2020年北京市中考数学试卷

这是一份2020年北京市中考数学试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

2020 年北京市中考数学
满分：100 分 时间：120 分钟
一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）
第 1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个
1.右图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A.圆柱 B.圆锥 C.三棱锥 D.长方体
2.2020 年 6 月 23 日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌发射中心发射升空，6 月 30 日
成功定点于距离地球 36000 公里的地球同步轨道.将 36000 用科学记数法表示应为（ ）
0.36´105 B.3.6´105 C.3.6´104 D.36´104 A.
3.如图，AB 和 CD 相交于点 O，则下列结论正确的是（ ）
A.∠ 1=∠ 2 B.∠ 2=∠ 3 C.∠ 1＞∠ 4+∠ 5 D.∠ 2＜∠ 5
4.下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）
5.正五边形的外角和为（ ）
A.180° B.360° C.540° D.720°
6.实数 a 在数轴上的对应点的位置如图所示.若实数 b 满足 -a < b < a ，则 b 的值可以是
（ ）
A.2 B.-1 C.-2 D.-3
7.不透明的袋子中装有两个小球，上面分别写着“1”，“2”，除数字外两个小球无其他差别.
从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，
那么两次记录的数字之和为 3 的概率是（ ）
A.

1
4

B.

1
3

C.

1
2

D.

2
3
8.有一个装有水的容器，如图所示.容器内的水面高度是 10cm，现向容器内注水，并同时开
始计时，在注水过程中，水面高度以每秒 0.2cm 的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器
内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（ ）
A.正比例函数关系 B.一次函数关系 C.二次函数关系 D.反比例函数关系
二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）
9.若代数式

1
x - 7

有意义，则实数 x 的取值范围是 .
10.已知关于 x 的方程 x2 + 2x + k = 0有两个相等的实数根，则 k 的值是 .
11.写出一个比 2 大且比 15 小的整数 .
ìx - y =1
12 方程组 ,的解为 .
í + = î
3x y 7
13.在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y = x 与双曲线 y m
= 交于 A，B 两点.若点 A，B 的纵
x
坐标分别为

y1, y2 ，则

y + y 的值为 .
1 2
14.在∠ ABC 中，AB=AC，点 D 在 BC 上（不与点 B，C 重合）.只需添加一个条件即可证明
∠ ABD∠ ∠ ACD，这个条件可以是 （写出一个即可）
15.如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D 是网格交点，则∠ ABC 的面积与∠ ABD 的
面积的大小关系为：

SD SDABD （填“＞”，“＝”或“＜”）
ABC
16.下图是某剧场第一排座位分布图
甲、乙、丙、丁四人购票，所购票分别为 2,3,4,5.每人选座购票时，只购买第一排的座位相
邻的票，同时使自己所选的座位之和最小.如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么
甲甲购买 1,2 号座位的票，乙购买 3,5,7 号座位的票，丙选座购票后，丁无法购买到第一排
座位的票.若丙第一购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，写出一种满足条件的
购票的先后顺序 .
三、解答题（本题共 68 分，第 17-20 题，每小题 5 分，第 21 题 6 分，第 22 题 5 分，第 23-24
题，每小题 6 分，第 25 题 5 分，第 26 题 6 分，第 27-28 题，每小题 7 分）
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17.计算： (1) 1 18 | 2 | 6 sin 45
- + + - - °
3
ì x - > x
5 3 2
ï
18.解不等式组： í2x -1 < x
ï
î 3 2
19.已知
5x - x -1= 0，求代数式 (3x + 2)(3x -2)+ x(x -2) 的值.
2
20.已知：如图，∠ ABC 为锐角三角形，AB=BC，CD∠ AB.
求作：线段 BP，使得点 P 在直线 CD 上，且∠ ABP=

1
2

ÐBAC .
作法：∠ 以点 A 为圆心，AC 长为半径画圆，交直线 CD 于 C，P 两点；∠ 连接 BP.线段 BP
就是所求作线段.
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明.
证明：∠CD∠AB，
∠∠ABP= .
∠AB=AC，
∠点 B 在∠A 上.
又∠∠BPC=

1
2

∠BAC（ ）（填推理依据）
∠∠ABP=

1
2

∠BAC
21.如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，E 是 AD 的中点，点 F，G 在 AB 上，
EF∠AB，OG∠EF.
（1）求证：四边形 OEFG 是矩形；
（2）若 AD=10，EF=4，求 OE 和 BG 的长.
22.在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y = kx +b(k ¹ 0) 的图象由函数 y = x 的图象平移
得到，且经过点（1,2）.
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当 x >1时，对于 x 的每一个值，函数 y = mx(m ¹ 0)的值大于一次函数 y = kx + b 的
值，直接写出 m 的取值范围.
23.如图，AB 为∠O 的直径，C 为 BA 延长线上一点，CD 是∠O 的切线，D 为切点，OF∠AD
于点 E，交 CD 于点 F.
（1）求证：∠ADC=∠AOF；
（2）若 sinC=

1
3

，BD=8，求 EF 的长.

24.小云在学习过程中遇到一个函数 1 | | ( 2 1)( 2)
y = x x - x + x ³ - .
6
下面是小云对其探究的过程，请补充完整：
（1）当 -2 £ x < 0时，
对于函数

y = x ，即
1 | |

y = -x ，当 -2 £ x < 0时，
1

y 随 x 的增大而 ，且
1

y > ；
1 0
对于函数 2 2 1
y = x - x + ，当 -2 £ x < 0时，

y 随 x 的增大而 ，且
2

y > ；结合上述
2 0
分析，进一步探究发现，对于函数 y ，当 -2 £ x < 0时， y 随 x 的增大而 .
（2）当 x ³ 0 时，对于函数 y ，当 x ³ 0 时， y 与 x 的几组对应值如下表：
x 0 1 1 3 2 5
3
2 2 2

y 0 1

1 7 1 95 7
16 6 16 48 2
综合上表，进一步探究发现，当 x ³ 0 时，y 随 x 的增大而增大.在平面直角坐标系 xOy 中，
画出当 x ³ 0 时的函数 y 的图象.
（3）过点（0，m）（ m > 0）作平行于 x 轴的直线l ，结合（1）（2）的分析，解决问题：
1
若直线l 与函数 y = | x | (x2 - x +1)(x ³ -2) 的图象有两个交点，则 m 的最大值是
6
.
25.小云统计了自己所住小区 5 月 1 日至 30 日的厨余垃圾分出量（单位：千克），相关信息
如下：
a .小云所住小区 5 月 1 日至 30 日的厨余垃圾分出量统计图：
b .小云所住小区 5 月 1 日至 30 日分时段的厨余垃圾分出量的平均数如下：
时段 1 日至 10 日 11 日至 20 日 21 日至 30 日
平均数 100 170 250
（1）该小区 5 月 1 日至 30 日的厨余垃圾分出量的平均数约为 （结果取整数）
（2）已知该小区 4 月的厨余垃圾分出量的平均数为 60，则该小区 5 月 1 日至 30 日的厨余
垃圾分出量的平均数约为 4 月的 倍（结果保留小数点后一位）；
（3）记该小区 5 月 1 日至 10 日的厨余垃圾分出量的方差为 s1 , 5 月 11 日至 20 日的厨余垃
2
圾分出量的方差为 2 s .直接写出 s2 s2 s2 的
s ，5 月 21 日至 30 日的厨余垃圾分出量的方差为 2 1 , 2 , 3
2 3
大小关系.
26.在平面直角坐标系 xOy 中，

M(x , y ), N(x , y ) 为抛物线 y = ax2 +bx +c(a > 0) 上任
1 1 2 2
意两点，其中

x < x .
1 2
（1）若抛物线的对称轴为 x =1，当

x1, x2 为何值时，

y = y = c
1 2 ;

（2）设抛物线的对称轴为 x = t .若对于

x1 + x2 > 3 ，都有

y < y ，求t 的取值范围.
1 2
27.在∠ABC 中，∠C=90°，AC＞BC，D 是 AB 的中点.E 为直线上一动点，连接 DE，过点 D
作 DF∠DE，交直线 BC 于点 F，连接 EF.
（1）如图 1，当 E 是线段 AC 的中点时，设 AE =a,BF = b ，求 EF 的长（用含 a,b 的式
子表示）；
（2）当点 E 在线段 CA 的延长线上时，依题意补全图 2，用等式表示线段 AE，EF，BF 之
间的数量关系，并证明.
28.在平面直角坐标系 xOy 中，∠O 的半径为 1，A，B 为∠O 外两点，AB=1.
给出如下定义：平移线段 AB，得到∠O 的弦 A¢B¢（ A¢, B¢分别为点 A，B 的对应点），线段
A ¢ 长度的最小值称为线段 AB 到∠O 的“平移距离”.
A
（1）如图，平移线段 AB 到∠O 的长度为 1 的弦

P 和
1P
2

P ，则这两条弦的位置关系是
3P
4

；在点

P1, P , P , P 中，连接点 A 与点 的线段的长度等于线段 AB 到∠O 的“平
2 3 4
移距离”；
（2）若点 A，B 都在直线 y = 3x + 2 3 上，记线段 AB 到∠O 的“平移距离”为

d ，求 d 的
1 1
最小值；
3
（3）若点 A 的坐标为 (2, )，记线段 AB 到∠O 的“平移距离”为 d ，直接写出
2
2
围.

d 的取值范
2

2020 年北京市中考数学参考答案和解析
满分：100 分 时间：120 分钟
一.选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）
第 1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个
1.右图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A.圆柱 B.圆锥 C.三棱锥 D.长方体
【解析】长方体的三视图都是长方形，故选 D
2.2020 年 6 月 23 日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌发射中心发射升空，6 月 30 日
成功定点于距离地球 36000 公里的地球同步轨道.将 36000 用科学记数法表示应为（ ）
0.36´105 B.3.6´105 C.3.6´104 D.36´104 A.
【解析】将 36000 用科学记数法表示为，3.6×104，故选 C
3.如图，AB 和 CD 相交于点 O，则下列结论正确的是（ ）
A.∠ 1=∠ 2 B.∠ 2=∠ 3 C.∠ 1＞∠ 4+∠ 5 D.∠ 2＜∠ 5
【解析】由两直线相交，对顶角相等可知 A 正确；由三角形的一个外角等于它不相邻的两
个内角的和可知 B 选项的∠2＞∠3，C 选项∠1=∠4+∠5，D 选项的∠2＞∠5.故选 A.
4.下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）
【解析】正方形既是中心对称图形又是轴对称图形，故选 D
5.正五边形的外角和为（ ）
A.180° B.360° C.540° D.720°
【解析】任意多边形的外角和都为 360°，与边数无关，故选 B
6.实数 a 在数轴上的对应点的位置如图所示.若实数 b 满足 -a < b < a ，则 b 的值可以是
（ ）
A.2 B.-1 C.-2 D.-3
【解析】由于| a |< 2,且b 在 - a 与 a 区间范围内，所以b 到原点的距离一定小于 2，故选 B
7.不透明的袋子中装有两个小球，上面分别写着“1”，“2”，除数字外两个小球无其他差别.
从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，
那么两次记录的数字之和为 3 的概率是（ ）
A.

1
4

B.

1
3

C.

1
2

D.

2
3
【解析】由题意，共 4 种情况：1+1；1+2；2+1；2+2，其中满足题意的有两种，故选 C
8.有一个装有水的容器，如图所示.容器内的水面高度是 10cm，现向容器内注水，并同时开
始计时，在注水过程中，水面高度以每秒 0.2cm 的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器
内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（ ）
A.正比例函数关系 B.一次函数关系 C.二次函数关系 D.反比例函数关系
【解析】因为水面高度“匀速”增加，且初始水面高度不为 0，故选 B
二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）
9.若代数式

1
x - 7

有意义，则实数 x 的取值范围是 .
【解析】分母不能为 0，可得 x -7 ¹ 0，即 x ¹ 7
10.已知关于 x 的方程 x2 + 2x + k = 0有两个相等的实数根，则 k 的值是 .
【解析】一元二次方程有两个相等的实数根，可得判别式△=0，∴ 4-4k = 0 ，解得 k =1
11.写出一个比 2 大且比 15 小的整数 .
【解析】 2 < 4 < 9 < 14 ，可得 2 或 3 均可，故答案不唯一，2 或 3 都对
ìx - y =1
12 方程组 í + = ,的解为 .
î
3x y 7
【解析】两个方程相加可得 4x = 8，∴ x = 2 ，将 x = 2 代入 x - y =1，可得 y = -1，
ìx
故答案为 í
î
y

=
=

2
-1

13.在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y = x 与双曲线 y m
= 交于 A，B 两点.若点 A，B 的纵
x
坐标分别为

y y ，则
1, 2

y + y 的值为 .
1 2
【解析】由于正比例函数和反比例函数均关于坐标原点 O 对称，∴正比例函数和反比例函
数的交点亦关于坐标原点中心对称，∴ 1 + y = 0
y
2
14.在∠ ABC 中，AB=AC，点 D 在 BC 上（不与点 B，C 重合）.只需添加一个条件即可证明
∠ ABD∠ ∠ ACD，这个条件可以是 （写出一个即可）
【解析】答案不唯一，根据等腰三角形三线合一的性质可得，要使△ABD≌△ACD，则可
以填∠BAD=∠CAD 或者 BD=CD 或 AD⊥BC 均可.
15.如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D 是网格交点，则∠ ABC 的面积与∠ ABD 的
面积的大小关系为：

SD SDABD （填“＞”，“＝”或“＜”）
ABC
【解析】由网格图可得 SDABD = 4,S ABC = 4，∴面积相等，答案为“=”
D
16.下图是某剧场第一排座位分布图
甲、乙、丙、丁四人购票，所购票分别为 2,3,4,5.每人选座购票时，只购买第一排的座位相
邻的票，同时使自己所选的座位之和最小.如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么
甲甲购买 1,2 号座位的票，乙购买 3,5,7 号座位的票，丙选座购票后，丁无法购买到第一排
座位的票.若丙第一购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，写出一种满足条件的
购票的先后顺序 .
【解析】答案不唯一；丙先选择：1,2,3,4.丁选：5,7,9,11,13.甲选 6,8.乙选 10,12,14.∴顺序为
丙，丁，甲，乙.
三、解答题（本题共 68 分，第 17-20 题，每小题 5 分，第 21 题 6 分，第 22 题 5 分，第 23-24
题，每小题 6 分，第 25 题 5 分，第 26 题 6 分，第 27-28 题，每小题 7 分）
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
1
-1 + + - - °
17.计算：
( ) 18 | 2 | 6 sin 45
3
【解析】解：原式=3+3 2 + 2-3 2 = 5
ì5x -3 > 2x
ï
18.解不等式组：
í2 1 <
x - x
ï
î 3 2
【解析】
解：解不等式①得： x >1；解不等式②得： x < 2
∴此不等式组的解集为1< x < 2
5x2 - x -1= 0，求代数式 (3x + 2)(3x -2)+ x(x -2) 的值. 19.已知
【解析】：解：原式=9x2 -4+ x2 -2x =10x2 -2x -4
∵5x2 - x -1= 0 ，∴5x2 - x =1，∴10x2 -2x = 2，∴原式= 2-4 = -2
20.已知：如图，∠ABC 为锐角三角形，AB=BC，CD∠AB.
求作：线段 BP，使得点 P 在直线 CD 上，且∠ABP=

1
2

ÐBAC .
作法：∠以点 A 为圆心，AC 长为半径画圆，交直线 CD 于 C，P 两点；∠连接 BP.线段 BP
就是所求作线段.
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明.
证明：∠CD∠AB，
∠∠ABP= .
∠AB=AC，
∠点 B 在∠A 上.
又∠∠BPC=

1
2

∠BAC（ ）（填推理依据）
∠∠ABP=

1
2

∠BAC
【解析】（1）如图所示
（2）∠BPC；在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。
21.如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，E 是 AD 的中点，点 F，G 在 AB 上，
EF∠AB，OG∠EF.
（1）求证：四边形 OEFG 是矩形；
（2）若 AD=10，EF=4，求 OE 和 BG 的长.
【解析】（1）∵四边形 ABCD 为菱形，∴点 O 为 BD 的中点，∵点 E 为 AD 中点，
∴OE 为△ABD 的中位线，∴OE∥FG，
∵OG∥EF，∴四边形 OEFG 为平行四边形
∵EF⊥AB，∴平行四边形 OEFG 为矩形.
1 AD = （2）∵点 E 为 AD 的中点，AD=10，∴AE= 5
2
∵∠EFA=90°，EF=4，∴在 Rt△AEF 中， AF = AE2-EF2 = 52 -42 = 3.
∵四边形 ABCD 为菱形，∴AB=AD=10，∴OE=

1
2

AB=5
∵四边形 OEFG 为矩形，∴FG=OE=5，∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2
22.在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y = kx +b(k ¹ 0) 的图象由函数 y = x 的图象平移
得到，且经过点（1,2）.
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当 x >1时，对于 x 的每一个值，函数 y = mx(m ¹ 0)的值大于一次函数 y = kx + b 的
值，直接写出 m 的取值范围.
【解析】（1）∵一次函数 y = kx+b(k ¹ 0) 由 y = x 平移得到，∴ k =1
将点（1,2）代入 y = x + b可得b =1，∴一次函数的解析式为 y = x +1.
（2）当 x >1时，函数 y = mx(m ¹ 0)的函数值都大于 y = x +1，即图象在 y = x +1上方，
由下图可知：
临界值为当 x =1时，两条直线都过点（1,2），∴当 x >1,m > 2 时. y = mx(m ¹ 0)都大于
y = x + .又∵ x >1，∴ m 可取值 2，即 m = 2 ，∴ m 的取值范围为 m ³ 2
1
23.如图，AB 为∠O 的直径，C 为 BA 延长线上一点，CD 是∠O 的切线，D 为切点，OF∠AD
于点 E，交 CD 于点 F.
（1）求证：∠ADC=∠AOF；
（2）若 sinC=

1
3

，BD=8，求 EF 的长.
【解析】（1）证明：连接 OD，∵CD 是∠O 的切线，∴OD⊥CD，∴∠ADC+∠ODA=90°
∵OF⊥AD，∴∠AOF+∠DAO=90°，∵∠ODA=∠DAO，∴∠ADC=∠AOF.
1
sinC = ，∴
3
（2）设半径为 r ，在 Rt△OCD 中，

OD
OC

=

1
3

，∴OD = r,OC = 3r .
∵OA=r，∴AC=OC-OA=2r
∵AB 为∠O 的直径，∴∠ADB=90°，∴OF∥BD
∴

OE
BD

=

OA
AB

=

1
2

，∴OE=4，
∵

OF
BD

=

OC
BC

=

3
4

，∴OF = 6，∴ EF = OF -OE = 2

24.小云在学习过程中遇到一个函数 1 | | ( 2 1)( 2)
y = x x - x + x ³ - .
6
下面是小云对其探究的过程，请补充完整：
（1）当 -2 £ x < 0时，
对于函数

y = x ，即
1 | |

y = -x ，当 -2 £ x < 0时，
1

y 随 x 的增大而 ，且
1

y > ；
1 0
对于函数 y = x2 - x + ，当 -2 £ x < 0时，
2 1

y 随 x 的增大而 ，且
2

y > ；结合上述
2 0
分析，进一步探究发现，对于函数 y ，当 -2 £ x < 0时， y 随 x 的增大而 .
（2）当 x ³ 0 时，对于函数 y ，当 x ³ 0 时， y 与 x 的几组对应值如下表：
x 0 1 1 3 2 5
3
2 2 2

y 0 1

1 7 1 95 7
16 6 16 48 2
综合上表，进一步探究发现，当 x ³ 0 时，y 随 x 的增大而增大.在平面直角坐标系 xOy 中，
画出当 x ³ 0 时的函数 y 的图象.
（3）过点（0，m）（ m > 0）作平行于 x 轴的直线l ，结合（1）（2）的分析，解决问题：
1
若直线l 与函数 y = | x | (x2 - x +1)(x ³ -2) 的图象有两个交点，则 m 的最大值是
6
.
【解析】（1）减小，减小，减小
（2）根据表格描点，连成平滑的曲线即可
（3）当 x = -2时，

7
y = ，∴ m 的最大值为
3

7
3
25.小云统计了自己所住小区 5 月 1 日至 30 日的厨余垃圾分出量（单位：千克），相关信息
如下：
a .小云所住小区 5 月 1 日至 30 日的厨余垃圾分出量统计图：
b .小云所住小区 5 月 1 日至 30 日分时段的厨余垃圾分出量的平均数如下：
时段 1 日至 10 日 11 日至 20 日 21 日至 30 日
平均数 100 170 250
（1）该小区 5 月 1 日至 30 日的厨余垃圾分出量的平均数约为 （结果取整数）
（2）已知该小区 4 月的厨余垃圾分出量的平均数为 60，则该小区 5 月 1 日至 30 日的厨余
垃圾分出量的平均数约为 4 月的 倍（结果保留小数点后一位）；
（3）记该小区 5 月 1 日至 10 日的厨余垃圾分出量的方差为 1 ,
s 5 月 11 日至 20 日的厨余垃
2
圾分出量的方差为 s2 ，5 月 21 日至 30 日的厨余垃圾分出量的方差为 2 1 , 2 , 3
s .直接写出 s2 s2 s2 的 2 3
大小关系.
【解析】（1）平均数：[(100´10)+(170´10)+(250´10)]¸30 »173（千克）
（2）133¸60 » 2.9倍
（3）方差反应数据的稳定程度，即从点状图中表现数据的离散程度，所以从图中可知：
s1 > s > s
2 2 2
2 3
26.在平面直角坐标系 xOy 中，

M(x , y ), N(x , y ) 为抛物线 y = ax2 +bx +c(a > 0) 上任
1 1 2 2
意两点，其中

x < x .
1 2
（1）若抛物线的对称轴为 x =1，当

x x 为何值时，
1, 2

y = y = c
1 2 ;
（2）设抛物线的对称轴为 x = t .若对于 x1 + x2 > 3 ，都有

y < y ，求t 的取值范围.
1 2
【解析】（1）抛物线必过（0，c），∵ y1 = y = c ，∴点 M，N 关于 x =1对称，
2
又∵

x < ，∴ 0, 2
1 x x1 = x =
2 2
（2）情况 1：当 x1 ³ t, y1 < y2 恒成立
情况 2：当 x1 < t, x2 £ t, y1 < y2 恒不成立
情况 3：当 x < , £ ,要
1 t x t
2

y < ，必有 x + x > t
1 y 1 2
2
2
∴ 2t £ 3, ∴
t

£

3
2

27.在∠ ABC 中，∠ C=90°，AC＞BC，D 是 AB 的中点.E 为直线上一动点，连接 DE，过点 D
作 DF∠ DE，交直线 BC 于点 F，连接 EF.
（1）如图 1，当 E 是线段 AC 的中点时，设 AE =a,BF = b ，求 EF 的长（用含 a,b 的式
子表示）；
（2）当点 E 在线段 CA 的延长线上时，依题意补全图 2，用等式表示线段 AE，EF，BF 之
间的数量关系，并证明.
【解析】（1）∵D 是 AB 的中点，E 是线段 AC 的中点，∴DE 为△ABC 的中位线
∴DE∥BC，∵∠C=90°，∴∠DEC=90°，∵DF⊥DE，∴∠EDF=90°
1
∴四边形 DECF 为矩形，∴DE=CF= BC
2

，∴BF=CF，
∴BF=CF，∴DF=CE=

1
2

AC，∴

EF = DE2 + DF2 = a2 +b2 .
（2）过点 B 作 AC 的平行线交 ED 的延长线于点 G，连接 FG.
∵BG∥AC，∴∠EAD=∠GBD，∠DEA=∠DGB
∵D 是 AB 的中点，∴AD=BD，∴△EAD≌△GBD（AAS）
∴ED=GD，AE=BG.
∵DF⊥DE，∴DF 是线段 EG 的垂直平分线
∴EF=FG
∵∠C=90°，BG∥AC，∴∠GBF=90°，
在 Rt△BGF 中，

FG = 2 + 2 ，∴ EF2 = AE2 + BF2
2 BG BF

28.在平面直角坐标系 xOy 中，∠O 的半径为 1，A，B 为∠O 外两点，AB=1.
给出如下定义：平移线段 AB，得到∠O 的弦 A¢B¢（ A¢, B¢分别为点 A，B 的对应点），线段
A ¢ 长度的最小值称为线段 AB 到∠O 的“平移距离”.
A
（1）如图，平移线段 AB 到∠O 的长度为 1 的弦

P 和
1P
2

P ，则这两条弦的位置关系是
3P
4

；在点

P 中，连接点 A 与点 的线段的长度等于线段 AB 到∠O 的“平
1, P , P , P
2 3 4
移距离”；
（2）若点 A，B 都在直线 y = 3x + 2 3 上，记线段 AB 到∠O 的“平移距离”为

d ，求 d 的
1 1
最小值；
3
（3）若点 A 的坐标为 (2, )，记线段 AB 到∠O 的“平移距离”为 d ，直接写出
2
2
围.

d 的取值范
2
【解析】（1）平行；P3.
（2）如图，线段 AB 在直线 y = 3x + 2 3 上，平移之后与圆相交，得到的弦为 CD，CD
∥AB，过点 O 作 OE⊥AB 于点 E，交弦 CD 于点 F，OF⊥CD，令 y = 0，直线与 x 轴交点
为（-2,0），直线与 x 轴夹角为 60°，∴OE = 2sin 60° = 3 .
由垂径定理得：
OF

1
= OC2 - ( CD)2 =
2

3
2
∴

d1 = OE -OF =

3
2
3
（3）如图，线段 AB 的位置变换，可以看做是以点 A(2, )为圆心，半径为 1 的圆，只需
2
在∠O 内找到与之平行，且长度为 1 的弦即可；
点 A 到 O 的距离为

3 5
AO = 22 + ( )2 = .
2 2
如图，平移距离

d 的最小值即点 A 到∠O 的最小值：
2

5 - =
1
2

3
2
平移距离

d 的最大值即点 A 到∠O 的最大值：
2

5 + =
1
2

7
2

∴

d 的取值范围为：
2

3

£ d
2 £

7
2 2