高中数学11.4.2 平面与平面垂直第2课时教学设计

这是一份高中数学11.4.2 平面与平面垂直第2课时教学设计，共11页。教案主要包含了教学重点，教学难点，解题方法，变式练习，变式练习1，变式练习2等内容，欢迎下载使用。
11.4.2 平面与平面垂直（2）本课时是《平面与平面垂直》的第二课时，本节课的内容的主要内容是：（1）平面与平面垂直的性质定理的推导和应用；（2）平面与平面垂直的判定定理和性质定理的综合应用。学生已经学习了直线与平面的判定定理和性质定理、平面与平面的判定定理，教学中可以引导学生思考这些定理之间的相互联系，对于本节课的知识点有很好的铺垫作用，同时本节课的内容也是之后解决空间几何位置关系问题的必要基础。本节课的教学，要求学生掌握平面与平面垂直的性质，会根据面面垂直证明线面垂直，在探索证明平面与平面垂直的性质时，提升逻辑推理能力和空间观念，在自主探索中感受成功的喜悦，激发学习数学的兴趣。考点教学目标核心素养平面与平面垂直的性质掌握平面与平面垂直的性质，并能运用性质定理解决一些简单问题直观想象、数学抽象和逻辑推理、数学运算平面与平面垂直的判定定理和性质定理综合运用掌握平面与平面垂直的判定定理和性质定理,能利用以上定理解决空间中综合性的垂直性问题.直观想象、数学抽象和逻辑推理、数学运算【教学重点】平面与平面垂直的性质定理的推导和应用、平面与平面垂直的判定定理和性质定理的综合应用【教学难点】空间问题与平面问题的转化复习回顾：一、二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个半平面称为二面角的面.(2)图形表示：(3)记法：以AB为棱，α和β为半平面的二面角，通常记作二面角α－AB－β.如果C和D分别是半平面α和β内的点，也可记作C－AB－D.(4)二面角的平面角：在二面角α－AB－β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角．如图，O∈l，OA⊂α，OB⊂β，OA⊥l，OB⊥l二面角α－l－β的平面角是∠AOB.(5)二面角的平面角的取值范围：0°≤θ≤180°.平面角是直角的二面角称为直二面角．(6)平面与平面所成的角：一般地，两个平面相交时，它们所成角的大小，指的是它们所形成的4个二面角中，不大于90°的角的大小．范围为0°＜θ≤90°.二.平面与平面垂直的定义1．定义：一般地，如果两个平面α与β所成角的大小为90°，则称这两个平面互相垂直，记作α⊥β.2．画法三、平面与平面垂直的判定定理(1)文字叙述：如果一个平面经过另外一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．(2)图形表示：(3)符号表示：如果l⊂α，l⊥β，则α⊥β.(4)作用：证明平面与平面垂直.问题1：平面与平面垂直的性质定理如果平面与平面相互垂直，能得出什么性质呢？平面与平面垂直的性质定理(1)文字叙述：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．(2)图形表示： (3)符号表示：如果α⊥β，α∩β＝m，AO⊂α，AO⊥m，则AO⊥β.(4)作用：证明直线与平面垂直.证明：如图所示，设，过O在平面内作与垂直的直线OB，则为二面角的平面角。因为，所以，因此  又因为且，所以 注：面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系例1.如图所示，已知，在与的交线上取线段，且分别在平面和平面内，它们都垂直于交线，并且，求的长。解：连接 因为，所以 又因为，所以，因此是直角三角形在中，有 进而在中，有 例2. 如图，P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC，求证：BC⊥AC．证明　过A作AE⊥PC于E，由平面PAC⊥平面PBC，且平面PAC∩平面PBC＝PC，可知AE⊥平面PBC．又BC⊂平面PBC，故AE⊥BC．又PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，故PA⊥BC．∵PA∩AE＝A，PA，AE⊂平面PAC．∴BC⊥平面PAC．又AC⊂平面PAC，故BC⊥AC．【解题方法】在运用面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样便把面面垂直问题转化为线面垂直问题，进而转化为线线垂直问题．【变式练习】如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E为AB的中点，N为BC的中点，沿DE将△ADE折起．若平面ADE⊥平面BCDE，求证：AB＝AC．证明　(1)取DE的中点M，连接AM，∵在翻折前，ABCD为矩形，AB＝2AD，E为AB的中点，∴翻折后AD＝AE，且AM⊥DE，又平面ADE⊥平面BCDE，∴AM⊥平面BCDE，∴AM⊥BC，又N为BC的中点，∴MN⊥BC，[来源:学科网]∵AM∩MN＝M，∴BC⊥平面AMN，∴BC⊥AN，又N为BC的中点，∴AB＝AC．问题2：平面与平面垂直的判定和性质定理综合应用例3.如图所示，已知中，，是斜边上的高，如图所示，以AD为折痕将折起，使为直角，在图（2）中，求证：（1）面面BDC，面面BDC；（2） 证明：（1）由已知有，因此在图（2）中，有面 又因为面，所以面面 同理，面面 （2）因为，所以图（1）中，有 ，从而 因此图（2）中是等腰直角三角形，所以 从而，所以  【变式练习】如图,AB是☉O的直径,C是圆周上不同于A,B的任意一点,平面PAC⊥平面ABC.(1)判断BC与平面PAC的位置关系,并证明.(2)判断平面PBC与平面PAC的位置关系.解:(1)BC⊥平面PAC.证明:因为AB是☉O的直径,C是圆周上不同于A,B的任意一点,所以∠ACB=90°,所以BC⊥AC.又因为平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,BC⊂平面ABC,所以BC⊥平面PAC.(2)因为BC⊂平面PBC,所以平面PBC⊥平面PAC.【解题方法】1．证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理．本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．2．利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线．例4. 在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,且AB=BC,能否在侧棱BB1上找到一点E,恰使截面A1EC⊥侧面AA1C1C?若能,指出点E的位置,并求解;若不能,请说明理由. 解:如图,作EM⊥A1C于点M,因为截面A1EC⊥平面AA1C1C,所以EM⊥平面AA1C1C.取AC的中点N,连接BN,MN.因为AB=BC,所以BN⊥AC.而AA1⊥平面ABC,AA1⊂平面AA1C1C,所以平面ABC⊥平面AA1C1C,且交于AC,所以BN⊥平面AA1C1C.所以BN∥EM,BN⊥MN.又BE∥平面AA1C1C,平面BEMN∩平面AA1C1C=MN,所以BE∥MN∥A1A.所以四边形BEMN为平行四边形.因为AN=NC,所以A1M=MC.所以BE=MN=A1A,即E为BB1的中点时,平面A1EC⊥平面AA1C1C. 【解题方法】探究型问题的两种解题方法(1)(分析法)即从问题的结论出发,探求问题成立的条件.(2)(反证法)先假设使结论成立的条件存在,然后进行推证,推出矛盾,否定假设,确定使结论成立的条件不存在.【变式练习1】如图,在三棱锥A-BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面BCD,∠ADB=60°,E,F分别是AC,AD上的动点,且=λ(0<λ<1).(1)求证:不论λ为何值,总有平面BEF⊥平面ABC.(2)当λ为何值时,平面BEF⊥平面ACD.(1)证明:因为AB⊥平面BCD,所以AB⊥CD.因为CD⊥BC,且AB∩BC=B,所以CD⊥平面ABC.又因为=λ(0<λ<1),所以不论λ为何值,恒有EF∥CD.所以EF⊥平面ABC,EF⊂平面BEF.所以不论λ为何值,恒有平面BEF⊥平面ABC.(2)解:由(1)知,BE⊥EF,因为平面BEF⊥平面ACD,所以BE⊥平面ACD,所以BE⊥AC.因为BC=CD=1,∠BCD=90°,∠ADB=60°,所以BD=,AB=tan 60°=.所以AC=.由AB2=AE·AC,得AE=.所以λ=.【变式练习2】如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为正方形,则截面ACB1与对角面BB1D1D垂直吗?解:∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD.∵BB1⊥底面ABCD,∴AC⊥B1B.∵B1B∩BD=B,∴AC⊥对角面BB1D1D.又∵AC⊂截面ACB1,∴截面ACB1⊥对角面BB1D1D.小结：1．利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线．2．面面垂直的判定和性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系，体现了数学中的化归转化思想，其转化关系如下：