2020-2021学年广东省深圳市福田区红岭中学园岭校区九上期末数学试卷

这是一份2020-2021学年广东省深圳市福田区红岭中学园岭校区九上期末数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 下面的点在反比例函数 y=−6x 的图象上的是
A. 2,3B. 1,6C. −2,−3D. 3,−2

2. 下面是空心圆柱在指定方向上的视图，正确的是
A. B.
C. D.

3. △DEF 和 △ABC 是位似图形，点 O 是位似中心，点 D，E，F 分别是 OA，OB，OC 的中点，若 △DEF 的面积是 2，则 △ABC 的面积是
A. 2B. 4C. 6D. 8

4. 下列对一元二次方程 x2+x−3=0 根的情况的判断，正确的是 ．
A. 有两个不相等实数根B. 有两个相等实数根
C. 有且只有一个实数根D. 没有实数根

5. 对二次函数 y=13x2+2x−1 进行配方，其结果及顶点坐标是
A. y=13x+32−4，3,−4
B. y=13x+12−1，1,−1
C. y=13x+32−4，−3,−4
D. y=13x+12−1，−1,−1

6. 如图，小明想利用阳光测量学校旗杆的高度，当他站在 C 处时，此时他头部顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得小明的身高为 1.7 m，AC=2.0 m，BC=8.0 m，则旗杆的高度是
A. 5.1 mB. 6.8 mC. 8.5 mD. 9.0 m

7. 如图，在 △ABC 中，∠AEF=∠B，EFBC=23，则下列结论正确的是
A. AEEB=23B. AEAB=23C. AFAC=25D. CFAF=32

8. 已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有 30 个，黑球有 n 个．随机地从袋中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，再从中摸出一个球，经过如此大量重复试验，发现摸出的黑球的频率稳定在 0.4 附近，则 n 的值约为
A. 20B. 30C. 40D. 50

9. 二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 为常数且 a≠0）中的 x 与 y 的部分对应值如下表：
x⋯−3−2−1012345⋯y⋯1250−3−4−30512⋯
下列四个结论：
（1）二次函数 y=ax2+bx+c 有最小值，最小值为 −3；
（2）抛物线与 y 轴交点为 0,−3；
（3）二次函数 y=ax2+bx+c 的图象对称轴是 x=1；
（4）本题条件下，一元二次方程 ax2+bx+c=0 的解是 x1=−1，x2=3．
其中正确结论的个数是
A. 4B. 3C. 2D. 1

10. 如图，在边长为 1 的正方形 ABCD 中，动点 F，E 分别以相同的速度从 D，C 两点同时出发向 C 和 B 运动（任何一个点到达即停止），过点 P 作 PM∥CD 交 BC 于 M 点，PN∥BC 交 CD 于 N 点，连接 MN，在运动过程中，则下列结论：① △ABE≌△BCF；② AE=BF；③ AE⊥BF；④ CF2=PE⋅BF；⑤线段 MN 的最小值为 5−12．其中正确的结论有
A. 2 个B. 3 个C. 4 个D. 5 个

二、填空题（共5小题；共25分）
11. 方程 x2−2x=0 的解为 ．

12. 将抛物线 y=−3x2 的图象向右平移 1 个单位，再向下平移两个单位后，则所得抛物线解析式为 ．

13. 如果菱形边长为 13，一条对角线长为 10，那么它的面积为 ．

14. 上午 9 时，一条船从 A 处出发，以每小时 40 海里的速度向正东方向航行，9 时 30 分到达 B 处（如图），从 A，B 两处分别测得小岛 M 在北偏东 45∘ 和北偏东 15∘ 方向，那么在 B 处船与小岛 M 的距离为 ．

15. 如图，在反比例函数 y=−2x 的图象上有一动点 A，连接 AO 并延长交图象的另一支于点 B，在第一象限内有一点 C，满足 AC=BC，当点 A 运动时，点 C 始终在函数 y=kx 的图象上运动，若 tan∠CAB=2，k 的值 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
16. 解方程：3x2−2x−2=0．

17. 计算：sin260∘⋅tan45∘−−tan30∘−2．

18. 为喜迎新年，九三班上学期期末开展了“元旦游园”活动．其中一项是抽奖获奖品的活动：抽奖箱中有 4 个标号分别为 1，2，3，4 的质地、大小完全相同的小球．参与的同学任意摸取一个小球，然后放回，搅匀后再摸取一个小球．若两次摸出的数字之和是“8”为一等奖，可获签字笔一支；数字之和是“6”为二等奖，可获铅笔一支；数字之和是其他数字则为三等奖，可获橡皮擦一个．
（1）参与抽奖的获三等奖的概率为 ；
（2）分别求出参与抽奖获一等奖和二等奖的概率．

19. 已知：如图，在 △ABC 中，D 是边 BC 上的一点，连接 AD，取 AD 的中点 E，过点 A 作 BC 的平行线与 CE 的延长线交于点 F，连接 DF．
（1）求证：AF=DC．
（2）请问：AD 与 CF 满足什么条件时，四边形 AFDC 是矩形，并说明理由．

20. “佳佳商场”在销售某种进货价为 20 元/件的商品时，以 30 元/件售出，每天能售出 100 件．调查表明：这种商品的售价每上涨 1 元/件，其销售量就将减少 2 件．
（1）为了实现每天 1600 元的销售利润，“佳佳商场”应将这种商品的售价定为多少?
（2）物价局规定该商品的售价不能超过 40 元/件，“佳佳商场”为了获得最大的利润，应将该商品售价定为多少?最大利润是多少?

21. 如图，一次函数 y=kx+3 与反比例函数 y=mx 的图象交于点 P，点 P 在第四象限，且 PA⊥x 轴于点 A，PB⊥y 轴于点 B，一次函数的图象分别交 x 轴、 y 轴于点 C，点 D，且 S△DBP=27，AO=3CO．
（1）求反比例函数的表达式
（2）请写出当 x 取何值时，一次函数的值不大于反比例函数的值?
（3）点 Q 是反比例函数图象上一个动点，连 AQ，PQ，并把 △APQ 沿 AP 翻折得到四边形 AQPG，求出使四边形 AQPG 为菱形时点 Q 的坐标．

22. 如图，抛物线 y=−x2+2x+3 与 x 轴交于点 AB，与 y 轴交于点 C，点 D 是抛物线的顶点，连接 BC，BD．
（1）点 A 的坐标是 ，点 B 的坐标是 ，点 D 的坐标是 ．
（2）若点 E 是 x 轴上一点，连接 CE，且满足 ∠ECB=∠CBD，求点 E 坐标．
（3）若点 P 在 x 轴上且位于点 B 右侧，点 A，Q 关于点 P 中心对称，连接 QD，且 ∠BDQ=45∘，求点 P 的坐标．（请利用备用图解决问题）
答案
第一部分
1. D【解析】∵ 反比例函数解析式为 y=−6x，
∴xy=−6，
A、 ∵2×3=6≠−6，
∴ 点 2,3 不在函数图象上，故本选项错误；
B、 ∵1×6=6≠−6，
∴ 点 1,6 不在函数图象上，故本选项错误；
C、 ∵−2×−3=6≠−6，
∴ 点 −2,−3 不在函数图象上，故本选项错误；
D、 ∵3×−2=−6，
∴ 点 3,−2 在函数图象上，故本选项正确．
2. C【解析】指定方向上的视图为主视图，
∵ 是空心圆柱，
∴ 能看到的是一大长方形，用实线，而里面小长方形看不到，用虚线．
3. D【解析】∵ 点 D，E，F 分别是 OA，OB，OC 的中点，△DEF 和 △ABC 是位似图形，
∴ 位似比为 1:2，
∴S△DEF:S△ABC=1:4，
∴S△ABC=8．
4. A【解析】∵a=1，b=1，c=−3,
∴Δ=b2−4ac=12−4×1×−3=13>0,
∴ 方程 x2+x−3=0 有两个不相等的实数根．
5. C
【解析】y=13x2+2x−1=13x2+6x−1=13x2+6x+9−9−1=13x+32−4,
所以顶点坐标是 −3,−4．
6. C【解析】设旗杆高度为 h，
由题意得：1.7h=22+8，
解得：h=8.5．
故选：C．
7. B【解析】∵∠AEF=∠B
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∵EFBC=23，
∴AEEB=23−2=2，故A错误；
∴AEAB=23，故B正确；
∴AFAC=23，故C错误；
∴CFAF=3−22=12，故D错误．
8. A【解析】根据题意得 n30+n=0.4，
解得：n=20．
9. B【解析】由图表可得，该二次函数有最小值，当 x=1 时，取得最小值，此时 y=−4，故（1）错误，
抛物线与 y 轴的交点为 0,−3，故（2）正确，
二次函数 y=ax2+bx+c 的图象对称轴是 x=1，故（3）正确，
本题条件下，一元二次方程 ax2+bx+c=0 的解是 x1=−1，x2=3，故（4）正确．
10. D
【解析】如图，
∵ 动点 F，E 的速度相同，
∴DF=CE，
又 ∵CD=BC，
∴CF=BE，
在 △ABE 和 △BCF 中，
AB=BC=1,∠ABE=∠BCF=90∘,BE=CF,
∴△ABE≌△BCFSAS，故①正确；
∴∠BAE=∠CBF，AE=BF，故②正确；
∵∠BAE+∠BEA=90∘，
∴∠CBF+∠BEA=90∘，
∴∠APB=90∘，故③正确；
在 △BPE 和 △BCF 中，
∵∠BPE=∠BCF，∠PBE=∠CBF，
∴△BPE∽△BCF，
∴PECF=BEBF，
∴CF⋅BE=PE⋅BF，
∵CF=BE，
∴CF2=PE⋅BF，故④正确；
∵ 点 P 在运动中保持 ∠APB=90∘，
∴ 点 P 的路径是一段以 AB 为直径的弧，
设 AB 的中点为 G，连接 CG 交弧于点 P，此时 CP 的长度最小，
在 Rt△BCG 中，CG=BC2+BG2=1+122=52，
∵PG=12AB=12，
∴CP=CG−PG=52−12=5−12，
即线段 CP 的最小值为 5−12，故⑤正确；
综上可知正确的有 5 个．
第二部分
11. x1=0 或 x2=2
【解析】x2−2x=0，
xx−2=0，
x=0 或 x−2=0，
x1=0 或 x2=2．
12. y=−3x−12−2
【解析】抛物线 y=−3x2 向右平移 1 个单位，得：y=−3x−12，
再向下平移 2 个单位，得：y=−3x−12−2．
13. 120
【解析】在菱形 ABCD 中，AB=13，AC=10，
∵ 对角线互相垂直平分，
∴∠AOB=90∘，AO=5，
在 Rt△AOB 中，BO=AB2−AO2=12，
∴BD=2BO=24．
∴ 此菱形的面积是 10×242=120．
14. 202 海里
【解析】如图，过点 B 作 BN⊥AM 于点 N，
由题意得，AB=40×12=20（海里），
∠ABM=105∘，
在直角三角形 ABN 中，
BN=AB⋅sin45∘=102，
在直角 △BNM 中，∠MBN=60∘，
则 ∠M=30∘，
所以 BM=2BN=202（海里）．
15. 8
【解析】如图所示，
连接 CO，
作 AE⊥x 轴交于点 E，作 CD 轴交于点 D，
因为 AE⊥x 轴，
所以 ∠AEO=90∘，∠EAO+∠AOE=9∘，
因为 AC=BC，
所以 △ABC 为等腰三角形，
根据“等腰三角形三线合一定理”可得，CO⊥AB，
所以 ∠BOC=90∘，
所以 ∠COD+∠BOD=90∘，
因为 ∠AOE=∠BOD，
所以 ∠EAO=∠COD，
在 △AEO 和 △ODC 中，
∠EAO=∠DOC，∠AEO=∠ODC，
所以 △AEO∽△ODC，
在 Rt△AOC 中，tan∠CAB=COAO=2，
所以 COAE=CDOE=OCAO=2．
设 Cm,n 则有 OD=m，CD=n，
解得 OE=12n，AE=12m，
所以 A−12n,12m，
因为点 A 在 y=−2x 上，
所以 12m=2−12n，
所以 mn=8．
因为点 C 在 y=kx 上运动，
所以 k=xy=mn=8．
故答案为：8．
第三部分
16.
x=2±−22−4×3×−22×3=1±73.
即
x1=1+73,x2=1−73.∴
原方程的解为 x1=1+73，x2=1−73．
17. sin260∘⋅tan45∘−−tan30∘−2=322⋅1−−33−2=34−13−32=34−3=−94.
18. （1） 34（或填 0.75 也可）
【解析】因为：依题意可作得如下树状图：
第一次摸的数字
第二次摸的数字
由树状可知：一共有 n=4×4=16 种可能结果，其中数字之和为 8 的有 m1=1 种可能结果，数学之和为 6 的有 m2=3 种可能结果，数字之和为其它数的有 m3=16−1−3=12 种可能结果．
所以 P三等奖=m3n=1216=34．
（2） 由（1）知：P一等奖=m1n=116；P二等奖=m2n=316．
19. （1） 因为 AF∥BC，
所以 ∠AFE=∠DCE，
又因为 E 为 AD 的中点，
所以 AE=DE，
在 △AEF 和 △DEC 中，
∠AFE=∠DCE,∠AEF=∠DEC,AE=DE,
所以 △AEF≌△DECAAS，
所以 AF=DC．
（2） 由（1）得：AF=DC 且 AF∥DC，
所以四边形 AFDC 是平行四边形，
又因为 AD=CF，
所以四边形 AFDC 是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）．
20. （1） 设商品的定价为 x 元，根据题意可知：
x−20100−2x−30=1600.
解得：
x=40或x=60.
答：售价定为 40 元或 60 元．
（2） 设利润为 y 元，
y=x−20100−2x−30=−2x2+200x−3200x≤40,
因为 a=−2<0，
所以，当 x=−b2a=−200−4=50 时，y 取得最大值．
又因为 x≤40，
则在 x=40 时可取的最大值，即：ymax=1600．
21. （1） ∵ 一次函数 y=kx+3 与 y 轴的交点坐标为 0,3，
∴OD=3，
∵PA⊥x 轴于点 A，PB⊥y 轴于点 B，
∴ 四边形 OBPA 是矩形，
∴BP=OA，OC∥BP，
∴△ODC∽△BDP，
∴OD:BD=OC:BP，
∵AO=3CO，
∴OC:BP=1:3，
∴BD=2OD=9，
∵S△DBP=12BP⋅BD=12×9×BP=27，
解得：BP=6，
∴ 点 P 的坐标为：6,−6，
∴−6=m6，
解得：m=−36，
∴ 反比例函数的解析式为：y=−36x．
（2） 将 P6,−6 代入 y=kx+3 得：6k+3=−6，
解得：k=−32．
∴ 一次函数的解析式为：y=−32x+3，
联立得：y=−32x+3,y=−36x,
解得：x=−4,y=9 或 x=6,y=−6,
∴ 当 −4≤x<0 或 x≥6 时，一次函数的值不大于反比例函数的值．
（3） 如图，设 GQ 与 AP 交于点 M，
当 AM=PM=12AP=3，DM=GM，且 GQ⊥AP 时，四边形 AQPG 为菱形，
∴ 四边形 OAGM 是矩形，
∴GM=OA=6，
∴GQ=2GM=12 ，
∴ 点 Q12,−3，且点 Q 在反比例函数图象上．
∴ 点 Q 的坐标为：12,−3．
22. （1） −1,0；3,0；1,4
【解析】令抛物线 y=0，则 −x2+2x+3=0，
解得 x1=−1，x2=3，
则点 A 的坐标是 −1,0，
点 B 的坐标是 3,0，
y=−x2+2x+3=−x−12+4，
则顶点 D 的坐标为 1,4．
（2） 设 BD 所在直线的解析式为：y=kx−3，
将 D 点坐标代入函数解析式，得 −2k=4，解得 k=−2，
故 BD 所在直线的解析式为：y=−2x+6，
∵∠ECB=∠CBD，
∴CE∥BD，
设 CE 所在直线的解析式为：y=−2x+b，
将 C 点坐标代入函数解析式，得 b=3，
故 CE 所在直线的解析式为：y=−2x+3，
当 y=0 时，x=1.5；
∴ 点 E 坐标 0,1.5．
（3） 如图：连接 QD，作 QN⊥DB，交 DB 的延长线于 N，
设对称轴与 x 轴的交点为点 H．
∵ 点 D 坐标是 1,4，
∴ 点 H 坐标是 1,0
∴DH=4，BH=2，
∴ 在 Rt△BDH 中，
BD=DH2+BH2=25，
又 ∵∠QNB=∠DHB，∠QBN=∠DBH，
∴△QBN∽△DBH，
∴QNDH=BNBH，
∴QNBN=DHBH=42=2，
∴QN=2BN，
又 ∵∠BDQ=45∘，
∴ 在 Rt△DNQ 中，∠DQN=45∘，
∴DN=QN=2BN，
∴BN=BD=25，
∴QN=45，
∴ 在 Rt△QBN 中，BQ=BN2+NQ2=10，
∵AB=4，
∴AQ=AB+BQ=14，
∴AP=12AQ=7，
OP=AP−AO=7−1=6．
∴P6,0．