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    2020-2021学年4.5 增长速度的比较学案设计

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    这是一份2020-2021学年4.5 增长速度的比较学案设计,共4页。学案主要包含了学习目标,学习重难点,学习过程等内容,欢迎下载使用。

    【学习目标】
    1.了解平均变化率描述增长速度的概念.
    2.了解在实际生活中不同增长规律的函数模型.
    【学习重难点】
    1.平均变化率.
    2.模型增长差异.
    【学习过程】
    一、问题预习
    预习教材,思考以下问题:
    1.平均变化率是如何定义的?
    2.如何用平均变化率描述增长速度?
    3.线性增长、指数增长、对数增长有什么关系?
    二、新知探究
    1.平均变化率的比较
    (1)在x=1附近,取Δx=0.3,在四个函数①y=x、②y=x2.③y=x3.④y=eq \f(1,x)中,平均变化率最大的是( )
    A.④ B.③ C.② D.①
    (2)汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图像如图所示,在时间段[t0,t1],[t1,t2],[t2,t3]上的平均速率分别为v1,v2,v3,则三者的大小关系为________.
    【解析】(1)Δx=0.3时,①y=x在x=1附近的平均变化率k1=1;②y=x2在x=1附近的平均变化率k2=2+Δx=2.3;③y=x3在x=1附近的平均变化率k3=3+3Δx+(Δx)2=3.99;④y=eq \f(1,x)在x=1附近的平均变化率k4=-eq \f(1,1+Δx)=-eq \f(10,13).所以k3>k2>k1>k4,故应选B.
    (2)v1=eq \f(s(t1)-s(t0),t1-t0)=kOA,
    v2=eq \f(s(t2)-s(t1),t2-t1)=kAB,
    v3=eq \f(s(t3)-s(t2),t3-t2)=kBC,
    又因为kBC>kAB>kOA,
    所以v3>v2>v1.
    【答案】(1)B(2)v3>v2>v1
    2.函数模型增长差异的比较
    甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动,其路程fi(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)=2x-1,f2(x)=x2,f3(x)=x,f4(x)=lg2(x+1),有以下结论:
    ①当x>1时,甲走在最前面;
    ②当x>1时,乙走在最前面;
    ③当0<x<1时,丁走在最前面,当x>1时,丁走在最后面;
    ④丙不可能走在最前面,也不可能走在最后面;
    ⑤如果它们一直运动下去,那么最终走在最前面的是甲.
    其中,正确结论的序号为________.
    【答案】③④⑤
    3.不同增长函数模型的图像特征
    函数f(x)=lg x,g(x)=0.3x-1的图像如图所示.
    (1)指出图中C1,C2分别对应哪一个函数;
    (2)比较两函数的增长差异(以两图像交点为分界点,对f(x),g(x)的大小进行比较).
    【解】(1)由函数图像特征及变化趋势,知曲线C1对应的函数为g(x)=0.3x-1,曲线C2对应的函数为f(x)=lg x.
    (2)当x∈(0,x1)时,g(x)>f(x);当x∈(x1,x2)时,g(x)<f(x);当x∈(x2,+∞)时,g(x)>f(x).
    g(x)呈直线增长,函数值变化是均匀的,f(x)随着x的增大而逐渐增大,其函数值变化得越来越慢.
    三、学习小结
    1.平均变化率
    函数y=f(x)在区间[x1,x2](x1x2时)上的平均变化率为
    eq \f(Δf,Δx)=eq \f(f(x2)-f(x1),x2-x1).也就是说,平均变化率实质上是函数值的改变量与自变量的改变量之比,这也可以理解为:自变量每增加1个单位,函数值平均将增加eq \f(Δf,Δx)个单位.因此,可用平均变化率来比较函数值变化的快慢.
    2.几类不同增长的函数模型
    (1)一次函数模型
    一次函数模型y=kx(k>0)的增长特点是直线上升,其增长速度不变.
    (2)指数函数模型
    指数函数模型y=ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快,即增长速度急剧,形象地称为“爆炸式增长”.
    (3)对数函数模型
    对数函数模型y=lgax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢,即增长速度平缓.
    (4)幂函数模型
    当x>0,n>1时,幂函数y=xn是增函数,且当x>1时,n越大其函数值的增长速度就越快.
    四、精炼反馈
    1.函数y=2x在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为( )
    A.x0+Δx B.1+Δx
    C.2+Δx D.2
    解析:选D.由题意,可得平均变化率eq \f(f(x0+Δx)-f(x0),Δx)=eq \f(2(x0+Δx)-2x0,Δx)=2,故选D.
    2.下列函数中,在(0,+∞)上增长速度最快的是( )
    A.y=x2 B.y=lg2x
    C.y=2x D.y=2x
    答案:D
    3.现测得(x,y)的两组对应值分别为(1,2),(2,5),现有两个待选模型,甲:y=x2+1,乙:y=3x-1,若又测得(x,y)的一组对应值为(3,10.2),则应选用________作为函数模型.
    答案:甲
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