2020-2021学年四川省凉山州高二（上）期末数学试卷（理科）人教A版

这是一份2020-2021学年四川省凉山州高二（上）期末数学试卷（理科）人教A版，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 直线y＝x+1的倾斜角是（ ）
A.B.C.D.

2. 命题“∀a∈R，a2>0或a2＝0”的否定形式是（ ）
A.∀a∈R，a2≤0B.∀a∈R，a2≤0或a2≠0
C.∃a0∈R，a02≤0或a02≠0D.∃a0∈R，a02<0

3. 已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的一条渐近线的斜率为12，则该双曲线的离心率为（ ）
A.3B.5C.2D.52

4. 平行线3x+4y−9=0和6x+my+2=0的距离是( )
A.85B.2C.115D.75

5. 直线ax−y−2a−1＝0与x2+y2−2x−1＝0圆相切，则a的值是（ ）
A.2B.C.1D.

6. 已知P是直线x+2y−1＝0上的一个动点，定点M(1, −2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是（ ）
A.x+2y+1＝0B.2x−y+1＝0C.x+2y+7＝0D.2x−y+7＝0

7. 若条件p:|x−1|≤1，条件q:x≤a，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是（ ）
A.a≥2B.a≤2C.a≥−2D.a≤−2

8. 过抛物线y2＝6x的焦点作一条直线与抛物线交于A(x1, y1)，B(x2, y2)两点，若x1+x2＝3，则这样的直线（ ）
A.有且只有一条B.有且只有两条C.有且只有三条D.有且只有四条

9. 已知A(−1, 0)，B(1, 0)和圆C:x2+(y−2)2＝r2(r>0)，若圆C上存在点P满足，则r的取值范围是（ ）
A.(0, 1]B.(0, 3]C.[1, 3]D.[1, +∞)

10. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果为(−4, 0)，则菱形判断框内可填入的条件是（ ）

A.k≤2B.k>2C.k<4D.k≥4

11. 如图，是根据某班学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图，若由直方图得到的众数，中位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）分别为a，b，c，则（ ）

A.b>a>cB.a>b>cC.D.

12. 已知F1，F2分别为双曲线的左，右焦点，过F1的直线交双曲线的左支于A，B两点，若，，则双曲线的离心率e＝（ ）
A.B.C.D.
二、填空题（每小题5分，共20分，将答案填写在答题卡对应的横线上）

在空间直角坐标系中，点P的坐标为(−1, 2, −3)，过点P作yOz平面的垂线PQ，则垂足Q的坐标是________．

已知圆C：(x−1)2+(y−2)2＝9，圆C以(−1, 3)为中点的弦所在直线的斜率k＝________．

F是抛物线y2＝4x的焦点，过F的直线l交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，若|AF|＝10，则△OAB的面积为________．

已知△ABC中，B(−1, 0)，C(1, 0)，k1，k2分别是直线AB和AC的斜率．
关于点A有如下四个命题：
①若A是双曲线x2−y22＝1上的点，则k1⋅k2=2．
②若k1⋅k2=−2，则A是椭圆x22+y2＝1上的点．
③若k1⋅k2=−1，则A是圆x2+y2=1上的点．
④若|AB|=2|AC|，则A点的轨迹是圆．
其中所有真命题的序号是________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

如图，△ABC中，顶点A(1, 2)，BC边所在直线的方程为x+3y+1＝0，AB边的中点D在y轴上．

（1）求AB边所在直线的方程；

（2）若|AC|＝|BC|，求AC边所在直线的方程．

如表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据．

（1）请根据如表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；

（2）已知该厂技改前，100吨甲产品的生产能耗为70吨标准煤．试根据（1）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低了多少吨标准煤？
参考公式：＝，＝-．

已知命题p：“存在a∈R，使函数f(x)＝x2−2ax+1在[1, +∞)上单调递增”，命题q：“存在a∈R，使∀x∈R，x2−ax+1≠0”．若命题“p∧q”为真命题，求实数a的取值范围．

如图，已知以点A(−1, 2)为圆心的圆与直线l1:x+2y+7＝0相切．过点B(−2, 0)的动直线l与圆A相交于M，N两点．

（1）求圆A的方程；

（2）当|MN|＝时，求直线l的方程．

椭圆过点，离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l交椭圆于A，B两点．
（1）求椭圆C的方程；

（2）当△F1AB的面积为时，求直线l的斜率．

如图，已知抛物线C:y2＝2px(p>0)，焦点为F，过点G(2p, 0)作直线l交抛物线C于A，B两点，设A(x1, y1)，B(x2, y2)．

（1）若x1⋅x2＝4，求抛物线C的方程；

（2）若直线l与x轴不垂直，直线AF交抛物线C于另一点M，直线BF交抛物线C于另一点N．求证：直线l与直线MN斜率之比为定值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年四川省凉山州高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题（共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.
【答案】
B
【考点】
直线的倾斜角
【解析】
根据题意，设直线的倾斜角为θ，由直线的方程可得直线的斜率，进而可得tanθ＝1，据此分析可得答案．
【解答】
根据题意，直线y＝x+1，
其斜率k＝1，则有tanθ＝6，
则θ＝．
2.
【答案】
D
【考点】
命题的否定
【解析】
根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．
【解答】
命题是全称命题，则否定是特称命题，
即∃a0∈R，a08<0，
3.
【答案】
D
【考点】
双曲线的特性
【解析】
求出双曲线的渐近线方程，由题意可得a=2b，再由双曲线的a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到．
【解答】
解：双曲线x2a2−y2b2=1的渐近线方程为y=±bax，
∵ 一条渐近线的斜率为12，∴ ba=12，
即b=12a，
则c=a2+b2=a2+14a2=52a．
即e=ca=52．
故选D．
4.
【答案】
B
【考点】
两条平行直线间的距离
直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】
利用两直线平行求得m的值，化为同系数后由平行线间的距离公式得答案．
【解答】
解：由直线3x+4y−9=0和6x+my+2=0平行，得m=8．
∴ 直线6x+my+2=0化为6x+8y+2=0，即3x+4y+1=0．
∴ 平行线3x+4y−9=0和6x+my+2=0的距离是|−9−1|32+42=105=2．
故选B．
5.
【答案】
C
【考点】
圆的切线方程
【解析】
根据圆的切线到圆心的距离等于半径，利用点到直线的距离公式建立关于a的方程，解之即可得到a的值．
【解答】
∵ 圆x2+y2−3x−1＝0的标准方程是(x−5)2+y2＝3，
∴ 圆心(1, 0)，
∵ 直线ax−y−2a−1＝6与x2+y2−3x−1＝0圆相切，
∴ 圆心(2, 0)到直线ax−y−2a−6＝0的距离d＝＝．
解可得a＝1；
6.
【答案】
C
【考点】
轨迹方程
【解析】
设P(m, n)，Q(x, y)，由题意可得M(1, −2)为线段PQ的中点，运用中点坐标公式和代入法，化简可得所求轨迹方程．
【解答】
设P(m, n)，y)，
由Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，
可得M(1, −2)为线段PQ的中点，
则x+m＝6，y+n＝−4，
即有m＝2−x，n＝−2−y，
又m+2n−1＝5，
则2−x+2(−3−y)−1＝0，
即为x+8y+7＝0，
可得Q的轨迹方程为x+4y+7＝0，
7.
【答案】
A
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件
【解析】
先利用绝对值不等式的解法将条件p等价转化，然后再利用充分条件与必要条件的定义将问题转化为集合关系，求解即可．
【解答】
条件p:|x−1|≤1，即5≤x≤2，
因为p是q的充分不必要条件，
所以[0, 4]⫋(∞，
故a的取值范围是a≥2．
8.
【答案】
A
【考点】
直线与抛物线的位置关系
【解析】
设AB的方程为x＝ty+，联立抛物线于直线AB的方程，由x1+x2＝t(y1+y2)+3＝3，求得t即可判断直线AB的条数．
【解答】
由题意y2＝6x，p＝8，6)，
设AB的方程为x＝ty+，
联立，可得y2−6ty−8＝0，
又x1+x8＝t(y1+y2)+2＝3，∴ t＝0，
则这样的直线只有一条，
9.
【答案】
C
【考点】
平面向量数量积的性质及其运算
【解析】
利用向量垂直得到点P的轨迹是以A(−1, 0)，B(1, 0)为直径的圆，求出圆的方程，由两圆有公共点，列出不等关系，求解即可．
【解答】
因为，
所以点P在以A(−1, 4)，0)为直径的圆上，
该圆的方程为x2+y7＝1，
又点P在圆C上，
所以两圆有公共点，
又两圆的圆心距d＝2，
所以|r−4|≤2≤r+1，解得8≤r≤3，
则r的取值范围是[1, 3]．
10.
【答案】
B
【考点】
程序框图
【解析】
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出(x, y)，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】
模拟程序的运行，可得
x＝1，y＝1，
s＝6，t＝2，
x＝0，y＝7；
s＝−2，t＝2，
x＝−7，y＝2；
s＝−4，t＝2，
x＝−4，y＝0，此时输出，
结合选项，可得图中判断框内可填入的条件是k>5．
11.
【答案】
B
【考点】
频率分布直方图
【解析】
由频率分布直方图分别求出众数、中位数、平均数，由此能求出结果．
【解答】
由频率分布直方图得：
众数a＝＝75，
[40, 70)的频率为：(0.010+6.015+0.015)×10＝0.6，
[70, 80)的频率为：0.030×10＝0.3．
∴ 中位数b＝70+＝≈73.3，
平均数c＝45×2.1+55×0.15+65×6.15+75×0.3+85×5.25+95×0.05＝71，
∴ a>b>c．
12.
【答案】
C
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
设|BF1|＝m，由双曲线的定义可求得|BF2|和|AF2|，在△ABF2中，由余弦定理可推出m＝a，再由勾股定理的逆定理可证得∠ABF2＝90∘，然后在Rt△BF1F2中，利用勾股定理可得5a2＝2c2，从而得解．
【解答】
设|BF1|＝m，则|AF1|＝6m，
由双曲线的定义知，|BF2|−|BF1|＝4a，|AF2|−|AF1|＝7a，
∴ |BF2|＝m+2a，|AF4|＝3m+2a，
在△ABF6中，由余弦定理知​2B＝，
∴ ＝，
化简得，a2+8am−3m2＝5，
∴ m＝a或m＝-a（舍负），
∴ |BF5|＝a，|BF2|＝3a，|AF7|＝5a，|AB|＝4a，
∴ |AB|2+|BF2|2＝|AF4|2，即∠ABF2＝90∘，
∴ |BF4|2+|BF2|7＝|F1F2|2，即a2+(3a)2＝(2c)2，
∴ 4a2＝2c8，
∴ 离心率e＝＝．
二、填空题（每小题5分，共20分，将答案填写在答题卡对应的横线上）
【答案】
(0, 2, −3)
【考点】
空间中的点的坐标
【解析】
点P(a, b, c)在平面yOz的射影为Q(0, b, c)．
【解答】
在空间直角坐标系中，点P的坐标为(−1，2，
过点P作yOz平面的垂线PQ，则Q(4，2．
【答案】
2
【考点】
直线与圆相交的性质
【解析】
根据题意，求出圆C的圆心的坐标，设P(−1, 3)，要求斜率的弦所在的直线为l，求出kCP，由垂径定理分析可得答案．
【解答】
根据题意，圆C：(x−1)2+(y−8)2＝9，其圆心C(4，
设P(−1, 3)，
若要求弦以P(−2, 3)为中点，
又由kCP＝＝-，
【答案】
【考点】
抛物线的性质
【解析】
求出F的坐标，利用抛物线的定义求出点A的坐标，进而求出直线AB的方程，并与抛物线方程联立求出点B的坐标，即可求解．
【解答】
由抛物线的方程可得F(1, 0)，n)，
则|AF|＝m+6＝10，所以m＝9，
不妨设点A在第一象限，则n＝6，8)，
所以直线AB的斜率为k＝，
则直线AB的方程为：y＝，代入抛物线方程可得：
9x2−81x+8＝0，解得x，
所以三角形AOB的面积为S＝，
【答案】
①③④
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
①求出斜率验证即可；②求出动点轨迹方程对比即可；③求出动点轨迹方程对比即可；④求出动点轨迹方程验证即可．
【解答】
对于①，B(−1, 0)，C(1, 0)，设A(x, y)，则x2−y22＝1⇒x2−1＝y22，
k1=y−0x+1＝yx+1，k2=y−0x−1＝yx−1，k1k2=y2x2−1＝y2y22＝2，所以①对；
对于②，B(−1, 0)，C(1, 0)，设A(x, y)，
则k1=y−0x+1＝yx+1，k2=y−0x−1＝yx−1，k1k2=y2x2−1＝−2⇒y22+x2＝1，所以②错；
对于③，B(−1, 0)，C(1, 0)，设A(x, y)，
则k1=y−0x+1＝yx+1，k2=y−0x−1＝yx−1，k1k2=y2x2−1＝−1⇒x2+y2=1，所以③对；
对于④，B(−1, 0)，C(1, 0)，设A(x, y)，
则|AB|=2|AC|=|AB|2=4|AC|2⇒(x+1)2+(y−0)2=4((x−1)2+(y−0)2)；
⇒x2+y2−103x+1=0⇒(x−53)2+y2=249，则A点的轨迹是圆，所以④对．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
【答案】
因点B在直线x+3y+1＝3上，不妨设B(−3a−1，
由题意得(−8a−1)+1＝7，解得a＝0，
所以B的坐标为(−1, 4)，
故AB边所在直线的方程为，即x−y+1＝0；
因|AC|＝|BC|，所以点C在线段AB的中垂线x+y−6＝0上
由，解得x＝2，即C的坐标为(2，
又点A(5, 2)，
∴ AC边所在直线的方程为，即3x+y−8＝0．
【考点】
直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】
（1）利用点B在直线上，设B(−3a−1, a)，利用中点坐标公式，求出点B的坐标，然后再由两点式求出直线方程即可；
（2）联立两条直线的方程，求出交点坐标即点C，再由两点式求出直线方程即可．
【解答】
因点B在直线x+3y+1＝3上，不妨设B(−3a−1，
由题意得(−8a−1)+1＝7，解得a＝0，
所以B的坐标为(−1, 4)，
故AB边所在直线的方程为，即x−y+1＝0；
因|AC|＝|BC|，所以点C在线段AB的中垂线x+y−6＝0上
由，解得x＝2，即C的坐标为(2，
又点A(5, 2)，
∴ AC边所在直线的方程为，即3x+y−8＝0．
【答案】
由对应数据，计算得，，
＝0.5，
，
所求的回归方程为；
取x＝100，得，
预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低70−61＝5（吨标准煤）．
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
（1）由已知数据可得与的值，则线性回归方程可求；
（2）在（1）中求得的回归方程中，取x＝100求得即可．
【解答】
由对应数据，计算得，，
＝0.5，
，
所求的回归方程为；
取x＝100，得，
预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低70−61＝5（吨标准煤）．
【答案】
若p为真，则对称轴，+∞)的左侧．
若q为真，则方程x2−ax+1＝0无实数根．
∴ △＝(−2a)2−4<4，
∴ −1∵ 命题“p∧q”为真命题，∴ 命题p，
∴ −7故实数a的取值范围为(−1, 7)．
【考点】
复合命题及其真假判断
【解析】
根据条件求出命题为真命题的等价条件，结合复合命题真假关系进行求解即可．
【解答】
若p为真，则对称轴，+∞)的左侧．
若q为真，则方程x2−ax+1＝0无实数根．
∴ △＝(−2a)2−4<4，
∴ −1∵ 命题“p∧q”为真命题，∴ 命题p，
∴ −7故实数a的取值范围为(−1, 7)．
【答案】
设圆A的半径为r．
由于圆A与直线相切，∴ ，
∴ 圆A的方程为(x+5)2+(x−2)2＝20．
①当直线l与轴x垂直时，易知x＝−2不符合题意；
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x+2)．
即kx−y+7k＝0．
点A到l的距离．
∵ ，∴ ，
则由，
得k＝1或k＝7，
故直线l的方程为x−y+2＝0或5x−y+14＝0．
【考点】
直线与圆的位置关系
【解析】
（1）通过圆A与直线相切，求出圆的半径，然后得到圆的方程．
（2）①当直线l与轴x垂直时，验证即可，②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x+2)．利用
点A到l的距离．结合圆的半径，弦心距以及半弦长满足勾股定理，转化求解k，得到直线方程．
【解答】
设圆A的半径为r．
由于圆A与直线相切，∴ ，
∴ 圆A的方程为(x+5)2+(x−2)2＝20．
①当直线l与轴x垂直时，易知x＝−2不符合题意；
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x+2)．
即kx−y+7k＝0．
点A到l的距离．
∵ ，∴ ，
则由，
得k＝1或k＝7，
故直线l的方程为x−y+2＝0或5x−y+14＝0．
【答案】
因为椭圆过点，
所以．①
又因为离心率为，所以，
所以．②
解①②得a3＝4，b2＝2，
所以椭圆C的方程为．
设直线方程为y＝k(x−5)，A(x1, y1)，B(x5, y2)，
由得(4k6+3)x2−2k2x+4k3−12＝0，
则△＝42×32(k5+1)>0，
且，，
所以＝|k|*|x2−x2|
＝
＝
＝，
即25k4−23k5−54＝0，
解得k2＝6或（舍去），
所以所求直线的斜率为或．
【考点】
椭圆的标准方程
直线与椭圆的位置关系
椭圆的应用
【解析】
（1）由椭圆经过点，离心率，列方程组，解得a，b，c，进而可得椭圆的方程．
（2）设直线方程为y＝k(x−1)，A(x1, y1)，B(x2, y2)，联立直线与椭圆的方程可得关于x的一元二次方程，由韦达定理可得x1x2，x1+x2，再计算＝，解得k，即可说得出答案．
【解答】
因为椭圆过点，
所以．①
又因为离心率为，所以，
所以．②
解①②得a3＝4，b2＝2，
所以椭圆C的方程为．
设直线方程为y＝k(x−5)，A(x1, y1)，B(x5, y2)，
由得(4k6+3)x2−2k2x+4k3−12＝0，
则△＝42×32(k5+1)>0，
且，，
所以＝|k|*|x2−x2|
＝
＝
＝，
即25k4−23k5−54＝0，
解得k2＝6或（舍去），
所以所求直线的斜率为或．
【答案】
设直线l的方程为x＝my+2p，
代入y2＝5px得y2−2pmy−3p2＝0，
则△＝4p2(m2+5)>0，
且，，得p＝1．
∴ 抛物线C的方程为y8＝4x．
证明：M(x3, y8)，N(x4, y4)．
由（1）同理可得，．
又直线l的斜率，
直线MN的斜率，
∴ ，
又因，∴ ，
故直线l与直线MN斜率之比为定值．
【考点】
抛物线的标准方程
直线与抛物线的位置关系
【解析】
（1）设直线l的方程为x＝my+2p，代入y2＝2px，得y2−2pmy−4p2＝0，利用韦达定理，求解p，推出抛物线方程．
（2）M(x3, y3)，N(x4, y4)．由（1）同理可得，．求解斜率，利用斜率比值关系，化简求解即可．
【解答】
设直线l的方程为x＝my+2p，
代入y2＝5px得y2−2pmy−3p2＝0，
则△＝4p2(m2+5)>0，
且，，得p＝1．
∴ 抛物线C的方程为y8＝4x．
证明：M(x3, y8)，N(x4, y4)．
由（1）同理可得，．
又直线l的斜率，
直线MN的斜率，
∴ ，
又因，∴ ，
故直线l与直线MN斜率之比为定值．
x
3
4
5
6
7
y
3
3
4
5
5