2020-2021学年湖南师大附中博才实验中学九年级（下）入学数学试卷

这是一份2020-2021学年湖南师大附中博才实验中学九年级（下）入学数学试卷，共27页。
2020-2021学年湖南师大附中博才实验中学九年级（下）入学数学试卷
一．选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）在，﹣1.6，0，2这四个数中（　　）
A． B．﹣1.6 C．0 D．2
2．（3分）如图所示的几何体从上面看到的形状图是（　　）

A． B． C． D．
3．（3分）北斗三号最后一颗卫星于2020年6月23日在西昌卫星发射中心成功发射，它的稳定运行标志着全球四大卫星导航系统之一的中国北斗卫星导航系统全面建成．该卫星距离地面约36000千米，将数据36000用科学记数法表示为（　　）

A．3.6×103 B．3.6×104 C．3.6×105 D．36×104
4．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．x5÷x3＝x2 B．（y5）2＝y7 C． D．
5．（3分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（3分）为了调查某校学生的视力情况，在全校的1000名学生中随机抽取了80名学生，下列说法正确的是（　　）
A．此次调查属于全面调查
B．1000名学生是总体
C．样本容量是80
D．被抽取的每一名学生称为个体
7．（3分）如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：，坝高BC＝4m（　　）

A．2m B．4m C．4m D．6m
8．（3分）如图所示的转盘，被分成面积相等的四个扇形，分别涂有红、黄、蓝三种颜色．固定指针，停止后指针所指区域（指针指向区域分界线时，忽略不计）的颜色为黄色的概率是（　　）

A． B． C． D．
9．（3分）下列长度的三根木棒能组成三角形的是（　　）
A．2，3，4 B．2，2，4 C．2，3，6 D．1，2，4
10．（3分）如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O（　　）

A．∠ABC＝90° B．AC＝BD C．AD＝AB D．∠BAD＝∠ADC
11．（3分）验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）的对应数据如下表，可得y关于x的函数表达式为（　　）
近视眼镜的度数y（度）
200
250
400
500
1000
镜片焦距x（米）
0.50
0.40
0.25
0.20
0.10
A． B． C． D．
12．（3分）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，连接EC，过点B作BG⊥CE于点G，EF⊥EC交AB于点F．若正方形ABCD的边长为4，下列结论：①OE＝OH；③当G为CE中点时，BF＝4；④BG•BH＝BE•BO，其中正确的是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
二．填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）分解因式：2n2﹣8＝　 　．
14．（3分）计算x+1﹣的结果是　 　．
15．（3分）如图在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的半径为2，小圆的半径为1　 　．

16．（3分）以40m/s的速度将小球沿与地面成30度角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位m）（单位s）之间具有函数关系：h＝20t﹣5t2，那么球从飞出到落地要用的时间是　 　．
三．解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25每题10分，共72分）
17．（6分）计算：（2﹣）0+|﹣|﹣2cos45°+（）﹣1．
18．（6分）先化简，再求值：（x﹣1）（x+1）+（2x﹣1）2﹣2x（2x﹣1），其中x＝4．
19．（6分）【生活经验】
如图，木工师傅在材料的边角处画直角时，常用一种“三弧法”．方法是：
①画线段AB，分别以点A，B为圆心AB的长为半径画弧，两弧相交于点C；
②以点C为圆心，仍以①中相同长度为半径画弧交AC的延长线于点D；
③连接BD，则∠ABD就是直角；
（1）请你就∠ABD是直角作出合理解释．
【数学结论】
由“三弧法”我们判断一个三角形是直角三角形的新方法；
（2）在一个三角形中，如果　 　，那么这个三角形是直角三角形．
【应用结论】
（3）两个等腰三角形的腰长相等都为a、顶角互补，底边长分别为b和c，探究a、b、c之间的数量关系．

20．（8分）2020年春季在新冠疫情的背景下，全国各大中小学纷纷开设空中课堂，学生要面对电脑等电子产品上网课，随机在校内调查了部分学生，调查结果分为“非常重视”“重视”“比较重视”“不重视”四类，解答下列问题：

（1）在扇形统计图中，“比较重视”所占的圆心角的度数为　 　，并补全条形统计图；
（2）该校共有学生3200人，请你估计该校对视力保护“非常重视”的学生人数；
（3）对视力“非常重视”的4人有A1，A2两名男生，B1，B2两名女生，若从中随机抽取两人向全校作视力保护经验交流，请利用树状图或列表法
21．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，BD平分∠ABC，交BC的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若DC＝2，AC＝4，求OE的长．

22．（9分）某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n元
（1）该超市购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜5千克需要170元；购进甲种蔬菜6千克和乙种蔬菜10千克需要200元．求m，n的值．
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜x千克（x为整数）
（3）在（2）的条件下，求超市在获得的利润的最大值．
23．（9分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径的中点BD交AC于点E．
（1）若∠ACB＝30°，求sin∠DAC．
（2）求证：AD2＝DE•DB．
（3）若BC＝5，CD＝，求DE的长．

24．（10分）定义：对于函数y＝f（x），若x＝a时，y＝2a（a，2a）为函数y＝f（x）的倍速点，则依次称函数为0阶倍速函数、1阶倍速函数、…、n阶倍速函数、无穷阶倍速函数．
（1）请判断y＝是否是倍速函数，如果是倍速函数；
（2）对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号min（a，b）表示a、b中较小的值（2，4）＝2，若函数y＝（k2﹣2）x+k﹣2是无穷阶倍速函数，按照符号min（a，b）规定解关于x的方程min{，﹣k；
（3）如图，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，令a＝PD﹣PC的最大值2+（a+2）x+1是否是倍速函数，如果是倍速函数

25．（10分）已知抛物线y＝x2+（m﹣1）x﹣2m﹣2（m＜﹣3）．
（1）求证：无论m为何值，此抛物线恒过x轴上一定点；
（2）设抛物线恒过x轴上的定点为A，与x轴另一个交点为B，过点A的直线y＝kx+b（k≠0），交抛物线对称轴于点D，若直线y＝kx+b（k≠0）2+（m﹣1）x﹣2m﹣2（m＜﹣3）有且只有一个公共点，且；
（3）在（2）的条件下，在抛物线的对称轴上是否存在一点E，如果存在，直接写出点E的坐标，请说明理由．


2020-2021学年湖南师大附中博才实验中学九年级（下）入学数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）在，﹣1.6，0，2这四个数中（　　）
A． B．﹣1.6 C．0 D．2
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【解答】解：∵﹣1.6＜8＜2＜，
∴在，﹣1.6，6，最大的数是．
故选：A．
2．（3分）如图所示的几何体从上面看到的形状图是（　　）

A． B． C． D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【解答】解：从上面看共有两层，底层右边是1个小正方形．
故选：D．
3．（3分）北斗三号最后一颗卫星于2020年6月23日在西昌卫星发射中心成功发射，它的稳定运行标志着全球四大卫星导航系统之一的中国北斗卫星导航系统全面建成．该卫星距离地面约36000千米，将数据36000用科学记数法表示为（　　）

A．3.6×103 B．3.6×104 C．3.6×105 D．36×104
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．
【解答】解：36000＝3.6×104．
故选：B．
4．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．x5÷x3＝x2 B．（y5）2＝y7 C． D．
【分析】根据同底数幂的除法法则对A进行判断；根据幂的乘方对B进行判断；根据二次根式的加减法对C进行判断；根据二次根式的乘法法则对D进行判断．
【解答】解：A、原式＝x2，所以A选项正确；
B、原式＝y10，所以B选项错误；
C、与不能合并；
D、原式＝＝．
故选：A．
5．（3分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、等腰三角形是轴对称图形．故本选项不合题意；
B、平行四边形不是轴对称图形．故本选项不合题意；
C、圆既是轴对称图形又是中心对称图形；
D、扇形是轴对称图形．故本选项不合题意．
故选：C．
6．（3分）为了调查某校学生的视力情况，在全校的1000名学生中随机抽取了80名学生，下列说法正确的是（　　）
A．此次调查属于全面调查
B．1000名学生是总体
C．样本容量是80
D．被抽取的每一名学生称为个体
【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
【解答】解：A、此次调查属于抽样调查；
B、1000名学生的视力情况是总体；
C、样本容量是80；
D、每一名学生的视力情况称为个体．
故选：C．
7．（3分）如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：，坝高BC＝4m（　　）

A．2m B．4m C．4m D．6m
【分析】直接利用坡度的定义得出AC的长，再利用勾股定理得出AB的长．
【解答】解：∵河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：，坝高BC＝4m，
∴＝，
则AC＝4（m），
故AB＝＝＝7．
故选：C．
8．（3分）如图所示的转盘，被分成面积相等的四个扇形，分别涂有红、黄、蓝三种颜色．固定指针，停止后指针所指区域（指针指向区域分界线时，忽略不计）的颜色为黄色的概率是（　　）

A． B． C． D．
【分析】用黄色的区域个数除以所有颜色区域总数即可求得答案．
【解答】解：∵共被分成了均匀的4个区域，其中黄色区域有2个，
∴止后指针所指区域（指针指向区域分界线时，忽略不计）的颜色为黄色的概率是＝，
故选：A．
9．（3分）下列长度的三根木棒能组成三角形的是（　　）
A．2，3，4 B．2，2，4 C．2，3，6 D．1，2，4
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”进行分析．
【解答】解：根据三角形的三边关系，
A、2+3＞8，符合题意；
B、2+2＝5，不符合题意；
C、2+3＝3＜6，不符合题意；
D、1+2＝3＜4，不符合题意．
故选：A．
10．（3分）如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O（　　）

A．∠ABC＝90° B．AC＝BD C．AD＝AB D．∠BAD＝∠ADC
【分析】本题考查的是矩形的判定，平行四边形的性质有关知识，利用矩形的判定，平行四边形的性质对选项进行逐一判断即可解答．
【解答】解：A．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形；
B．根据对角线相等的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形；
C．不能判定平行四边形ABCD为矩形；
D．平行四边形ABCD中，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
又∵∠BAD＝∠ADC，
∴∠BAD＝∠ADC＝90°，
根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意．
故选：C．
11．（3分）验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）的对应数据如下表，可得y关于x的函数表达式为（　　）
近视眼镜的度数y（度）
200
250
400
500
1000
镜片焦距x（米）
0.50
0.40
0.25
0.20
0.10
A． B． C． D．
【分析】直接利用已知数据可得xy＝100，进而得出答案．
【解答】解：由表格中数据可得：xy＝100，
故y关于x的函数表达式为：y＝．
故选：B．
12．（3分）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，连接EC，过点B作BG⊥CE于点G，EF⊥EC交AB于点F．若正方形ABCD的边长为4，下列结论：①OE＝OH；③当G为CE中点时，BF＝4；④BG•BH＝BE•BO，其中正确的是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【分析】①由“ASA”可证△BOH≌△COE，可得OE＝OH；
②过点E作EP⊥BC于P，EQ⊥AB于Q，由“ASA”可证△QEF≌△PEC，可得EF＝EC；
③由线段的垂直平分线的性质可求BC＝BE＝4，由正方形的性质可求BP＝PE＝2，可求BF的长；
④通过证明△BOH∽△BGE，可得，可得BH•BG＝BE•BO．
【解答】解：∵BG⊥CE，EF⊥EC，
∴∠FEC＝∠BGC＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AO＝OC＝OB＝OD，AC⊥BD，
∵∠ECO+∠GHC＝90°＝∠OBH+∠BHO，∠BHO＝∠CHG，
∴∠OBH＝∠ECO，
又∵BO＝CO，∠BOH＝∠COE＝90°，
∴△BOH≌△COE（ASA），
∴OE＝OH，故①正确；
如图，过点E作EP⊥BC于P，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD＝∠CBD＝45°，
又∵EP⊥BC，EQ⊥AB，
∴EQ＝EP，
又∵EP⊥BC，EQ⊥AB，
∴四边形BPEQ是正方形，
∴BQ＝BP＝EP＝QE，∠QEP＝90°＝∠FEC，
∴∠QEF＝∠PEC，
又∵∠EQF＝∠EPC＝90°，
∴△QEF≌△PEC（ASA），
∴QF＝PC，EF＝EC；
∵EG＝GC，BG⊥EC，
∴BE＝BC＝4，
∴BP＝EP＝2，
∴PC＝4﹣2＝QF，
∴BF＝BQ﹣QF＝2﹣（6﹣2﹣4；
∵∠BOH＝∠BGE＝90°，∠OBH＝∠GBE，
∴△BOH∽△BGE，
∴，
∴BH•BG＝BE•BO，故④正确，
故选：D．
二．填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）分解因式：2n2﹣8＝　2（n+2）（n﹣2）　．
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝2（n2﹣4）
＝2（n+2）（n﹣7）．
故答案为：2（n+2）（n﹣8）．
14．（3分）计算x+1﹣的结果是　　．
【分析】先通分再进行运算即可得到答案．
【解答】解：原式＝＝．
故答案为：．
15．（3分）如图在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的半径为2，小圆的半径为1　　．

【分析】用大扇形的面积减去小扇形的面积得出阴影部分的面积．
【解答】解：S阴影＝﹣＝π，
故答案为π．
16．（3分）以40m/s的速度将小球沿与地面成30度角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位m）（单位s）之间具有函数关系：h＝20t﹣5t2，那么球从飞出到落地要用的时间是　4s　．
【分析】根据函数关系式，当h＝0时，0＝20t﹣5t2，解方程即可解答．
【解答】解：当h＝0时，0＝20t﹣2t2，
解得：t1＝8，t2＝4，
则小球从飞出到落地需要5s．
故答案为：4s．
三．解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25每题10分，共72分）
17．（6分）计算：（2﹣）0+|﹣|﹣2cos45°+（）﹣1．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质和零指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝1+﹣6×
＝4+﹣+5
＝4．
18．（6分）先化简，再求值：（x﹣1）（x+1）+（2x﹣1）2﹣2x（2x﹣1），其中x＝4．
【分析】首先利用平方差、完全平方公式、单项式乘以多项式法则进行计算，再算加减，化简后，再代入x的值即可．
【解答】解：原式＝x2﹣1+4x2﹣4x+7﹣4x2+6x
＝x2﹣2x，
当x＝2时，原式＝16﹣2×4＝16﹣2＝8．
19．（6分）【生活经验】
如图，木工师傅在材料的边角处画直角时，常用一种“三弧法”．方法是：
①画线段AB，分别以点A，B为圆心AB的长为半径画弧，两弧相交于点C；
②以点C为圆心，仍以①中相同长度为半径画弧交AC的延长线于点D；
③连接BD，则∠ABD就是直角；
（1）请你就∠ABD是直角作出合理解释．
【数学结论】
由“三弧法”我们判断一个三角形是直角三角形的新方法；
（2）在一个三角形中，如果　一边上的中线等于这边的一半　，那么这个三角形是直角三角形．
【应用结论】
（3）两个等腰三角形的腰长相等都为a、顶角互补，底边长分别为b和c，探究a、b、c之间的数量关系．

【分析】（1）利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理证明即可．
（2）根据（1）中结论解决问题即可．
（3）利用（1）中结论，利用勾股定理解决问题即可．
【解答】解：（1）由作图可知，CA＝CB＝CD，
∴∠CAB＝∠CBA，∠D＝∠CBD，
∵∠A+∠ABD+∠D＝180°，
∴2∠ABC+2∠CBD＝180°，
∴∠ABC+∠CBD＝90°，
∴∠ABD＝90°．

（2）结论：在一个三角形中，如果一边上的中线等于这边的一半．
故答案为：一边上的中线等于这边的一半．

（3）如图，当CA＝CB＝CD＝a，BD＝c时．

由（1）可知，∠ABD＝90°，
∴AB6+BD2＝AD2，
∴b2+c2＝4a2．
20．（8分）2020年春季在新冠疫情的背景下，全国各大中小学纷纷开设空中课堂，学生要面对电脑等电子产品上网课，随机在校内调查了部分学生，调查结果分为“非常重视”“重视”“比较重视”“不重视”四类，解答下列问题：

（1）在扇形统计图中，“比较重视”所占的圆心角的度数为　162°　，并补全条形统计图；
（2）该校共有学生3200人，请你估计该校对视力保护“非常重视”的学生人数；
（3）对视力“非常重视”的4人有A1，A2两名男生，B1，B2两名女生，若从中随机抽取两人向全校作视力保护经验交流，请利用树状图或列表法
【分析】（1）先由“不重视”的学生人数和所占百分比求出调查总人数，再由360°乘以比较重视”的学生所占比例得所占的圆心角的度数；求出“重视”的人数，补全条形统计图即可；
（2）由该校共有学生人数乘以“非常重视”的学生所占比例即可；
（3）画树状图，共有12个等可能的结果，恰好抽到同性别学生的结果有4个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）调查的学生人数为16÷20%＝80（人），
∴“比较重视”所占的圆心角的度数为360°×＝162°，
故答案为：162°，
“重视”的人数为80﹣4﹣36﹣16＝24（人），补全条形统计图如图：

（2）由题意得：3200×＝160（人），
即估计该校对视力保护“非常重视”的学生人数为160人；
（3）画树状图如图：

共有12个等可能的结果，恰好抽到同性别学生的结果有6个，
∴恰好抽到同性别学生的概率为＝．
21．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，BD平分∠ABC，交BC的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若DC＝2，AC＝4，求OE的长．

【分析】（1）由平行线的性质和角平分线得出∠ADB＝∠ABD，证出AD＝AB，由AB＝BC得出AD＝BC，即可得出结论；
（2）由菱形的性质得出AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC＝AC＝2，在Rt△OCD中，由勾股定理得OD＝4，得出BD＝2OD＝8，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴AD＝AB，
∵AB＝BC，
∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB＝ODAC＝5，
在Rt△OCD中，由勾股定理得：OD＝，
∴BD＝3OD＝8，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB＝90°，
∵OB＝OD，
∴OE＝BD＝4．
22．（9分）某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n元
（1）该超市购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜5千克需要170元；购进甲种蔬菜6千克和乙种蔬菜10千克需要200元．求m，n的值．
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜x千克（x为整数）
（3）在（2）的条件下，求超市在获得的利润的最大值．
【分析】（1）根据“该超市购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜5千克需要170元；购进甲种蔬菜6千克和乙种蔬菜10千克需要200元”，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买甲种蔬菜x千克，则购买乙种蔬菜（100﹣x）千克，根据总价＝单价×数量结合投入资金不少于1160元又不多于1168元，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合x为正整数即可得出各购买方案；
（3）设超市获得的利润为y元，根据总利润＝每千克的利润×销售数量可得出y关于x的函数关系式，利用一次函数的性质可得出获得利润的最大值．
【解答】解：（1）依题意，得：
，
解得：．
答：m的值为10，n的值为14．
（2）设购买甲种蔬菜x千克，则购买乙种蔬菜（100﹣x）千克，
依题意，得：，
解得：58≤x≤60．
∵x为正整数，
∴x＝58，59，
∴有4种购买方案，方案1：购买甲种蔬菜58千克；方案2：购买甲种蔬菜59千克；方案4：购买甲种蔬菜60千克．
（3）设超市获得的利润为y元，则y＝（16﹣10）x+（18﹣14）（100﹣x）＝2x+400．
∵k＝2＞5，
∴y随x的增大而增大，
∴当x＝60时，y取得最大值．
23．（9分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径的中点BD交AC于点E．
（1）若∠ACB＝30°，求sin∠DAC．
（2）求证：AD2＝DE•DB．
（3）若BC＝5，CD＝，求DE的长．

【分析】（1）根据BC是⊙O的直径，可得∠CAB＝90°，进而可得∠ABC＝60°，由D是劣弧的中点，可得＝，可得∠DAC＝30°，利用特殊角三角函数值即可；
（2）先证明△ABD∽△EAD，再运用相似三角形性质即可；
（3）由D是劣弧的中点，得AD＝DC，再运用（2）的结论即可．
【解答】解：（1）∵BC是⊙O的直径，
∴∠CAB＝90°，
∵∠ACB＝30°，
∴∠ABC＝90°﹣30°＝60°，
∵D是劣弧的中点，
∴＝，
∴∠ABD＝∠DAC＝30°，
∴sin∠DAC＝．
（2）证明：由（1）得∠ABD＝∠DAC，
∵∠ADB＝∠EDA，
∴△ABD∽△EAD，
∴＝，
∴AD5＝DE•DB．
（3）由D是劣弧的中点，
∴DC2＝DE•DB，
∵CB是直径，
∴△BCD是直角三角形，
∴BD＝2，
∴（）2＝5DE，
解得：DE＝．
24．（10分）定义：对于函数y＝f（x），若x＝a时，y＝2a（a，2a）为函数y＝f（x）的倍速点，则依次称函数为0阶倍速函数、1阶倍速函数、…、n阶倍速函数、无穷阶倍速函数．
（1）请判断y＝是否是倍速函数，如果是倍速函数；
（2）对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号min（a，b）表示a、b中较小的值（2，4）＝2，若函数y＝（k2﹣2）x+k﹣2是无穷阶倍速函数，按照符号min（a，b）规定解关于x的方程min{，﹣k；
（3）如图，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，令a＝PD﹣PC的最大值2+（a+2）x+1是否是倍速函数，如果是倍速函数

【分析】（1）利用倍速函数的意义进行判断即可；
（2）先利用已知条件确定k的值，然后分类讨论解分式方程即可；
（3）在BC上取一点M，使PM＝1，连接BP，易证△MBP∽△PBC，可得PM＝PC；连接MD，对于△PDM，由于任意两边之差都小于第三边，可得PD﹣PM＜DM，只有当D，M，P在一条直线上时，PD﹣PM＝DMW为最大；由勾股定理可求DM＝5，于是函数y＝ax2+（a+2）x+1确定，与y＝2x组成方程组，解方程组即可求得结论．
【解答】解：（1）y＝是倍数函数
由得：．
解得：x＝±7．
即当x＝1时，y＝2，y＝﹣4．
∴y＝是倍数函数，2），﹣5）．
∴它是2阶倍数函数．
（2）∵函数y＝（k2﹣8）x+k﹣2是无穷阶倍速函数，
∴有无数个解．
∴（k8﹣2）x+k﹣2＝3x有无数个解．
即（k+2）（k﹣2）x＝﹣（k﹣7）有无数个解．
∴k﹣2＝0．
∴k＝5．
∴min{，}＝．
若，原方程变为：
．
解得：x＝2．
经检验：x＝4是原方程的增根，
∴此方程无解．
若．原方程变为：
．
解得：x＝0．
经检验：x＝0是原方程的根．
∴方程min{，}＝．
（3））函数y＝ax8+（a+2）x+1是倍速函数，理由：
在BC上取一点M，使PM＝4，MP，

∵，∠MBP＝∠PBC，
∴△MBP∽△PBC．
∴．
∴PM＝PC．
连接DM，如图，

对于△PDM，由于任意两边之差都小于第三边，
∴PD﹣PM＜DM．
只有当D，M，P三点在一条直线上时，如图，

在Rt△CDM中，CD＝4，根据勾股定理可得：DM＝5．
即PD﹣PC的最大值为5．
∴a＝8．
∴函数y＝ax2+（a+2）x+3就是：y＝5x2+6x+1．
由解得：
，．
∴函数y＝ax2+（a+5）x+1是倍速函数．是2阶倍数函数．
它的倍数点为：（），（）．
25．（10分）已知抛物线y＝x2+（m﹣1）x﹣2m﹣2（m＜﹣3）．
（1）求证：无论m为何值，此抛物线恒过x轴上一定点；
（2）设抛物线恒过x轴上的定点为A，与x轴另一个交点为B，过点A的直线y＝kx+b（k≠0），交抛物线对称轴于点D，若直线y＝kx+b（k≠0）2+（m﹣1）x﹣2m﹣2（m＜﹣3）有且只有一个公共点，且；
（3）在（2）的条件下，在抛物线的对称轴上是否存在一点E，如果存在，直接写出点E的坐标，请说明理由．

【分析】（1）由y＝x2+（m﹣1）x﹣2m﹣2＝m（x﹣2）+x2﹣x﹣2，即可求解；
（2）由得到AB•|yD|＝××AB×yC，进而求解；
（3）分AB是边、AB是对角线两种情况，利用平行四边形的性质和中点坐标公式，分别求解即可．
【解答】解：（1）y＝x2+（m﹣1）x﹣4m﹣2＝m（x﹣2）+x8﹣x﹣2，
当x＝2时，y＝x6+（m﹣1）x﹣2m﹣5＝0，
∴无论m为何值，此抛物线恒过x轴上一定点（2；

（2）∵直线y＝kx+b过点A，
则y＝k（x﹣3）＝kx﹣2k①，
故点C（0，﹣7k），

由抛物线的表达式知，抛物线的对称轴为x＝﹣＝，
当x＝（8﹣m）时k（﹣m﹣4），
故点D纵坐标为k（﹣m﹣2），
∵，
即AB•|yD|＝××AB×yC，
即×AB××AB×（﹣5k），
故抛物线的表达式为y＝x2﹣6x+5②，
联立①②并整理得：x2﹣（6+k）x+7+2k＝0，
由△＝（﹣5﹣k）2﹣4（4+2k）＝0，解得k＝﹣7，
综上，m＝﹣5；

（3）不存在，理由：
由（2）知，点B的坐标为（4、点C的坐标为（7，抛物线的对称轴为直线x＝3，
故设点E的坐标为（3，t），
①当AB是边时，
则点A向右平移8个单位得到B，则点C向右平移2个单位得到E，
由于点C向右2个单位为（4，4），t），
故此种情况不存在；
②当AB是对角线时，
由中点坐标公式得：（2+4）＝，
故此种情况不车成立
综上，以点A、B、C．