2021年上海市黄浦区中考一模数学试卷（期末）

这是一份2021年上海市黄浦区中考一模数学试卷（期末），共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. 已知 △ABC 与 △DEF 相似，又 ∠A=40∘，∠B=60∘，那么 ∠D 不可能是
A. 40∘B. 60∘C. 80∘D. 100∘

2. 抛物线 y=−x2+4x−3 不经过
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限

3. 对于锐角 α，下列等式中成立的是
A. sinα=csα⋅tanαB. csα=tanα⋅ctα
C. tanα=ctα⋅sinαD. ctα=sinα⋅csα

4. 已知向量 a 与非零向量 e 方向相同，且其模为 ∣e∣ 的 2 倍；向量 b 与 e 方向相反，且其模为 ∣e∣ 的 3 倍，则下列等式中成立的是
A. a=23bB. a=−23bC. a=32bD. a=−32b

5. 小明准备画一个二次函数的图象，他首先列表（如下），但在填写函数值时，不小心把其中一个蘸上了墨水（表中），那么这个被蘸上了墨水的函数值是
A. −1B. 3C. 4D. 0

6. 如图，在直角梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠BAD=90∘，对角线的交点为点 O．如果梯形 ABCD 的两底边长不变，而腰长发生变化，那么下列量中不变的是
A. 点 O 到边 AB 的距离B. 点 O 到边 BC 的距离
C. 点 O 到边 CD 的距离D. 点 O 到边 DA 的距离

二、填空题（共12小题；共60分）
7. 已知三角形的三边长为 a，b，c，满足 a2=b3=c4，如果其周长为 36，那么该三角形的最大边长为 ．

8. 已知线段 MN 的长为 4，点 P 是线段 MN 的黄金分割点，则其较长线段 MP 的长是 ．

9. 已知一个直角三角形的两条直角边长分别为 3 和 6，则该三角形的重心到其直角顶点的距离是 ．

10. 已知一个锐角的正切值比余切值大，且两者之和是 313，则这个锐角的正切值为 ．

11. 在 △ABC 中，AB=5，BC=8，∠B=60∘，则 △ABC 的面积是 ．

12. 已知点 P 位于第二象限内，OP=5，且 OP 与 x 轴负半轴夹角的正切值为 2，则点 P 的坐标是 ．

13. 如果视线与水平线之间的夹角为 36∘，那么该视线与铅垂线之间的夹角为 度．

14. 已知二次函数图象经过点 3,4 和 7,4，那么该二次函数图象的对称轴是直线 ．

15. 如图，一个管道的截面图，其内径（即内圆半径）为 10 分米，管壁厚为 x 分米，假设该管道的截面（阴影）面积为 y 平方分米，那么 y 关于 x 的函数解析式是 ．（不必写定义域）

16. 如图，点 D，E，F 分别位于 △ABC 的三边上，且 DE∥BC，EF∥AB，如果 △ADE 的面积为 2，△CEF 的面积为 8，那么四边形 BFED 的面积是 ．

17. 如果抛物线 y=x2+b+3x+2c 的顶点为 b,c，那么该抛物线的顶点坐标是 ．

18. 已知一个矩形的两邻边长之比为 1:2.5，一条平行于边的直线将该矩形分为两个小矩形，如果所得两小矩形相似，那么这两个小矩形的相似比为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 计算：3tan30∘−1+2ct30∘−1−sin260∘cs245∘．

20. 将二次函数 y=x2+2x+3 的图象向右平移 3 个单位，求所得图象的函数解析式；请结合以上两个函数图象，指出当自变量 x 在什么取值范围内时，上述两个函数中恰好其中一个的函数图象是上升的，而另一个的函数图象是下降的．

21. 如图，一个 3×3 的网格，其中点 A，B，C，D，M，N，P，Q 均为网格点．
（1）在点 M，N，P，Q 中，哪个点和点 A，B 所构成的三角形与 △ABC 相似?请说明理由；
（2）设 AB=a，BC=b，写出向量 AD 关于 a，b 的分解式．

22. 如图，是小明家房屋的纵截面图，其中线段 AB 为屋内地面，线段 AE，BC 为房屋两侧的墙，线段 CD，DE 为屋顶的斜坡．已知 AB=6 米，AE=BC=3.2 米，斜坡 CD，DE 的坡比均为 1:2．
（1）求屋顶点 D 到地面 AB 的距离；
（2）已知在墙 AE 距离地面 1.1 米处装有窗 ST，如果阳光与地面的夹角 ∠MNP=β=53∘，为了防止阳光通过窗 ST 照射到屋内，所以小明请门窗公司在墙 AE 端点 E 处安装一个旋转式遮阳棚（如图中线段 EF），公司设计的遮阳棚可作 90∘ 旋转，即 0∘<∠FET=α≤90∘，长度为 1.4 米，即 EF=1.4 米．试问：公司设计的遮阳棚是否能达到小明的要求?说说你的理由（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，5≈2.24，10≈3.16，sin53∘=0.8，cs53∘=0.6，tan53∘=43．）

23. 某班级的“数学学习小组心得分享课”上，小智跟同学们分享了关于梯形的两个正确的研究结论：
①如图 1，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，过对角线交点 O 的直线与两底分别交于点 M，N，则 AMDM=CNBN；
②如图 2，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，过两腰延长线交点 P 的直线与两底分别交于点 K，L，则 AKDK=BLCL．
接着小明也跟同学们分享了关于梯形的一个推断：
过梯形对角线交点且平行于底边的直线被梯形两腰所截，截得的线段被梯形对角线的交点平分．
（1）经讨论，大家都认为小明所给出的推断是正确的．请你结合图示（见答题卷）写出已知、求证，并给出你的证明；
（2）小组还出了一个作图题考同学们：只用直尺将图 3 中两条平行的线段 AB，CD 同时平分．请保留作图过程痕迹，并说明你作图方法的正确性（可以直接运用小智和小明得到的正确结论）．
（注意：请务必在试卷的图示中完成作图草稿，在答题卷上直接用 2B 铅笔或水笔完成作图，不要涂改．）

24. 如图，平面直角坐标系内直线 y=x+4 与 x 轴、 y 轴分别交于点 A，B，点 C 是线段 OB 的中点．
（1）求直线 AC 的表达式；
（2）若抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 C，且其顶点位于线段 OA 上（不含端点 O，A）．
①用含 b 的代数式表示 a，并写出 1b 的取值范围；
②设该抛物线与直线 y=x+4 在第一象限内的交点为点 D，试问：△DBC 与 △DAC 能否相似?如果能，请求此时抛物线的表达式；如果不能，请说明理由．

25. 如图，四边形 ABCD 中，AB=AD=4，CB=CD=3，∠ABC=∠ADC=90∘，点 M，N 是边 AB，AD 上的动点，且 ∠MCN=12∠BCD，CM，CN 与对角线 BD 分别交于点 P，Q．
（1）求 sin∠MCN 的值；
（2）当 DN=DC 时，求 ∠CNM 的度数；
（3）试问：在点 M，N 的运动过程中，线段比 PQMN 的值是否发生变化?如不变，请求出这个值；如变化，请至少给出两个可能的值，并说明点 N 相应的位置．
答案
第一部分
1. D
2. B
3. A
4. B
5. D
6. D
第二部分
7. 16
8. 25−2
9. 5
10. 3
11. 103
12. −5,25
13. 54
14. x=5
15. y=πx2+20πx
16. 8
17. −1,1
18. 1，2，12
第三部分
19. 原式=333−1+23−1−322222=3−3+3+1−32=52.
20. 由 y=x2+2x+3，配方得 y=x+12+2，
平移后解析式为 y=x−22+2，即 y=x2−4x+6，
取值范围是 −1≤x≤2．
21. （1） 点 N．
在 △ABC 中，AB=2，BC=1，CA=5，
在 △ABN 中，BN=2，AB=2，AN=10，
因为 AB:BC:CA=BN:AB:AN，
所以 △ABC 与 △ABN 相似．
（2） 2a−3b．
22. （1） 连接 CE，过点 D 作 AB 的垂线，垂足为 G，交 CE 于点 H．
易知 CE∥AB，则 GH=BC=3.2．
又 EH=12CE=3，
在 △DEH 中，DH:EH=1:2，
所以 DH=1.5，
则 DG=3.2+1.5=4.7（米）．
答：屋顶点 D 到地面 AB 的距离为 4.7 米．
（2） 能够．
当 α=β=53∘ 时，过点 F 作 FK⊥EF，交 AE 于点 K．
在 △EFK 中，EK=EFcsα=73≈2.3．
又 ES=3.2−1.1=2.1，则 EK>ES，
所以当遮阳棚的旋转角调整为 53∘ 时，可以遮挡住阳光通过窗 ST 照射到屋内．
23. （1） 已知：如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，对角线 AC 与 BD 交于点 O，过点 O 作底边 BC 的平行线，交腰 AB，CD 于点 E，F．
求证：OE=OF．
证明：∵AD∥BC，
∴AOOC=ADBC．
∵OE∥BC，
∴OEBC=AOAC=ADAD+BC，即 OE=AD⋅BCAD+BC．
同理 OF=AD⋅BCAD+BC，
∴OE=OF．
（2） 图略（连接 AD，BC 交点 T 与 CA，DB 交点 S 的直线，连接 ST 分别交 AB，CD 点 X，Y）．
过 AD，BC 的交点 T 作 AB 的平行线，分别交 AC，BD 于点 U，V．
由小明的推断可知 TU=TV．
由小智的结论②可知 AXBX=UTVT，即 AX=BX．
同理：CY=DY，即直线 ST 同时平分线段 AB，CD．
24. （1） 由 y=x+4，得 A−4,0，B0,4．
又点 C 是线段 OB 的中点，得 C0,2．
设直线 AC 表达式为 y=kx+b，
则 2=b,0=−4k+b, 解得 k=12,b=2.
即直线 AC 的表达式为 y=12x+2．
（2） ①由题意知：2=c,4ac−b2=0,
解得 a=18b2．
1b 取值范围是 0<1b<1．
②设 Dd,d+4，
当 △DBC 与 △DAC 相似时，∠BDC=∠ADC，又 ∠CBD>∠DAC，
所以 ∠DAC=∠DCB．
于是 DBDC=DCDA=BCAC=225，
即 DBDA=15⇒DB=2，
即 d2+d2=2，解得 d=±1（舍负），得 D1,5．
由①得抛物线为 y=b28x2+bx+2，
则 5=b28+b+2⇒b=−4±210（舍负），
所以抛物线表达式为 y=7−210x2+210−4x+2．
25. （1） 连接 AC，由 AB=AD，CB=CD，AC=AC，得 △ABC≌△ADC，
即 ∠ACB=∠ACD=12∠BCD=∠MCN．
于是在 △ABC 中，∠ABC=90∘，AC=AB2+BC2=5，
则 sin∠ACB=ABAC=45，即 sin∠MCN=45．
（2） 在 △CDN 中，∠CDN=90∘，DN=DC，可得 ∠DNC=∠DCN=45∘．
作 ∠BCS=∠NCD 交边 AB 的延长线于点 S．
又 CB=CD，∠CBS=∠CDN=90∘，得 △CBS≌△CDN．
得 CS=CN，∠CSB=∠CND．
于是 ∠MCS=∠MCB+∠BCS=∠MCB+∠DCN=12∠BCD=∠MCN，
又 CM=CM，
所以 △MCS≌△MCN，
得 ∠CNM=∠MSC=∠CND=45∘．
（3） 不变．
易知 ∠ADB=∠ACD=∠MCN，由（2）知 ∠CNM=∠CND，
得 ∠CMN=∠DQN=CQP，
又 ∠MCN=∠PCQ，得 △CNM∽△CPQ，则 △CSM∽△CPQ．
设 AC 与 BD 的交点为 H，易知 CH⊥PQ，又 CB⊥MS，所以 PQMN=CHCB．
在 △BCH 中，∠BHC=90∘，sin∠HCB=45，易知 cs∠HCB=35，
即 PQMN=CHCB=35．