2020年北京市西城区中考一模数学试卷

这是一份2020年北京市西城区中考一模数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 北京大兴国际机场目前是全球建设规模最大的机场，2019 年 9 月 25 日正式通航，预计到 2022 年机场旅客吞吐量将达到 45000000 人次，将 45000000 用科学记数法表示为
A. 45×106B. 4.5×107C. 4.5×108D. 0.45×108

2. 如图是某个几何体的三视图，该几何体是
A. 圆锥B. 圆柱C. 长方体D. 正三棱柱

3. 下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

4. 在数轴上，点 A，B 表示的数互为相反数，若点 A 在点 B 的左侧，且 AB=22，则点 A，点 B 表示的数分别是
A. −2，2B. 2，−2C. 0，22D. −22，22

5. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，C，D 是 ⊙O 上的两点．若 ∠CAB=65∘，则 ∠ADC 的度数为
A. 65∘B. 35∘C. 32.5∘D. 25∘

6. 甲、乙两名运动员的 10 次射击成绩（单位：环）如图所示，甲、乙两名运动员射击成绩的平均数依次记为 x甲，x乙，射击成绩的方差依次记为 s甲2，s乙2，则下列关系中完全正确的是
A. x甲=x乙，s甲2>s乙2B. x甲=x乙，s甲2C. x甲>x乙，s甲2>s乙2D. x甲
7. 如图，在数学实践活动课上，小明同学打算通过测量树的影长计算树的高度．阳光下他测得长 1.0 m 的竹竿落在地面上的影长为 0.9 m．在同一时刻测量树的影长时，他发现树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在墙面上．他测得这棵树落在地面上的影长 BD 为 2.7 m，落在墙面上的影长 CD 为 1.0 m，则这棵树的高度是
A. 6.0 mB. 5.0 mC. 4.0 mD. 3.0 m

8. 设 m 是非零实数，给出下列四个命题：
①若 −1②若 m>1，则 1m③若 m<1m④若 m2其中命题成立的序号是
A. ①③B. ①④C. ②③D. ③④

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 若 x−1 在实数范围内有意义，则实数 x 的取值范围是 ．

10. 若多边形的内角和是外角和的 2 倍，则该多边形是 边形．

11. 已知 y 是以 x 为自变量的二次函数，且当 x=0 时，y 的最小值为 −1，写出一个满足上述条件的二次函数表达式 ．

12. 如果 a2+a=1，那么代数式 1a−a−1a2−1 的值是 ．

13. 如图，在正方形 ABCD 中，BE 平分 ∠CBD，EF⊥BD 于点 F．若 DE=2，则 BC 的长为 ．

14. 如图，△ABC 的顶点 A，B，C 都在边长为 1 的正方形网格的格点上，BD⊥AC 于点 D，则 AC 的长为 ，BD 的长为 ．

15. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A，B，C 的坐标分别是 0,4，4,0，8,0，⊙M 是 △ABC 的外接圆，则点 M 的坐标为 ．

16. 某景区为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了某月（30 天）接待游客人数（单位：万人）的数据，绘制了下面的统计图和统计表．
每日接待游客人数单位:万人游玩环境评价0≤x<5好5≤x<10一般10≤x<15拥挤15≤x<20严重拥挤
根据以上信息，以下四个判断中，正确的是 （填写所有正确结论的序号）．
①该景区这个月游玩环境评价为“拥挤或严重拥挤”的天数仅有 4 天；
②该景区这个月每日接待游客人数的中位数在 5∼10 万人之间；
③该景区这个月平均每日接待游客人数低于 5 万人；
④这个月 1 日至 5 日的五天中，如果某人曾经随机选择其中的两天到该景区游玩，那么他“这两天游玩环境评价均为好”的可能性为 310．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 计算：12−1+1−30+−3−2sin60∘．

18. 解不等式组：3x−2<2x−2,2x+54
19. 关于 x 的一元二次方程 x2−2m+1x+m2=0 有两个实数根．
（1）求 m 的取值范围；
（2）写出一个满足条件的 m 的值，并求此时方程的根．

20. 如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，OA=OB，过点 B 作 BE⊥AC 于点 E．
（1）求证：平行四边形 ABCD 是矩形；
（2）若 AD=25，cs∠ABE=255，求 AC 的长．

21. 先阅读下列材料，再解答问题．
尺规作图：
已知：△ABC，D 是边 AB 上一点，如图 1，
求作：四边形 DBCF，使得四边形 DBCF 是平行四边形．
小明的做法如下：
（1）设计方案．
先画一个符合题意的草图，如图 2，再分析实现目标的具体方法，
依据：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
（2）设计作图步骤，完成作图．
作法：如图 3，
①延长 BC 至点 E；
②分别作 ∠ECP=∠EBA，∠ADQ=∠ABE；
③ DQ 与 CP 交于点 F，
∴ 四边形 DBCF 即为所求．
（3）推理论证．
证明：
∵∠ECP=∠EBA，
∴CP∥BA，
同理，DQ∥BE，
∴ 四边形 DBCF 是平行四边形．
请你参考小明的做法，再设计一种尺规作图的方法（与小明的方法不同），使得画出的四边形 DBCF 是平行四边形，并证明．

22. 运用语音识别输入软件可以提高文字输入的速度．为了解 A，B 两种语音识别输入软件的准确性，小秦同学随机选取了 20 段话，其中每段话都含 100 个文字（不计标点符号）．在保持相同语速的条件下，他用标准普通话朗读每段话来测试这两种语音识别输入软件的准确性．
他的测试和分析过程如下，请补充完整．
收集数据：两种软件每次识别正确的字数记录如下：
A9898929292929289898584848383797978786958B9996969696969694928988858078727271655855
（1）整理、描述数据：根据上面得到的两组样本数据，绘制了频数分布直方图．
（2）分析数据：两组样本数据的平均数、众数、中位数、方差如下表所示：
平均数众数中位数方差
（3）得出结论：根据以上信息，判断 种语音识别输入软件的准确性较好，理由如下： （至少从两个不同的角度说明判断的合理性）．

23. 如图，四边形 OABC 中，∠OAB=90∘，OA=OC，BA=BC．以 O 为圆心，以 OA 为半径作 ⊙O．
（1）求证：BC 是 ⊙O 的切线；
（2）连接 BO 并延长交 ⊙O 于点 D，延长 AO 交 ⊙O 于点 E，与 BC 的延长线交于点 F，若 AD=AC．
①补全图形；
②求证：OF=OB．

24. 如图，在 △ABC 中，AB=4 cm，BC=5 cm．P 是 AB 上的动点，设 A，P 两点间的距离为 x cm，B，P 两点间的距离为 y1 cm，C，P 两点间的距离为 y2 cm．小腾根据学习函数的经验，分别对函数 y1，y2 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整．
（1）按照下表中自变量 x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了 y1，y2 与 x 的几组对应值：
（2）在同一平面直角坐标系 xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点 x,y1，点 x,y2，并画出函数 y1，y2 的图象；
（3）结合函数图象，
①当 △PBC 为等腰三角形时，AP 的长度约为 cm；
②记 AB 所在圆的圆心为点 O，当直线 PC 恰好经过点 O 时，PC 的长度约为 cm．

25. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l1:y=kx+2kk>0 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，与函数 y=mxx>0 的图象的交点 P 位于第一象限．
（1）若点 P 的坐标为 1,6．
①求 m 的值及点 A 的坐标；
② PBPA= ；
（2）直线 l2:y=2kx−2 与 y 轴交于点 C，与直线 l1 交于点 Q，若点 P 的横坐标为 1．
①写出点 P 的坐标（用含 k 的式子表示）；
②当 PQ≤PA 时，求 m 的取值范围．

26. 已知抛物线 y=ax2+bx+a+2a≠0 与 x 轴交于点 Ax1,0，点 Bx2,0（点 A 在点 B 的左侧），抛物线的对称轴为直线 x=−1．
（1）若点 A 的坐标为 −3,0，求抛物线的表达式及点 B 的坐标；
（2）C 是第三象限的点，且点 C 的横坐标为 −2，若抛物线恰好经过点 C，直接写出 x2 的取值范围；
（3）抛物线的对称轴与 x 轴交于点 D，点 P 在抛物线上，且 ∠DOP=45∘，若抛物线上满足条件的点 P 恰有 4 个，结合图象，求 a 的取值范围．

27. 如图，在等腰直角 △ABC 中，∠ACB=90∘．点 P 在线段 BC 上，延长 BC 至点 Q，使得 CQ=CP，连接 AP，AQ．过点 B 作 BD⊥AQ 于点 D，交 AP 于点 E，交 AC 于点 F．K 是线段 AD 上的一个动点（与点 A，D 不重合），过点 K 作 GN⊥AP 于点 H，交 AB 于点 G，交 AC 于点 M，交 FD 的延长线于点 N．
（1）依题意补全图 1；
（2）求证：NM=NF；
（3）若 AM=CP，用等式表示线段 AE，GN 与 BN 之间的数量关系，并证明．

28. 对于平面直角坐标系 xOy 中的图形 W1 和图形 W2，给出如下定义：在图形 W1 上存在两点 A，B（点 A 与点 B 可以重合），在图形 W2 上存在两点 M，N（点 M 与点 N 可以重合），使得 AM=2BN，则称图形 W1 和图形 W2 满足限距关系．
（1）如图 1，点 C1,0，D−1,0，E0,3，点 P 在线段 DE 上运动（点 P 可以与点 D，E 重合），连接 OP，CP．
①线段 OP 的最小值为 ，最大值为 ，线段 CP 的取值范围是 ；
②在点 O，点 C 中，点 与线段 DE 满足限距关系；
（2）如图 2，⊙O 的半径为 1，直线 y=3x+bb>0 与 x 轴、 y 轴分别交于点 F，G．若线段 FG 与 ⊙O 满足限距关系，求 b 的取值范围；
（3）⊙O 的半径为 rr>0，点 H，K 是 ⊙O 上的两点，分别以 H，K 为圆心，1 为半径作圆得到 ⊙H 和 ⊙K，若对于任意点 H，K，⊙H 和 ⊙K 都满足限距关系，直接写出 r 的取值范围．
答案
第一部分
1. B
2. B
3. C
4. A
5. D
6. A
7. C
8. B
第二部分
9. x≥1
10. 六
11. 答案不唯一，如：y=x2−1
12. 1
13. 2+1
14. 5，3
15. 6,6
16. ①④
第三部分
17. 12−1+1−30+−3−2sin60∘=2+1+3−2×32=3.
18. 原不等式组为
3x−2<2x−2, ⋯⋯①2x+54解不等式 ①，得
x<4.
解不等式 ②，得
x>52.∴
原不等式组的解集为
5219. （1） 依题意，得 Δ=−2m+12−4×1×m2=4m+1≥0，
解得 m≥−14．
（2） 答案不唯一，如：m=0，
此时方程为 x2−x=0，
解得 x1=0，x2=1．
20. （1） ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD．
∵OA=OB，
∴OA=OC=OB=OD．
∴AC=BD．
∴ 平行四边形 ABCD 是矩形．
（2） ∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴∠BAD=∠ADC=90∘．
∴∠BAC+∠CAD=90∘．
∵BE⊥AC，
∴∠BAC+∠ABE=90∘．
∴∠CAD=∠ABE．
在 Rt△ACD 中，AD=25，cs∠CAD=cs∠ABE=255，
∴AC=5．
21. 答案不唯一，如：
（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
（2）如图．
（3）证明：
∵CF=BD，DF=BC，
∴ 四边形 DBCF 是平行四边形．
22. （1）
（2）
平均数众数中位数方差A92B88.5
（3） 答案不唯一，理由须支撑推断的结论
23. （1） 连接 AC，
∵OC=OA，
∴ 点 C 在 ⊙O 上．
∵OA=OC，BA=BC，
∴∠OAC=∠OCA，∠BAC=∠BCA．
∴∠OCB=∠OAB=90∘．
∴OC⊥BC 于点 C．
∴BC 是 ⊙O 切线．
（2） ①补全图形．
② ∵BA，BC 是 ⊙O 的两条切线，切点分别为 A，C，
∴BA=BC，∠DBA=∠DBC．
∴BD 是 AC 的垂直平分线．
∵OA=OC，
∴∠AOB=∠COB．
∵AD=AC，AE 为 ⊙O 的直径，
∴CE=DE．
∴∠COE=∠DOE．
∵∠AOB=∠DOE，
∴∠AOB=∠BOC=∠COE=60∘．
∵BC 是 ⊙O 的切线，切点为 C，
∴∠OCB=∠OCF=90∘．
∴∠OBC=∠OFC=30∘．
∴OF=OB．
24. （1）
x/cm01234y1/cm3.09y2/cm
（2） 画出函数 y1 的图象．
（3） 0.83 或 2.49；5.32
25. （1） ①令 y=0，则 kx+2k=0．
∵k>0，解得 x=−2．
∴ 点 A 的坐标为 −2,0．
∵ 点 P 的坐标为 1,6，
∴m=6．
② 13
（2） ① P1,3k；
②依题意，得 kx+2k=2kx−2，解得 x=2+2k．
∴ 点 Q 的横坐标为 2+2k，
∵2+2k>1k>0，
∴ 点 Q 在点 P 的右侧．
如图，分别过点 P，Q 作 PM⊥x 轴于 M，QN⊥x 轴于 N，
则点 M，点 N 的横坐标分别为 1，2+2k．
若 PQ=PA，则 PQPA=1．
∴PQPA=MNMA=1．
∴MN=MA．
∴2+2k−1=3，解得 k=1．
∵MA=3，
∴ 当 PQPA=MNMA≤1 时，k≥1．
∴m=3k≥3．
∴ 当 PQ≤PA 时，m≥3．
26. （1） ∵ 抛物线 y=ax2+bx+a+2 的对称轴为直线 x=−1，
∴−b2a=−1．
∴b=2a．
∴y=ax2+2ax+a+2 化为 y=ax+12+2．
将点 A−3,0 代入 y=ax+12+2 中，得 a=−12．
∴y=−12x+12+2=−12x2−x+32．
∴ 抛物线的表达式为 y=−12x2−x+32．
点 B 的坐标为 1,0．
（2） −1 （3） ∵ 抛物线的顶点为 −1,2，
∴ 点 D 的坐标为 −1,0．
∵∠DOP=45∘，且抛物线上满足条件的点 P 恰有 4 个，
∴ 抛物线与 x 轴的交点都在原点的左侧．
∴ 满足条件的点 P 在 x 轴上方有 2 个，在 x 轴下方也有 2 个．
∴a+2<0，解得 a<−2．
∴a 的取值范围是 a<−2．
27. （1） 补全图形，如图 1．
（2） ∵CQ=CP，∠ACB=90∘，
∴AP=AQ．
∴∠APQ=∠Q．
∵BD⊥AQ，
∴∠QBD+∠Q=∠QBD+∠BFC=90∘．
∴∠Q=∠BFC．
∵∠MFN=∠BFC，
∴∠MFN=∠Q．
同理，∠NMF=∠APQ．
∴∠MFN=∠FMN．
∴NM=NF．
（3） 连接 CE，如图 2．
由（1）可得 ∠PAC=∠FBC，
∵∠ACB=90∘，AC=BC，
∴△APC≌△BFC．
∴CP=CF．
∵AM=CP，
∴AM=CF．
∵∠CAB=∠CBA=45∘．
∴∠EAB=∠EBA．
∴AE=BE．
又 ∵AC=BC，
∴CE 所在直线是 AB 的垂直平分线．
∴∠ECB=∠ECA=45∘．
∴∠GAM=∠ECF=45∘．
由（1）可得 ∠AMG=∠CFE，
∴△AGM≌△CEF．
∴GM=EF．
∵BN=BE+EF+FN=AE+GM+MN．
∴BN=AE+GN．
28. （1） 32；3；3≤CP≤2；O
（2） 直线 y=3x+b 与 x 轴、 y 轴分别交于点 F，G0,b．
当 0此时 ⊙O 上的点到线段 FG 的最小距离为 1−b，最大距离为 1+b．
∵ 线段 FG 与 ⊙O 满足限距关系，
∴1+b≥21−b，解得 b≥13．
∴b 的取值范围是 13≤b<1．
当 1≤b≤2 时，线段 FG 与 ⊙O 有公共点，线段 FG 与 ⊙O 满足限距关系．
当 b>2 时，线段 FG 在 ⊙O 的外部，与 ⊙O 无公共点，
此时 ⊙O 上的点到线段 FG 的最小距离为 12b−1，最大距离为 b+1．
∵ 线段 FG 与 ⊙O 满足限距关系，
∴b+1≥212b−1．而 b+1>212b−1 总成立．
∴ 当 b>2 时，线段 FG 与 ⊙O 满足限距关系．
综上，b 的取值范围是 b≥13．
（3） 0