高中数学人教B版 (2019)必修 第三册8.2.1 两角和与差的余弦一课一练

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第三册8.2.1 两角和与差的余弦一课一练，共10页。试卷主要包含了 选择题， 填空题， 解答题等内容，欢迎下载使用。

一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 5 分 ，共计50分 ， ）

1. 已知tan(π4+θ)＝−3，则sin2θ−2cs2θ的值为（ ）
A.−65B.25C.45D.2

2. 计算−sin133∘cs197∘−cs47∘cs73∘的结果为（ ）
A.12B.33C.22D.32

3. 已知α∈(0, π2)，sinα=1010，则tan(2α+π4)=( )
A.17B.−17C.7D.−7

4. 若tan(α−π6)＝2，则tan(2α−π3)等于（ ）
A.−2−3B.−43C.2+3D.43

5. 已知cs(α+β)＝3cs(α−β)，则tanαtanβ＝（ ）
A.12B.−12C.2D.−2

6. 在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点为O，始边与x轴的正半轴重合，终边过点(−2, y)，且sinα=144，则cs(α+π4)=( )
A.1−74B.−1+74C.7−14D.1+74

7. 已知f(x)=sinx+3csx，且直线x＝x1，x＝x2分别为y＝f(x)与y＝f(x)−sinx的对称轴，则f(x1−x2)的值为（ ）
A.1B.±1C.±2D.2

8. 若函数y=asinx+bcsx（其中a,b∈R且a,b>0)可化为y=a2+b2csx−φ，则φ应满足条件（ ）
A.tanφ=baB.csφ=aa2+b2C.tanφ=abD.sinφ=ba2+b2

9. 已知O为△ABC内任意的一点，若对任意k∈R有|BA→−kBC→|≥|CA→|，则△ABC一定是（ ）
A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.不能确定

10. 已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P(−3, −4)，则tan(α+π4)的值为（ ）
A.−247B.−7C.247D.1731
二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ， ）

11. 已知sin(α+π6)=35，α∈(π2, π)，则tan(α−π12)＝________．

12. 已知csθ=−35，则sin(θ+π2)=________．

13. sin15∘sin45∘+cs15∘cs45∘的值为________．

14. 在平面直角坐标系xOy中，点P(x0, y0)是单位圆O上第一象限内的点，∠xOP＝α，若cs（）＝-，则x0的值为________．
三、 解答题 （本题共计 2 小题 ，每题 5 分 ，共计10分 ， ）

15. 已知tanα＝，且α为第三象限角．
(Ⅰ)求的值；
(Ⅱ)求cs(α−）的值．

16. 在△ABC中，已知csC=45，sin(A−B)=15，则tanB=________.
参考答案与试题解析
人教B版（2019）必修第三册《8.2.1 两角和与差的余弦》年同步练习卷
一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 5 分 ，共计50分 ）
1.
【答案】
B
【考点】
两角和与差的三角函数
【解析】
由已知展开两角差的正切求得tanθ，再由同角三角函数的基本关系式化弦为切求解．
【解答】
由tan(π4+θ)＝−3，得tanπ4+tanθ1−tanπ4tanθ=−3，
即1+tanθ1−tanθ=−3，解得tanθ＝2．
∴ sin2θ−2cs2θ=2sinθcsθ−2cs2θsin2θ+cs2θ=2tanθ−2tan2θ+1=25．
2.
【答案】
A
【考点】
求两角和与差的正弦
【解析】
由条件利用诱导公式、两角和差的正弦公式，化简所给的式子，可得结果．
【解答】
解：−sin133∘cs197∘−cs47∘cs73∘=−sin47∘(−cs17∘)−cs47∘sin17∘
=sin(47∘−17∘)=sin30∘=12，
故选：A．
3.
【答案】
C
【考点】
三角函数的恒等变换及化简求值
两角和与差的三角函数
【解析】
由已知求得csα，进一步求得tanα，再由倍角公式求得tan2α，展开两角和的正切求解．
【解答】
由α∈(0, π2)，sinα=1010，得csα=31010，
∴ tanα=sinαcsα=13，
则tan2α=2tanα1−tan2α=231−19=34．
∴ tan(2α+π4)=tan2α+tanπ41−tan2αtanπ4=34+11−34×1=7．
4.
【答案】
B
【考点】
两角和与差的三角函数
【解析】
根据二倍角的正切公式即可求出．
【解答】
∵ tan(α−π6)＝2，
∴ tan(2α−π3)＝tan2(α−π6)=2tan(α−π6)1−tan2(α−π6)=41−4=−43，
5.
【答案】
B
【考点】
两角和与差的三角函数
【解析】
直接利用和角公式和同角三角函数关系式的应用求出结果．
【解答】
已知cs(α+β)＝3cs(α−β)，
所以：csαcsβ−sinαsinβ＝3csαcsβ+3sinαsinβ，
所以：4sinαsinβ＝−2csαcsβ，
故：tanαtanβ=−12．
6.
【答案】
B
【考点】
两角和与差的余弦公式
三角函数
【解析】
利用三角函数的定义确定α，再代入计算即可．
【解答】
解：由题意知， sinα=y2+y2=144，解得y=14，csα=−24，
cs(α+π4)=csαcsπ4−sinαsinπ4=−1+74.
故选B.
7.
【答案】
C
【考点】
两角和与差的三角函数
【解析】
由已知结合正弦函数的对称性可分别求解函数的对称轴，代入即可求解．
【解答】
因为f(x)=sinx+3csx=2sin(x+π3)，y=f(x)−sinx=3csx，
因为直线x＝x1，x＝x2分别为y＝f(x)与y＝f(x)−sinx的对称轴，
所以x1=π6+k1π,k1∈Z,x2=k2π,k2∈Z，
所以f(x1−x2)=2sin((k1−k2)π+π2)=±2．
8.
【答案】
C
【考点】
两角和与差的余弦公式
【解析】
本题主要考查化-角-函数的方法．
【解答】
解：y=asinx+bcsx
=a2+b2ba2+b2csx+aa2+b2sinx
=a2+b2cs(x−φ)
∴csφ=ba2+b2，sinφ=aa2+b2，tanφ=ab．
故选C．
9.
【答案】
A
【考点】
三角形的形状判断
【解析】
根据题意画出图形，在边BC上任取一点E，连接AE，根据已知不等式左边绝对值里的几何意义可得kBC→=BE→，再利用向量的减法运算法则化简，根据垂线段最短可得AC与EC垂直，进而确定出三角形为直角三角形．
【解答】
解：从几何图形考虑：
|BA→−kBC→|≥|CA→|的几何意义表示：在BC上任取一点E，可得kBC→=BE→，
∴ |BA→−kBC→|=|BA→−BE→|=|EA→|≥|CA→|，
又点E不论在任何位置都有不等式成立，
∴ 由垂线段最短可得AC⊥EC，即∠C=90∘，
则△ABC一定是直角三角形．
故选A
10.
【答案】
B
【考点】
任意角的三角函数
两角和与差的三角函数
【解析】
先利用任意角的三角函数的定义求得tanα的值，再利用两角和的正切公式即可求解．
【解答】
由题意，利用任意角的三角函数的定义可得tanα=−4−3=43，
所以tan(α+π4)=tanα+11−tanα=43+11−43=−7．
二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）
11.
【答案】
−7
【考点】
两角和与差的三角函数
【解析】
直接利用三角函数关系式的恒等变变换和角的变换求出结果．
【解答】
已知sin(α+π6)=35，α∈(π2, π)，
则：cs(α+π6)=−45，
所以：tan(α+π4)=−34．
故：tan(α−π12)=tan(π+π4−π3)=tan(α+π4)−tanπ31+tan(α+π4)tanπ3=−7．
12.
【答案】
−35
【考点】
三角函数的恒等变换及化简求值
【解析】
由已知利用诱导公式即可化简求值得解．
【解答】
∵ csθ=−35，
∴ sin(θ+π2)=csθ=−35．
13.
【答案】
32
【考点】
两角和与差的余弦公式
【解析】
由两角和的正弦公式和特殊角的三角函数值可得．
【解答】
解：由两角和的正弦公式，得
sin15∘sin45∘+cs15∘cs45∘
=cs(45∘−15∘)
=cs30∘
=32.
故答案为：32.
14.
【答案】
【考点】
任意角的三角函数
两角和与差的三角函数
【解析】
利用点P(x0, y0)是单位圆O上第一象限内的点，∠xOP＝α，从而确定α为第一象限角，利用同角三角函数关系求出sin（）的值，再利用任意角的三角函数的定义得到x0＝csα，结合角的变换，将α转化为已知的角表示，运用两角差的余弦公式求解即可得到答案．
【解答】
因为点P(x0, y0)是单位圆O上第一象限内的点，∠xOP＝α，
所以α是第一象限角，且x4＝csα，y0＝sinα，
因为cs（）＝-，所以，
所以，
故
＝
＝
＝．
三、 解答题 （本题共计 2 小题 ，每题 5 分 ，共计10分 ）
15.
【答案】
（1）因为tanα＝，
＝，
所以＝＝−5．
（2）由tanα＝，得csα＝2sinα，
又sin2α+cs6α＝1，所以sin2α＝，
注意到α为第三象限角，可得sinα＝-．
所以cs(α−）＝csαcs
＝-×-×＝-．
【考点】
同角三角函数间的基本关系
两角和与差的三角函数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
16.
【答案】
1+62
【考点】
三角函数的恒等变换及化简求值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为csC=45，
所以sinC=sin(A+B)=35，
又sin(A−B)=15，
所以sinAcsB+csAsinB=35，
sinAcsB−csAsinB=15，
从而sinAcsB=25，
csAsinB=15，
tanAtanB=sinAcsBcsAsinB=2
tanB=tan(π−A−C)=−tan(A+C)
=−tanA+tanC1−tanA⋅tanC=−2tanB+341−32tanB，
化简得2tan2B−4tanB−1=0，
解得tanB=1+62或tanB=1−62(舍).
故答案为：1+62.