2019年北京市通州区中考数学一模试卷

这是一份2019年北京市通州区中考数学一模试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共8小题；共40分）
1. 如图，∠AOB 的平分线是
A. 射线 OBB. 射线 OEC. 射线 ODD. 射线 OC

2. 港珠澳大桥是中国第一例集桥、双人工岛、隧道为一体的跨海通道．其中海底隧道是由 33 个巨型沉管连接而成，沉管排水总量约 76000 吨．将数 76000 用科学记数法表示为
A. 7.6×104B. 76×103C. 0.76×105D. 7.6×105

3. 使二次根式 x−2 有意义的 x 的取值范围为
A. x>2B. x≥2C. x=2D. x≠2

4. 某几何体的平面展开图如图所示，则该几何体是
A. 三棱锥B. 三棱柱C. 四棱锥D. 四棱柱

5. 如果 y=−x+3，且 x≠y，那么代数式 x2x−y+y2y−x 的值为
A. 3B. −3C. 13D. −13

6. 我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺，问木长几何?”大致意思是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余 4.5 尺，将绳子对折再量木条，木条剩余 1 尺，问木条长多少尺?”设绳子长 x 尺，木条长 y 尺，则根据题意所列方程组正确的是
A. x−y=4.5,12x−y=1B. x−y=4.5,y−12x=1C. x+y=4.5,y−12x=1D. x−y=4.5,x−12y=1

7. 2018 年我国科技实力进一步增强，嫦娥探月、北斗组网、航母海试、鲲龙击水、港珠澳大桥正式通车 ⋯⋯，这些成就的取得离不开国家对科技研发的大力投入．如图是 2014 年 −2018 年我国研究与试验发展（R&D）经费支出及其增长速度情况．2018 年我国研究与试验发展（R&D）经费支出为 19657 亿元，比上年增长 11.6%，其中基础研究经费 1118 亿元．根据统计图提供的信息，下列说法中合理的是
A. 2014 年 −2018 年，我国研究与试验发展（R&D）经费支出的增长速度始终在增加
B. 2014 年 −2018 年，我国研究与试验发展（R&D）经费支出增长速度最快的年份是 2017 年
C. 2014 年 −2018 年，我国研究与试验发展（R&D）经费支出增长最多的年份是 2017 年
D. 2018 年，基础研究经费约占该年研究与试验发展（R&D）经费支出的 10%

8. 为了迅速算出学生的学期总评成绩，一位同学创造了一张奇妙的算图．如图，y 轴上动点 M 的纵坐标 ym 表示学生的期中考试成绩，直线 x=10 上动点 N 的纵坐标 yn 表示学生的期末考试成绩，线段 MN 与直线 x=6 的交点为 P，则点 P 的纵坐标 yP 就是这名学生的学期总评成绩．有下面几种说法：
①若某学生的期中考试成绩为 70 分，期末考试成绩为 80 分，则他的学期总评成绩为 75 分；
②甲同学的期中考试成绩比乙同学高 10 分，但期末考试成绩比乙同学低 10 分，那么甲的学期总评成绩比乙同学低；
③期中成绩占学期总评成绩的 60%．
结合这张算图进行判断，其中正确的说法是
A. ①③B. ②③C. ②D. ③

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 实数 a，b 在数轴上对应点的位置如图所示，若实数 c 满足 ac>bc，那么请你写出一个符合题意的实数 c 的值：c= ．

10. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，如果 AC=CD，则 ∠ACD 的度数是 ．

11. 中国人民银行近期下发通知，决定自 2019 年 4 月 30 日停止兑换第四套人民币中菊花 1 角硬币．如图所示，则该硬币边缘镌刻的正多边形的外角的度数为 ．

12. 若多项式 x2+ax+b 可以写成 x+m2 的形式，且 ab≠0，则 a 的值可以是 ，b 的值可以是 ．

13. 小华同学的身高为 170 cm，测得他站立在阳光下的影长为 85 cm，紧接着他把手臂竖直举起，测得影长为 105 cm，那么小华举起的手臂超出头顶的长度为 cm．

14. 如图所示，在一条笔直公路 l 的两侧，分别有 A，B 两个小区，为了方便居民出行，现要在公路 l 上建一个公共自行车存放点，使存放点到 A，B 小区的距离之和最小，你认为存放点应该建在 处（填“C”，“E”或“D”），理由是 ．

15. 在一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的 n 个小球，其中有 5 个黑球，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，之后把它放回袋中，搅匀后再继续摸出一球 ⋯⋯，以下是利用计算机模拟的摸球试验次数与摸出黑球次数的列表：
摸球试验次数100100050001000050000100000摸出黑球次数46487250650082499650007
根据列表，估计出 n 的值最有可能的是 ．

16. 甲、乙两运动员在长为 100 m 的直道 AB（A，B 为直道两端点）上进行匀速往返跑训练，两人同时从 A 点起跑，到达 B 点后，立即转身跑向 A 点，到达 A 点后，又立即转身跑向 B 点 ⋯，若甲跑步的速度为 5 m/s，乙跑步的速度为 4 m/s，则起跑后 100 s 内，两人相遇的次数为 ．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 计算：12−1−6tan30∘−2−10+12．

18. 解不等式组 3x+20 的图象交于点 A1,2．
（1）求 m 的值；
（2）过点 A 作 x 轴的平行线 l，直线 y=2x+b 与直线 l 交于点 B，与函数 y=mxx>0 的图象交于点 C，与 x 轴交于点 D．
①当点 C 是线段 BD 的中点时，求 b 的值；
②当 BC>BD 时，直接写出 b 的取值范围．

23. 如图，△ABC 内接于 ⊙O，AB 为 ⊙O 的直径，过点 A 作 ⊙O 的切线交 BC 的延长线于点 E，在弦 BC 上取一点 F，使 AF=AE，连接 AF 并延长交 ⊙O 于点 D．
（1）求证：∠B=∠CAD；
（2）若 CE=2，∠B=30∘，求 AD 的长．

24. 数学活动课上，老师提出问题：如图 1，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，BC=4 cm，AC=3 cm，点 D 是 AB 的中点，点 E 是 BC 上一个动点，连接 AE，DE．问 CE 的长是多少时，△AED 的周长等于 CE 长的 3 倍．
设 CE=x cm，△AED 的周长为 y cm（当点 E 与点 B 重合时，y 的值为 10）．
小牧根据学习函数的经验，对函数 y 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小牧的探究过程，请补充完整：
（1）通过取点、画图、测量，得到了 x 与 y 的几组值，如下表：
（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）
（2）建立平面直角坐标系，描出上表中对应值为坐标的点，画出该函数的图象，如图 2；
（3）结合画出的函数图象，解决问题：
① 当 CE 的长约为 cm 时，△AED 的周长最小；
② 当 CE 的长约为 cm 时，△AED 的周长等于 CE 的长的 3 倍．

25. 某校团委举办了一次“中国梦，我的梦”演讲比赛，满分 10 分，学生得分均为整数，成绩达到 6 分及以上为合格，达到 9 分及以上为优秀．这次竞赛中甲、乙两组学生成绩分布的条形统计图如下．
（1）补充完成下列的成绩统计分析表：
组别平均分中位数方差合格率优秀率甲%20%乙%10%
（2）小明同学说：“这次竞赛我得了 7 分，在我们小组中排名属中游略偏上！”观察上表可知，小明是 组学生；（填“甲”或“乙”）
（3）如果学校准备推荐其中一个组参加区级比赛，你推荐 参加，请你从两个不同的角度说明推荐理由．

26. 已知二次函数 y=x2−ax+b 在 x=0 和 x=4 时的函数值相等．
（1）求二次函数 y=x2−ax+b 的对称轴；
（2）过 P0,1 作 x 轴的平行线与二次函数 y=x2−ax+b 的图象交于不同的两点 M，N．
① 当 MN=2 时，求 b 的值；
② 当 PM+PN=4 时，请结合函数图象，直接写出 b 的取值范围．

27. 如图，在等边 △ABC 中，点 D 是线段 BC 上一点．作射线 AD，点 B 关于射线 AD 的对称点为 E．连接 CE 并延长，交射线 AD 于点 F．
（1）设 ∠BAF=α，用 α 表示 ∠BCF 的度数；
（2）用等式表示线段 AF，CF，EF 之间的数量关系，并证明．

28. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A0,2，B2,2，点 M 为线段 AB 上一点．
（1）在点 C2,1，D2,0，E1,2 中，可以与点 M 关于直线 y=x 对称的点是 ；
（2）若 x 轴上存在点 N，使得点 N 与点 M 关于直线 y=x+b 对称，求 b 的取值范围；
（3）过点 O 作直线 l，若直线 y=x 上存在点 N，使得点 N 与点 M 关于直线 l 对称（点 M 可以与点 N 重合），请你直接写出点 N 横坐标 n 的取值范围．
答案
第一部分
1. B
2. A
3. B
4. C
5. A
6. B
7. B
8. C
第二部分
9. 答案不唯一，如 −1
10. 60∘
11. 40∘
12. −4，4（答案不唯一）
13. 40
14. E，两点之间线段最短
15. 10
16. 4
第三部分
17. 原式=2−6×33−1+23=2−23−1+23=1.
18.
3x+20，
∴n>0．
（2） ∵n 为取值范围内的最小整数，
∴n=1，
∴x2+2x=0，
∴xx+2=0，
∴x1=0，x2=−2．
21. （1） ∵AD∥BE ， AE∥BD ，
∴ 四边形 EADB 是平行四边形，
∵AB 平分 ∠EAD ，
∴∠EAB=∠DAB ，
∵AE∥BD ，
∴∠EAB=∠DBA ，
∴∠DAB=∠DBA ，
∴AD=AD ．
∴ 四边形 EADB 是菱形．
（2） ∵∠ACB=90∘ ， ∠BAC=60∘ ， BC=23 ，
∴tan60∘=BCAC=3 ，
∴AC=2 ，
∴S△ACB=12AC⋅BC=12×2×23=23 ，
∵AE∥BC ，
∴S△ECB=S△ACB=23 ．
22. （1） 把 A1,2 代入函数 y=mxx>0 中，
∴2=m1．
∴m=2．
（2） ①过点 C 作 x 轴的垂线，交直线 l 于点 E，交 x 轴于点 F．
当点 C 是线段 BD 的中点时，CE=CF=1．
∴ 点 C 的纵坐标为 1．
把 y=1 代入函数 y=2x 中，得 x=2．
∴ 点 C 的坐标为 2,1．
把 C2,1 代入函数 y=2x+b 中，得 b=−3；
② b>3．
23. （1） ∵AE 是 ⊙O 的切线，AB 为 ⊙O 的直径，
∴∠BAE=90∘，∠ACB=90∘，
∴∠BAC+∠CAE=90∘．
∴∠BAC+∠B=90∘．
∴∠B=∠CAE．
∵AF=AE，∠ACB=90∘，
∴∠CAD=∠CAE．
∴∠B=∠CAD．
（2） 连接 CD．
∵∠B=∠CAD，
∴AC=CD．
∴AC=CD．
∵∠ACE=90∘，CE=2，∠CAE=∠CAF=∠B=30∘，
∴tan∠CAE=CEAC．
∴tan30∘=2AC．
∴AC=23．
过点 C 作 CG⊥AD 于点 G．
∴cs∠CAF=AGAC．
∴cs30∘=AG23．
∴AG=3．
∵AC=CD，∠ACB=90∘，
∴AD=2AG=6．
【解析】另解一：连接 BD．先求 AB 的长，再求 AD；
另解二：连接 CD．先求 AE 的长，再证 FC=FD．
24. （1） 补全表格：7.6．
（2） 描点，画图象．
（3） ①1.5；
② 画出直线 y=3x，2.6−2.9（在范围内即可）
25. （1）
组别平均分中位数方差合格率优秀率甲%20%乙%10%
（2） 甲
（3） 甲或乙
甲组：甲组的合格率、优秀率均高于乙组．
（乙组的平均分、中位数均高于甲组，且乙组的成绩比甲组的成绩稳定．）
26. （1） ∵ 二次函数 y=x2−ax+b 在 x=0 和 x=4 时的函数值相等．
∴ 对称轴为直线 x=2．
（2） ① 不妨设点 M 在点 N 的左侧，
∵ 对称轴为直线 x=2，MN=2，
∴ 点 M 的坐标为 1,1，点 N 的坐标为 3,1，
∴x=−−a2=2，1=1−a+b，
∴a=4，b=4．
②1≤b