专题强化训练（五）函数应用问题-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册期末复习重点知识点

函数的应用问题

1.解决函数应用问题的步骤

利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：

(1)审题；(2)建模；(3)求模；(4)还原.

2.常见的函数模型

经典例题

一．选择题（共3小题）

1．今有一组实验数据如图：现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是　　

A． B． C． D．

2．某流行病调查中心的疾控人员针对该地区某类只在人与人之间相互传染的疾病，通过现场调查与传染源传播途径有关的蛛丝马迹，根据传播链及相关数据，建立了与传染源相关确诊病例人数与传染源感染后至隔离前时长（单位：天）的模型：已知甲传染源感染后至隔离前时长为5天，与之相关确诊病例人数为8；乙传染源感染后至隔离前时长为8天，与之相关确诊病例人数为20．打某传染源感染后至隔离前时长为两周，则与之相关确诊病例人数约为　　

A．44 B．48 C．80 D．125

3．人们通常以分贝（符号是为单位来表示声音强度的等级，强度为的声音对应的等级为．听力会受到严重影响的声音约为，室内正常交谈的声音约为，则听力会受到严重影响的声音强度是室内正常交谈的声音强度的倍数为　　

A． B． C．3 D．

二．解答题（共6小题）

4．勤俭节约是中华民族的传统美德．为避免舌尖上的浪费，各地各部门采取了精准供应的措施．某学校食堂经调查分析预测，从年初开始的前，2，3，，个月对某种食材的需求总量（公斤）近似地满足．为保证全年每一个月该食材都够用，食堂前个月的进货总量须不低于前个月的需求总量．

（1）如果每月初进货646公斤，那么前7个月每月该食材是否都够用？

（2）若每月初等量进货（公斤），为保证全年每一个月该食材都够用，求的最小值．

5．在不考虑空气阻力的情况下火箭的最大速度（单位：和燃料的质量（单位：，火箭（除燃料外）的质量（单位：满足为自然对数的底）．

（1）当燃料质量为火箭（除燃料外）质量的两倍时，求火箭的最大速度（单位：结果精确到；

（2）当燃料质量为火箭（除燃料外）质量的多少倍时，火箭的最大速度可以达到（结果精确到．

6．小王想进行理财投资，根据长期收益率市场顶测，投资类产品和类产品的收益分别为，（万元），它们与投资额（万元）存在如下关系式：，，小王准备将200万元资金投入、两类理财产品，公司要求每类产品的投资金额不能低于25万元．

（1）若对类产品的投资金额为（万元），求总收益（万元）关于的函数关系式；

（2）请你帮助小王预算如何分配投资资金，才能使总收益最大，并求出最大总收益．

7．碳14是碳的一种具有放射性的同位素，它常用于确定生物体的死亡年代，即放射性碳定年法．在活的生物体内碳14的含量与自然界中碳14的含量一样且保持稳定，一旦生物死亡，碳14摄入停止，生物体内的碳14会按指数函数的规律衰减，大约经过5730年衰减为原来的一半，通过测定生物遗体内碳14的含量就可以测定该生物的死亡年代．设生物体内的碳14的含量为，死亡年数为．

（1）试将表示为的函数；

（2）不久前，科学家发现一块生物化石上的碳14的含量为自然界中碳14的含量的，请推算该生物死亡的年代距今多少年？（参考数据：

9．近年来，共享单车的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资240万元，根据行业规定，每个城市至少要投资80万元，由前期市场调研可知：甲城市收益与投入（单位：万元）满足，乙城市收益与投入（单位：万元）满足：，设甲城市的投入为（单位：万元），两个城市的总收益为（单位：万元）．

（1）当投资甲城市128万元时，求此时公司总收益；

（2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使公司总收益最大？

参考答案

一．选择题（共3小题）

1．【解答】解：由表中数据可知，当时，随着的增大而增大，且不是2倍递增，故、错误；

再由增加速度越来越快，可知错误，正确．

故选：．

2．【解答】解：依题意得，（5），（8），

，

．

故某传染源感染后至隔离前时长为两周，则与之相关确诊病例人数约为125人．

故选：．

3．【解答】解：听力会受到严重影响的声音约为，，得，

室内正常交谈的声音约为，，得，

，

故选：．

二．解答题（共6小题）

4．【解答】解：（1）当时，每月需求量635公斤，每月进货646公斤，1到6月都够用，

当时，因为，第7个月该食材够用，

所以，前7个月每月该食材都够用．

（2）为保证该食材全年每一个月都够用，不等式对，2，，12恒成立，

①当时，恒成立，可得，

②当时，恒成立，即恒成立，

因为，当且仅当，即时，等号成立，

又因为，且，所以当时，的最大值为652.2，

综上所述，，

所以为保证全年每一个月该食材都够用，每月初进货量的最小值为652.2公斤．

5．【解答】（Ⅰ），

，

当燃料质量为火箭（除燃料外）质量两倍时，即，

；

答：当燃料质量为火箭质量两倍时，火箭的最大速度为．

（Ⅱ），

，

，，

答：当燃料质量为火箭质量的54倍时，火箭最大速度可以达到．

6．【解答】解：（1）根据题意，对类产品的投资万元，

则对类产品的投资万元，

，

所以函数的定义域为，．

（2）令，，，，

则，

时，即时，．

因此当类产品投入164万元，

类产品投入36万元时总收益最大为248万元．

7．【解答】解：（1）已知碳14含量与死亡年数成指数函数关系，设，

由经过5730年衰减为原来的一半，可得，

所以，

故碳14的含量与死亡年数的函数关系式为；

（2）由已知，

所以，

即，

所以推算该生物死亡的年代距今21010年．

8．【解答】解：（1）设，，则，

在 中由正弦定理得，

在 中由正弦定理得，

，

即，又，则，

，

，

，

．

（2）过 作 于，作 于，

，

，，

四边形花圃 面积：

，

又

，

，

，

当 即 时，

最小值为，

．

9．【解答】解：（1）当投资甲城市128万元时，投资乙城市112万元，

此时公司总收益：

（万元）．

（2）甲城市的投入为，则乙城市投资万元，

当，即时，，

，令，则，

在，上单调递增，在，上单调递减，

；

当，即时，，

在，上单调递增，

，

，

该公司在甲城市投资128万元，在乙城市投资112万元，总收益最大为88万元．