2020年上海市闵行区中考一模数学试卷（期末）

这是一份2020年上海市闵行区中考一模数学试卷（期末），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. 下列各数中，无理数是
A. −4B. 912C. 39D. 227

2. 不等式 −2x>3 的解集是
A. x>−23B. x<−23C. x>−32D. x<−32

3. 下列方程中，有实数根的是
A. x−1=−xB. x−1+x=0
C. xx2−1=1x2−1D. x2+2020x−1=0

4. 已知反比例函数 y=kx，当 x>0 时，y 的值随 x 的值增大而增大，下列四个选项中，可能是二次函数 y=2kx2−x−k 图象的选项是
A. B.
C. D.

5. 要判断一个四边形门框是否为矩形，在下面四个拟定方案中，正确的方案是
A. 测量对角线是否相互平分B. 测量两组对边是否分别相等
C. 测量对角线是否互相垂直D. 测量其中三个角是否是直角

6. 如果两个圆的圆心距为 3，其中一个圆的半径长为 4，另一个圆的半径长大于 1，那么这两个圆的位置关系不可能是
A. 内含B. 内切C. 外切D. 相交

二、填空题（共12小题；共60分）
7. 计算：a2⋅a3= ．

8. 在实数范围内分解因式：x2−2x−2= ．

9. 已知 fx=2x2−1，且 fa=3，那么 a= ．

10. 已知一次函数 y=kx+b 的图象如图，则关于 x 的不等式 kx+b>0 的解集是 ．

11. 某同学计划购买一双运动鞋，在网站上浏览时发现如表所示的男鞋尺码对照表．
中码CHN220225230⋯250255260⋯美码USA4.555.5⋯7.588.5⋯
如果美码（y）与中码（x）之间满足一次函数关系，那么 y 关于 x 的函数关系式为 ．

12. 一个不透明的袋子中装有 8 个大小、形状、都一样的小球，其中有 3 个红球与 5 个黄球，从这 8 个球中任取一个球是红球的概率是 ．

13. 如果一段斜坡的坡角是 30∘，那么这段斜坡的坡度是 （请写成 1:m 的形式）．

14. 如图，在 △ABC 中，AD 是边 BC 上的中线，设向量 AB=a，AC=b，如果用向量 a，b 表示向量 AD，那么向量 AD 可以表示为 ．

15. 已知正三角形的边长为 2，那么该三角形的半径长为 ．

16. 如果两点 A2,a 和 Bx,b 在抛物线 y=x2−4x+m 上，那么 a 和 b 的大小关系为：a b．（从“>”“≥”“<”“≤”中选择）．

17. 平移抛物线 y=2x2−4x，可以得到抛物线 y=2x2+4x，请写出一种平移方法 ．

18. 如果三角形的两个内角 ∠α 与 ∠β 满足 2α+β=90∘，那么，我们将这样的三角形称为“准互余三角形”．在 △ABC 中，已知 ∠C=90∘，BC=3，AC=4（如图所示），点 D 在 AC 边上，连接 BD．如果 △ABD 为“准互余三角形”，那么线段 AD 的长为 （写出一个答案即可）．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 计算：3−1−2×6+12−3−823．

20. 解方程组：x+2y=8,x2+5xy−6y2=0.

21. 如图，在 △ABC 中，∠C=90∘, ∠A=30∘，BC=1，点 D 在边 AC 上，且 ∠DBC=45∘，求 sin∠ABD 的值．

22. 某电脑公司 2019 年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为 800 万元，占全年经营总收入的 40%，该公司预计 2021 年经营总收入要达到 2880 万元，且计划从 2019 年到 2021 年，每年经营总收入的年增长率相同，问 2020 年预计经营总收入为多少万元?

23. 已知：如图，△ABC 中，∠ACB=90∘，D 在斜边 AB 上，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为 E，F．
（1）当 ∠ACD=∠BCD 时，求证：四边形 DECF 是正方形；
（2）当 ∠BCD=∠A 时，求证：CDCA=CFAD．

24. 如图，已知一个抛物线经过 A0,1，B1,3，C−1,1 三点．
（1）求这个抛物线的表达式及其顶点 D 的坐标．
（2）连接 AB，BC，CA，求 tan∠ABC 的值．
（3）如果点 E 在该抛物线的对称轴上，且以点 A，B，C，E 为顶点的四边形是梯形，直接写出点 E 的坐标．

25. 在圆 O 中，弦 AB 与 CD 相交于点 E，且弧 AC 与弧 BD 相等．点 D 在劣弧 AB 上，连接 CO 并延长交线段 AB 于点 F，连接 OA，OB．当 OA=5，且 tan∠OAB=12．
（1）求弦 CD 的长；
（2）如果 △AOF 是直角三角形，求线段 EF 的长；
（3）如果 S△CEF=4S△BOF，求线段 AF 的长．
答案
第一部分
1. C【解析】A．−4=−2，是整数，属于有理数；
B．912，是分数，属于有理数；
C．39 是无理数；
D．227 是分数，属于有理数．
故选：C．
2. D【解析】不等式的两边同时除以 −2 得，x<−32．
故选：D．
3. D【解析】∵x−1≥0，x−1≥0，
∴x≥1，
∴−x<0，
∴x−1≠−x，
∴ A不正确；
∵x−1≥0，x≥0，
当 x=1 时，x−1+x 有最小值 1，
∴x−1+x≥1，
∴ B不正确；
xx2−1=1x2−1 两边同时乘以 x2−1，得 x=1，
经检验 x=1 是方程的增根，
∴ 方程无解；
∴ C不正确；
x2+2020x−1=0，
∵Δ=20202+4>0，
∴ 方程有两个不相等的实数根，
∴ D正确．
4. D【解析】∵ 反比例函数 y=kx，当 x>0 时，y 的值随 x 的值增大而增大，
∴k<0，
∴ 二次函数 y=2kx2−x−k 中，2k<0，则图象开口向下，
−k>0，则图象与 y 轴交在正半轴上，
又 ∵b=−1<0，
∴ 二次项与一次项系数相同，则对称轴在 y 轴左侧，
符合题意的只有选项D．
5. D
【解析】∵ 对角线相互平分的四边形是平行四边形，故A错误；
∵ 两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故B错误；
∵ 对角线互相垂直的四边形不一定是矩形，故C错误；
∵ 三个角是直角的四边形是矩形，故D正确；
∴ 在这四个拟定方案中，正确的方案是D，故选：D．
6. C【解析】∵ 一个圆的半径 R 为 4，另一个圆的半径 r 大于 1，
∴R−r<4−1，R+r>5，即：R−r<3，
∵ 圆心距为 3，
∴ 两圆不可能外切．
第二部分
7. a5
【解析】a2⋅a3=a2+3=a5，故答案为 a5．
8. x−1−3x−1+3
【解析】原式=x−12−3=x−1+3x−1−3.
9. ±2
【解析】∵fx=2x2−1，fa=3，
∴fa=2a2−1=3，
∴2a2−1=3 时，a=±2．
10. x<2
【解析】如图所示，关于 x 的不等式 kx+b>0 的解集是 x<2．
11. y=0.1x−17.5
【解析】设 y 关于 x 的函数关系式为：y=kx+b，
由题意可得：5=225k+b,8=255k+b.
解得：k=0.1,b=−17.5.
∴y 关于 x 的函数关系式为 y=0.1x−17.5．
12. 38
【解析】在口袋中放有 3 个红球与 5 个黄球，共 8 个，这两种球除颜色外完全相同，随机从口袋中任取一个球，
从这 8 个球中任取一个球是红球的概率是 38．
13. 1:3
【解析】因为斜坡的坡角是 30∘，所以这段斜坡的坡度 =tan30∘=3:3=1:3．
14. 12a+12b
【解析】如图，延长 AD 到 E，使得 DE=AD，连接 BE，CE．
∵AD=DE，BD=CD，
∴ 四边形 ABEC 是平行四边形，
∴BE=AC=b，
∵AE=AB+BE=a+b，
∴AD=12AE=12a+12b．
15. 233
【解析】如图所示：连接 OA，OB，OC，过 O 作 OD⊥BC 于 D，
∵△ABC 是边长为 2 的等边三角形，
∴AB=AC=BC=2，∠ABC=60∘，
∴∠OBD=30∘，
∵OD⊥BC，
∴∠ODB=90∘，BD=CD=12BC=1，
∴OD=BD⋅tan30∘=1×33=33，
∴OB=2OD=233，
∴ 该三角形的半径长为 233．
16. ≤
【解析】∵ 抛物线 y=x2−4x+m 的对称轴为 x=2，
∴ 当 x=2 时函数有最小值，
∴b≥a，
故答案为：≤．
17. 向左平移 2 个单位
【解析】∵y=2x2−4x=2x−12−2，y=2x2+4x=2x+12−2，
∴ 两抛物线的顶点坐标分别为 1,−2 和 −1,−2，
∴ 将抛物线 y=2x2−4x 先向左平移 2 个单位长度，可以得到抛物线 y=2x2+4x．
18. 52 或 74
【解析】过点 D 作 DM⊥AB 于 M．
设 ∠ABD=α，∠A=β．
①当 2α+β=90∘ 时，
∵α+β+∠DBC=90∘，
∴∠DBC=∠DBA，
∵DM⊥AB，DC⊥BC，
∴DM=DC，
∵∠DMB=∠C=90∘，DM=DC，BD=BD，
∴Rt△BDC≌Rt△BDMHL，
∴BM=BC=3，
∵∠C=90∘，BC=3，AC=4，
∴AB=BC2+AC2=5，
∴AM=5−3=2，设 AD=x，则 CD=DM=4−x，
在 Rt△ADM 中，则有 x2=4−x2+22，解得 x=52．
∴AD=52．
②当 α+2β=90∘ 时，
∵α+β+∠DBC=90∘，
∴∠DBC=β=∠A，
∵∠C=∠C，
∴△CBD∽△CAB，
∴BC2=CD⋅CA，
∴CD=94，
∴AD=AC−CD=4−94=74．
第三部分
19. 原式=3−1−23+2+3−4=−3.
20.
x+2y=8, ⋯⋯①x2+5xy−6y2=0. ⋯⋯②
由 ② 得：
x+6y=0,x−y=0.
原方程组可化为
x+2y=8,x+6y=0或x+2y=8,x−y=0.
故原方程组的解为
x1=12,y1=−2,x2=83,y2=83.
21. 如图，过点 D 作 DM⊥AB 于 M，在 BA 上取一点 H，使得 BH=DH，连接 DH．设 DM=a．
∵∠C=90∘，∠A=30∘，
∴∠ABC=90∘−30∘=60∘，
∵∠DBC=45∘，
∴∠ABD=60∘−45∘=15∘，
∵HB=HD，
∴∠HBD=∠HDB=15∘，
∴∠DHM=∠HBD+∠HDB=30∘，
∴DH=BH=2a，MH=3a，BM=2a+3a，
∴BD=DM2+BM2=a2+2a+3a2=2+6a，
∴sin∠ABD=DMDB=a2+6a=6−24．
22. 从 2019 年到 2021 年，平均经营总收入增长率为 x，根据题意可得：
800÷40%1+x2=2880.
解得：
x1=0.2=20%,x2=2.2不合题意舍去.
则 800÷40%×1+20%=2400（万元）．
答：2020 年预计经营总收入为 2400 万元．
23. （1） ∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠DEC=∠DFC=90∘，
又 ∵∠ECF=90∘，
∴ 四边形 DECF 为矩形．
∵∠ACD=∠BCD，
∴CD 平分 ∠ACB，
∴DE=DF，
∴ 四边形 DECF 是正方形．
（2） ∵∠BCD+∠ACD=∠ACB=90∘，∠BCD=∠A，
∴∠A+∠ACD=90∘，
∴∠ADC=180∘−90∘=90∘．
∵∠DCF=∠A，∠DFC=∠ADC=90∘，
∴△CDF∽△ACD，
∴CDCA=CFAD．
24. （1） 设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+ca≠0．
由题意可得：3=a+b+c,1=a−b+c,c=1,
解得：a=1,b=1,c=1,
∴ 抛物线的解析式为：y=x2+x+1，
∵y=x2+x+1=x+122+34，
∴ 顶点 D 的坐标 −12,34．
（2） 如图，过点 B 作 BF⊥x 轴于 F，延长 CA 交 BF 于点 D，过点 A 作 AM⊥BC 于 M，
∴BF=3，
∵A0,1，C−1,1，
∴AC∥x 轴，
∴CD⊥BF，
∴CD=BD=2，AD=1，CA=1，
∴BC=22，∠BCD=∠CBD=45∘，
∵AM⊥BC，
∴∠MAC=∠MCA=45∘，
∴CM=AM，
∴CM=AM=AC2=22，
∴BM=BC−CM=322，
∴tan∠ABC=AMBM=13．
（3） 点 E 的坐标为 −12,3 或 −12,2 或 −12,12．
【解析】∵A0,1，B1,3，C−1,1，
∴ 直线 AC 解析式为：y=1，
直线 AB 解析式为：y=2x+1，
直线 BC 解析式为：y=x+2，
若 BE∥AC，则点 E 的纵坐标为 3，且点 E 在对称轴上，
∴ 点 E−12,3；
若 CE∥AB，则 CE 的解析式为：y=2x+3，
∵ 点 E 在对称轴上，
∴x=−12，
∴y=2，
即点 E−12,2；
若 AE∥BC，则 AE 解析式为：y=x+1，
∵ 点 E 在对称轴上，
∴x=−12，
∴y=12，
即点 E−12,12，
综上所述：点 E 的坐标为 −12,3 或 −12,2 或 −12,12．
25. （1） 如图，过点 O 作 OH⊥AB 于点 H，
∵tan∠OAB=12=OHAH，
∴ 设 OH=a，AH=2a，
∵AO2=OH2+AH2=5，
∴a=1，
∴OH=1，AH=2，
∵OH⊥AB，
∴AB=2AH=4，
∵弧AC=弧BD，
∴AB=CD，
∴AB=CD=4；
（2） ∵OA=OB，
∴∠OAF=∠OBA，
∴∠OAF=∠ECF，
①当 ∠AFO=90∘ 时，
∵OA=5，tan∠OBA=12，
∴OC=OA=5，OF=1，AB=4，
∴EF=CF⋅tan∠ECF=CF⋅tan∠OBA=5+12；
②当 ∠AOF=90∘ 时，
∵OA=OB，
∴∠OAF=∠OBA，
∴tan∠OAF=tan∠OBA=12，
∵OA=5，
∴OF=OA⋅tan∠OAF=52，
∴AF=52，
∵∠OAF=∠OBA=∠ECF，∠OFA=∠EFC，
∴△OFA∽△EFC，
∴EFOF=OC+OFAF=355，
∴EF=355OF=32，
即：EF=32或5+12．
（3） 如图，连接 OE，
∵∠ECB=∠EBC，
∴CE=EB，
∵OE=OE，OB=OC，
∴△OEC≌△OEB，
∴S△OEC=S△OEB，
∵S△CEF=4S△BOF，
∴S△CEO+S△EOF=4S△BOE−S△EOF，
∴S△CEOS△EFO=53，
∴COFO=53，
∴FO=35CO=355，
∵△OFA∽△EFC，
∴CEEF=AOFO=OCOF=53，
∴BF=BE−EF=CE−EF=23EF，
∴AF=AB−BF=4−23EF，
∵△OAF∽△EFC，
∴CFFA=EFFO，
∴8554−23EF=EF355，
∴EF=3−355，
∴AF=4−23EF=2+255．