2020-2021学年湖南师大附中博才实验中学九上入学数学试卷

这是一份2020-2021学年湖南师大附中博才实验中学九上入学数学试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）函数，自变量的取值范围是
A．B．C．D．
2．（3分）甲、乙、丙、丁四个小组参加体育测试，他们成绩的平均分均为26分，方差分别为：，，，，则这四个小组体育测试成绩最稳定的是
A．甲组B．乙组C．丙组D．丁组
3．（3分）一次函数的图象不经过的象限是
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．（3分）用配方法解方程，方程应变形为
A．B．C．D．
5．（3分）下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是
A．内角和为B．对角线互相平分
C．对角线相等D．对角线互相垂直
6．（3分）如图，、分别是的边、的中点，若，，则
A．B．C．D．
7．（3分）把抛物线经过怎样的移动可得的图象
A．向左平移1个单位B．向右平移1个单位
C．向上平移1个单位D．向下平移1个单位
8．（3分）国家实行“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走上了致富的道路，某地区2017年底有贫困人口50000人，通过社会各界的努力，2019年底贫困人口减少至10000人．设2017年底至2019年底该地区贫因人口的平均下降率为，根据题意列方程得
A．B．
C．D．
9．（3分）长沙地铁3号线、5号线即将试运行，为了解市民每周乘坐地铁出行的次数，某校园小记者随机调查了100名市民，得到如下统计表：
这次抽样的样本数据说法正确的是
A．极差是4B．中位数是4C．众数是5D．平均数是5
10．（3分）已知，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为
A．B．C．D．
11．（3分）在同一坐标系内，函数和的图象大致如图
A．B．
C．D．
12．（3分）如图所示，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴的正半轴交于点，顶点为，则下列结论：①；②；③当是等腰三角形时，的值有2个；其中正确的有
A．0个B．1个C．2个D．3个
二、填空题（每空3分，共18分）
13．直线与轴的交点坐标是 ．
14．李明参加某单位招聘测试，他的笔试、面试、技能操作得分分别为86分、80分、90分，若依次按照的比例确定成绩，则李明的成绩是 ．
15．已知直线与直线平行，且经过点，则的值是 ．
16．如图，在菱形中，、相交于点，，长为4，则菱形的面积是 ．
17．函数与的图象如图所示，则不等式的解集为 ．
18．如图，在中，，，，是边上的一点，作垂直，垂直，垂足分别为、，求的最小值是 ．
三、解答题（共66分）
19．计算：．
20．解方程：．
21．2020年3月，中共中央、国务院颁布了《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》．长沙市教育局发布了“普通中小学校劳动教育状况评价指标”．为了解某校学生一周劳动次数的情况，随机抽取若干学生进行调查，得到如图统计图表：
（1）这次调查活动共抽取 人；
（2） ， ；
（3）请将条形统计图补充完整；
（4）若该校学生总人数为3000人，根据调查结果，请你估计该校一周劳动4次及以上的学生人数．
22．已知关于的方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若，是方程的两个根，是否存在实数使得成立，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由；
23．如图，在矩形中，为对角线的中点，过点作直线分别与矩形的边，交于，两点，连接，．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，，且，求的长．
24．黔东南州某超市购进甲、乙两种商品，已知购进3件甲商品和2件乙商品，需60元；购进2件甲商品和3件乙商品，需65元．
（1）甲、乙两种商品的进货单价分别是多少？
（2）设甲商品的销售单价为（单位：元件），在销售过程中发现：当时，甲商品的日销售量（单位：件）与销售单价之间存在一次函数关系，、之间的部分数值对应关系如表：
请写出当时，与之间的函数关系式．
（3）在（2）的条件下，设甲商品的日销售利润为元，当甲商品的销售单价（元件）定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？
25．如图，在中，，，点是的中点，点（不与点重合）是射线上的一个动点，且．
（1）若四边形是平行四边形，求的长；
（2）当为直角三角形时，求的长；
（3）设，求的最大值和最小值．
26．已知自变量含绝对值的函数．
（1）求该函数的最小值；
（2）当时，该函数的最小值为，最大值为，若，求的值；
（3）若直线与该函数的图象交于、两点，点在该函数的图象上且位于直线的下方，是否存在点使得的面积为整数？若存在，请求出满足条件的点的个数，若不存在请说明理由．
2020-2021学年湖南师大附中博才实验中学九年级（上）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．（3分）函数，自变量的取值范围是
A．B．C．D．
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，，
解得．
故选：．
【点评】本题考查函数自变量的取值范围，解决本题的关键是二次根式的被开方数是非负数．
2．（3分）甲、乙、丙、丁四个小组参加体育测试，他们成绩的平均分均为26分，方差分别为：，，，，则这四个小组体育测试成绩最稳定的是
A．甲组B．乙组C．丙组D．丁组
【分析】根据方差的意义求解可得．
【解答】解：，，，，
，
这四个小组体育测试成绩最稳定的是甲组，
故选：．
【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
3．（3分）一次函数的图象不经过的象限是
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据，的符号确定一次函数的图象经过的象限．
【解答】解：，图象过一三象限，，图象过第二象限，
直线经过一、二、三象限，不经过第四象限．
故选：．
【点评】本题考查一次函数的，的图象性质．需注意的系数为1，难度不大．
4．（3分）用配方法解方程，方程应变形为
A．B．C．D．
【分析】根据配方法即可求出答案．
【解答】解：，
，
，
故选：．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的配方法，本题属于基础题型．
5．（3分）下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是
A．内角和为B．对角线互相平分
C．对角线相等D．对角线互相垂直
【分析】分别根据矩形和菱形的性质可得出其对角线性质的不同，可得到答案．
【解答】解：矩形和菱形的内角和都为，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线垂直且平分，
矩形具有而菱形不具有的性质为对角线相等，
故选：．
【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，熟记两图形的性质是解题的关键．
6．（3分）如图，、分别是的边、的中点，若，，则
A．B．C．D．
【分析】根据三角形中位线定理得出，进而利用平行线的性质解答即可．
【解答】解：、分别是的边、的中点，
，
，
，
故选：．
【点评】此题考查三角形中位线定理，关键是根据三角形中位线定理得出解答．
7．（3分）把抛物线经过怎样的移动可得的图象
A．向左平移1个单位B．向右平移1个单位
C．向上平移1个单位D．向下平移1个单位
【分析】直接根据“左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“左加右减”的原则可知，把抛物线向右平移1个单位即可得到抛物线．
故选：．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
8．（3分）国家实行“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走上了致富的道路，某地区2017年底有贫困人口50000人，通过社会各界的努力，2019年底贫困人口减少至10000人．设2017年底至2019年底该地区贫因人口的平均下降率为，根据题意列方程得
A．B．
C．D．
【分析】等量关系为：2017年贫困人口下降率）年贫困人口，把相关数值代入计算即可．
【解答】解：设2017年底至2019年底该地区贫因人口的平均下降率为，根据题意得：
，
故选：．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，得到2年内变化情况的等量关系是解决本题的关键．
9．（3分）长沙地铁3号线、5号线即将试运行，为了解市民每周乘坐地铁出行的次数，某校园小记者随机调查了100名市民，得到如下统计表：
这次抽样的样本数据说法正确的是
A．极差是4B．中位数是4C．众数是5D．平均数是5
【分析】根据平均数、中位数、众数和极差的概念分别对每一项进行分析即可得出答案．
【解答】解：、极差是：；
、这次调查中的中位数是；
、这次调查中的众数是5；
、平均数是：．
故选：．
【点评】此题考查了平均数、中位数、众数和极差的概念．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会错误地将这组数据最中间的那个数当作中位数．
10．（3分）已知，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为
A．B．C．D．
【分析】把，，代入求出相应的的值即可．
【解答】解：把，，分别代入得，，，，
，
故选：．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入是常用方法．
11．（3分）在同一坐标系内，函数和的图象大致如图
A．B．
C．D．
【分析】分别利用函数解析式分析图象得出答案．
【解答】解：由一次函数解析式为：可知，图象应该与轴交在正半轴上，故、、错误；
符合题意；
故选：．
【点评】此题主要考查了二次函数的图象以及一次函数的图象，得出直线交轴的正半轴是解题关键．
12．（3分）如图所示，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴的正半轴交于点，顶点为，则下列结论：①；②；③当是等腰三角形时，的值有2个；其中正确的有
A．0个B．1个C．2个D．3个
【分析】由图象可得对称轴为直线，可得，可判断①；将点坐标代入解析式可得，可判断②；由等腰三角形的性质和两点距离公式，可求的值，可判断③．
【解答】解：①二次函数的图象与轴交于，两点，
对称轴为直线，
，
，故①正确，符合题意；
②当时，，
，
，
，故②错误，不符合题意；
③二次函数，
点，
当时，，
，
当时，，
，
当是等腰三角形时，的值有2个，故③正确，符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数图象与系数关系，等腰三角形的性质，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
二、填空题（每空3分，共18分）
13．直线与轴的交点坐标是 ， ．
【分析】代入求出与之对应的值，进而可得出直线与轴的交点坐标．
【解答】解：当时，，
解得：，
直线与轴的交点坐标是，．
故答案为：，．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键．
14．李明参加某单位招聘测试，他的笔试、面试、技能操作得分分别为86分、80分、90分，若依次按照的比例确定成绩，则李明的成绩是 86.2分 ．
【分析】根据题意和加权平均数的计算方法，可以计算出李明的成绩．
【解答】解：（分．
故李明的成绩是86.2分．
故答案为：86.2分．
【点评】本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确加权平均数的计算方法．
15．已知直线与直线平行，且经过点，则的值是 10 ．
【分析】先根据两直线平行的问题得到，然后把代入中可计算出的值．
【解答】解：直线与直线平行，
，
直线过点，
，
．
故答案为10．
【点评】本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即值相同．
16．如图，在菱形中，、相交于点，，长为4，则菱形的面积是 ．
【分析】由菱形的性质可得，，，，可证是等边三角形，可得，由勾股定理可求的长，即可求解．
【解答】解：四边形是菱形，
，，，，
，
是等边三角形，
，
，
，
菱形的面积，
故答案为：．
【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，掌握菱形的性质是本题的关键．
17．函数与的图象如图所示，则不等式的解集为 ．
【分析】结合图象写出不等式的解集即可．
【解答】解：函数与的图象交点横坐标为2，
由图象可知，不等式的解集为．
故答案为．
【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．关键是求出点坐标以及利用数形结合的思想．
18．如图，在中，，，，是边上的一点，作垂直，垂直，垂足分别为、，求的最小值是 4.8 ．
【分析】根据已知得出四边形是矩形，得出，要使最小，只要最小即可，根据垂线段最短得出即可．
【解答】解：连接，
，，，
，
四边形是矩形，
，
要使最小，只要最小即可，
当时，最小，
在中，，，，
由勾股定理得：，
由三角形面积公式得：的面积，
，
即，
故答案为：4.8．
【点评】本题利用了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短、三角形面积等知识，解此题的关键是确定出当时，最小，最短．
三、解答题（共66分）
19．计算：．
【分析】根据零指数幂、负整数指数幂和绝对值的意义计算．
【解答】解：原式
．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
20．解方程：．
【分析】先将方程组整理为一般式，再利用因式分解法求解可得．
【解答】解：方程整理为一般式，得：，
则，
或，
解得，．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
21．2020年3月，中共中央、国务院颁布了《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》．长沙市教育局发布了“普通中小学校劳动教育状况评价指标”．为了解某校学生一周劳动次数的情况，随机抽取若干学生进行调查，得到如图统计图表：
（1）这次调查活动共抽取 200 人；
（2） ， ；
（3）请将条形统计图补充完整；
（4）若该校学生总人数为3000人，根据调查结果，请你估计该校一周劳动4次及以上的学生人数．
【分析】（1）从统计图中可知，“1次及以下”的频数为20，占调查人数的，可求出调查人数；
（2）“3次”的占调查人数的，可求出“3次”的频数，确定的值，进而求出“4次以上”的频率，确定值，
（3）求出“2次”的频数，即可补全条形统计图；
（4）“4次以上”占，因此估计3000人的是“4次以上”的人数．
【解答】解：（1）（人，
故答案为：200；
（2）（人，，即，，，
故答案为：86，27；
（3）（人，补全条形统计图如图所示：
（4）（人，
答：估计该校3000名学生中一周劳动4次及以上的大约有810人．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图的意义和制作方法，从两个统计图中获取数量和数量关系是正确解答的前提．
22．已知关于的方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若，是方程的两个根，是否存在实数使得成立，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由；
【分析】（1）根据判别式的意义得到△，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到，，利用得到，则，然后解方程后利用（1）中的范围确定的值．
【解答】解：（1）根据题意得△，
解得．
故的取值范围是；
（2）不存在．理由如下：
根据题意得，，
，
，
即，
解得，
；
不存在的值．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，，反过来也成立．也考查了根的判别式．
23．如图，在矩形中，为对角线的中点，过点作直线分别与矩形的边，交于，两点，连接，．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，，且，求的长．
【分析】（1）在矩形中，为对角线的中点，可得，，可以证明可得，进而证明四边形为平行四边形；
（2）根据，可得四边形为菱形；根据，，，即可在中，根据勾股定理，求的长．
【解答】（1）证明：在矩形中，为对角线的中点，
，，
，，
在和中，
，
，
，
，
四边形为平行四边形；
（2）解：在矩形中，，
由（1）知：，
，
四边形为平行四边形，，
平行四边形为菱形，
，
在中，根据勾股定理，得
，
，
解得．
【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．
24．黔东南州某超市购进甲、乙两种商品，已知购进3件甲商品和2件乙商品，需60元；购进2件甲商品和3件乙商品，需65元．
（1）甲、乙两种商品的进货单价分别是多少？
（2）设甲商品的销售单价为（单位：元件），在销售过程中发现：当时，甲商品的日销售量（单位：件）与销售单价之间存在一次函数关系，、之间的部分数值对应关系如表：
请写出当时，与之间的函数关系式．
（3）在（2）的条件下，设甲商品的日销售利润为元，当甲商品的销售单价（元件）定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）设甲、乙两种商品的进货单价分别是、元件，由题意得关于、的二元一次方程组，求解即可．
（2）设与之间的函数关系式为，用待定系数法求解即可．
（3）根据利润等于每件的利润乘以销售量列出函数关系式，然后写成顶点式，按照二次函数的性质可得答案．
【解答】解：（1）设甲、乙两种商品的进货单价分别是、元件，由题意得：
，
解得：．
甲、乙两种商品的进货单价分别是10、15元件．
（2）设与之间的函数关系式为，将，代入得：
，解得：．
与之间的函数关系式为．
（3）由题意得：
．
当时，取得最大值50．
当甲商品的销售单价定为15元件时，日销售利润最大，最大利润是50元．
【点评】本题考查了二元一次方程组和二次函数在实际问题中的应用及待定系数法求一次函数的解析式等知识点，理清题中的数量关系并明确相关函数的性质是解题的关键．
25．如图，在中，，，点是的中点，点（不与点重合）是射线上的一个动点，且．
（1）若四边形是平行四边形，求的长；
（2）当为直角三角形时，求的长；
（3）设，求的最大值和最小值．
【分析】（1）先计算的长，根据平行四边形的性质：对角线互相平分可得结论．
（2）分三种情况：①若，如图1，②若，如图2，③若时，如图3，分别根据图形计算即可．
（3）如图4中，过点作于．易知，，设，则有，求出的取值范围即可解决问题．
【解答】解：（1），，．
，
，
，
点是的中点，
，
四边形是平行四边形，
；
（2）分三种情况：
①若，如图1，
且，，
，
，
②若，如图2，
是的中点，，
，
中，，
，
，
；
③若时，如图3，
是的中点，，
，
又，
是等边三角形，
，
综上所述，满足条件的的长为或或2．
（3）如图4中，过点作于．
在中，，，
，，
，
，
设，则有，
①当时，，此时．
②当时，原方程有解，
△，
，
，
解得且，
综上所述，，
的最小值为，的最大值为3，
．
【点评】此题考查四边形综合题、等边三角形的判定和性质、30度的直角三角形的性质、平行线分线段成比例定理、一元二次方程、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造等腰三角形解决问题，属于中考压轴题．
26．已知自变量含绝对值的函数．
（1）求该函数的最小值；
（2）当时，该函数的最小值为，最大值为，若，求的值；
（3）若直线与该函数的图象交于、两点，点在该函数的图象上且位于直线的下方，是否存在点使得的面积为整数？若存在，请求出满足条件的点的个数，若不存在请说明理由．
【分析】（1）分和两种情况求出函数的最小值，再进行比较即可；
（2）将代入得，再分和两种情况得到关于的一元二次方程求解即可；
（3）联立方程组，求解方程组得到、的横坐标，再根据三角形面积公式求解即可．
【解答】解：（1）当时，，
对称轴为，
当时，，
当时，，
对称轴，
当时，，
该函数的最小值为1；
（2）将代入得，
当时，，，
，
，
解得，，（舍去），
当时，，，
，
，
解得，，，
的值为：或；
（3）存在，
联立方程组：，
时，，
整理得，，
解得，，（舍去），
时，，
整理得，，
解得，，（舍去），
、横坐标分别为，；
，
要使为整数，则为14的倍数，
有2个．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
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日期：2021/8/10 15:52:12；用户：15073336306；邮箱：15073336306；学号：20793157次数
7次及以上
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2
1次及以下
人数
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12
31
24
15
6
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销售单价（元件）
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日销售量（件
18
2
次数
7次及以上
6
5
4
3
2
1次及以下
人数
8
12
31
24
15
6
4
销售单价（元件）
11
19
日销售量（件
18
2