数学必修 第三册第七章 三角函数7.2 任意角的三角函数7.2.4 诱导公式学案

7.2.4诱导公式（2）

【学习重点】

诱导公式（五）~（八）的推导、利用诱导公式进行三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明

【学习难点】

诱导公式的综合应用

复习回顾：

1.诱导公式（一）~（四）

【公式一】：终边相同的角

        ；        ；       

【公式二】：终边关于轴对称的角

        ；        ；       

【公式三】：终边关于轴对称的角

        ；        ；       

【公式四】：终边关于原点对称的角

        ；         ；       

2.利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤[来源:学科网]

(1)“负化正”：将负角化为正角；

 (2)“大化小”：将角化为0°到360°间的角；

(3)“小化锐”——将大于90°的角转化为锐角；

(4)“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值．

引入：

如图所示，设与的终边与单位圆分别交于和，则

知识点　角α与－α的三角函数值之间的关系[来源:学|科|网]

1．α和－α的终边关于角         的终边所在的直线(即直线y＝x)对称．

2．角α与－α的三角函数值之间的关系

诱导公式（五）：

作用：利用公式（五），我们可以用的三角函数值表示为        的三角函数值。

3．推广公式

诱导公式（六）：

证明：结合公式二和公式五，我们可以得到：

角的转化变形：及变换的几何含义：

角的终边可以看作：是由角的终边关于轴的对称得到角的终边，再关于

直线对称得到的.

诱导公式（七）：

证明：结合公式四和公式六：

角的转化变形：及变换的几何含义：

角的终边可以看作是：是由角的终边关于轴的对称得到角的终边，再关于

直线对称得到的的终边，最后再关于原点对称得到的.

诱导公式（八）：

证明：结合公式四和公式五：

角的转化变形：及变换的几何含义：

角的终边可以看作是：由角的终边关于直线对称得到的终边，再关于原点对称得到的.

注：（1）公式（一）~（八）都称为诱导公式，利用诱导公式可以求三角函数式的值或化简三角函数式，诱导公式本身还反映了我们后面要学习的三角函数的性质。

（2）八组诱导公式可以总结为如下口诀：奇变偶不表、符号看象限

前四组公式的特点：符号看象限，函数名不变；

后四组公式的特点：符号看象限，函数名改变.

事实上，这8组诱导公式可概括为的各三角函数值.

当为偶数时，得到角的同名三角函数值；

当为奇数时，得到角的余名三角函数值，然后特别需要注意，在前面加上把看成锐角时原三角函数值的符号.

例1.求下列各值

（1）      （2）   （3）

例2.  计算

【变式训练】

1．sin21°＋sin22°＋sin23°＋…sin289°＝____________.

2．已知sin α＝，则cos＝____________.

例3. 化简：

【变式训练1】

【变式训练2】

已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，且α为第三象限角，求

的值．

例4. 求证：＝－tan θ.

【变式训练】

求证：＝－tan α.

例5.已知α是第三象限角，且f(α)＝

.

(1)求f(α)；

(2)若cos＝，求f(α)．

【变式训练1】

若本例题设不变，如何求cos的值呢？

【变式训练2】

已知角α终边上一点P(－4,3)，则的值为____________．