高中数学第八章 向量的数量积与三角恒等变换8.1 向量的数量积8.1.3 向量数量积的坐标运算课时练习

8.1.3 向量数量积的坐标运算 练习

【基础练习】

一、单选题

1．若平面向量，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

.

故选：.

2．已知向量，向量，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

由条件可知，则，解得：.

故选：D

3．设向量，则等于（          ）

A． B．5 C． D．6

【答案】B

【解析】

，

.

故选:B.

4．已知，，且，则向量与夹角的大小为(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

可知，，，所以夹角为，故选C.

5．已知平面向量，，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

解：由，得，所以，

则.

.

故选：A.

二、填空题

6．ABCD是边长为1的正方形，E、F分别是BC、CD的中点，则_____.

【答案】1

【解析】

建立平面直角坐标系，如图所示；

则A（0,0）,B（1,0）,C（1,1）,D（0,1）；

因为E、F分别是BC、CD的中点，则E（1,）,F（,1）；

所以（1,）,（,1）；

故11＝1.

故答案为：1

7．已知，，实数满足，则________.

【答案】1或

【解析】

由题意可得：

,

,

解得或.

故答案为：1或

8．已知,，与的夹角为钝角，则的取值范围是_____;

【答案】

【解析】

因为与的夹角为钝角，

所以与的数量积小于0且不平行.

且

所以

三、解答题

9．已知向量，．

（Ⅰ）分别求，的值；

（Ⅱ）当为何值时，与垂直？

【答案】(1) .

(2) 当时，与垂直.   

【解析】

（Ⅰ） ，，，

于是，；

（Ⅱ） ，由题意可知：，

即，解得，故当时，与垂直.   

10．如图，在平面直角坐标系中，已知四边形是等腰梯形，，点满足，点在线段上运动（包括端点）.

（1）求的余弦值；

（2）是否存在实数，使，若存在，求出满足条件的实数的取值范围，若不存在，请说明理由.

【答案】（1）．（2）．

【解析】

解：（1）由题意可得，，

故cos∠OCM=cos＜，＞==．

（2）设，其中1≤t≤5，，．

若，

则，

即12﹣2λt+3λ=0，可得（2t﹣3）λ=12．

若，则λ不存在，

若，则，

∵t∈[1，）∪（，5]，

故．

【提升练习】

一、单选题

1．设向量，，且，则(    )

A．－10 B．－6 C．6 D．10

【答案】A

【解析】

，

，，解得，

向量，则.

故选：A

2．已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=

A．-3 B．-2

C．2 D．3

【答案】C

【解析】

由，，得，则，．故选C．

3．设平面向量，，若与的夹角为钝角，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

解：∵与的夹角为钝角，

∴，且，

，且，

故选：A．

4．已知两点，，点在曲线上运动，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

设 ，则，，

，

则当时，取得最小值.

故选：.

5．在四边形中，，，，则该四边形的面积是（    ）

A． B． C．10 D．20

【答案】C

【解析】

因为,,,

所以,即,

所以四边形的面积为,

故选:C.

二、填空题

6．已知等边三角形ABC的边长为3，点D，E分别在边AB，BC上，且，，则的值为_____．

【答案】3

【解析】

以B为原点，BC和垂直BC的线分别为x、y轴建立平面直角坐标系，如图所示

则C（3，0），D（），E（1，0），

∴．

故答案为：3．

7．已知平面向量与的夹角，且.若平面向量满足，则______.

【答案】

【解析】

解：设平面向量，向量，则，

，

，

解得，

．

故答案为：．

8．设，向量，，，且，，则______.

【答案】

【解析】

由题意，向量，，，

因为，可得，解得，

又由，可得，解得，

所以，所以.

故答案为：

三、解答题

9．已知向量且与夹角为，

（1）求；      

（2）若，求实数的值．

【答案】（1）2 （2）

【解析】

解：（1）因为，所以，

又因为，与的夹角为 ，

∴，

所以;

（2）由，

得，即，

解得.

10．如图，已知正方形ABCD中,E,F分别是CD,AD的中点,BE,CF交于点P.求证：

（1）BE⊥CF;

（2）AP=AB.

【答案】（1）见试题解析；（2）见试题解析

【解析】

如图建立平面直角坐标系xOy,其中A为原点,不妨设AB=2,

则A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1).

(1)=(1,2)-(2,0)=(-1,2),

=(0,1)-(2,2)=(-2,-1),

∵=(-1)×(-2)+2×(-1)=0,

∴,即BE⊥CF.

(2)设P(x,y),则=(x,y-1),=(-2,-1).

∵,∴-x=-2(y-1),即x=2y-2.

同理由,得y=-2x+4,代入x=2y-2,

解得x=,∴y=,即P.

∴=4=,

∴||=||,即AP=AB.