高中数学人教B版 (2019)必修 第二册第四章 指数函数、对数函数与幂函数4.5 增长速度的比较集体备课ppt课件

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4.5　增长速度的比较
课标要求
1.能利用函数的平均变化率，说明函数的增长速度.2.比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”、“直线上升”、“指数爆炸”等术语的现实含义.
素养要求
通过本节课的学习，使学生体会常见函数的增长速度，提升学生的数学抽象、逻辑推理等素养.
问题导学预习教材必备知识探究
内容索引
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
1
1.思考　观察函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)，与y＝kx(k＞0)，若随着自变量的变大，函数值增加的速度急速变化，一般选哪个函数模型合适？若函数值增长的速度很平缓，选哪个函数？ 提示　前者选指数函数y＝ax(a＞1)，后者选对数函数y＝logax(a＞1).
之比
快慢
温馨提醒　不同函数增长模型的变化规律(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律.(2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律.(3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律.
B
3.做一做　已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为(　　) A.0.40 B.0.41 C.0.43 D.0.44
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
2
平均变化率的计算及比较
题型一
例1 分别计算函数y＝3x在区间[1，2]与[2，3]上的平均变化率，并说明函数值变化的规律.
训练1 计算函数y＝log3x在区间[1，2]与[2，3]上的平均变化率，并以此说明函数值变化的规律.
∴函数y＝log3x在区间[1，2]与[2，3]上均是增函数，
函数增长速度的比较
A
题型二
例2 (1)下列函数中，增长速度最快的是(　　) A.y＝2 022x B.y＝x2 022 C.y＝log2 022x D.y＝2 022x
解析　比较一次函数、幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数增长速度最快，故选A.
(2)以下是三个变量y1，y2，y3随变量x变化的函数值表：
其中关于x呈指数函数变化的函数是________.
y1
解析　从表格可以看出，三个变量y1，y2，y3都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y1的增长速度最快，画出它们的图像(图略)，可知变量y1呈指数函数变化，故填y1.
常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是“直线上升”，其增长速度不变.(2)指数函数模型指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”.(3)对数函数模型对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓，可称为“对数增长”.
训练2 函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图像如图所示.
(1)指出曲线C1，C2分别对应哪一个函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图像交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较).解　(1)由题图知，C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x.(2)当x∈(0，x1)时，g(x)>f(x)；当x∈(x1，x2)时，g(x)f(x).
D
题型三
函数的平均变化趋势与图像的确立
例3 如图，直线l和圆C，当l从l0开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速转动(转动角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数.这个函数图像大致是(　　)
解析　直线l在绕过圆心前阴影部分的面积S与时间t的函数的平均变化率增长得越来越快，绕过圆心后阴影部分的面积S与时间t的函数的平均变化率增长得越来越慢.
由图像观察出平均变化率时，图像越陡峭，平均变化率的绝对值越大，变化幅度越大.
训练3 如图所示，阴影部分的面积S是h(0≤h≤H)的函数，则关于该函数的图像正确的是(　　)
C
解析　当h∈[0，H]时，S是减函数，故A、B错.由图形阴影部分面积的变化趋势来看，函数图像变化得越来越慢，故选C.
函数模型的选择问题
题型四
例4 某人对东北一种松树生长进行了研究，收集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据，选择h＝mt＋b与h＝loga(t＋1)来刻画h与t的关系，你认为哪个符合？并预测第8年的松树高度.
解　据表中数据作出散点图如图.
由图可以看出用一次函数模型不吻合，选用对数型函数比较合理.
不妨将(2，1)代入到h＝loga(t＋1)中，得1＝loga3，解得a＝3.故可用函数h＝log3(t＋1)来刻画h与t的关系.当t＝8时，求得h＝log3(8＋1)＝2，故可预测第8年松树的高度为2米.
不同函数模型的选取标准(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律.(2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律.(3)对数函数增长模型适合于描述增长速度逐渐平缓的变化规律.
训练4 某企业为了实现60万元的销售利润目标，准备制定一个奖励方案：在销售利润达到5万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该企业的要求？
解　作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图像(如图所示).观察图像可知，在区间[5，60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图像都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图像始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合企业的要求.
课堂小结
三种函数增长速度的比较：(1)在区间(0，＋∞)上，函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是增函数，但增长速度不同，且不在同一个“档次”上.(2)随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度越来越慢.(3)存在一个x0，当x＞x0时，有ax＞xn＞logax.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
3
1.当x越来越大时，下列函数中增长速度最快的应是(　　) A.y＝5x B.y＝log5x C.y＝x5 D.y＝5x
D
解析　几种函数模型中，指数函数增长速度最快，故选D.
2.某公司为了适应市场需求对产品结构进行了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用(　　) A.一次函数 B.二次函数 C.指数型函数 D.对数型函数
D
解析　根据各类函数的增长特点易知选D.
3.当2log2x B.x2>2x>log2x C.2x>log2x>x2 D.x2>log2x>2x
B
解析　法一　在同一平面直角坐标系中分别画出函数y＝log2x，y＝x2，y＝2x的图像(图略)，在区间(2，4)上从上往下依次是y＝x2，y＝2x，y＝log2x的图像，所以x2>2x>log2x.法二　比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法.可取x＝3，经检验易知选B.
4.若函数f(x)＝x，g(x)＝x2，h(x)＝x3在[0，1]上的平均变化率分别记为m1，m2，m3，则下面结论正确的是(　　) A.m1＝m2＝m3 B.m1>m2>m3 C.m2>m1>m3 D.m11时，乙走在最前面； ③当0