十年高考数学真题分项汇编（2014-2023）（理科）专题07不等式（理科）（Word版附解析）

这是一份十年高考数学真题分项汇编（2014-2023）（理科）专题07不等式（理科）（Word版附解析），共40页。试卷主要包含了选择题，填空题，多选题等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-1" \h \u 题型一：不等式的性质及其应用 PAGEREF _Tc7254 \h 1
题型二：解不等式4
题型三：基本不等式5
题型四：简单的线性规划问题7
题型五：不等式的综合问题34
题型一：不等式的性质及其应用
一、选择题
1．(2019·天津·理·第6题) 已知，，，则的大小关系为( )
A．B．C．D．
【答案】A
解析：，，即，
，所以．
2．(2019·全国Ⅰ·理·第3题) 已知，，，则( )
【答案】答案：B
解析：，，，故．
3．(2014高考数学四川理科·第4题) 若，则一定有( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：由，又，由不等式性质知：，所以
4．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）·第12题) 设，，则( )
A．B．
C．D．
【答案】B
解析：一方面，，所以
，，所以
所以即，而，所以，所以
综上可知，故选B．
5．(2014高考数学湖南理科·第8题) 某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为，第二年的增长率为，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：设两年的平均增长率为,则有,故选D．
6．(2017年高考数学山东理科·第7题) 若,且,则下列不等式成立的是( )
A．B．
C．D．
【答案】 B
【解析】
,所以选B．
二、填空题
1．(2017年高考数学北京理科·第13题)能够说明“设是任意实数．若,则”是假命题的一组整数的值依次为_________________________．
【答案】(答案不唯一)
【解析】出现矛盾,所以验证是假命题．

三、多选题
1．(2020年新高考全国Ⅰ卷(山东)·第11题)已知a>0，b>0，且a+b=1，则( )
A．B．
C．D．
【答案】ABD
解析：对于A，，
当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于B，，所以，故B正确；
对于C，，
当且仅当时，等号成立，故C不正确；
对于D，因为，
所以，当且仅当时，等号成立，故D正确； 故选：ABD
2．(2020年新高考全国卷Ⅱ数学(海南)·第12题)已知a>0，b>0，且a+b=1，则( )
A．B．
C．D．
【答案】ABD
解析：对于A，，
当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于B，，所以，故B正确；
对于C，，
当且仅当时，等号成立，故C不正确；
对于D，因为，
所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；故选：ABD
题型二：解不等式
一、选择题
1．(2015高考数学北京理科·第7题) 如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是( )
( )
A．B．
C．D．
【答案】C
解析：如图所示，把函数的图象向左平移一个单位得到的图象时两图象相交，不等式的解为，用集合表示解集，故选C．
二、填空题
1．(2015高考数学江苏文理·第7题)不等式的解集为_______．
【答案】
解析：由题意得：，解集为
2．(2017年高考数学上海(文理科)·第7题)不等式的解集为________．
【答案】
【解析】,解集为．
题型三：基本不等式
一、填空题
1．(2021高考天津·第13题)若，则的最小值为____________．
【答案】
解析：， ，
当且仅当且，即时等号成立， 所以的最小值为．
故答案：．
2．(2020天津高考·第14题)已知，且，则的最小值为_________．
【答案】4
【解析】，,
，当且仅当=4时取等号，
结合,解得，或时，等号成立．
故答案为：
3．(2020江苏高考·第12题)已知，则的最小值是_______．
【答案】
【解析】,且
，当且仅当，即时取等号．
的最小值为．故答案为：．
4．(2019·天津·理·第13题)设，则的最小值为 ．
【答案】
解析：，
，当且仅当即或时等号成立，因为，所以，故的最小值为．
5．(2019·上海·第7题)若，且，则的最大值为________.
【答案】
【解析】法一：，∴；
法二：由，()，求二次最值.
6．(2019·江苏·第10题)在平面直角坐标系中，是曲线上一动点，则点到直线的距离最小值是______.
【答案】4
【解析】法1：由已知，可设，所以.
当且仅当，即时取等号，故点到直线的距离的最小值为4.
法2：距离最小时，，则，所以,所以最小值为4.
7．(2018年高考数学江苏卷·第13题)在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为 ．
【答案】9
解析：由题意可知，，由角平分线性质和三角形面积公式得，，化简得，，因此
，当且仅当时取等号，所以的最小值为9．
8．(2018年高考数学天津(理)·第13题)已知，且，则的最小值为 ．
【答案】
解析：由，得，所以，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为．
9．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买吨，运费为4万元／次，一年的总存储费用为万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 吨．
【答案】20
解：某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买吨，则需要购买次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为万元，一年的总运费与总存储费用之和为万元，≥160，当即20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小。
10．(2014高考数学上海理科·第5题)若实数满足则的最小值为_________________．
【答案】
解析:
题型四：简单的线性规划问题
一、选择题
1．(2021年高考浙江卷·第5题) 若实数x，y满足约束条件，则的最小值是( )
A．B．C．D．
【答案】B
解析:画出满足约束条件的可行域，如下图所示：
目标函数化为，由，解得，设，当直线过点时，取得最小值为,故选B．
2．(2020年浙江省高考数学试卷·第3题) 若实数x，y满足约束条件，则z=2x+y的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】B
解析：绘制不等式组表示的平面区域如图所示，
目标函数即：，
其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，
z取得最小值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最小，
据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最小值，
联立直线方程：，可得点A的坐标为：，
据此可知目标函数的最小值为：
且目标函数没有最大值．故目标函数的取值范围是．故选：B
3．(2022年浙江省高考数学试题·第3题) 若实数x，y满足约束条件则的最大值是( )
A．20B．18C．13D．6
【答案】B
解析:不等式组对应的可行域如图所示：
当动直线过时有最大值．
由可得，故，
故，故选,B．
4．(2019·浙江·第3题) 若实数，满足约束条件则的最大值是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据约束条件画出可行域，如图所示，其中．由得，当直线过时，在轴上的截距最大，所以有最大值为．故选C．
5．(2019·天津·理·第2题) 设变量满足约束条件则目标函数的最大值为( )
A．2B．3C．5D．6
【答案】答案：C
解析：作可行域为如图所示的四边形，其中，
则，所以．
6．(2019·北京·理·第5题) 若x，y满足，且，则的最大值为( )
A．－7B．1C．5D．7
【答案】C
【解析】由题意可得作出可行域如图阴影部分所示．
设，则，故当直线经过点时，取得最大值5，故选C．
7．(2018年高考数学天津（理）·第2题) 设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为( )
A．6B．19C．21D．45
【答案】C
解析：作可行域为如图所示的四边形，其中，由，可得，表示斜率为，纵截距为的直线，作直线并平移，当直线经过点时，直线在轴上的截距最大，此时取得最大值，．
8．设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为( )
Ａ．2Ｂ．3Ｃ．4Ｄ．9
【答案】B
解：设变量、满足约束条件在坐标系中画出可行域△ABC，A(2，0)，B(1，1)，C(3，3)，则目标函数的最小值为3，选B．
9．(2014高考数学天津理科·第2题) 设变量满足约束条件则目标函数的最小值为( )
A．B．C．D．
【答案】B
解析:画出可行域,不难发现在点处目标函数有最小值．故选B．

10．(2014高考数学山东理科·第9题) 已知满足约束条件当目标函数在该约束条件下取到最小值时，的最小值为( )
A．B．C．D．
【答案】
解析：画出可行域如图所示，由可知当经过与的交点时，，所以．
11．(2014高考数学课标2理科·第9题) 设x,y满足约束条件，则的最大值为( )
A．10B．8C．3D．2
【答案】B
解析：画出不等式表示的平面区域，可以平移直线，可得最大值为8．
12．(2014高考数学课标1理科·第9题) 不等式组的解集记为．有下面四个命题:
；
；．
其中真命题是( )
A．B．C．D．
【答案】 C
解析:作出可行域如图:设，即
当直线过时，，∴，∴命题、真命题，选C．

13．(2014高考数学广东理科·第3题) 若变量满足约束条件，且的最大值和最小值分别为和，则( )
A．8B．7C．6D．5
【答案】C．
解析：求出三条直线的交点为，故
14．(2014高考数学北京理科·第6题) 若，满足，且的最小值为−4,则的值为( )
A．2B．−2C．D．
【答案】D
解析：可行域如图所示，当时，知无最小值，当时，目标函数线过可行域内A点时有最小值．联立解得A，
故 ，即．
15．(2014高考数学安徽理科·第5题) 满足约束条件若取得最大值的最优解不唯一，则实数的值为( )
A．或B．或C．或D．或
【答案】D
解析：线性约束条件下，线性目标函数的最优解一般出现在可行域的边界处，尤其在顶点处．
作出可行域，如图所示，
由题知：目标函数的最优解不唯一，
所以动直线在平移过程中会与直线或直线重合，
从而可求或，故选D．
16．(2015高考数学天津理科·第2题) 设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为( )
A．3B．4C．18D．40
【答案】C
解析：不等式所表示的平面区域如下图所示，当所表示直线经过点时，有最大值

17．(2015高考数学山东理科·第6题)已知满足约束条件，若的最大值为4，则( )
A．B．C．D．
【答案】B
解析：不等式组 在直角坐标系中所表示的平面区域如下图中的阴影部分所示，
若的最大值为4，则最优解可能为 或 ，经检验，是最优解，此时 ；不是最优解．故选B．
18．(2015高考数学湖南理科·第4题)若变量，满足约束条件，则的最小值为( )
A．-7B．-1C．1D．2
【答案】A．
分析：如下图所示，画出线性约束条件所表示的区域，即可行域，作直线：，平移，从
而可知当，时，的最小值是，故选A．
19．(2015高考数学广东理科·第6题)若变量x，y满足约束条件则的最小值为( )
A．4B．C．6D．
【答案】B
解析：不等式所表示的可行域如下图所示，
x
y
O
A
l
由得，依题当目标函数直线经过时，取得最小值即，故选B
20．(2015高考数学福建理科·第5题)若变量满足约束条件则的最小值等于( )
A．B．C．D．2
【答案】A
解析：画出可行域，如图所示，目标函数变形为，当最小时，直线的纵截距最大，故将直线经过可行域，尽可能向上移到过点时，取到最小值，最小值为，故选A．
21．(2015高考数学北京理科·第2题)若，满足则的最大值为( )
A．0B．1C．D．2
【答案】D
解析：如图，先画出可行域，由于，则，令，作直线，在可行域中作平行线，得最优解，此时直线的截距最大，取得最小值2，故选D．
22．(2017年高考数学浙江文理科·第4题)若满足约束条件则的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】 D
【解析】由图可知,在点取到的最小值为,没有最大值,故．故选D．

23．(2017年高考数学天津理科·第2题)设变量满足约束条件,则目标函数的最大值为( )
A．B．C．D．
【答案】 D
【解析】变量满足约束条件的可行域如图,目标函数经过可行域的点时,目标函数取得最大值,由可得,目标函数的最大值为,故选D．

24．(2017年高考数学山东理科·第4题)已知满足,则的最大值是( )
A．0B．2C．5D．6
【答案】 C
【解析】由画出可行域及直线如图所示,平移发现,
x
y
O
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4

当其经过直线与的交点时,最大为,选C．
25．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第5题)设，满足约束条件，则的最小值是( )
A．B．C．D．
【答案】 A
【解析】解法一：常规解法
根据约束条件画出可行域(图中阴影部分), 作直线，平移直线，
将直线平移到点处最小，点的坐标为，将点的坐标代到目标函数，
可得，即．
y = -3
2x+3y-3=0
2x-3y+3=0
解法二：直接求法
对于封闭的可行域，我们可以直接求三条直线的交点，代入目标函数中，三个数种选其最小的
为最小值即可，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，所求值分
别为﹑﹑，故，．
解法三：隔板法
首先 看约束条件方程的斜率
约束条件方程的斜率分别为﹑﹑；
其次 排序
按照坐标系位置排序﹑﹑；
再次 看目标函数的斜率和前的系数
看目标函数的斜率和前的系数分别为﹑；
最后 画初始位置，跳格，找到最小值点
目标函数的斜率在之间，即为初始位置，前的系数为正，则按逆时针旋转，第一格为
最大值点，即，第二个格为最小值点，即，只需解斜率为和这两条线的交点
即可，其实就是点，点的坐标为，将点的坐标代到目标函数，
可得，即．
26．(2017年高考数学北京理科·第4题)若满足则的最大值为( )
A．B．C．D．
【答案】 D
【解析】如图,画出可行域,

表示斜率为的一组平行线,当过点时,目标函数取得最大值,故选D．
27．(2016高考数学浙江理科·第3题)在平面上，过点作直线的垂线所得的垂足称为点在直线上的投影．由区域中的点在直线上的投影构成的线段记为，则( )
A．B．C．D．
【答案】C
解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点分别作直线的垂线，垂足分别为，则四边形为矩形，又，所以．故选C．
28．(2016高考数学天津理科·第2题)设变量满足约束条件则目标函数的最小值为( )
A．B．6C．10D．17
【答案】B
解析：可行域如图所示，则当取点时，取得最小值为6
29．(2016高考数学四川理科·第7题)设：实数满足，：实数满足，则是的( )
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件条件D．既不充分又不必要条件
【答案】
【解析】由题意表示以为圆心，为半径的圆的内部，表示图中的三角形的内部
由图知，即且，所以必要不充分．
30．(2016高考数学山东理科·第4题)若变量，满足则的最大值是( )
A．4B．9C．10D．12
【答案】C
【解析】不等式组表示的可行域是以为顶点的三角形区域,表示点到原点距离的平方,最大值必在顶点处取到,经验证最大值为,故选C．
31．(2016高考数学北京理科·第2题)若满足，则的最大值为( )
A．0B．3C．4D．5
【答案】C
解析：可行域如图阴影部分，目标函数平移到虚线处取得最大值，对应的点为，最大值为．
二、填空题
1．(2023年全国甲卷理科·第14题)若x，y满足约束条件，设最大值为____________．
【答案】15
解析：作出可行域，如图，

由图可知，当目标函数过点时，有最大值，
由可得，即,
所以．
故答案：15
2．(2023年全国乙卷理科·第14题)若x，y满足约束条件，则的最大值为______．
【答案】8
解析：作出可行域如下图所示：
，移项得，
联立有，解得，
设，显然平移直线使其经过点，此时截距最小，则最大，
代入得，
故答案为：8．

3．(2020年高考课标Ⅰ卷理科·第0题)若x，y满足约束条件则z=x+7y最大值为______________．
【答案】1
【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，
目标函数即：，
其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，
据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，
联立直线方程：，可得点A的坐标为：，
据此可知目标函数的最大值为：．
故答案为：1．
【点睛】求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大．
4．(2020年高考课标Ⅲ卷理科·第0题)若x，y满足约束条件 ，则z=3x+2y的最大值为_________．
【答案】7
解析：不等式组所表示的可行域如图
因为，所以，易知截距越大，则越大，
平移直线，当经过A点时截距最大，此时z最大，
由，得，，
所以．
故答案为：7．
【点晴】本题主要考查简单线性规划的应用，涉及到求线性目标函数的最大值，考查学生数形结合的思想，是一道容易题．
5．(2019·上海·第5题)已知满足，求的最小值为________.
【答案】
【解析】线性规划作图：后求出边界点代入求最值，当，时，.
【点评】本题主要考查线性规划，属于基础题．
6．(2018年高考数学浙江卷·第12题)若满足约束条件，则的最小值是______，最大值是______．
【答案】，
解法1：由图可得，当直线过时，；当直线过时，．
解法2：由条件知，构成的可行域为封闭区域，最大值最小值只能在三个顶点处取得，
把分别代入，可得，．
7．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第14题)若满足约束条件 则的最大值为_________．
【答案】9
解析：作出可行域，则直线过点时取得最大值9．
8．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第13题)若满足约束条件， 则最大值为 ．
【答案】6
解析：作出不等式组对应的平面区域如图
由得，平移直线，由图象知当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大，最大值为，故答案为6．
9．(2018年高考数学北京(理)·第12题)若满足，则的最小值是__________．
【答案】3；
解析：解法1：由，得，可行域如图所示
令目标函数，转化为，在点处取得最小值，即最小值为3．
解法2：由，得，
设，则，解得，
所以．即的最小值为3．
10．(2014高考数学浙江理科·第13题)当实数，满足时， 恒成立，则实数的取值范围是________．
【答案】
解析：由约束条件作可行域如图，
联立，解得
联立，解得
在中取得．
要使恒成立，
则，解得：，
∴实数a的取值范围是．故答案为：
11．(2014高考数学湖南理科·第14题)若变量满足约束条件,且的最小值为-6,则______．
【答案】
解析:求出约束条件中三条直线的交点为,且的可行域如图,所以,则当为最优解时, ,当为最优解时,, 因为,所以,故填．
12．(2014高考数学福建理科·第11题)若变量满足约束条件，则的最小值为_________．
【答案】1．
解析：作出不等式对应的平面区域如图，
由，得，
平移直线，由图象可知当直线，经过点时，直线的截距最小，此时最小．此时的最小值为，故答案为：1．
13．(2014高考数学大纲理科·第14题)设满足约束条件，则的最大值为 ．
【答案】5
解析：根据约束条件作出平面区域，如下图中阴影部分，，由此可知，要使最大，则要求直线的纵截距最大，由图可知，当直线经过点时，直线的纵截距最大，此时取得最大值．
14．(2015高考数学新课标2理科·第14题)若满足约束条件，则的最大值为____________．
【答案】
解析：画出可行域，如图所示，将目标函数变形为，当取到最大时，直线的纵截距最大，故将直线尽可能地向上平移到，则的最大值为．
考点：线性规划．
15．(2015高考数学新课标1理科·第15题)若满足约束条件则的最大值为 ．
【答案】3
解析：作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A(1,3)与原点连线的斜率最大，故的最大值为3．
考点：线性规划解法
16．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第14题)设满足约束条件,则的最小值为__________．
【答案】
【解析】不等式组表示的可行域为如图所示

易求得
直线得在轴上的截距越大,就越小
所以,当直线过点时,取得最小值
所以取得最小值为．

17．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题)若,满足约束条件,则的最小值为__________．
【答案】
【解析】绘制不等式组表示的可行域,
目标函数即:,其中表示斜率为的直线系与可行域有交点时直线的截距值的倍,截距最大的时候目标函数取得最小值,数形结合可得目标函数在点 处取得最小值．

【考点】应用线性规划求最值
【点评】求线性目标函数z=ax+by(ab≠0)的最值,当b>0时,直线过可行域且在y轴上截距最大时,z值最大,在y轴截距最小时,z值最小;当b