2019_2020学年深圳市罗湖区九上期末数学试卷（一模）

这是一份2019_2020学年深圳市罗湖区九上期末数学试卷（一模），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 一元二次方程 x2−1=0 的根为
A. x=1B. x=−1C. x1=1，x2=−1D. x1=0，x2=1

2. 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=3，BC=4，那么 csB 的值是
A. 45B. 35C. 34D. 43

3. 有一个铁制零件（正方体中间挖去一个圆柱形孔）如图放置，它的左视图是
A. B.
C. D.

4. 下列命题正确的是
A. 有一组邻边相等的四边形是菱形
B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形
C. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形
D. 对角线相等且互相垂直的四边形是正方形

5. 如图，小明从路灯下 A 处向前走了 5 米，发现自己在地面上的影子长 DE 是 2 米，如果小明的身高为 1.6 米，那么路灯离地面的高度 AB 是
A. 4 米B. 5.6 米C. 2.2 米D. 12.5 米

6. 已知二次函数 y=ax2 的图象如图所示，则关于 x 的一元二次方程 x2+x+a−1=0 的根的存在情况是
A. 没有实数根B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根D. 无法确定

7. 某公司今年销售一种产品，1月份获得利润 10 万元，由于产品畅销，利润逐月增加，一季度共获利 36.4 万元，已知2月份和3月份利润的月增长率相同．设2，3月份利润的月增长率为 x，那么 x 满足的方程为
A. 101+x2=36.4
B. 10+101+x2=36.4
C. 10+101+x+101+2x=36.4
D. 10+101+x+101+x2=36.4

8. 已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程 x2−4x+3=0 的根，则该三角形的周长可以是
A. 5B. 7C. 5 或 7D. 10

9. 如图，延长矩形 ABCD 的边 BC 至点 E，使 CE=BD，连接 AE，如果 ∠ADB=30∘，则 ∠E 的度数是
A. 45∘B. 30∘C. 20∘D. 15∘

10. 如图是二次函数 y=ax2+bx+c 图象的一部分，图象过点 A−3,0，对称轴为直线 x=−1．给出四个结论：① b2>4ac；② 2a+b=0；③ a−b+c=0；④ 5aA. ②④B. ①④C. ②③D. ①③

11. 如图，在菱形 ABCD 中，∠BAD=60∘，点 M 是 AB 的中点，P 是对角线 AC 上的一个动点，若 PM+PB 的最小值是 9，则 AB 的长是
A. 63B. 33C. 9D. 4.5

12. 如图，已知直线 y=12x 与双曲线 y=kx（k>0）交于 A，B 两点，点 B 的坐标为 −4,−2，C 为双曲线 y=kx（k>0）上一点，且在第一象限内，若 △AOC 的面积为 6，则点 C 的坐标为
A. 2,4B. 1,8
C. 2,4 或 1,8D. 2,4 或 8,1

二、填空题（共4小题；共20分）
13. 某口袋中有红色、黄色、蓝色玻璃球共 72 个，玻璃球除颜色不同外无任何区别，小明通过多次摸球试验后，发现摸到红球、黄球、蓝球的频率为 35%，25% 和 40%，估计口袋中黄色玻璃球有 个．

14. 若关于 x 的一元二次方程 m−1x2+5x+m2−3m+2=0 的一个根是 0，则 m 的值是 ．

15. 如图，矩形 BCDE 的各边分别平行于 x 轴或 y 轴，物体甲和物体乙分别由点 A2,0 同时出发，沿矩形 BCDE 的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以 1 个单位/秒的速度匀速运动，物体乙按顺时针方向以 2 个单位/秒的速度匀速运动，则两个物体运动后的第 2016 次相遇地点的坐标是 ．

16. 如图 1，在矩形纸片 ABCD 中，AB=83，AD=10，点 E 是 CD 中点，将这张纸片依次折叠两次；第一次折叠纸片使点 A 与点 E 重合，如图 2，折痕 为 MN，连接 ME，NE；第二次折叠纸片使点 N 与点 E 重合，如图 3，点 B 落到 Bʹ 处，折痕为 HG，连接 HE，则 tan∠EHG= ．

三、解答题（共7小题；共91分）
17. 解方程：
（1）x2+3x−2=0；
（2）x−3x+1=x−3．

18. 小明参加某网店的“翻牌抽奖”活动，如图，4 张牌分别对应价值 5，10，15，20（单位：元）的 4 件奖品．
（1）如果随机翻 1 张牌，那么抽中 20 元奖品的概率为 ．
（2）如果随机翻 2 张牌，且第一次翻过的牌不再参加下次翻牌，请用列表或画树状图的方法求出所获奖品总值不低于 30 元的概率为多少?

19. 如图．矩形 ABCD 的对角线相交于点 O．DE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：四边形 OCED 是菱形；
（2）若 ∠ACB=30∘，菱形 OCED 的面积为 83，求 AC 的长．

20. 如图，在两建筑物之间有一旗杆，高 15 米，从 A 点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角 C 点，且俯角 α 为 60∘，又从 A 点测得 D 点的俯角 β 为 30∘，若旗杆底部 G 点为 BC 的中点，求矮建筑物的高 CD．

21. 某景区商店购进 600 个旅游纪念品，进价为每个 6 元，第一周以每个 10 元的价格售出 200 个；第二周若按每个 10 元的价格销售仍可售出 200 个，但商店为了提高销售量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低 1 元，可多售出 50 个，但售价不得低于进价），单价降低 x 元销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个 4 元的价格全部售出．
（1）如果这批旅游纪念品共获利 1050 元，那么第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元?
（2）第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少时，这批旅游纪念品利润最大?最大利润是多少?

22. 如图（1），已知正方形 ABCD 在直线 MN 的上方，BC 在直线 MN 上，E 是 BC 上一点，以 AE 为边在直线 MN 的上方作正方形 AEFG．
（1）连接 GD，求证：△ADG≌△ABE；
（2）连接 FC，观察并猜测 ∠FCN 的度数，并说明理由；
（3）如图（2），将图（1）中正方形 ABCD 改为矩形 ABCD，AB=a，BC=b（a，b 为常数），E 是线段 BC 上一动点（不含端点 B，C），以 AE 为边在直线 MN 的上方作矩形 AEFG，使顶点 G 恰好落在射线 CD 上．判断当点 E 由 B 向 C 运动时，∠FCN 的大小是否总保持不变?若 ∠FCN 的大小不变，请用含 a，b 的代数式示 tan∠FCN 的值；若 ∠FCN 的大小发生改变，请举例说明．

23. 如图，抛物线 y=ax2+bx+c 经过 △ABC 的三个顶点，与 y 轴相交于 0,94，点 A 坐标为 −1,2，点 B 是点 A 关于 y 轴的对称点，点 C 在 x 轴的正半轴上．
（1）求该抛物线的函数关系式．
（2）点 F 为线段 AC 上一动点，过 F 作 FE⊥x 轴，FG⊥y 轴，垂足分别为 E，G，当四边形 OEFG 为正方形时，求出 F 点的坐标．
（3）将（2）中的正方形 OEFG 沿 OC 向右平移，记平移中的正方形 OEFG 为正方形 DEFG，当点 E 和点 C 重合时停止运动，设平移的距离为 t，正方形的边 EF 与 AC 交于点 M，DG 所在的直线与 AC 交于点 N，连接 DM，是否存在这样的 t，使 △DMN 是等腰三角形?若存在，求 t 的值；若不存在请说明理由．
答案
第一部分
1. C
2. A
3. C
4. B
5. B
6. C
7. D
8. B
9. D
10. B
11. A
12. D
第二部分
13. 18
14. 2
15. 2,0
16. 563
第三部分
17. （1）
Δ=32−4×−2=17.
所以
x=−3±172.
解得：
x1=−3+172,x2=−3−172.
（2）
x−3x+1−x−3=0,x−3x+1−1=0,x−3=0或x+1−1=0,
解得：
x1=3,x2=0.
18. （1） 14
（2） 画树状图为：
共有 12 种等可能的结果，其中所获奖品总值不低于 30 元的结果数为 4，
所以所获奖品总值不低于 30 元的概率 =412=13．
19. （1） ∵DE∥OC，CE∥OD，
∴ 四边形 OCED 是平行四边形．
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴AO=OC=BO=OD．
∴ 四边形 OCED 是菱形．
（2） ∵∠ACB=30∘，
∴∠DCO=90∘−30∘=60∘．
又 OD=OC，
∴△OCD 是等边三角形．
如图，过 D 作 DF⊥OC 于 F，
则 CF=12OC，设 CF=x，则 OC=2x，AC=4x．
在 Rt△DFC 中，tan60∘=DFFC，
∴DF=3x．
∴OC⋅DF=2x×3x=83，
∴ x1=2，x2=−2（舍），
∴ AC=4×2=8．
20. 如图，过点 D 作 DF⊥AF 于点 F，
易得四边形 ABCF 为矩形，
∵ 点 G 是 BC 中点，EG∥AB，
∴ EG 是 △ABC 的中位线，
∴ AB=2EG=30 .
∴ CF=AB=30．
在 Rt△ABC 中，∠CAB=30∘，
∴ BC=ABtan∠BAC=30×33=103．
在 Rt△AFD 中，AF=BC=103 ，
∴ FD=AF⋅tanβ=103×33=10 .
∴ CD=CF−FD=30−10=20（米）．
21. （1） 由题意得：
200×10−6+10−x−6200+50x+4−6×600−200−200+50x=1050,
即
800+4−x200+50x−2200−50x=1050,
整理得：
x2−2x−3=0,
解得：
x1=3,x2=−1.
依题意，
0≤x≤6,∴x=3
．
10−x=10−3=7．
答：第二周的销售价格为 7 元．
（2） 设这批旅游纪念品的利润为 y 元，则
y=200×10−6+10−x−6200+50x+4−6×600−200−200+50x=−50x2+100x+12000≤x≤6.
∵y=−50x−12+1250，
∴ 当 x=1（满足 0≤x≤6）时，y 有最大值，最大值是：1250．
这时，10−x=10−1=9（元）．
答：第二周每个旅游纪念品的销售价格为 9 元时，这批旅游纪念品利润最大，最大利润是 1250 元．
22. （1）
∵ 四边形 ABCD 和四边形 AEFG 是正方形，
∴AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90∘，
∴∠BAE+∠EAD=∠DAG+∠EAD，
∴∠BAE=∠DAG，
∴△BAE≌△DAG．
（2） ∠FCN=45∘，
理由是：作 FH⊥MN 于 H，
∵∠AEF=∠ABE=90∘，
∴∠BAE+∠AEB=90∘，∠FEH+∠AEB=90∘，
∴∠FEH=∠BAE，
又 AE=EF，∠EHF=∠EBA=90∘，
∴△EFH≌△ABE，
∴FH=BE，EH=AB=BC，
∴CH=BE=FH，
∵∠FHC=90∘，
∴∠FCN=45∘．
（3） 当点 E 由 B 向 C 运动时，∠FCN 的大小总保持不变，
理由是：作 FH⊥MN 于 H，
由已知可得 ∠EAG=∠BAD=∠AEF=90∘，
结合（1）（2）得 ∠FEH=∠BAE=∠DAG，
又 G 在射线 CD 上，
∠GDA=∠EHF=∠EBA=90∘，
∴△EFH≌△GAD，△EFH∽△ABE，
∴EH=AD=BC=b，
∴CH=BE，
∴ EHAB=FHBE=FHCH；
在 Rt△FEH 中，tan∠FCN=FHCH=EHAB=ba，
∴ 当点 E 由 B 向 C 运动时，∠FCN 的大小总保持不变，tan∠FCN=ba．
23. （1） ∵ 点 B 是点 A 关于 y 轴的对称点，
∴ 抛物线的对称轴为 y 轴，
∴ 抛物线的顶点为 0,94，
故抛物线的解析式可设为 y=ax2+94．
∵ A−1,2 在抛物线 y=ax2+94 上，
∴ a+94=2，
解得 a=−14，
∴ 抛物线的函数关系式为 y=−14x2+94．
（2） ① 当点 F 在第一象限时，如图 1，
令 y=0 得 −14x2+94=0，
解得：x1=3，x2=−3，
∴ 点 C 的坐标为 3,0．
设直线 AC 的解析式为 y=mx+n，
则有 −m+n=2,3m+n=0,
解得 m=−12,n=32.
∴ 直线 AC 的解析式为 y=−12x+32．
设正方形 OEFG 的边长为 p，则 Fp,p．
∵ 点 Fp,p 在直线 y=−12x+32 上，
∴ −12p+32=p，
解得 p=1，
∴ 点 F 的坐标为 1,1．
②当点 F 在第二象限时，
同理可得：点 F 的坐标为 −3,3，
此时点 F 不在线段 AC 上，故舍去．
综上所述：点 F 的坐标为 1,1．
（3） 过点 M 作 MH⊥DN 于 H，如图 2，
则 OD=t，OE=t+1．
∵ 点 E 和点 C 重合时停止运动，
∴ 0≤t≤2．
当 x=t 时，y=−12t+32，则 Nt,−12t+32，
DN=−12t+32．
当 x=t+1 时，y=−12t+1+32=−12t+1，则 Mt+1,−12t+1，
ME=−12t+1．
在 Rt△DEM 中，DM2=12+−12t+12=14t2−t+2．
在 Rt△NHM 中，MH=1，NH=−12t+32−−12t+1=12，
∴ MN2=12+122=54．
①当 DN=DM 时，−12t+322=14t2−t+2，解得 t=12；
②当 ND=NM 时，−12t+32=54=52，解得 t=3−5；
③当 MN=MD 时，54=14t2−t+2，解得 t1=1，t2=3．
∵ 0≤t≤2，
∴ t=1．
综上所述：当 △DMN 是等腰三角形时，t 的值为 12或3−5或1．