高中数学人教B版 (2019)必修 第四册11.1.4 棱锥与棱台学案设计

棱锥和棱台

【学习目标】

借助棱锥、棱台结构特征的学习，培养直观抽象的数学核心素养。

【学习重难点】

1．棱锥、棱台的定义和结构特征。

2．棱锥、棱台中构造恰当的特征图形，研究其中的线段数量关系和位置关系。

【学习过程】

一、初试身手

1．棱锥的侧面和底面可以都是(    )

A．三角形    B．四边形    C．五边形     D．六边形

2．下面四个几何体中，是棱台的是(    )

A        B        C        D

二、合作探究

1．棱锥、棱台的概念

【例】  下列关于棱锥、棱台的说法中，正确说法的序号是________。

（1）用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；

（2）棱台的侧面一定不会是平行四边形；

（3）棱锥的侧面只能是三角形；

（4）棱台的各侧棱延长后必交于一点；

（5）棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥。

2．几何体的计算问题

[探究问题]

（1）计算正三棱锥中底面边长，斜高，高时，通常是将所求线段转化到直角三角形中，常用到的直角三角形有哪些？

[提示]  常用到的直角三角形有：①由斜高、高、底面中心到边的距离构成的三角形，②由高、侧棱和底面中心与底面顶点的连线构成的三角形。

（2）其他正棱锥的计算是否与正三棱锥计算用同样的方法？

[提示]  是。

（3）正棱台中的计算呢？

[提示]  根据正棱锥与正棱台的关系，转化到直角梯形中求解。

【例】  正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为2，求正三棱锥的高。

[思路探究]  正三棱锥⇒侧棱、高和底面三角形外接圆半径组成直角三角形⇒勾股定理求解。

【母题探究】

1．将本例中“侧棱长为2”，改为“斜高为2”，则结论如何？

2．将本例中“三棱锥”改为“四棱锥”，如何解答？

【学习小结】

1．棱锥的结构特征。

2．棱台的结构特征。

【精炼反馈】

1．判断（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）有一个底面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥。              (    )

（2）棱台的侧棱长都相等。 (    )

（3）棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形。 (    )

（4）棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形。 (    )

2．下列几何体中是棱柱的个数有(    )

A．5个       B．4个       C．3个       D．2个

3．画一个三棱台，再把它分成：

（1）一个三棱柱和另一个多面体；

（2）三个三棱锥，并用字母表示。

答案：

【学习过程】

一、初试身手

1．A  [棱锥的侧面都是三角形，所以底面和侧面相同只能是三角形。]

2．C  [棱台的侧棱延长后相交于同一点，故C正确。]

二、合作探究

1．【例】（2）（3）（4）  [（1）错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台；

（2）正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；

（3）正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；

（4）正确，棱台是由平行于棱锥底面的平面截得的，故棱台的各侧棱延长后必交于一点；

（5）错误，如图所示四棱锥被平面PBD截成的两部分都是棱锥。]

2．[思路探究]

[解]  作出正三棱锥如图，SO为其高，连接AO，作OD⊥AB于点D，则点D为AB的中点。

在Rt△ADO中，AD＝，

∠OAD＝30°，

故AO＝＝。

在Rt△SAO中，SA＝2，AO＝，

故SO＝＝3，其高为3．

【母题探究】

1．[解]  在Rt△SDO中，SD＝2，DO＝AO＝，故SO＝＝＝。

2．[解]  如图正四棱锥S­ABCD中，SO为高，连接OC．则△SOC是直角三角形，由题意BC＝3，则OC＝，又因为SC＝2，则SO＝＝＝＝。

故其高为。

【精炼反馈】

1．判断（正确的打“√”，错误的打“×”）

[答案]  （1）√  （2）×  （3）×  （4）×

2．D  [由棱柱的定义知①③是棱柱，选D．]

3．[解]  画三棱台一定要利用三棱锥。

①                ②

（1）如图①所示，三棱柱是棱柱A′B′C′­AB″C″，另一个多面体是C′B′BCC″B″。

（2）如图②所示，三个三棱锥分别是A′­ABC，B′­A′BC，C′­A′B′C．