2018年江苏省苏州市常熟市中考一模数学试卷

这是一份2018年江苏省苏州市常熟市中考一模数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. −9×13 的结果是
A. −3B. 3C. −13D. 13

2. 据统计，2017 年我市实现地区生产总值 2279.55 亿元，用四舍五入法将 2279.55 精确到 0.1 的近似值为
A. 2280.0B. 2279.6C. 2279.5D. 2279

3. 下列运算结果等于 a5 的是
A. a23B. a2+a3C. a10÷a2D. a2⋅a3

4. 如图，已知，AB∥CD，点 E 在 CD 上，AE 平分 ∠BAC，∠C=110∘，则 ∠AED 的度数为
A. 35∘B. 70∘C. 145∘D. 155∘

5. 关于 x 的方程 m−1x2−2x+1=0 有两个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围是
A. m<2B. m≤2C. m<2 且 m≠1D. m>2 且 m≠1

6. 若点 Aa,b 在一次函数 y=2x−1 的图象上，则代数式 4a−2b+3 的值为
A. 1B. 2C. 4D. 5

7. 某班体育委员调查了本班学生一周的体育锻炼时间，统计数据如下表所示：
锻炼时间小时7891011学生人数691087
则该班学生一周的体育锻炼时间的众数和中位数分别是
A. 9，9.5B. 9，9C. 8，9D. 8，9.5

8. 已知关于 x 的方程 ax2−2=0 的一个实数根是 x=2，则二次函数 y=ax+12−2 与 x 轴的交点坐标是
A. −3,0，1,0B. −2,0，2,0
C. −1,0，1,0D. −1,0，3,0

9. 一艘渔船从港口 A 沿北偏东 60∘ 方向航行至 C 处时突然发生故障，在 C 处等待救援．有一救援艇位于港口 A 正东方向 203−1 海里的 B 处，接到求救信号后，立即沿北偏东 45∘ 方向以 30 海里/小时的速度前往 C 处救援．则救援艇到达 C 处所用的时间为
A. 33 小时B. 23 小时C. 223 小时D. 23+23 小时

10. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，∠BAC=120∘，点 D，E 在边 BC 上，且 ∠DAE=60∘．将 △ADE 沿 AE 翻折，点 D 的对应点是 Dʹ，连接 CDʹ，若 BD=4，CE=5，则 DE 的长为
A. 92B. 21C. 13D. 23

二、填空题（共8小题；共40分）
11. −23 的绝对值是 ．

12. 把多顼式 2a2−4a+2 分解因式的结果 ．

13. 函数 y=x+1x−1 的自变量 x 的取值范围为 ．

14. 为了解某市创建全国文明城市的效果满意度，设置了“满意、基本满意、不满意、说不清楚”四种意见．现从某校所有 1200 名学生中随机征求了 100 名学生的意见，其中持“基本满意”的有 14 名学生，持“不满意”和“说不清楚”的共有 6 名学生，估计全校持“满意”意见的学生人数约为 ．

15. 小明用图中所示的扇形纸片作一个圆锥侧面，已知扇形的半径为 5 cm，弧长是 6π cm，那么这个圆锥的高是 ．

16. 某市规定了每月用水不超过 18 立方米和超过 18 立方米两种不同的收费标准，该市用户每月应交水费 y（元）是用水 x（立方米）的函数，其图象如图所示．已知小丽家 3 月份交了水费 102 元，则小丽家这个月用水量为 立方米．

17. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，AC 是 ⊙O 的弦，过点 B 的切线交 AC 的延长线于点 D．若 ∠A=2∠D，BD=43，则图中阴影部分的面积为 ．

18. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，BC=6，AC=8．点 D，E 分别是边 AB，BC 的中点，连接 DE，将 △BDE 绕点 B 按顺时针方向旋转一定角度（这个角度小于 90∘）后，点 D 的对应点 Dʹ 和点 E 的对应点 Eʹ 以及点 A 三个点在一直线上，连接 CEʹ，则 CEʹ= ．

三、解答题（共10小题；共130分）
19. 计算：π−230−32−sin60∘+−4．

20. 解不等式组：3x−12<−2,2x−3x−1≤6.

21. 先化简，再求值：x+1x−2÷x2−x3x−6，其中 x=3．

22. 一客运公司有 60 座和 45 座两种型号的客车可供租用，60 座客车每辆每天的租金比 45 座的贵 200 元．某校七年级师生在这个客运公司租了 5 辆 60 座和 3 辆 45 座的客车去沙家浜参加社会实践活动，一天的租金共计 5000 元．该客运公司 60 座和 45 座的客车每辆每天的租金分别是多少元?

23. 我市在各校推广大阅读活动，初二（1）班为了解 2 月份全班学生课外阅读的情况，调查了全班学生 2 月份读书的册数，并根据调查结果绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图：
根据以上信息解决下列问题：
（1）参加本次问卷调查的学生共有 人，其中 2 月份读书 2 册的学生有 人；
（2）补全条形统计图，并求扇形统计图中读书 3 册所对应扇形的圆心角度数；
（3）在读书 4 册的学生中恰好有 2 名男生和 2 名女生，现要在这 4 名学生中随机选取 2 名学生参加学校的阅读分享沙龙，请用列举法（画树状图或列表）求所选取的这 2 名学生恰好性别相同的概率．

24. 如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 是边 BC 的中点，连接 AE 并延长，交 DC 的延长线于点 F．连接 AC，BF．
（1）求证：△ABE≌△FCE；
（2）当四边形 ABFC 是矩形时，若 ∠AEC=80∘，求 ∠D 的度数．

25. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，BC⊥x 轴，垂足为 D，边 AB 所在直线分别交 x 轴、 y 轴于点 E，F，且 AF=EF，反比例函数 y=12x 的图象经过 A，C 两点，已知点 A2,n．
（1）求 AB 所在直线对应的函数表达式；
（2）求点 C 的坐标．

26. 如图，已知 △ABC 内接于 ⊙O，直径 AD 交 BC 于点 E，连接 OC，过点 C 作 CF⊥AD，垂足为 F．过点 D 作 ⊙O 的切线，交 AB 的延长线于点 G．
（1）若 ∠G=50∘，求 ∠ACB 的度数；
（2）若 AB=AE，求证：∠BAD=∠COF；
（3）在（2）的条件下，连接 OB，设 △AOB 的面积为 S1，△ACF 的面积为 S2，若 S1S2=89，求 tan∠CAF 的值．

27. 如图，四边形 ABCD 是矩形，点 P 是对角线 AC 上一动点（不与 A，C 重合），连接 PB，过点 P 作 PE⊥PB，交射线 DC 于点 E，已知 AD=3，sin∠BAC=35．设 AP 的长为 x．
（1）AB= ；当 x=1 时，PEPB= ；
（2）①试探究：PEPB 是否是定值?若是，请求出这个值；若不是，请说明理由；
②连接 BE，设 △PBE 的面积为 S，求 S 的最小值．
（3）当 △PCE 是等腰三角形时．请求出 x 的值．

28. 如图，抛物线 y=23x2−23m−1x−23mm>0 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，且 OB=3OA．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）动点 D 在线段 BC 下方的抛物线上．
①连接 AC，BC，过点 D 作 x 轴的垂线，垂足为 E，交 BC 于点 F．过点 F 作 FG⊥AC，垂足为 G．设点 D 的横坐标为 t，线段 FG 的长为 d，用含 t 的代数式表示 d；
②过点 D 作 DH⊥BC，垂足为 H，连接 CD．是否存在点 D，使得 △CDH 中的一个角恰好等于 ∠ABC 的 2 倍?如果存在，求出点 D 的横坐标；如果不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. A【解析】−9×13=−9×13=−3．
2. B【解析】2279.55≈2279.6（精确到 0.1）．
3. D【解析】A．a23=a6，故选项A不符合题意，
B．a2+a3 不能合并，故选项B不符合题意，
C．a10÷a2=a8，故选项C不符合题意，
D．a2⋅a3=a5，故选项D符合题意．
4. C【解析】∵AB∥CD，∠C=110∘，
∴∠CAB=70∘，
∵AE 平分 ∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE=12∠BAC=35∘，
∴∠AED=∠C+∠CAE=110∘+35∘=145∘．
5. C
【解析】∵ 关于 x 的方程 m−1x2−2x+1=0 有两个不相等的实数根，
∴m−1≠0,Δ=−22−4m−1>0, 解得：m<2 且 m≠1．
6. D【解析】∵ 点 Aa,b 在一次函数 y=2x−1 的图象上，
∴2a−1=b，即 2a−b=1，
∴4a−2b+3=22a−b+3=2×1+3=5．
7. B【解析】由表可知锻炼时间为 9 小时的人数最多，则众数为 9 小时；
∵ 共有 6+9+10+8+7=40 个数据，
∴ 中位数为第 20，21 个数据的平均数，即平均数为 9+92=9 小时．
8. A【解析】将 x=2 代入方程 ax2−2=0，得：4a−2=0，解得：a=12，
则二次函数解析式为 y=12x+12−2，
当 y=0 时，12x+12−2=0，解得：x1=1，x2=−3，
∴ 二次函数 y=ax+12−2 与 x 轴的交点坐标是 −3,0，1,0．
9. C【解析】如图，过点 C 作 CD⊥AB，交 AB 的延长线于点 D．
由题意，得 ∠CAD=30∘，设 CD=x 海里．
在 Rt△CAD 中，
∵∠CAD=30∘，
∴AC=2CD=2x 海里，AD=3CD=3x 海里．
在 Rt△CBD 中，
∵∠CBD=45∘，
∴BD=CD=x 海里．
∵AD−BD=AB，
∴3x−x=203−1，解得 x=20，
∴BC=2CD=202 海里，
∵ 救援艇的速度为 30 海里/小时，
∴ 救援艇到达 C 处所用的时间为 20230=223（小时）．
10. B
【解析】如图，作 DʹH⊥EC 于 H．
∵∠DAE=∠EADʹ=60∘，∠BAC=120∘，
∴∠BAD+∠EAC=60∘，∠EAC+∠CADʹ=60∘，
∴∠BAD=∠CADʹ，
∵AB=AC，AD=ADʹ，
∴△BAD≌△CADʹ，
∴CDʹ=BD=4，∠B=∠ACDʹ=∠ACB=30∘，
∴∠DʹCH=60∘，∠CDʹH=30∘，
∴CH=12CDʹ=2，DʹH=23，
在 Rt△DʹEH 中，EDʹ=EH2+HDʹ2=21，
∴DE=EDʹ=21．
第二部分
11. 23
【解析】−23=23．
故本题的答案是 23．
12. 2a−12
【解析】2a2−4a+2=2a2−2a+1=2a−12．
13. x≥−1 且 x≠1
【解析】根据题意得：x+1≥0,x−1≠0, 解得：x≥−1 且 x≠1．
14. 960
【解析】∵100 名学生中持“基本满意”的有 14 名学生，持“不满意”和“说不清楚”的共有 6 名学生，
∴ 持“满意”意见的学生人数为 100−14+6=80 人，
则估计全校持“满意”意见的学生人数约为 1200×80100=960．
15. 4 cm
【解析】设圆锥的底面圆的半径为 r，
根据题意得 2πr=6π，解得 r=3，
∴ 圆锥的高 =52−32=4cm．
16. 30
【解析】设当 x>18 时的函数解析式为 y=kx+b，
18k+b=54,28k+b=94, 得 k=4,b=−18,
即当 x>18 时的函数解析式为 y=4x−18，
∵102>54，
∴ 当 y=102 时，102=4x−18，得 x=30．
17. 73−43π
【解析】连接 OC，如图．
∵BD 为切线，
∴AB⊥BD，
∴∠ABD=90∘，
∵∠A=2∠D，
∴∠A=60∘，∠D=30∘，
∴AB=33BD=33×43=4，
∵OA=OC，
∴△OAC 为等边三角形，
∴∠AOC=60∘，
∴∠BOC=120∘，
∴S阴影部分=S△ABD−S△AOC−S扇形BOC=12⋅43⋅4−34⋅22−120⋅π⋅22360=73−43π.
18. 391−125
【解析】∵∠ACB=90∘，BC=6，AC=8，
∴AB=10，
∵ 点 D，E 分别是边 AB，BC 的中点，
∴BD=5，BE=3，DE=12AC=4，DE∥AC．
∴∠C=∠DEB=90∘．
∵ 旋转，
∴∠ABDʹ=∠CBEʹ，BEʹ=BE=3，DʹEʹ=DE=4，BDʹ=BD=5，∠BEʹA=∠BED=90∘．
在 Rt△ABEʹ 中，AEʹ=AB2−EʹB2=91．
∴ADʹ=91−4．
∵∠AEʹB=∠ACB=90∘，
∴A，C，Eʹ，B 四点共圆．
∴∠BCEʹ=∠BAEʹ 且 ∠ABDʹ=∠CBEʹ．
∴△ABDʹ∽△BCEʹ．
∴ABBC=ADʹEʹC=106．
∴CEʹ=391−125．
第三部分
19. 原式=1−3−32+4=2−32.
20.
3x−12<−2, ⋯⋯①2x−3x−1≤6. ⋯⋯②
解不等式①得：
x<−1.
解不等式②得：
x≥−3.∴
不等式组的解集为：
−3≤x<−1.
21. 原式=x2−2xx−2+1x−2÷xx−13x−2=x−12x−2⋅3x−2xx−1=3x−1x=3x−3x.
当 x=3 时，
原式=33−33=3−3.
22. 设客运公司 60 座和 45 座的客车每辆每天的租金分别是 x，y 元，
依题意得
x=y+200,5x+3y=5000.
解得：
x=700,y=500.
答：客运公司 60 座和 45 座的客车每辆每天的租金分别是 700 元，500 元．
23. （1） 50；17
【解析】∵ 本次调查的总人数为 4÷8%=50 人，
∴2 月份读书 2 册的学生有 50×34%=17（人）．
（2） 读书 3 册的人数为 50−9+17+4=20，补全统计图如下：
扇形统计图中读书 3 册所对应扇形的圆心角度数为 360∘×2050=144∘．
（3） 列表得：
男1男2女1女2男1−−男2男1女1男1女2男1男2男1男2−−女1男2女2男2女1男1女1男2女1−−女2女1女2男1女2男2女2女1女2−−
由表格可知，共有 12 种可能出现的结果，并且它们都是等可能的，
其中这 2 名学生恰好性别相同的有 4 种可能．
∴ 这 2 名学生恰好性别相同的概率为 412=13．
24. （1） ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥DC 即 AB∥DF，
∴∠ABE=∠FCB，
∵ 点 E 是 BC 的中点，
∴BE=CE．
在 △ABE 和 △FCE 中，
∠ABE=∠FCB,BE=CE,∠AEB=∠FBC,
∴△ABE≌△FCE．
（2） ∵ 四边形 ABFC 是矩形，
∴AF=BC，AE=12AF，BE=12BC，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠BAE，
∵∠AEC=80∘，
∴∠ABE=∠BAE=40∘，
∵ 平行四边形 ABCD，
∴∠D=∠ABE=40∘．
25. （1） 把 A2,n 代入 y=12x，得到 n=6，
作 AH⊥OD 于 H．
∴OH=2，AH=6，
∵△EFO∽△EAH，
∴EFEA=FOAH=EOEH，
∵EF=AF，
∴EFEA=FOAH=EOEH=12，
∴EO=2，FO=3，
∴E−2,0，F0,3，
设直线 AB 的解析式为 y=kx+b，
则有 −2k+b=0,b=3, 解得 k=32,b=3,
∴ 直线 AB 的解析式为 y=32x+3．
（2） 作 AG⊥BD 于 G，则四边形 AGDH 是矩形．
∴DG=AH=6，设 Ca,12a，则 Ba,32a+3，
∴CD=12a，BG=32a+3−6=32a−3，GC=6−12a，
∵AB=AC，AG⊥BC，
∴BG=CG，
∴32a−3=6−12a，整理得：a2−6a+8=0，
∴a=4 或 2（舍弃），
∴C4,3．
26. （1） 连接 BD，如图．
∵DG 为切线，
∴AD⊥DG，
∴∠ADG=90∘，
∵AD 为直径，
∴∠ABD=90∘，而 ∠GDB+∠G=90∘，∠ADB+∠GDB=90∘，
∴∠ADB=∠G=50∘，
∴∠ACB=∠ADB=50∘．
（2） 连接 CD，如图，
∵AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，而 ∠ABC=∠ADC，
∴∠ABE=∠AEB=∠ODC=∠OCD，
∴∠BAD=∠DOC．
（3） ∵∠BAD=∠FOC，∠ABD=∠OFC，
∴△ABD∽△OFC，
∴S△ABDS△OCF=ADOC2=4，
∵S1S2=89，
设 S1=8x，S2=9x，则 S△ABD=2S1=16x，
∴S△OFC=14⋅16x=4x，
∴S△AOC=9x−4x=5x，
∵S△OFCS△OAC=OFOA=4x5x=45，
∴ 设 OF=4k，则 OA=5k，
在 Rt△OCF 中，OC=5k，
CF=5k2−4k2=3k，
∴tan∠CAF=CFAF=3k4k+5k=13．
27. （1） 4；34
【解析】作 PM⊥AB 于 M 交 CD 于 N．
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴BC=AD=3，∠ABC=90∘，
∴AC=BCsin∠BAC=5，AB=AC2−BC2=4．
在 Rt△APM 中，PA=1，PM=35，AM=45，
∴BM=AB−AM=165，
∵MN=AD=3，
∴PN=MN−PM=125，
∵∠PMB=∠PNE=∠BPE=90∘，
∴∠BPM+∠EPN=90∘，∠EPN+∠PEN=90∘，
∴∠BPM=∠PEN，
∴△BMP∽△PNE，
∴PEPB=PNBM=125165=34．
（2） ①结论：PEPB 的值为定值．
理由：由 PA=x，可得 PM=35x．AM=45x，
BM=4−45x，PN=3−35x，
∵△BMP∽△PNE，
∴PEPB=PNBM=3−35x4−45x=34．
②在 Rt△PBM 中，PB2=BM2+PM2=4−45x2+35x2=x2−325x+16，
∵PEPB=34，
∴PE=34PB，
∴S=12⋅PB⋅PE=38PB2=38x2−325x+16=38x−1652+5425，
∵0 ∴x=165 时，S 有最小值 =5425．
（3） ①当点 E 在线段 CD 上时，连接 BE 交 AC 于 F．
∵∠PEC>90∘，
∴ 只能 EP=EC，
∴∠EPC=∠ECP，
∵∠BPE=∠BCE=90∘，
∴∠BPC=∠BCP，
∴BP=BC，
∴BE 垂直平分线段 PC，
在 Rt△BCF 中，cs∠BCF=CFBC=BCAC，
∴CF3=35，
∴CF=95，
∴PC=2CF=185，
∴x=PA=5−185=75．
②当点 E 在 DC 的延长线上时，设 BC 交 PE 于 G．
∵∠PCE>90∘，
∴ 只能 CP=CE．
∴∠CPE=∠E，
∵∠GPB=∠GCE=90∘，∠PGB=∠CGE，
∴∠PBG=∠E=∠CPE，
∵∠ABP+∠PBC=90∘，∠APB+∠CPE=90∘，
∴AB=AP=4．
综上所述，x 的值为 75 或 4．
28. （1） 令 y=0，则 0=23x2−23m−1x−23m．
∴x2−m−1x−m=0．
∴x−mx+1=0．
∴x1=m，x2=−1．
∵m>0，点 A 在点 B 的左侧，
∴ 点 A−1,0，点 Bm,0．
∴OA=1，OB=m．
∵OB=3OA，
∴m=3．
∴ 抛物线 y=23x2−43x−2．
（2） ①如图 1，连接 AF．
∵ 抛物线 y=23x2−43x−2 与 y 轴交与点 C，
∴ 点 C0,−2．
∵ 点 A−1,0，点 B3,0，点 C0,−2，
∴AB=4，OC=2，AC=5．
∵ 设直线 BC 解析式 y=kx+b，
∴−2=b,0=3k+b 解得：b=−2，b=23，
∴ 直线 BC 解析式 y=23x−2．
∵D 点横坐标为 t，DF⊥AB，
∴ 点 F 的横坐标为 t．
∴Ft,23t−2．
∵S△AFC=S△ABC−S△ABF，
∴12×5×d=12×4×2−12×4×2−23t．
∴5d=83t．
∴d=8515t．
②若 ∠DCH=2∠ABC，
如图 2，过点 C 作 CF∥AB，交抛物线于 F 点，作 DE⊥CF 于点 E．
∵AB∥CF，
∴∠ABC=∠BCF．
又 ∵∠DCH=2∠BCF，
∴∠DCF=∠ABC=∠BCF．
∵ 点 D 坐标为 t,23t2−43t−2，
∴CE=t，DE=−2−23t2−43t−2=43t−23t2．
∵tan∠DCF=tan∠ABC=OCOB=DECE，
∴43t−23t2t=23．
∴t1=0（不合题意舍去），t2=1，即点 D 的横坐标为 1．
若 ∠CDH=2∠ABC，
如图 3，作 ∠ECB=∠ABC，过点 B 作 BP∥HD，
交 CD 的延长线于点 P，作 PF⊥AB 于 F．
∵∠ECB=∠ABC，
∴EC=BE，∠AEC=2∠ABC．
在 Rt△OEC 中，CE2=OE2+OC2．
∴CE2=3−CE2+4，
∴CE=136．
∴OE=OB−BE=56．
∴tan∠AEC=tan2∠ABC=OCOE=125．
∵ 点 B3,0，点 C0,−2，
∴BC=13．
∵BP∥HD，HD⊥BC，
∴BP⊥BC，∠CDH=∠CPB=2∠ABC．
∴tan∠CPB=tan2∠ABC=125=BCBP．
∴BP=51312．
∵∠ABC+∠PBF=90∘，∠ABC+∠OCB=90∘，
∴∠OCB=∠PBF，且 ∠BOC=∠PFB=90∘．
∴△BOC∽△PFB．
∴OBPF=OCBF=BCBP=1351312=125．
∴PF=54，BF=56．
∴OF=3+56=236．
∴ 点 P 坐标 236,−54．
∵ 点 C0,−2，点 P236,−54．
∴ 直线 PC 解析式 y=946x−2．
∵ 直线 CP 与抛物线交于 C，D 两点，
∴y=946x−2,y=23x2−43x−2, 解得：x1=0，x2=21192．
∴ 点 D 的横坐标为 21192．
综上所述：点 D 的横坐标为 21192 或 1．