2020年广东省深圳市南山区育才二中中考一模数学试卷

这是一份2020年广东省深圳市南山区育才二中中考一模数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 与 12 的积为 1 的数是
A. 2B. 12C. −2D. −12

2. 《战狼 2 》中“犯我中华者，虽远必诛”，令人动容，热血沸腾．其票房突破 56 亿元（5600000000 元），5600000000 用科学记数法表示为
A. 5.6×109B. 5.6×108C. 0.56×109D. 56×108

3. 下列运算正确的是
A. 17×−7+−17×7=1B. −352=95
C. 3a+5b=8abD. 3a2b−4ba2=−a2b

4. 等腰三角形的一边为 4，另一边为 9，则这个三角形的周长为
A. 17B. 22C. 13D. 17 或 22

5. 下列立体图形中，主视图是矩形的是
A. B.
C. D.

6. 下列各数中，为不等式组 2x−3>0,x−4<0 解的是
A. −1B. 0C. 2D. 4

7. 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，BC=1，AB=4，则 sinB 的值是
A. 155B. 14C. 154D. 13

8. 如图，四边形 ABCD 内接于圆 O，AD∥BC，∠DAB=48∘，则 ∠AOC 的度数是
A. 48∘B. 96∘C. 114∘D. 132∘

9. 某中学随机调查了 15 名学生，了解他们一周在校参加体育锻炼时间，列表如下：
锻炼时间小时5678人数2652
则这 15 名同学一周在校参加体育锻炼时间的中位数和众数分别是
A. 6，7B. 7，7C. 7，6D. 6，6

10. 已知关于 x 的一元二次方程 kx2−2x−1=0 有实数根，若 k 为非正整数，则 k 等于
A. 12B. 0C. 0 或 −1D. −1

11. 已知：如图，直线 l 经过点 A−2,0 和点 B0,1，点 M 在 x 轴上，过点 M 作 x 轴的垂线交直线 l 于点 C，若 OM=2OA，则经过点 C 的反比例函数表达式为
A. y=24xB. y=12xC. y=3xD. y=6x

12. 如图，等腰直角三角形 ABC，∠BAC=90∘，D，E 是 BC 上的两点，且 BD=CE，过 D，E 作 DM，EN 分别垂直 AB，AC，垂足为 M，N，交于点 F，连接 AD，AE．其中①四边形 AMFN 是正方形；② △ABE≌△ACD；③ CE2+BD2=DE2；④当 ∠DAE=45∘ 时，AD2=DE⋅CD．正确结论有
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

二、填空题（共4小题；共20分）
13. 若分式 4−x2x+2 的值为 0，则 x 的值为 ．

14. 把多项式 am2−9a 分解因式的结果是 ．

15. 如图，在平行四边形 ABCD 中，AB=213 cm，AD=4 cm，AC⊥BC，则 △DBC 比 △ABC 的周长长 cm．

16. 如图，正方形 ABCO 的边长为 2，OA 与 x 轴正半轴的夹角为 15∘，点 B 在第一象限，点 D 在 x 轴的负半轴上，且满足 ∠BDO=15∘，直线 y=kx+b 经过 B，D 两点，则 b−k= ．

三、解答题（共7小题；共91分）
17. 计算 5−π0−3tan30∘+12−2+∣1−3∣．

18. 先化简：a2−4a−3÷1+1a−3，再从 −3，2，3 中选择一个合适的数作为 a 的值代入求值．

19. 某社区踊跃为“抗击肺炎”捐款，根据捐款情况（捐款数为正数）制作以下统计图表，但工作人员不小心把墨水滴在统计表上，部分数据看不清楚．
捐款人数0∼50元51∼100元101∼150元151∼200元6200元以上4
（1）共有多少人捐款?
（2）如果捐款 0∼50 元的人数在扇形统计图中所占的圆心角为 72∘，那么捐款 51∼100 元的有多少人?

20. 如图，从地面上的点 A 看一山坡上的电线杆 PQ，测得杆顶端点 P 的仰角是 45∘，向前走 9 m 到达 B 点，测得杆顶端点 P 和杆底端点 Q 的仰角分别是 60∘ 和 30∘．
（1）求 ∠BPQ 的度数；
（2）求该电线杆 PQ 的高度．（结果保留根号）

21. 六一儿童节，某玩具经销商在销售中发现：某款玩具若以每个 50 元销售，一个月能售出 500 个，销售单价每涨 1 元，月销售量就减少 10 个，这款玩具的进价为每个 40 元，请回答以下问题：
（1）若月销售利润定为 8000 元，且尽可能让利消费者，销售单价应定为多少元?
（2）由于资金问题，在月销售成本不超过 10000 元、且没有库存积压的情况下，问销售单价至少定为多少元?

22. 如图，点 A，B 分别在 x 轴和 y 轴的正半轴上，以线段 AB 为边在第一象限作等边 △ABC，S△ABC=3，且 CA∥y 轴．
（1）若点 C 在反比例函数 y=kxk≠0 的图象上，求该反比例函数的解析式；
（2）在（1）中的反比例函数图象上是否存在点 N，使四边形 ABCN 是菱形，若存在请求出点 N 坐标，若不存在，请说明理由；
（3）点 P 在第一象限的反比例函数图象上，当四边形 OAPB 的面积最小时，求出 P 点坐标．

23. 如图 1 所示，已知直线 y=kx+m 与抛物线 y=ax2+bx+c 分别交于 x 轴和 y 轴上同一点，交点分别是点 B6.0 和点 C0,6，且抛物线的对称轴为直线 x=4．
（1）试确定抛物线的解析式．
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点 P，使 △PBC 是直角三角形?若存在请直接写出 P 点坐标，不存在请说明理由．
（3）如图 2，点 Q 是线段 BC 上一点，且 CQ=1023，点 M 是 y 轴上一个动点，求 △AQM 的最小周长．
答案
第一部分
1. A【解析】∵12 的倒数是 2，
∴ 与 12 乘积为 1 的数是 2，
故选：A．
2. A【解析】5600000000=5.6×109．
3. D【解析】A. 17×−7+−17×7=−1−1=−2，故本选项不合题意；
B. −352=925，故本选项不合题意；
C. 3a 与 5b 不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
D. 3a2b−4ba2=−a2b，正确．
故选：D．
4. B【解析】当腰长为 4 时，则三角形的三边长为：4，4，9；
∵4+4<9，
∴ 不能构成三角形；
因此这个等腰三角形的腰长为 9，则其周长 =9+9+4=22．
5. B
【解析】A．此几何体的主视图是等腰三角形；
B．此几何体的主视图是矩形；
C．此几何体的主视图是等腰梯形；
D．此几何体的主视图是圆；
故选：B．
6. C【解析】2x−3>0, ⋯⋯①x−4<0. ⋯⋯②
由①得，x>32；
由②得，x<4．
∴ 不等式组的解集为 32四个选项中在 327. C【解析】由勾股定理得，AC=AB2−BC2=42−12=15，
则 sinB=ACAB=154，
故选：C．
8. B【解析】∵AD∥BC，
∴∠B=180∘−∠DAB=132∘，
∵ 四边形 ABCD 内接于圆 O，
∴∠D=180∘−∠B=48∘，
由圆周角定理得，∠AOC=2∠D=96∘．
9. D【解析】∵ 共有 15 个数，最中间的数是 8 个数，
∴ 这 15 名同学一周在校参加体育锻炼时间的中位数是 6；
6 出现的次数最多，出现了 6 次，则众数是 6；
故选：D．
10. D
【解析】根据题意得 k≠0 且 Δ=−22−4×k×−1≥0，
解得 k≥−1 且 k≠0，
∵k 为非正整数，
∴k=−1．
11. B【解析】设直线 l 的解析式为：y=kx+b，
∵ 直线 l 经过点 A−2,0 和点 B0,1，
∴−2k+b=0,b=1, 解得：k=12,b=1,
∴ 直线 l 的解析式为：y=12x+1，
∵ 点 A−2,0，
∴OA=2，
∵OM=2OA，
∴OM=4，
∴ 点 C 的横坐标为 4，
当 x=4 时，y=3，
∴ 点 C3,4，
设反比例函数表达式为 y=mx，
∴m=12，
∴ 反比例函数表达式为 y=12x．
12. C【解析】∵DM，EN 分别垂直 AB，AC，垂足为 M，N，
∴∠AMF=∠ANF=90∘，
又 ∵∠BAC=90∘，
∴ 四边形 AMFN 是矩形；
∵△ABC 为等腰直角三角形，
∴AB=AC，∠ABC=∠C=45∘，
∵DM⊥AB，EN⊥AC，
∴△BDM 和 △CEN 均为等腰直角三角形，
又 ∵BD=CE，
∴△BDM≌△CENAAS，
∴BM=CN，
∴AM=AN，
∵ 四边形 AMFN 是正方形，故①正确；
∵BD=CE，
∴BE=CD，
∵△ABC 为等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠C=45∘，AB=AC，
∴△ABE≌△ACDSAS，故②正确；
如图所示，将 △ACE 绕点 A 顺时针旋转 90∘ 至 △ABEʹ，则 CE=BEʹ，∠EʹBA=∠C=45∘，
由于 △BDM≌△CEN，故点 N 落在点 M 处，连接 ME′，则 D，M，E′ 共线，
∵∠E′BA=45∘，∠ABC=45∘，
∴∠DBE′=90∘，
∴BE′2+BD2=DE′2，
∴CE2+BD2=DEʹ2．
当 ∠DAE=45∘ 时，∠DAE′=∠DAM+∠EAN=90∘−45∘=45∘，
AE=AE′，AD=AD，
∴△ADE≌△ADE′SAS，
∴DE′=DE，
∴ 在没有 ∠DAE=45∘ 时，无法证得 DE′=DE，故③错误；
∵AB=AC，∠ABD=∠C，BD=CE，
∴△ABD≌△ACESAS，
∴AD=AE，
∴ 当 ∠DAE=45∘ 时，∠ADE=∠AED=67.5∘，
∵∠C=45∘，
∴∠DAE=∠C，∠ADE=∠CDA，
∴△ADE∽△CDA，
∴ADDE=CDAD，
∴AD2=DE⋅CD，④正确．
综上，正确的有①②④，共 3 个．
第二部分
13. 2
【解析】∵ 分式 4−x2x+2 的值为 0，
∴4−x2=0 且 x+2≠0，解得：x=2．
14. am+3m−3
【解析】am2−9a=am2−9=am+3m−3.
15. 4
【解析】在平行四边形 ABCD 中，
∵AB=CD=213 cm，AD=BC=4 cm，AO=CO，BO=DO，
∵AC⊥BC，
∴AC=AB2−BC2=6 cm，
∴OC=3 cm，
∴BO=OC2+BC2=5 cm，
∴BD=10 cm，
∴△DBC的周长−△ABC的周长=BC+CD+BD−AB+BC+AC=BD−AC=10−6=4 cm.
故答案为：4．
16. 2−3
【解析】连接 OB，过点 B 作 BE⊥x 轴于点 E，如图所示．
∵ 正方形 ABCO 的边长为 2，
∴∠AOB=45∘，OB=2OA=2．
∵OA 与 x 轴正半轴的夹角为 15，
∴∠BOE=45∘−15∘=30∘．
又 ∵∠BDO=15∘，
∴∠DBO=∠BOE−∠BDO=15∘，
∴∠BDO=∠DBO，
∴OD=OB=2，
∴ 点 D 的坐标为 −2,0．
在 Rt△BOE 中，OB=2，∠BOE=30∘，
∴BE=12OB=1，OE=OB2−BE2=3，
∴ 点 B 的坐标为 3,1．
将 B3,1，D−2,0 代入 y=kx+b，
得：3k+b=1,−2k+b=0, 解得：k=2−3,b=4−23,
∴b−k=4−23−2−3=2−3．
第三部分
17. 原式=1−3×33+4+3−1=1−3+4+3−1=4.
18. a2−4a−3÷1+1a−3=a+2a−2a−3÷a−3+1a−3=a+2a−2a−3⋅a−3a−2=a+2,
当 a=−3 时，
原式=−3+2=−1.
19. （1） 4÷8%=50（人）．
答：共有 50 人捐款．
（2） 50−50×72∘360∘−50×32%−6−4=50−10−16−6−4=14人.
答：捐款 51∼100 元的有 14 人．
20. （1） 延长 PQ 交直线 AB 于点 E，如图所示：
∠BPQ=90∘−60∘=30∘．
（2） 设 PE=x 米，
在直角 △APE 中，∠A=45∘，
则 AE=PE=x 米，
∵∠PBE=60∘，
∴∠BPE=30∘，
在直角 △BPE 中，BE=33PE=33x 米，
∵AB=AE−BE=9 米，
则 x−33x=9，
解得：x=27+932，
则 BE=93+92 米，
在直角 △BEQ 中，QE=33BE=9+332 米，
∴PQ=PE−QE=27+932−9+332=9+33（米）．
答：电线杆 PQ 的高度为 9+33 米．
21. （1） 设销售单价应定为 x 元，由题意，得
x−40500−10x−50=8000.
解得
x1=60,x2=80.∵
尽可能让利消费者，
∴x=60．
答：消费单价应定为 60 元．
（2） 设销售单价定为 a 元，
由题意，得
40500−10a−50≤10000.
解得
a≥75.
答：销售单价至少定为 75 元．
22. （1） 如图 1 中，作 CD⊥y 轴于 D．
∵CA∥y 轴，CD⊥y 轴，
∴CD∥OA，AC∥OD，
∴ 四边形 OACD 是平行四边形，
∵∠AOD=90∘，
∴ 四边形 OACD 是矩形，
∴k=S矩形OACD=2S△ABC=23，
∴ 反比例函数的解析式为 y=23x．
（2） 如图 2 中，作 BD⊥AC 于 D，交反比例函数图象于 N，连接 CN，AN．
∵△ABC 是等边三角形，面积为 3，
设 CD=AD=m，则 BD=3m，
∴12×2m×3m=3，
∴m=1 或 −1（舍弃），
∴B0,1，C3,2，A3,0，
∴N23,1，
∴BD=DN，
∵AC⊥BN，
∴CB=CN，AB=AN，
∵AB=BC，
∴AB=BC=CN=AN，
∴ 四边形 ABCN 是菱形，
∴N23,1．
（3） 如图 3 中，连接 PB，PA，OP．设 Pa,23a．
S四边形OAPB=S△POB+S△POA=12×1×a+12×3×23a=12a+3a=12a−3a2+6,
∴ 当 12a=3a 时，四边形 OAPB 的面积最小，
解得 a=6 或 −6（舍弃），此时 P6,2．
23. （1） ∵ 抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于点 A，B 两点，对称轴为直线 x=4，
∴ 点 A 的坐标为 2,0．
∵ 抛物线 y=ax2+bx+c 过点 A2,0，B6,0，C0,6，
∴4a+2b+c=0,36a+6b+c=0,c=6.
解得 a=12，b=−4，c=6．
∴ 抛物线的解析式为：y=12x2−4x+6．
（2） 设 P4,y，
∵B6,0，C0,6，
∴BC2=62+62=72，PB2=22+y2，PC2=42+y−62，
当 ∠PBC=90∘ 时，BC2+PB2=PC2，
∴72+22+y2=42+y−62，
解得：y=−2，
∴P4,−2．
当 ∠PCB=90∘ 时，PC2+BC2=PB2，
∴42+y−62+72=22+y2．
解得：y=10，
∴P4,10；
当 ∠BPC=90∘ 时，PC2+PB2=BC2．
∴42+y−62+22+y2=72，
解得：y=3±17．
∴P4,3+17 或 P4,3−17．
综合以上可得点 P 的坐标为 4,−2 或 4,10 或 4,3+17 或 P4,3−17．
（3） 过点 Q 作 QH⊥y 轴于点 H，
∵B6,0，C0,6，
∴OB=6，OC=6，
∴∠OCB=45∘，
∴∠CQH=∠HCQ=45∘，
∵CQ=1023，
∴CH=QH=1023×22=103，
∴OH=6−103=83，
∴ 点 Q 的坐标为 103,83，
在 x 轴上取点 G−2.0，连接 QG 交 y 轴于点 M，则此时 △AQM 的周长最小，
∴AQ=2−1032+832=453，QG=103+22+832=853，
∴AQ+QG=45+853=45，
∴△AQM 的最小周长为 45．