分析】（1）利用诱导公式即可化简得解．
（2）利用任意角的三角函数的定义可求sinα，cosα的值，即可得解．
【解答】解：（1）f（α）＝
＝
＝
＝cosα﹣sinα．
（2）因为α的终边经过点P（﹣3，4），
所以sinα＝，cosα＝﹣，
所以f（α）＝cosα﹣sinα＝﹣．
19．（12分）已知函数f（x）＝lg在（﹣3，3）上为奇函数，其中m＞0．
（1）求m的值；
（2）若g（x）＝f（x）+3，且g（a）＝2，求的g（﹣a）值．
【分析】（1）根据题意，由奇函数的定义可得f（﹣x）+f（x）＝0，即lg+lg＝lg＝0，分析可得m的值，即可得答案，
（2）根据题意，由奇函数的定义可得g（x）+g（﹣x）＝f（x）+f（﹣x）+6＝6，结合g（a）的值，计算可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）＝lg在（﹣3，3）上为奇函数，
则f（﹣x）+f（x）＝0，
即lg+lg＝lg＝0，
变形可得＝1，
则m＝±1，
又由m＞0，则m＝1；
（2）若g（x）＝f（x）+3，
则g（﹣x）＝f（﹣x）+3，
又由f（x）为奇函数，则g（x）+g（﹣x）＝f（x）+f（﹣x）+6＝6，
若g（a）＝2，则g（﹣a）＝4．
20．（12分）一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x（x∈N*）件．当x≤20时，年销售总收入为（33x﹣x2）万元；当x＞20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元，
（1）y（万元）与x（件）的函数关系式为？
（2）该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大，并求出最大值．（年利润＝年销售总收入﹣年总投资）
【分析】（1）根据已知，分当x≤20时和当x＞20时两种情况，分别求出年利润的表达式，综合可得答案；
（2）根据（1）中函数的解析式，分类求出各段上的最大值点和最大值，综合可得答案．
【解答】解：（1）由题意 得：当x≤20时，y＝（33x﹣x2）﹣x﹣100＝﹣x2+32x﹣100；…（4分）
当x＞20时，y＝260﹣100﹣x＝160﹣x．…（6分）
故y＝（x∈N*）．…（8分）
（2）当0＜x≤20时，y＝﹣x2+32x﹣100＝﹣（x﹣16）2+156，…（10分）
当x＝16时，ymax＝156．
而当x＞20时，160﹣x＜140，
故x＝16时取得最大年利润156万元． …（12分）
21．（12分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的图象如图所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的对称轴方程和对称中心；
（3）求f（x）在[﹣，]上的值域．

【分析】（1）由图象可求得A，b的值，由五点作图法即可求得ω，φ，从而可得f（x）的解析式；
（2）由正弦函数的性质即可求得f（x）的对称轴及对称中心；
（3）正弦函数的性质即可求得f（x）的值域．
【解答】解：（1）由图可知A＝，b＝，
且，解得ω＝2，φ＝，
所以f（x）＝sin（2x+）+．
（2）令2x+＝kπ+，k∈Z，所以x＝﹣，k∈Z，
即f（x）的对称轴方程为x＝﹣，k∈Z．
令2x+＝kπ，k∈Z，所以x＝﹣，k∈Z，
所以f（x）的对称中心为（﹣，），k∈Z．
（3）因为x∈[﹣，]，所以2x+∈[，π]，
令t＝2x+，
所以该函数为y＝sint+，t∈[，π]，
由正弦函数的图象可知0≤sint≤1，
所以≤sint+≤1，
所以f（x）的值域为[，1]．
22．（12分）定义在D上的函数f（x），如果满足“存在常数M＞0，对任意x∈D，都有|f（x）|≤M成立”，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．已知f（x）＝1+a•（）x+（）x．
（1）当a＝1时，判断函数f（x）在（﹣∞，0）上是否为有界函数，请说明理由；
（2）若f（x）在[﹣1，0]上的最小值为﹣1，求a的值；
（3）若函数f（x）在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．
【分析】（1）令t＝（）x，t＞1，由二次函数的单调性可得f（t）＞3，可判断函数f（x）在（﹣∞，0）上是否为有界函数；
（2）令t＝（）x，1≤t≤2，讨论二次函数的对称轴和区间[﹣1，0]的关系，结合单调性可得最小值，可得所求值；
（3）令t＝（）x，f（t）＝t2+at+1，0＜t≤1，可得|f（t）|≤3在（0，1]恒成立，由参数分离和函数的单调性可得所求范围．
【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝1+（）x+（）x，
令t＝（）x，由x＜0，可得t＞1，
则f（t）＝t2+t+1在（1，+∞）递增，可得f（t）＞f（1）＝3，
所以不存在M＞0，使|f（x）|＜M成立．
所以函数f（x）在（﹣∞，0）上不是有界函数．
（2）令t＝（）x，由﹣1≤x≤0，可得1≤t≤2，
f（t）＝t2+at+1，
①当﹣≤1，即a≥﹣2时，f（1）＝2+a＝﹣1，所以a＝﹣3（舍去），
②当1＜﹣＜2，即﹣4＜a＜﹣2时，f（）＝﹣1即﹣+1＝﹣1，解得a＝﹣2，满足题意；
③当﹣≥2，即a≤﹣4时，f（2）＝﹣1，即5+2a＝﹣1，解得a＝﹣3（舍去），
综上可得，a＝﹣2．
（3）令t＝（）x，f（t）＝t2+at+1，
因为x≥0，所以0＜t≤1，
由题意可得|f（t）|≤3在（0，1]恒成立，即﹣3≤f（t）≤3在（0，1]恒成立，
即t2+at+4≥0且t2+at﹣2≤0在（0，1]恒成立．
对于t2+at+4≥0，即a≥﹣（t+）在t∈（0，1]恒成立，
由t+≥5，可得a≥﹣5；
对于t2+at﹣2≤0，即a≤﹣t+在t∈（0，1]恒成立，
由g（t）＝﹣t+在（0，1]递减，可得g（t）≥g（1）＝1，
则a≤1，
综上可得，a∈[﹣5，1]．