2020年北京市平谷区中考二模数学试卷

这是一份2020年北京市平谷区中考二模数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 垃圾分类功在当代利在千秋，下列垃圾分类指引标志图形中，是轴对称图形又是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

2. 实数 a，b，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，若 a 与 c 互为相反数，则 a，b，c 中绝对值最大的数是
A. aB. bC. cD. 无法确定

3. 聪聪在阅读一篇文章时看到水分子的直径约为 0.4 纳米，通过百度搜索聪聪又知道 1 纳米 =10−9 米，则水分子的直径约为
A. 4×10−10 米B. 0.4×10−10 米C. 4×10−9 米D. 4×10−8 米

4. 下列几何体中主视图为矩形的是
A. B.
C. D.

5. 如果 x+y−2=0，那么代数式 1y−1x⋅xyx2−y2 的值为
A. −12B. −2C. 12D. 2

6. 如图，螺丝母的截面是正六边形，则 ∠1 的度数为
A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 75∘

7. 某校开设了冰球选修课，12 名同学被分成甲、乙两组进行训练，他们的身高（单位：cm）如下图所示：
设两队队员身高的平均数依次为 x甲，x乙，方差依次为 s甲2，s乙2，下列关系中完全正确的是
A. x甲=x乙，s甲2s乙2
C. x甲x乙，s甲2>s乙2

8. 如图，是某企业甲、乙两位员工的能力测试结果网状图，以 O 为圆心的五个同心圆分别代表能力水平的五个等级，由低到高分别赋分 1 至 5 分，由原点出发的五条线段分别指向能力水平的五个维度，网状图能够更加直观的描述测试者的优势和不足，观察图形，有以下几个推断：
①甲和乙的动手操作能力都很强；
②缺少探索学习的能力是甲自身的不足；
③与甲相比，乙需要加强与他人的沟通和合作能力；
④乙的综合评分比甲要高．
其中合理的是
A. ①③B. ②④C. ①②③D. ①②③④

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 因式分解：x2y−9y= ．

10. 如图所示，边长为 1 正方形网格中，点 A，B，C 落在格点上，则 ∠ACB+∠ABC 的度数为 ．

11. 如果二次根式 x−1 有意义，那么 x 的取值范围是 ．

12. 如图，直线 l∥m，点 A，B 是直线 l 上两点，点 C，D 是直线 m 上两点，连接 AC，AD，BC，BD．AD，BC 交于点 O，设 △AOC 的面积为 S1，△BOD 的面积为 S2，则 S1 S2（填“>”，“<”或“=”）．

13. 一次函数的图象经过点 0,2，且函数 y 随自变量 x 的增大而增大．写出一个符合条件的一次函数表达式 ．

14. 用一个 a 的值说明命题“−a 一定表示一个负数”是错误的，a 的值可以是 ．

15. 图 1 中的小矩形长为 x，宽为 y，将四个同样的小矩形拼成如图 2 的正方形，则可列出关于 x，y 的方程组为 ．

16. 某商场在端午节前以 1 元/个的价格购进 1000 个粽子，现有以下三种销售方式：不加工直接卖，对产品进行粗加工后再卖，对产品进行精加工后再卖．受加工能力和气温影响，粗加工一天只能加工 200 个，细加工一天只能加工 100 个，两种加工不能同时进行，且最多加工三天．
加工方式加工成本销售单位售价直接卖0个2元/个粗加工1元/个包装袋一袋5个30元/袋精加工2.5元/个礼盒一盒10个85元/盒
假设所有粽子均能全部售出，则以下销售方式中利润最大的是 ．
方案一：不加工直接销售；
方案二：三天全部进行精加工，剩下的直接卖；
方案三：两天精加工，一天粗加工，剩下的直接卖；
方案四：两天粗加工，一天精加工，剩下的直接卖．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 计算：2cs30∘−3−π0+12−1−12．

18. 解不等式组：2x−3
19. 下面是小元设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：如图，直线 l 和直线外一点 P．
求作：过点 P 作直线 l 的平行线．
作法：如图，
①在直线 l 上任取点 O；
②作直线 PO；
③以点 O 为圆心 OP 长为半径画圆，交直线 PO 于点 A，交直线 l 于点 B；
④连接 AB，以点 B 为圆心，BA 长为半径画弧，交 ⊙O 于点 C（点 A 与 C 不重合）；
⑤作直线 CP．
则直线 CP 即为所求．
根据小元设计的尺规作图过程，完成以下任务．
（1）补全图形；
（2）完成下面证明：
证明：连接 BP，BC．
∵AB=BC，
∴AB=BC，
∴∠ =∠ ，
又 ∵OB=OP，
∴∠ =∠ ，
∴∠CPB=∠OBP，
∴CP∥l（ ）（填推理的依据）．

20. 已知关于 x 的一元二次方程 x2+k−1x+k−2=0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）任意写出一个 k 值代入方程，并求出此时方程的解．

21. 如图，在菱形 ABCD 中，延长 AB 到 E，延长 AD 到 F，使 BE=DF，连接 EF，连接 AC 并延长交 EF 于点 G．
（1）求证：AG⊥EF；
（2）连接 BD 交 AC 于 O，过 B 作 BM⊥EF 于点 M，若 BD=2，C 为 AG 中点，求 EM 的长．

22. 如图，以 AB 为直径的 ⊙O，交 AC 于点 E，过点 O 作半径 OD⊥AC 于点 G，连接 BD 交 AC 于点 F，且 FC=BC．
（1）求证：BC 是 ⊙O 的切线；
（2）若 ⊙O 的半径为 5，tanA=34，求 GF 的长．

23. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，正方形 OABC 的边长为 2，函数 y=kxx>0 的图象经过点 B，与直线 y=x+b 交于点 D．
（1）求 k 的值；
（2）直线 y=x+b 与 BC 边所在直线交于点 M，与 x 轴交于点 N．
①当点 D 为 MN 中点时，求 b 的值；
②当 DM>MN 时，结合函数图象，直接写出 b 的取值范围．

24. 疫情期间某校学生积极观看网络直播课程，为了了解全校 500 名学生观看网络直播课程的情况，随机抽取 50 名学生，对他们观看网络直播课程的节数进行收集，并对数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
观看直播课节数的频数分布表
节数x频数频率0≤x<1080.1610≤x<20100.2020≤x<3016b30≤x<40a0.24x≥4040.08总数501
其中，节数在 20≤x<30 这一组的数据是：
20202122232323232526262627282829
请根据所给信息，解答下列问题．
（1）a= ，b= ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）随机抽取的 50 名学生观看直播课节数的中位数是 ；
（4）请估计该校学生中观看网络直播课节数不低于 30 次的约有 人．

25. 如图，M 是弦 AB 与弧 AB 所围成的图形的内部的一个定点，P 是弦 AB 上一动点，连接 PM 并延长交弧 AB 于点 Q，连接 QB．
已知 AB=6 cm，设 A，P 两点间的距离为 x cm，P，Q 两点间距离为 y1 cm，BQ 两点间距离为 y2 cm．
小明根据学习函数的经验，分别对函数 y1，y2 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了研究．下面是小明的探究过程，请补充完整．
（1）按照如表中自变量 x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了 y1，y2 与 x 的几组对应值，补全下表；
（2）在同一平面直角坐标系 xOy 中，描出表中各组数值对应的点 x1,y1 和 x2,y2，并画出函数 y1，y2 的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：当 △PQB 为等腰三角形时，AP 的长度约 cm（精确到 0.1）．

26. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=mx2−2mx−1m>0 与 x 轴的交点为 A，B，与 y 轴交于 C．
（1）求抛物线的对称轴和点 C 坐标；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．抛物线在点 A，B 之间的部分与线段 AB 所围成的区域为图形 W（不含边界）．
①当 m=1 时，求图形 W 内的整点个数；
②若图形 W 内有 2 个整数点，求 m 的取值范围．

27. 如图，在 △ABM 中，∠ABC=90∘，延长 BM 使 BC=BA，线段 CM 绕点 C 顺时针旋转 90∘ 得到线段 CD，连接 DM，AD．
（1）依据题意补全图形；
（2）当 ∠BAM=15∘ 时，∠AMD 的度数是 ；
（3）小聪通过画图、测量发现，当 ∠AMB 是一定度数时，AM=MD．
小聪把这个猜想和同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：
想法 1：通过观察图形可以发现，如果把梯形 ABCD 补全成为正方形 ABCE，就易证 △ABM≌△AED，因此易得当 ∠AMD 是特殊值时，问题得证；
想法 2：要证 AM=MD，通过第（2）问，可知只需要证明 △AMD 是等边三角形，通过构造平行四边形 CDAF，易证 AD=CF，通过 △ABM≌△CBF，易证 AM=CF，从而解决问题；
想法 3: 通过 BC=BA，∠ABC=90∘，连接 AC，易证 △ACM≌△ACD，易得 △AMD 是等腰三角形，因此当 ∠AMD 是特殊值时，问题得证．
请你参考上面的想法，帮助小聪证明当 ∠AMB 是一定度数时，AM=MD．（一种方法即可）

28. 如图 1，点 P 是平面内任意一点，点 A，B 是 ⊙C 上不重合的两个点，连接 PA，PB．当 ∠APB=60∘ 时，我们称点 P 为 ⊙C 的“关于 AB 的关联点”．
（1）如图 2，当点 P 在 ⊙C 上时，点 P 是 ⊙C 的“关于 AB 的关联点”时，画出一个满足条件的 ∠APB，并直接写出 ∠ACB 的度数；
（2）在平面直角坐标系中有点 M1,3，点 M 关于 y 轴的对称点为点 N．
①以点 O 为圆心，OM 为半径画 ⊙O，在 y 轴上存在一点 P，使点 P 为 ⊙O“关于 MN 的关联点”，直接写出点 P 的坐标；
②点 Dm,0 是 x 轴上一动点，当 ⊙D 的半径为 1 时，线段 MN 上至少存在一点是 ⊙D 的“关于某两个点的关联点”，求 m 的取值范围．
答案
第一部分
1. D
2. B
3. A
4. B
5. C
6. C
7. A
8. D
第二部分
9. yx+3x−3
10. 45∘
11. x≥1
12. =
13. 答案不唯一，如 y=2x+2
14. 答案不唯一，如 a=−1
15. x+y=4,x−y=2 或 xy=3
16. 方案四
第三部分
17. 原式=2×32−1+2−23=1−3．
18.
2x−3由 ① 得
2x−6由 ② 得
x−1<2x.x>−1.
所以
−119. （1） 补全图形．
（2） CPB；APB；APB；OBP；内错角相等，两直线平行
20. （1） Δ=k−12−4k−2=k2−6k+9=k−32.
∵Δ≥0，
∴ 方程总有两个不相等的实数根．
（2） 当 k=2，
∴x2+x=0，解得 x1=0，x2=−1．
21. （1） ∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ ∠1=∠2，AD=AB，
∵ BE=DF，
∴ AE=AF，
∴ AG⊥EF．
（2） ∵ 菱形 ABCD，
∴ BD⊥AC，
∵ BM⊥EF，AG⊥EF，
∴ ∠BOG=∠OGM=∠GMB=90，
∴ 四边形 OBMG 是矩形，
∵ C 为 AG 中点，
∴ AOAG=BOEG=14，
∵ BD=2，
∴ GE=4，
∵ GM=OB=1，
∴ ME=3．
22. （1） ∵ 半径 OD⊥AE，
∴∠1=90∘，
∴∠2+∠D=90∘，
∵FC=BC，
∴∠3=∠4=∠2，
∵OD=OB，
∴∠5=∠D，
∴∠4+∠5=90∘，
∴∠ABC=90∘，
∴BC 与 ⊙O 相切．
（2） ∵∠1=90∘，半径为 5，tanA=34，
∴OG=3，AG=4，
∵∠1=∠ABC=90∘，∠A=∠A，
∴△AGO∽△ABC，
∴OGBC=AOAC=AGAB，
∴3BC=5AC=410，
∴BC=152，AC=252，
∴FC=152，
∴GF=1．
23. （1） B2,2，k=4．
（2） ①如图，D4,1，
代入得，b=−3．
② b>3．
24. （1） 12；0.32
（2） 略．
（3） 23
（4） 160
【解析】500×0.32=160（人）．
25. （1） 2.33（2.0∼2.5 之间均可）
（2） 如图所示．
（3） 3.7，4.6，4.2
26. （1） x=−b2a=1，C0,−1．
（2） ① 1 个；
②当抛物线顶点为 1,−2 时，m=1；
当抛物线顶点为 1,−3 时，m=2，
∴127. （1） 补全图形．
（2） 60∘
（3） 当 ∠AMD=75∘ 时结论成立．
证明：想法一：
过 A 作 AE⊥CD 于 E．
∵∠B=∠C=∠E=90∘，AB=BC，
∴ 四边形 ABCE 是正方形，
∴AB=AE，∠B=∠E，BC=CE，
∵MC=DC，
∴BM=DE，
∴△ABM≌△AED，
∴AD=AM，
∵∠AMD=75∘，
∴△AMD 是等边三角形，
∴AM=DM．
28. （1） 如图所示；120∘．
（2） ① P0,23或0,0；
② −2≤m≤2．