2018年哈尔滨市香坊区中考一模数学试卷

这是一份2018年哈尔滨市香坊区中考一模数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. −2 的倒数是
A. 2B. −2C. 12D. −12

2. 下列计算正确的是
A. 2x−x=1B. x2⋅x3=x6
C. m−n2=m2−n2D. −xy32=x2y6

3. 下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

4. 如图的几何体是由五个小正方体组合而成的，则这个几何体的左视图是
A. B.
C. D.

5. 对于反比例函数 y=2x，下列说法不正确的是
A. 点 −2,−1 在它的图象上
B. 它的图象在第一、三象限
C. 当 x>0 时，y 随 x 的增大而增大
D. 当 x<0 时，y 随 x 的增大而减小

6. 某种商品每件的标价是 270 元，按标价的八折销售时，仍可获利 20%，则这种商品每件的进价为
A. 180 元B. 200 元C. 225 元D. 259.2 元

7. 如图，△ABC 为钝角三角形，将 △ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转 120∘ 得到 △ABʹCʹ，连接 BBʹ，若 ACʹ∥BBʹ，则 ∠CABʹ 的度数为
A. 45∘B. 60∘C. 70∘D. 90∘

8. 如图，热气球的探测器显示，从热气球 A 看一栋楼顶部 B 的仰角为 30∘，看这栋楼底部 C 的俯角为 60∘，热气球 A 与楼的水平距离为 120 米，这栋楼的高度 BC 为
A. 160 米B. 60+1603 米
C. 1603 米D. 360 米

9. 如图，点 D，E，F 分别是 △ABC 的边 AB，AC，BC 上的点，若 DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式一定成立的是
A. ADDB=DEBCB. BFBC=EFADC. AEEC=BFFCD. EFAB=DEBC

10. 如图，平行四边形 ABCD 的周长为 12，∠A=60∘，设边 AB 的长为 x，四边形 ABCD 的面积为 y，则下列图象中，能表示 y 与 x 函数关系的图象大致是
A. B.
C. D.

二、填空题（共10小题；共50分）
11. 将数字 37000000 用科学记数法表示为 ．

12. 函数 y=xx+3 中自变量 x 的取值范围是 ．

13. 化简：12+313= ．

14. 多项式 9x3−x 分解因式的结果是 ．

15. 不等式组 1−x≤3,2x−1<0 的解集为 ．

16. 如图，点 A，B，C 是 ⊙O 上的点，且 ∠ACB=40∘，阴影部分的面积为 2π，则此扇形的半径为 ．

17. 已知边长为 5 的菱形 ABCD 中，对角线 AC 长为 6，点 E 在对角线 BD 上且 tan∠EAC=13，则 BE 的长为 ．

18. 一个布袋中装有 1 个蓝色球和 2 个红色球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后放回摇匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是红球的概率是 ．

19. 如图，BD 是 ⊙O 的直径，BA 是 ⊙O 的弦，过点 A 的切线交 BD 延长线于点 C，OE⊥AB 于 E，且 AB=AC，若 CD=22，则 OE 的长为 ．

20. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，tan∠ACB=2，D 在 △ABC 内部，且 AD=CD，∠ADC=90∘，连接 BD，若 △BCD 的面积为 10，则 AD 的长为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
21. 先化简，再求值：a−ba÷a−2ab−b2a，其中 a=3tan30∘+1，b=2cs45∘．

22. 如图，在每个小正方形的边长均为 1 的方格纸中，有线段 AB 和线段 CD，点 A，B，C，D 均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中画出以 AB 为斜边的等腰直角三角形 ABE，点 E 在小正方形的顶点上；
（2）在方格纸中画出以 CD 为对角线的矩形 CMDN（顶点字母按逆时针顺序），且面积为 10，点 M，N 均在小正方形的顶点上；
（3）连接 ME，并直接写出 EM 的长．

23. 中央电视台的“中国诗词大赛”节目文化品位高，内容丰富．某班模拟开展“中国诗词大赛”比赛，对全班同学成绩进行统计后分为“A优秀”、“B一般”、“C较差”、“D良好”四个等级，并根据成绩绘制成如图两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息，回答下列问题：
（1）本班有多少同学优秀?
（2）通过计算补全条形统计图．
（3）学校预备全面推广这个比赛提升学生的文化素养，估计该校 3000 人有多少人成绩良好?

24. 如图1，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，经过点 O 的直线与边 AB 相交于点 E，与边 CD 相交于点 F．
（1）求证：OE=OF；
（2）如图2，连接 DE，BF，当 DE⊥AB 时，在不添加其他辅助线的情况下，直接写出腰长等于 12BD 的所有的等腰三角形．

25. 某校为美化校园，计划对面积为 1800 m2 的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的 2 倍，并且在独立完成面积为 400 m2 区域的绿化时，甲队比乙队少用 4 天．
（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少．
（2）若学校每天需付给甲队的绿化费用为 0.4 万元，乙队为 0.25 万元，要使这次的绿化总费用不超过 8 万元，至少应安排甲队工作多少天?

26. 已知 △ABC 内接于 ⊙O，AD 平分 ∠BAC．
（1）如图 1，求证：BD=CD；
（2）如图 2，当 BC 为直径时，作 BE⊥AD 于点 E，CF⊥AD 于点 F，求证：DE=AF；
（3）如图 3，在（2）的条件下，延长 BE 交 ⊙O 于点 G，连接 OE，若 EF=2EG，AC=2，求 OE 的长．

27. 如图 1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线 y=ax2+bx+3 交 x 轴于 B，C 两点（点 B 在左，点 C 在右），交 y 轴于点 A，且 OA=OC，B−1,0．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）如图 2，点 D 为抛物线的顶点，连接 CD，点 P 是抛物线上一动点，且在 C，D 两点之间运动，过点 P 作 PE∥y 轴交线段 CD 于点 E，设点 P 的横坐标为 t，线段 PE 长为 d，写出 d 与 t 的关系式（不要求写出自变量 t 的取值范围）；
（3）如图 3，在（2）的条件下，连接 BD，在 BD 上有一动点 Q，且 DQ=CE，连接 EQ，当 ∠BQE+∠DEQ=90∘ 时，求此时点 P 的坐标．
答案
第一部分
1. D【解析】∵−2×−12=1，
∴−2 的倒数是 −12．
2. D【解析】A、 2x−x=x，错误；
B、 x2⋅x3=x5，错误；
C、 m−n2=m2−2mn+n2，错误；
D、 −xy32=x2y6，正确．
3. B【解析】A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B．是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．
4. D【解析】如图从左边看第一层是两个正方形，第二层是左边一个正方形．
5. C
【解析】A、把点 −2,−1 代入反比例函数 y=2x 得 −1=−1，故A选项不符合题意．
B、 ∵k=2>0，∴ 图象在第一、三象限，故B选项不符合题意．
C、当 x>0 时，y 随 x 的增大而减小，故C选项符合题意．
D、当 x<0 时，y 随 x 的增大而减小，故D选项不符合题意．
6. A【解析】设这种商品每件的进价为 x 元，
由题意得，270×0.8−x=20%x，
解得：x=180，即这种商品每件的进价为 180 元．
7. D
8. C【解析】如图，过点 A 作 AD⊥BC 于点 D，
则 ∠BAD=30∘，∠CAD=60∘，AD=120（米），
在 Rt△ABD 中，BD=AD⋅tan30∘=120×33=403（米），
在 Rt△ACD 中，CD=AD⋅tan60∘=120×3=1203（米），
∴BC=BD+CD=1603（米）．
9. C【解析】∵DE∥BC，
∴ADBD=AECE，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ADAB=AEAC=DEBC，
∵EF∥AB，
∴AECE=BFCF，
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴CEAC=CFCB=EFAB，
∵DE∥BC，EF∥AB，
∴ 四边形 BDEF 是平行四边形，
∴DE=BF，EF=BD，
∴ADEF=AECE，AECE=DECF，ADAB=AEAC=BFBC，CEAE=CFCB=BDAB，
∴AEEC=BFFC 正确．
10. C
【解析】如图，过点 B 作 BE⊥AD 于点 E，
∵∠A=60∘，设边 AB 的长为 x，
∴BE=AB⋅sin60∘=32x．
∵ 平行四边形 ABCD 的周长为 12，
∴AD=1212−2x=6−x，
∴y=AD⋅BE=6−x×32x=−32x2+33x0则该函数图象是一开口向下的抛物线的一部分，观察选项，C选项符合题意．
第二部分
11. 3.7×107
【解析】37000000=3.7×107．
12. x≠−3
【解析】根据分式有意义的条件得：x+3≠0，
解得：x≠−3．
13. 33
14. x3x+13x−1
【解析】原式=x9x2−1=x3x+13x−1.
15. −2≤x<12
【解析】1−x≤3, ⋯⋯①2x−1<0, ⋯⋯②
由 ① 得：x≥−2，
由 ② 得：x<12，
所以不等式组的解集为：−2≤x<12．
16. 3
【解析】∵ 在 ⊙O 上，∠ACB=40∘，
∴∠AOB=2∠ACB=80∘，
∴ 此扇形的半径为：360×2π80×π=3．
17. 3 或 5
【解析】当点 E 在对角线交点左侧时，如图 1 所示：
∵ 菱形 ABCD 中，边长为 5，对角线 AC 长为 6，
∴AC⊥BD，BO=AB2−AO2=52−32=4，
∵tan∠EAC=13=OEOA=OE3，解得：OE=1，
∴BE=BO−OE=4−1=3；
当点 E 在对角线交点右侧时，如图 2 所示：
∵ 菱形 ABCD 中，边长为 5，对角线 AC 长为 6，
∴AC⊥BD，BO=AB2−AO2=52−32=4，
∵tan∠EAC=13=OEOA=OE3，解得：OE=1，
∴BE=BO+OE=4+1=5．
18. 49
【解析】蓝色球用数字 1 表示，两个红色球分别用 2 和 3 表示，列表得：
由上表可知，从袋子里随机摸出两个小球可能会出现 9 个等可能的结果，其中两球都是红色的结果有 4 个，
所以两次摸出的球都是红球的概率是 49．
19. 2
【解析】连接 OA，AD，如图所示，
∵BD 是 ⊙O 的直径，BA 是 ⊙O 的弦，过点 A 的切线交 BD 延长线于点 C，OE⊥AB 于 E，
∴∠DAB=90∘，∠OAC=90∘，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在 △ACO 和 △ABD 中，
∠C=∠B,AC=AB,∠CAO=∠BAD,
∴△ACO≌△ABD，
∴AO=AD，
∵AO=OD，
∴AO=OD=AD，
∴△AOD 是等边三角形，
∴∠ADO=∠DAO=60∘，
∴∠B=∠C=30∘，∠OAE=30∘，∠DAC=30∘，
∴AD=DC，
∵CD=22，
∴AD=22，
∴ 点 O 为 AD 的中点，OE∥AD，OE⊥AB，
∴OE=2．
20. 52
【解析】如图所示，过 D 作 DH⊥BC 于 H，过 A 作 AM⊥BC 于 M，过 D 作 DG⊥AM 于 G，
设 CM=a，
∵AB=AC，
∴BC=2CM=2a，
∵tan∠ACB=2，
∴AMCM=2，
∴AM=2a，
由勾股定理得：AC=5a，
S△BDC=12BC⋅DH=10，
12⋅2a⋅DH=10，
DH=10a，
∵∠DHM=∠HMG=∠MGD=90∘，
∴ 四边形 DHMG 为矩形，
∴∠HDG=90∘=∠HDC+∠CDG，DG=HM，DH=MG，
∵∠ADC=90∘=∠ADG+∠CDG，
∴∠ADG=∠CDH，
在 △ADG 和 △CDH 中，
∵∠AGD=∠CHD=90∘,∠ADG=∠CDH,AD=CD,
∴△ADG≌△CDH，
∴DG=DH=MG=10a，AG=CH=a+10a，
∴AM=AG+MG，即 2a=a+10a+10a，
a2=20，
在 Rt△ADC 中，AD2+CD2=AC2，
∵AD=CD，
∴2AD2=5a2=100，
∴AD=52或−52（舍）．
第三部分
21. 原式=a−ba⋅aa−b2=1a−b,
当 a=3tan30∘+1=3×33+1=3+1，b=2cs45∘=2×22=1，
原式=13+1−1=33.
22. （1） 如图所示：
（2） 如图所示．
（3） 如图所示，EM=5．
【解析】由勾股定理可得：EM=12+22=5．
23. （1） 本班有学生：20÷50%=40（名），
本班优秀的学生有：40−40×30%−20−4=4（名），
答：本班有 4 名同学优秀．
（2） 成绩一般的学生有：40×30%=12（名），
成绩优秀的有 4 名同学，
补全的条形统计图，如图 1 所示：
（3） 3000×50%=1500（人），
答：该校 3000 人有 1500 人成绩良好．
24. （1） ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OA=OC，AB∥CD，OB=OD，
∴∠OAE=∠OCF，
在 △OAE 和 △OCF 中，∠OAE=∠OCF,OA=OC,∠AOE=∠COF,
∴△AOE≌△COFASA，
∴OE=OF；
（2） ∵OE=OF，OB=OD，
∴ 四边形 DEBF 是平行四边形，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90∘，
∴ 四边形 DEBF 是矩形，
∴BD=EF，
∴OD=OB=OE=OF=12BD，
∴ 腰长等于 12BD 的所有的等腰三角形为 △DOF，△FOB，△EOB，△DOE．
25. （1） 设乙工程队每天能完成绿化的面积是 x m2，根据题意，得
400x−4002x=4,
解得
x=50.
经检验，x=50 是原方程的解，
则甲工程队每天能完成绿化的面积是 50×2=100 m2．
答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是 100 m2，50 m2．
（2） 设至少应安排甲队工作 y 天，根据题意得，
0.4y+1800−100y50×0.25≤8,
解得
y≥10.
答：至少应安排甲队工作 10 天．
26. （1） 如图 1，连接 OB，OC，OD，
∵∠BAD 和 ∠BOD 是 BD 所对的圆周角和圆心角，∠CAD 和 ∠COD 是 CD 所对的圆周角和圆心角，
∴∠BOD=2∠BAD，∠COD=2∠CAD，
∵AD 平分 ∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠BOD=∠COD，
∴BD=CD．
（2） 如图 2，过点 O 作 OM⊥AD 于点 M，
∴∠OMA=90∘，AM=DM，
∵BE⊥AD 于点 E，CF⊥AD 于点 F，
∴∠CFM=90∘，∠MEB=90∘，
∴∠OMA=∠MEB，∠CFM=∠OMA，
∴OM∥BE，OM∥CF，
∴BE∥OM∥CF，
∴OCOB=FMEM，
∵OB=OC，
∴OCOB=FMEM=1，
∴FM=EM，
∴AM−FM=DM−EM，
∴DE=AF．
（3） 如图 3，延长 EO 交 AB 于点 H，连接 CG，连接 OA．
∵BC 为 ⊙O 直径，
∴∠BAC=90∘，∠G=90∘，
∴∠G=∠CFE=∠FEG=90∘，
∴ 四边形 CFEG 是矩形，
∴EG=CF，
∵AD 平分 ∠BAC，
∴∠BAF=∠CAF=12×90∘=45∘，
∴∠ABE=180∘−∠BAF−∠AEB=45∘，∠ACF=180∘−∠CAF−∠AFC=45∘，
∴∠BAF=∠ABE，∠ACF=∠CAF，
∴AE=BE，AF=CF，
在 Rt△ACF 中，∠AFC=90∘，
∴sin∠CAF=CFAC，即 sin45∘=CF2，
∴CF=2×22=2，
∴EG=2，
∴EF=2EG=22，
∴AE=32，
在 Rt△AEB 中，∠AEB=90∘，
∴AB=AEcs45∘=3222=6，
∵AE=BE，OA=OB，
∴EH 垂直平分 AB，
∴BH=EH=3，
∵∠OHB=∠BAC，∠ABC=∠ABC，
∴△HBO∽△ABC，
∴HOHB=ACAB=26，
∴OH=1，
∴OE=EH−OH=3−1=2．
27. （1） 当 x=0 时，y=3，
∴A0,3 即 OA=3，
∵OA=OC，
∴OC=3，
∴C3,0，
∵ 抛物线 y=ax2+bx+3 经过点 B−1,0，C3,0，
∴a−b+3=0, ⋯⋯①9a+3b+3=0, ⋯⋯②
解得：a=−1,b=2.
∴ 抛物线的解析式为：y=−x2+2x+3．
（2） 如图 1，延长 PE 交 x 轴于点 H，
∵y=−x2+2x+3=−x−12+4，
∴D1,4，
设直线 CD 的解析式为 y=kx+b，
将点 C3,0，D1,4 代入，得：k+b=4, ⋯⋯①3k+b=0, ⋯⋯②
解得：k=−2,b=6.
∴y=−2x+6，
∴Et,−2t+6，Pt,−t2+2t+3，
∴PH=−t2+2t+3，EH=−2t+6，
∴d=PH−EH=−t2+2t+3−−2t+6=−t2+4t−3.
（3） 如图 2，作 DK⊥OC 于点 K，作 QM∥x 轴交 DK 于点 T，延长 PE，EP 交 OC 于 H 、交 QM 于 M，作 ER⊥DK 于点 R，记 QE 与 DK 的交点为 N，
∵D1,4，B−1,0，C3,0，
∴BK=2，KC=2，
∴DK 垂直平分 BC，
∴BD=CD，
∴∠BDK=∠CDK，
∵∠BQE=∠QDE+∠DEQ，∠BQE+∠DEQ=90∘，
∴∠QDE+∠DEQ+∠DEQ=90∘，即 2∠CDK+2∠DEQ=90∘，
∴∠CDK+∠DEQ=45∘，即 ∠RNE=45∘，
∵ER⊥DK，
∴∠NER=45∘，
∴∠MEQ=∠MQE=45∘，
∴QM=ME，
∵DQ=CE，∠DTQ=∠EHC，∠QDT=∠CEH，
在 △DQT 和 △ECH 中，
∠DTQ=∠EHC,∠QDT=∠CEH,DQ=CE.
∴△DQT≌△ECH，
∴DT=EH，QT=CH，
∴ME=4−2−2t+6，QM=MT+QT=MT+CH=t−1+3−t，4−2−2t+6=t−1+3−t，
解得：t=52，
∴P52,74．