2019年天津市河北区第二学期九年级结课质量调查数学试卷

这是一份2019年天津市河北区第二学期九年级结课质量调查数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

2. 由五个相同的立方体搭成的几何体如下图所示，，则它的主视图是
A. B.
C. D.

3. 下列几何体中，主视图与俯视图不相同的是
A. B.
C. D.

4. 二次函数 y=x2+4x−3 的对称轴为
A. x=3B. x=−3C. x=−2D. x=7

5. 如图，点 A，B，C 在 ⊙O 上，∠AOB=72∘，则 ∠ACB 的度数是
A. 18∘B. 36∘C. 54∘D. 72∘

6. 下列说法正确的是
A. “打开电视机，正在播放《新闻联播》”是必然事件
B. 天气预报“明天降水概率 50%”，是指明天有一半的时间会下雨
C. 数据 6，6，7，7，8 的中位数与众数均为 7
D. 甲、乙两人在相同的条件下各射击 10 次，他们成绩的平均数相同，方差分别是 S甲2=0.3，S乙2=0.4，则甲的成绩更稳定

7. 已知 x=2 是一元二次方程 x2+x+m=0 的一个根，则方程的另一个根是
A. −3B. −6C. 0D. −1

8. 如图，四边形 ABCD 为平行四边形，E，F 为 CD 边的两个三等分点，连接 AF，BE 交于点 G，则 S△EFG:S△ABG 等于
A. 1:3B. 1:3C. 1:6D. 1:9

9. 如图，点 C 在反比例函数 y=kxk>0 的图象上，过点 C 的直线与 x 轴，y 轴分别交于点 A 和点 B，且 AB=BC，△AOB 的面积为 1，则 k 的值为
A. 1B. 2C. 4D. 8

10. 关于 x 的一元二次方程 m−5x2+2x+2=0 有实根，则 m 的最大整数解是
A. 2B. 3C. 4D. 5

11. 如图，分别以等边三角形 ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形就是“勒洛三角形”（勒洛三角形是定宽曲线所能构成的面积最小的图形），若 AB=2，则勒洛三角形的面积为
A. π+3B. π−3C. 2π+23D. 2π−23

12. 如图，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过点 A−1,0 、 B3,0 、 C4,y1，若点 Dx2,y2 是抛物线上任意一点，有下列结论：
①二次函数 y=ax2+bx+c 的最小值为 −4a；
②若 −1≤x2≤4，则 0≤y2≤5a；
③若 y2>y1，则 x2>4；
④一元二次方程 cx2+bx+a=0 的两个根为 −1 和 13．
其中正确结论的个数是
A. 1B. 2C. 3D. 4

二、填空题（共5小题；共25分）
13. tan30∘= ．

14. 关于 x 的一元二次方程 x2−23x+m=0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是 ．

15. 已知扇形的弧长为 2π，圆心角为 60∘，则它的半径为 ．

16. 二次函数 y=x2−2x−1 的图象的顶点坐标是 ．

17. 如图，将 △ABC 绕点 A 逆时针旋转 150∘，得到 △ADE，这时点 B，C，D 恰好在同一直线上，则 ∠B 的度数为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
18. 如图，在每个小正方形的边长为 1 的网格中，点 A，B，C 均在格点上，BC 与网格交于点 P．
（1）△ABC 的面积等于 ；
（2）在 AC 边上有一点 Q，当 PQ 平分 △ABC 的面积时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出 PQ，并简要说明点 Q 的位置是如何找到的（不要求证明） ．

19. 如图，一座大桥的两端位于河的 A，B 两点，某同学为了测量 A，B 两点之间的河宽，在垂直于大桥 AB 的直线型道路 l 上测得了如下的数据：∠BDA=76.1∘，∠BCA=68.2∘，CD=42.8 米．求大桥 AB 的长（精确到 1 米）．
参考数据：sin76.1∘≈0.97，cs76.1∘≈0.24，tan76.1∘≈4.0，sin68.2∘≈0.93，cs68.2∘≈0.37，tan68.2∘≈2.5．

20. 如图，在平面直角坐标系中，边长为 2 的正方形 ABCD 关于 y 轴对称，边 AD 在 x 轴上，点 B 在第四象限，直线 BD 与反比例函数 y=mx 的图象交于 B，E 两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求点 E 的坐标．

21. 某学校为了解九年级男生 1000 米跑的水平，从所有男生中随机抽取部分男生进行测试，并把测试成绩由低到高分为 D 、 C 、 B 、 A 四个等次，绘制成如图所示的两个不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
（1）求两个图中 a，b，c 的值；
（2）求扇形统计图中表示 C 等次的扇形所对的圆心角的度数；
（3）学校决定从 A 等次成绩最好的甲、乙、丙、丁四名男生中，随机选取两名男生参加全区的运动会 1000 米跑比赛，请用列表法或画树状图法，求甲、乙两名男生同时被选中的概率．

22. 如图，AB 为 ⊙O 的直径，PD 切 ⊙O 于点 C，交 AB 的延长线于点 D，且 ∠D=2∠A．
（1）求 ∠D 的度数；
（2）若 ⊙O 的半径为 m，求 BD 的长．

23. 在 △ABC 中，E，F 分别为线段 AB，AC 上的点（不与 A，B，C 重合）．
（1）如图 1，若 EF∥BC，求证：S△AEFS△ABC=AE⋅AFAB⋅AC．
（2）如图 2，若 EF 不与 BC 平行，（I）中的结论是否仍然成立?请说明理由．

24. 如图，抛物线 y=12x2+bx+c 与直线 y=12x+3 交于 A，B 两点，点 A 在 y 轴上，抛物线交 x 轴于 C，D 两点，已知 C−3,0．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线对称轴 l 上找一点 M，使 ∣MB−MD∣ 的值最大，请求出点 M 的坐标及这个最大值．
答案
第一部分
1. D
2. A
3. C
4. C
5. B
6. D【解析】A．打开电视机，正在播放《新闻联播》是随机事件，故此选项错误；
B．天气预报“明天降水概率 50%，是指明天有 50% 下雨的可能，故此选项错误；
C．数据 6，6，7，7，8 的中位数为 7，众数为：6 和 7，故此选项错误；
D．甲、乙两人在相同的条件下各射击 10 次，他们成绩的平均数相同，方差分别是 S甲2=0.3，S乙2=0.4，S甲27. A【解析】设方程另一个根为 x1，
根据根与系数的关系得：x1+2=−1，
解得 x1=−3．
8. D【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴CD=AB，CD∥AB，
∵E，F 为 CD 边的两个三等分点，
∴EF:CD=1:3，
∴EF:AB=1:3，
∵CD∥AB，
∴△EFG∽△BAG，
∴S△EFGS△BAG=EFAB2=19．
9. C【解析】过点 C 作 CD 垂直于 x 轴，
设点 A−a,0，B0,b，
∵ AB=BC，
∴ 点 B 为线段 AC 的中点，
又 ∵ CD∥BO，
∴ 点 O 为线段 AD 的中点，
则 OD=OA=a，CD=2OB=2b，
因此得到点 C 的坐标为 a,2b，
∵ △AOB 的面积为 1，
即 12ab=1，ab=2，
∴ k=a⋅2b=2ab=4．
10. C
【解析】∵ 关于 x 的一元二次方程 m−5x2+2x+2=0 有实根，
∴Δ=4−8m−5≥0，且 m−5≠0，
解得 m≤5.5，且 m≠5，
则 m 的最大整数解是 m=4．
11. D【解析】过 A 作 AD⊥BC 于 D，
∵△ABC 是等边三角形，
∴AB=AC=BC=2，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60∘，
∵AD⊥BC，
∴BD=CD=1，
在 Rt△ABD 中，AD=AB2−BD2=3，
∴△ABC 的面积为：12×BC×AD=12×2×3=3，
S扇形BAC=60π×22360=23π，
∴ 勒洛三角形的面积 S=3×23π−2×3=2π−23．
12. B【解析】由二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过点 A−1,0 、点 B3,0，
可得抛物线解析式为 y=ax+1x−3，
即 y=ax2−2ax−3a，
∵ y=ax−12−4a，
∴ 当 x=1 时，二次函数有最小值 −4a，
∴ ①正确；
当 x=4 时，y=a×5×1=5a，
∴ 当 −1≤x2≤4，则 −4a≤y2≤5a，
∴ ②错误；
∵ 点 C4,y2 关于直线 x=1 的对称点为 −2,y2，
∴ 当 y2>y1，则 x2>4 或 x2<−2，
∴ ③错误；
∵ b=−2a，c=−3a，
∴ 方程 cx2+bx+a=0 化为 −3ax2−2ax+a=0，
整理得 3x2+2x−1=0，解得 x1=−1，x2=13，
∴ ④正确．
第二部分
13. 33
14. m<3
15. 6
16. 1,−2
17. 15∘
【解析】∵ 将 △ABC 绕点 A 逆时针旋转 150∘，得到 △ADE，
∴∠BAD=150∘，AD=AB，
∵ 点 B，C，D 恰好在同一直线上，
∴△BAD 是顶角为 150∘ 的等腰三角形，
∴∠B=∠BDA，
∴∠B=12180∘−∠BAD=15∘．
第三部分
18. （1） 9
【解析】S△ABC=4×5−12×1×4−12×2×4−12×2×5=9．
（2）
解法一：选取 BC 的中点 D；选取点 E，连接 AE 与网格交于点 F，连接 DF（DF 与 AP 平行且相等）与 AC 交于点 Q，连接 PQ
解法二：选取 E，F，连接 EF 与 AC 交于点 Q，连接 PQ
【解析】根据图中 P 点的位置可得 CD=2BP=2DP，
设 AC 边上有一点 Q，使 PQ 平分 △ABC 的面积，
且设 △DPQ 的面积为 x，则 △DCQ 的面积为 2x，
∴△PCQ 的面积为 3x，
∵PQ 平分 △ABC 的面积，
∴△ABC 的面积为 6x，
∵PC=34BC，
∴△APC 的面积为 4.5x，
∴CQ:AC=3x:4.5x=2:3 或 AQ:QC=1:2．
解法一：如图 a，选取 BC 的中点 D；
选取点 E，连接 AE 与网格交于点 F，连接 DF 交 AC 于点 Q，
由于线段 AE，DC 均为 1×2 网格对角线，且 F 为 AE 中点，
故有 AF∥CD，AF=12CD，根据平行线分线段成比例得 AQ:QC=1:2．
解法二：如图 b，根据平行线分线段成比例定理，选取格点 E，F，连接 EF 交 AC 于点 Q，满足 AQ:QC=1:2．
19. 设 AD=x 米，则 AC=x+42.8 米，
∵ 在 Rt△ABC 中，tan∠BCA=ABAC，∠BCA=68.2∘，
∴AB=AC⋅tan∠BCA≈2.5x+42.8，
∵ 在 Rt△ABD 中，tan∠BDA=ABAD，∠BDA=76.1∘，
∴AB=AD⋅tan∠BDA≈4x，
∴2.5x+42.8=4x，
解得 x≈71.33，
∴AB≈4x=4×71.33≈285，
答：AB 的长约为 285 米．
20. （1） ∵ 边长为 2 的正方形 ABCD 关于 y 轴对称，边 AD 在 x 轴上，点 B 在第四象限内，
∴A1,0，D−1,0，B1,−2，
∵ 反比例函数 y=mx 的图象经过点 B，
∴m=1×−2=−2，
∴ 反比例函数解析式为 y=−2x．
（2） 设直线 BD 的解析式为 y=kx+b，
∴k+b=−2,−k+b=0,
解得 k=−1,b=−1,
∴ 直线 BD 的解析式为：y=−x−1，
∵ 直线 BD 与反比例函数 y=−2x 的图象交于 B，E 两点，
∴y=−2x,y=−x−1,
解得 x=−2,y=1 或 x=1,y=−2,
∵B1,−2，
∴ 点 E 的坐标为 −2,1．
21. （1） 本次调查的总人数为 12÷30%=40（人），
∴ a=40×5%=2，b=1840×100=45，c=840×100=20．
（2） ∵ C 等次占 20%，
∴ 扇形统计图中表示 C 等次的扇形所对的圆心角的度数为 360∘×20%=72∘．
（3） 画树状图，如图所示：
∴ 共有 12 个可能的结果，同时选中的两名同学恰好是甲、乙的结果有 2 个，
故 P选中的两名同学恰好是甲、乙=212=16．
22. （1） ∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∴∠COD=∠A+∠ACO=2∠A，
∵∠D=2∠A，
∴∠D=∠COD，
∵PD 切 ⊙O 于 C，
∴∠OCD=90∘，
∴∠D=∠COD=45∘．
（2） ∵∠D=∠COD，OC=OB=m，
∴CD=OC=m，
∵ 在 Rt△OCD 中，由勾股定理得 OC2+CD2=OD2，即 m2+m2=OD2，
∴OD=2m，
∴BD=OD−OB=2−1m．
23. （1） ∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴AEAB=AFAC，
∴S△AEFS△ABC=AEAB2=AE⋅AFAB⋅AC．
（2） 若 EF 不与 BC 平行，（I）中的结论仍然成立，理由如下：
如图，分别过点 C，F 作 AB 的垂线，垂足分别为 M，N，
∵FN⊥AB，CM⊥AB，
∴FN∥CM，
∴△AFN∽△ACM，
∴FNCM=AFAC，
∴S△AEFS△ABC=12AE⋅FN12AB⋅CM=AE⋅FNAB⋅CM=AE⋅AFAB⋅AC．
24. （1） ∵ 点 A 在 y 轴上，且在直线 y=12x+3 上，
∴ A0,3，
将 A0,3，C−3,0 代入函数解析式，
得 92−3b+c=0,c=3 解得 b=52,c=3.
∴ 抛物线的解析式为 y=12x2+52x+3．
（2） 抛物线的对称轴为 x=−52，
由抛物线的对称性可知，点 D 与点 C 关于对称轴对称，
∴ 对 l 上任意一点 M 都有 MD=MC，
∴ 当点 B，C，M 共线时，∣MB−MD∣ 取最大值，最大值即为 BC 的长，
联立方程组 y=12x+3,y=12x2+52x+3 解得 x=−4,y=1, 或 x=0,y=3.
∵ A0,3，
∴ B−4,1，
设直线 BC 的解析式为 y=kx+b，
∴ −3k+b=0,−4k+b=1.
解得 k=−1,b=−3.
∴ 直线 BC 的解析式为 y=−x−3，
∴ 将 x=−52 代入 y=−x−3，解得 y=−12，
∴ 点 M 的坐标为 −52,−12，
∵ B−4,1，C−3,0，
∴ BC=−4+32−1−02=2，
∴ ∣MB−MD∣ 的最大值为 2．