2018年哈尔滨市南岗区中考二模数学试卷

这是一份2018年哈尔滨市南岗区中考二模数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 实数 −3 的绝对值是
A. 3B. 3C. −3D. −33

2. 下列运算正确的是
A. a23=a5B. a2⋅a3=a5
C. a−1=−aD. a+ba−b=a2+b2

3. 下列交通标志中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

4. 不等式组 3x<2x+4,3−x≥6 的解集在数轴上表示正确的是
A. B.
C. D.

5. 如图的几何体是由 4 个相同的小正方体组成．其左视图为
A. B.
C. D.

6. 甲、乙二人做某种机械零件，甲每小时比乙多做 6 个，甲做 90 个所用的时间与乙做 60 个所用的时间相等，设甲每小时做 x 个零件，下面所列方程正确的是
A. 90x=60x−6B. 90x=60x+6C. 90x−6=60xD. 90x+6=60x

7. 若 A−5,y1，B−3,y2，C2,y3 在反比例函数 y=6x 的图象上，则 y1，y2，y3 的大小关系是
A. y1
8. 如图，在 ⊙O 中，点 C 是 AB 的中点，∠A=40∘，则 ∠BOC 的大小为
A. 40∘B. 45∘C. 50∘D. 60∘

9. 如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．点 P 处放一水平的平面镜，光线从点 A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙 CD 的顶端 C 处，已知 AB⊥BD，CD⊥BD，且测得 AB=1.2 米，BP=1.8 米，PD=12 米，那么该古城墙的高度是
A. 6 米B. 8 米C. 18 米D. 24 米

10. 如图，边长分别为 1 和 2 的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小三角形移动的距离为 x，两个三角形重叠面积为 y，则 y 关于 x 的函数图象是

A. B.
C. D.

二、填空题（共10小题；共50分）
11. 将 123000000 用科学记数法表示为 ．

12. 函数 y=4xx+2 中，自变量 x 的取值范围是 ．

13. 把多项式 2a3−18ab2 分解因式的结果是 ．

14. 计算 20−515 的结果是 ．

15. 已知 x=−1 是关于 x 的方程 ax−2=0 的根，则 a 的值是 ．

16. 有一枚材质均匀的正方体骰子，它的六个面上分别有 1 点、 2 点、 ⋯6 点的标记，掷一次骰子，向上的一面出现的点数是 3 的倍数的概率是 ．

17. 光明电器超市准备采购每台进价分别为 190 元、 160 元的A，B两种型号的电风扇，若用不多于 5070 元的金额采购这两种型号的电风扇共 30 台，则最多能采购A种型号的电风扇 台．

18. 如图，半径为 3 的 ⊙A 经过原点 O 和 C0,2，B 是 y 轴左侧 ⊙A 上一点，则 cs∠OBC 为 ．

19. 如图，在 △ABC 中，∠C=90∘，AC=6 cm，BC=8 cm．动点 M 从 A 点出发，以 10 cm/s 的速度沿线段 AB 向点 B 运动，动点 N 从 B 点出发，以 5 cm/s 的速度沿线段 BC 向点 C 运动；点 M 与点 N 同时出发，且当 M 点运动到 B 点时，M，N 两点同时停止运动，设点 M 的运动时间为 ts，连接 MN，将 △BMN 沿 MN 折叠，使点 B 落在点 Bʹ 处，得到 △BʹMN，若 BʹN⊥AB，则 t 的值为 ．

20. 如图，在四边形 ABCD 中，AB=29，AD=7，BC=8，tanB=52，∠C=∠D，则线段 CD 的长为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
21. 先化简，再求代数式 2a−1−a+1a2−2a+1÷a+1a−1 的值，其中 a=2cs45∘+1．

22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为 1，线段 AB 的两个端点均在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出以 AB 为一条直角边的等腰直角 △ABC，且点 C 在小正方形的顶点上；
（2）在图中画出以 AB 为一边的菱形 ABDE，且点 D 和点 E 均在小正方形的顶点上，菱形 ABDE 的面积为 15，连接 CE，请直接写出线段 CE 的长．

23. 某校为了解学生的安全意识情况，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查．根据调查结果，把学生的安全意识分成“淡薄”、“一般”、“较强”、“很强”四个层次，并绘制成如图所示的两幅尚不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次调查一共抽取了多少名学生?
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）若该校有 1800 名学生，现要对安全意识为“淡薄”、“一般”的学生强化安全教育，根据调查结果，请你估计全校需要强化安全教育的学生人数．

24. 如图，BD 是 △ABC 的角平分线，DE∥BC 交 AB 于点 E，EF∥AC，EF 分别交 BC，BD 于点 F，G．
（1）求证：BE=CF；
（2）若 AE=BE，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有的直角三角形．

25. 某童装店在服装销售中发现：进货价每件 60 元，销售价每件 100 元的某童装每天可售出 20 件．为了迎接“六一儿童节”，童装店决定采取适当的促销措施，扩大销售量，增加盈利．经调查发现：如果每件童装降价 1 元，那么每天就可多售出 2 件．
（1）如果童装店想每天销售这种童装盈利 1050 元，同时又要使顾客得到更多的实惠，那么每件童装应降价多少元?
（2）每件童装降价多少元时，童装店每天可获得最大利润?最大利润是多少元?

26. 已知 AB，CD 都是 ⊙O 的直径，连接 DB，过点 C 的切线交 DB 的延长线于点 E．
（1）如图 1，求证：∠AOD+2∠E=180∘；
（2）如图 2，过点 A 作 AF⊥EC 交 EC 的延长线于点 F，过点 D 作 DG⊥AB，垂足为点 G，求证：DG=CF；
（3）如图 3，在（2）的条件下，当 DGCE=34 时，在 ⊙O 外取一点 H，连接 CH，DH 分别交 ⊙O 于点 M，N，且 ∠HDE=∠HCE，点 P 在 HD 的延长线上，连接 PO 并延长交 CM 于点 Q，若 PD=11，DN=14，MQ=OB，求线段 HM 的长．

27. 如图（1），在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，直线 y=12x+n 经过 A6,8，且与 x 轴、 y 轴分别交于 C，B 两点．
（1）求 n 的值；
（2）如图（2），点 D 与点 C 关于 y 轴对称，点 E 在线段 AB 上，连接 DE，过点 E 作 EF⊥DE 交 y 轴于点 F，连接 DF，若 EF=OF，求点 E 的坐标；
（3）如图（3），在（2）的条件下，点 G 在线段 OD 上，连接 AG 交 DF 于点 M，点 H 在线段 CG 上，连接 AH 交 DF 于点 N，若 ∠DNH+∠CAG=180∘，且 DM=4FN，求线段 GH 的长．
答案
第一部分
1. B
2. B
3. A【解析】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意．
4. D【解析】解不等式 3x<2x+4，得：x<4，
解不等式 3−x≥6，得：x≤−3，
则不等式组的解集为 x≤−3，
将不等式组的解集表示在数轴上如图所示：
5. D
【解析】从物体左面看，是左边 2 个正方形，右边下面 1 个正方形，其左视图为．
6. A
7. D【解析】∵A−5,y1，B−3,y2，C2,y3 在反比例函数 y=6x 的图象上，k=6>0，
∴ 该函数在每个象限内，y 随 x 的增大而减小，函数图象在第一、三象限，
∵−5<−3，0<2，
∴y28. C【解析】∵OA=OB，∠A=40∘，
∴∠B=∠A=40∘，
∴∠AOB=180∘−∠A−∠B=100∘，
∵ 点 C 是 AB 的中点，OC 过 O，
∴AC=BC，
∴∠BOC=∠AOC=12∠AOB=50∘．
9. B【解析】由题意知：∠ABP=∠CDP=90∘，∠APB=∠CPD，
∴△ABP∽△CDP，
∴ABCD=BPPD，
∴CD=1.2×121.8=8（米）．
10. B
第二部分
11. 1.23×108
12. x≠−2
【解析】根据题意得 x+2≠0，解得 x≠−2．
13. 2aa−3ba+3b
【解析】2a3−18ab2=2aa2−9b2=2aa−3ba+3b.
14. 5
【解析】原式=25−5×55=25−5=5.
15. −2
【解析】把 x=−1 代入方程得：−a−2=0，解得：a=−2．
16. 13
【解析】掷一次骰子，向上的一面出现的点数是 3 的倍数的概率 =26=13．
17. 9
【解析】设采购A种型号电风扇 a 台，则采购B种型号电风扇 30−a 台．
依题意得：190a+16030−a≤5070，
解得：a≤9．
答：超市最多采购A种型号电风扇 9 台时，采购金额不多于 5070 元．
18. 233
【解析】设 ⊙A 和 x 轴的交点为点 D，连接 CD，如图所示，
∵∠DOC=90∘，
∴DC 是圆的直径，
∴DC=6，
在 Rt△OCD 中，CD=6，OC=2，则 OD=CD2−OC2=42，
∴cs∠CDO=ODCD=426=233，
由圆周角定理得，∠OBC=∠CDO，
∴cs∠OBC=233．
19. 12 或 45
【解析】∵∠C=90∘，AC=6，BC=8，
∴AB=10，
由题意得：AM=10t，BN=5t，
由折叠得：BʹN=BN=5t，
①如图 1，延长 BʹN 交 AB 于 G，
∴BʹG⊥AB，
∴sinB=GNBN=ACAB，
∴GN5t=610，
∴GN=3t，
∴BG=4t，BʹG=5t+3t=8t，
在 Rt△BʹMG 中，tanBʹ=tanB=MGBʹG=68，
∴MG=6t，
∵AB=AM+MG+BG=10，
∴10t+6t+4t=10，
∴t=12；
②如图 2，
∵BʹN⊥AB，
∴∠BGN=90∘，
同理得：GN=3t，
∴BʹG=BʹN−NG=5t−3t=2t，
∵BʹM=MB=10−10t，
∴csBʹ=csB=BʹGBʹM=2t10−10t=810，
解得：t=45，经检验，t=45 是原方程的解，并且满足题意．
综上，则 t 的值为 12 或 45．
20. 62613
【解析】如图，作 AH⊥BC 于 H，在 CB 上截取 CE，使得 CE=AD，连接 AE，作 DM⊥AE 于 M，CN⊥AE 于 N．
∵∠ADC=∠ECD，DA=CE，
∴ 四边形 ADCE 是等腰梯形，
在 △ADM 和 △ECN 中，
∠DAM=∠CEN,∠DMA=∠CNE,AD=EC,
∴△ADM≌△ECN，可得 AM=EN，
由题意可知，四边形 MNCD 是矩形，可得 CD=MN，
在 Rt△ABH 中，
∵tanB=52，AB=29，
∴AH=5，BH=2，
∵BC=8，EC=AD=7，
∴BE=8−7=1，
∴EH=BH−BE=1，
在 Rt△AEH 中，AE=AH2+EH2=26，
∵∠CEN=∠AEH，∠CNE=∠AHE，
∴△ECN∽△EAH，
∴ENEH=ECAE，
∴EN=72626，
∴AM=EN=72626，
∴CD=MN=AE−AM−EN=62613．
第三部分
21. 原式=2a−1−a+1a−12⋅a−1a+1=2a−1−1a−1=1a−1,
∵a=2cs45∘+1=2×22+1=2+1,
∴原式=12=22.
22. （1） 如图所示，
△ABC 即为所求．
（2） 如图所示，菱形 ABDE 即为所求，CE=22+42=25．
23. （1） 本次调查的总人数为 20+30+90÷1−30%=140÷70%=200（名）．
（2） 较强的人数为 200×30%=60（名），
补全条形统计图如图所示：
（3） 估计全校需要强化安全教育的学生人数 1800×20+30200=450（名）．
24. （1） ∵BD 平分 ∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC，
∵DE∥BC，
∴∠EDB=∠CBD，
∴∠ABD=∠EDB，
∴BE=DE，
∵DE∥BC，EF∥AC，
∴ 四边形 EFCD 是平行四边形，
∴DE=CF，
∴BE=CF．
（2） 图中的直角三角形为：△ABD，△CBD，△BEG，△BFG，△DEG．
【解析】若 AE=BE，则 AE=DE=BE，
∴∠A=∠ADE，∠EBD=∠EDB，
又 ∵∠A+∠ADE+∠EDB+∠EBD=180∘，
∴∠ADE+∠EDB=90∘，即 BD⊥AC，
又 ∵EF∥AC，
∴BD⊥EF，
∴ 图中的直角三角形为：△ABD，△CBD，△BEG，△BFG，△DEG．
25. （1） 设每件童装降价 m 元，
根据题意，得
100−60−m20+2m=1050,
解得：
m1=5,m2=25,∵
要使顾客得到较多的实惠，
∴ 取 m=25，
答：童装店应该降价 25 元．
（2） 设每件童装降价 x 元，可获利 y 元，
根据题意，得
y=100−60−x20+2x,
化简得：
y=−2x2+60x+800,∴y=−2x−152+1250
，
∴ 当 x=15 时，y 取得最大值，最大值为 1250．
答：每件童装降价 15 元童装店可获得最大利润，最大利润是 1250 元．
26. （1） ∵⊙O 与 CE 相切于点 C，
∴OC⊥CE，
∴∠OCE=90∘，
∴∠D+∠E=90∘，
∴2∠D+2∠E=180∘，
∵∠AOD=∠COB，∠BOC=2∠D，
∴∠AOD=2∠D，
∴∠AOD+2∠E=180∘．
（2） 如图 1 中，作 OR⊥AF 于 R．
∵∠OCF=∠F=∠ORF=90∘，
∴ 四边形 OCFR 是矩形，
∴AF∥CD，CF=OR，
∴∠A=∠AOD，
在 △AOR 和 △ODG 中，
∠A=∠AOD,∠ARO=∠OGD=90∘,OA=DO,
∴△AOR≌△ODG，
∴OR=DG，
∴DG=CF．
（3） 如图 2 中，连接 BC，OM，ON，CN，作 BT⊥CE 于 T，作 NK⊥CH 于 K，
设 CH 交 DE 于 W．
设 DG=3m，则 CF=3m，CE=4m，
∵∠OCF=∠F=∠BTE=90∘，
∴AF∥OC∥BT，
∵OA=OB，
∴CT=CF=3m，
∴ET=m，
∵CD 为直径，
∴∠CBD=∠CND=90∘=∠CBE，
∴∠E=90∘−∠EBT=∠CBT，
∴tanE=tan∠CBT，
∴BTET=CTBT，
∴BTm=3mBT，
∴BT=3m（负根已经舍弃），
∴tanE=3mm=3，
∴∠E=60∘，
∵∠CWD=∠HDE+∠H，∠HDE=∠HCE，
∴∠H=∠E=60∘，
∴∠MON=2∠HCN=60∘，
∵OM=ON，
∴△OMN 是等边三角形，
∴MN=ON，
∵QM=OB=OM，
∴∠MOQ=∠MQO，
∵∠MOQ+∠PON=180∘−∠MON=120∘，∠MQO+∠P=180∘−∠H=120∘，
∴∠PON=∠P，
∴ON=NP=14+11=25，
∴CD=2ON=50，MN=ON=25，
在 Rt△CDN 中，CN=CD2−DN2=502−142=48，
在 Rt△CHN 中，tanH=CNHN=48HN=3，
∴HN=163，
在 Rt△KNH 中，KH=12HN=83，NK=32HN=24，
在 Rt△NMK 中，MK=MN2−NK2=252−242=7，
∴HM=HK+MK=83+7．
27. （1） 把 A6,8 代入直线 y=12x+n 中得，8=12×6+n，
解得：n=5．
（2） 如图 1，过点 E 作 EK⊥CD 于 K，EP⊥y 轴于 P，
由（1）可知：y=12x+5，
当 y=0 时，12x+5=0，解得：x=−10，
∴C−10,0，
∵ 点 D 与点 C 关于 y 轴对称，
∴D10,0，
在 Rt△DEF 和 Rt△DOF 中，
DF=DF,EF=OF,
∴Rt△DEF≌Rt△DOF，
∴OD=DE=10，
∵ 点 E 在直线 y=12x+5 上，
∴ 设 Et,12t+5，
∵∠POK=∠EKO=∠OPE=90∘，
∴ 四边形 POKE 是矩形，
∴EK=OP=12t+5，
在 Rt△DEK 中，EK2+DK2=DE2，
∴12t+52+10−t2=102，解得：t1=2，t2=10，
∵ 点 E 在线段 AB 上，
∴t=2，
∴E2,6．
（3） 如图 2，连接 AD，延长 DF 交 BC 于 Q，过 A 作 x 轴的平行线 l，过 Q 作 QR⊥l 于 R，过 D 作 DT⊥l 于 T，过 Q 作 QW⊥y 轴于 W，
令 OF=EF=m，则 PF=6−m，
在 △PEF 中，PE2+PF2=EF2，
∴22+6−m2=m2，解得：m=103，
∴F0,103，
设直线 DF 的解析式为：y=kx+b，
∴10k+b=0,b=103, 解得：k=−13,b=103,
∴ 直线 DF 的解析式为：y=−13x+103，
由 y=12x+5,y=−13x+103 解得：x=−2,y=4,
∴Q−2,4；
可知 AR=8=DT，QR=4=AT，
在 △ARQ 和 △DTA 中，
AR=DA,∠ARQ=∠DTA=90∘,QR=AT,
∴△ARQ≌△DTASAS，
∴AQ=AD，∠RAQ=∠TDA，
∵∠TDA+∠DAT=90∘，
∴∠RAQ+∠DAT=90∘，
∴∠DAQ=90∘，
∴∠AQD=∠ADQ=45∘，
在 Rt△QFW 中，QF=QW2+FW2=22+232=2103，
在 Rt△ADT 中，AD=AT2+DT2=42+82=45，
∴DQ=QF+DF=2103+1032+102=410，
∵∠DNH+∠CAG=180∘，∠DNH+∠AND=180∘，
∴∠AND=∠CAG，
∵∠MAN+∠QAN=∠AQN+∠QAN，
∴∠MAN=∠AQN=45∘，
将 △AQN 绕点 A 逆时针旋转 90∘ 得到 △ADNʹ，连接 MNʹ，
由旋转的性质可知 △AQN≌△ADNʹ，∠ADNʹ=∠AQN=45∘，∠DANʹ=∠QAN，AN=ANʹ，
∴∠NANʹ=∠NAD+∠DANʹ=∠NAD+∠QAN=90∘，
∴∠MANʹ=∠MAN=45∘，
在 △MAN 和 △MANʹ 中，
AN=ANʹ,∠MAN=∠MANʹ,AM=AM,
∴△MAN≌△MANʹ，
∴MN=MNʹ，
令 FN=n，则 DM=4n，DNʹ=QN=2103+n，MNʹ=MN=410−2103−n−4n=10103−5n，
在 △MDNʹ 中，
∵∠MDNʹ=∠MDA+∠ADNʹ=90∘，
∴DM2+NʹD2=NʹM2，
∴4n2+2103+n2=10103−5n2，解得：n1=410，n2=103，
∵DM ∴n=103，
∴DM=4n=4103，
过点 M 作 MS⊥DT 于 S，则 MS∥x 轴，
∴∠DMS=∠ODF，
∴tan∠DMS=tan∠ODF=OFOD=10310=13，
∴MS=3DS，
∴DW=MS2+DS2=10DS=4103，
∴DS=43，MS=4=AT，
∵AT∥MS，
∴ 四边形 AMST 是平行四边形，
∴AM∥DT，
∴AG⊥x 轴，
∴∠AGH=90∘，AG=8，
∵∠GAH=45∘，
∴∠AHG=∠GAH=45∘，
∴GH=AG=8．