2021年上海市金山区中考一模数学试卷（期末）

这是一份2021年上海市金山区中考一模数学试卷（期末），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. 已知二次函数 y=x−22−1，那么该二次函数图象的对称轴是
A. 直线 x=2B. 直线 x=−2C. 直线 x=1D. 直线 x=−1

2. 下列各点在抛物线 y=2x2 上的是
A. 2,2B. 2,4C. 2,8D. 2,16

3. 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，那么锐角 A 的正弦等于
A. 锐角A的对边锐角A的邻边B. 锐角A的对边斜边C. 锐角A的邻边斜边D. 锐角A的邻边锐角A的对边

4. 若 α 是锐角，sinα+15∘=22，那么锐角 α 等于
A. 15∘B. 30∘C. 45∘D. 60∘

5. 如图，已知点 D，E 分别在 △ABC 的边 AB，AC 上，DE∥BC，AD=2，BD=3，BC=a，那么 ED 等于
A. 23aB. −23aC. 25aD. −25a

6. 如图，已知 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=3，BC=4，如果以点 C 为圆心的圆与斜边 AB 有公共点，那么 ⊙C 的半径 r 的取值范围是
A. 0≤r≤125B. 125≤r≤3C. 125≤r≤4D. 3≤r≤4

二、填空题（共12小题；共60分）
7. 计算：a+232a−b= ．

8. 已知 fx=x2+3x，那么 f−2= ．

9. 抛物线 y=−2x2 沿着 x 轴正方向看，在 y 轴的左侧部分是 ．（填“上升”或“下降”）

10. 正十边形的中心角等于 度．

11. 已知 ⊙O1 和 ⊙O2 的半径长分别为 3 和 4，若 ⊙O1 和 ⊙O2 内切，那么圆心距 O1O2 的长等于 ．

12. 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AB=15，sinA=45，那么 BC= ．

13. 在 ΔABC 中，AB:AC:BC=1:2:5，那么 tanB= ．

14. 已知：如图，△ABC 的中线 AE 与 BD 交于点 G，DF∥AE 交 BC 于 F，那么 DFAG= ．

15. 如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，BC=2AD，设 AB=a，AD=b，那么向量 CD 用向量 a，b 表示为 ．

16. 如图，已知 ⊙O 中，∠AOB=120∘，弦 AB=18，那么 ⊙O 的半径长等于 ．

17. 如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在边 BC 上，DE 交对角线 AC 于 F，若 CE=2BE，△ABC 的面积等于 15，那么 △FEC 的面积等于 ．

18. 已知在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，BC=1，AC=2，以点 C 为直角顶点的 Rt△DCE 的顶点 D 在 BA 的延长线上，DE 交 CA 的延长线于点 G，若 tan∠CED=12，CE=GE，那么 BD 的长等于 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 如图，已知在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=3，BC=4．求：tanB⋅sinA+∣1−csB∣+tanA4tan230∘ 的值．

20. 已知：如图，⊙O1 与 ⊙O2 外切于点 T，经过点 T 的直线与 ⊙O1，⊙O2 分别相交于点 A 和点 B．
（1）求证：O1A∥O2B；
（2）若 O1A=2，O2B=3，AB=7，求 AT 的长．

21. 已知抛物线 y=−2x2+bx+c 经过点 A0,1，B1,−5．
（1）求抛物线的表达式；
（2）把表达式化成 y=−2x+m2+k 的形式，并写出顶点坐标与对称轴．

22. 如图，在距某输电铁塔 GH（GH 垂直地面）的底部点 H 左侧水平距离 60 米的点 B 处有一个山坡，山坡 AB 的坡度 i=1:3，山坡坡底点 B 到坡顶 A 的距离 AB 等于 40 米，在坡顶 A 处测得铁塔顶点 G 的仰角为 30∘（铁塔 GH 与山坡 AB 在同一平面内）．
（1）求山坡的高度；
（2）求铁塔的高度 GH．（结果保留根号）

23. 已知：如图，四边形 ABCD 是菱形，点 M，N 分别在边 BC，CD 上，连接 AM，AN 交对角线 BD 于 E，F 两点，且 ∠MAN=∠ABD．
（1）求证：AB2=BF⋅DE．
（2）若 BEDE=DNDC，求证：EF∥MN．

24. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=−34x+2 与直线 y=12x−3 相交于点 A，抛物线 y=ax2+bx−1a≠0 经过点 A．
（1）求点 A 的坐标；
（2）若抛物线 y=ax2+bx−1 向上平移两个单位后，经过点 1,−2，求抛物线 y=ax2+bx−1 的表达式；
（3）若抛物线 y=aʹx2+bʹx+caʹ<0 与 y=ax2+bx−1 关于 x 轴对称，且这两条抛物线的顶点分别是点 Pʹ 与点 P，当 S△OPPʹ=3 时，求抛物线 y=ax2+bx−1 的表达式．

25. 定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．如图 1 中，∠A=12∠O．已知：如图 2，AC 是 ⊙O 的一条弦，点 D 在 ⊙O 上（与 A，C 不重合），联结 DC 交射线 AO 于点 E，联结 OD，⊙O 的半径为 5，tan∠OAC=34．
（1）求弦 AC 的长．
（2）当点 E 在线段 OA 上时，若 △DOE 与 △AEC 相似，求 ∠DCA 的正切值．
（3）当 OE=1 时，求点 A 与点 D 之间的距离（直接写出答案）．
答案
第一部分
1. A
2. C
3. B
4. B
5. D
6. C
第二部分
7. 4a−2b；
8. −2
9. 上升
10. 36
11. 1
12. 12
13. 2
14. 34
15. −a−b
16. 63
17. 4
18. 2+5
第三部分
19. 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=3，BC=4，由勾股定理得，AB2=AC2+BC2．
∴AB=AC2+BC2=32+42=5，
∴tanB=ACBC=34，sinA=BCAB=45，csB=BCAB=45，tanA=BCAC=43．
∴原式=34×45+1−45+434×332=45+1=95．
20. （1） 连接 O1O2，即 O1O2 为连心线，
又 ∵⊙O1 与 ⊙O2 外切于点 T，
∴O1O2 经过点 T；
∵O1A=O1T，O2B=O2T，
∴∠A=∠O1TA，∠B=∠O2TB；
∵∠O1TA=∠O2TB；
∴∠A=∠B；
∴O1A∥O2B．
（2） ∵O1A∥O2B，
∴AO1BO2=ATBT；
∵O1A=2，O2B=3，AB=7；
∴23=AT7−AT，
解得：AT=145．
21. （1） 由抛物线 y=−2x2+bx+c 经过点 A0,1，B1,−5 两点可得：
c=1,−2+b+c=−5,
解得：b=−4,c=1,
∴ 抛物线的解析式为：y=−2x2−4x+1．
（2） y=−2x2−4x+1=−2x+12+3；
∴y=−2x+12+3，顶点坐标为：−1,3，对称轴为：直线 x=−1．
22. （1） 过点 A 作 AD 垂直 HB，交 HB 的延长线于点 D，
即 ∠ADB=90∘；
由题意得：i=1:3，AB=60（米）；
∴ADBD=13，即 BD=3AD；
又 ∵AB2=AD2+BD2，即 402=AD2+3AD2，
∴AD=20（米）．
答：山坡的高度为 20 米．
（2） 作 AE∥BH 交 GH 于点 E，
∵AD⊥BH，GH⊥BH；
∴AD∥GH；
即：四边形 ADHE 是平行四边形；
由题意可知：∠GAE=30∘，BH=60（米）；
∵BD=3AD=203（米）；
∴AE=DH=60+203（米）；
在 Rt△AGE 中，tan∠GAE=GEAE；
∴GE=20+203（米）；
又 ∵EH=AD=20（米）；
∴GH=GE+EH=40+203（米）；
答：铁塔的高度 GH 为 40+203 米．
23. （1） ∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB．
∵∠AED=∠ABD+∠BAE，∠BAF=∠MAN+∠BAE，
又 ∵∠MAN=∠ABD，
∴∠AED=∠BAF，
∴△AED∽△FAB，
∴ADBF=DEAB，即 AD⋅AB=BF⋅DE，
∴AB2=BF⋅DE．
（2） ∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴BEDE=BMAD，
∵BEDE=DNDC，
∴BMAD=DNDC，
∴BMBC=DNDC，
∴MN∥BD，即 EF∥MN．
24. （1） ∵ 直线 y=−34x+2 与直线 y=12x−3 相交于点 A，
∴y=−34x+2,y=12x−3. 解得：x=4,y=−1.
∴ 点 A 的坐标为 4,−1．
（2） ∵ 抛物线 y=ax2+bx−1a≠0 经过点 A4,−1，
∴16a+4b−1=−1 即 b=−4a．
∴y=ax2−4ax−1．
∴ 平移后的抛物线的表达式是 y=ax2−4ax+1；
∴−2=a−4a+1，解得：a=1．
∴ 抛物线 y=ax2+bx−1 的表达式是：y=x2−4x−1．
（3） ∵y=ax2−4ax−1=ax−22−4a−1
∴P2,−4a−1，
∵ 抛物线 y=aʹx2+bʹx+caʹ<0 与 y=ax2−4ax−1 关于 x 轴对称，
∴Pʹ2,4a+1；
∵aʹ<0，
∴a>0；
∴PʹP=8a+2；
又 ∵OD=2，S△OPPʹ=12OD⋅PPʹ；
∴12×2×8a+2=3，解得：a=18．
∴ 抛物线 y=ax2+bx−1 的表达式是 y=18x2−12x−1．
25. （1） 作 OH⊥AC 垂足为点 H，OH 过圆心，
由垂径定理得 :AH=CH=12AC；
∵ 在 Rt△OAH 中 tan∠OAC=OHAH=34，设 OH=3x，AH=4x，
∴ 在 Rt△OAH 中，可得：OH2+AH2=OA2，由 ⊙O 的半径为 5 可得：3x2+4x2=52，
解得：x=±1，（x=−1 舍去）
∴OH=3，AH=4，
∴AC=2AH=8．
（2） ∵∠DEO=∠AEC，
∴ 当 △DOE 与 △AEC 相似时可得：∠DOE=∠A 或者 ∠DOE=∠ACD；
由定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．可知：∠ACD=12∠DOE，
∴∠ACD≠∠DOE，
∴ 当 △DOE 与 △AEC 相似时不存在 ∠DOE=∠ACD 情况，
∴ 当 △DOE 与 △AEC 相似时，△DOE=∠A，
∴OD∥AC，
∴ODAC=OEAE；
∵OD=OA=5，AC=8，得 58=5−AEAE，
∴AE=4013；
作 EG⊥AC 垂足为 G，可得：∠AGE=∠AHO=90∘，

∴GE∥OH，
∴AEAO=EGOH=AGAH 即 40135=EG3=AG4，
∴EG=2413，
AG=3213，CG=8−3213=7213，
∴ 在 Rt△CEG 中，
tan∠DCA=EGCG=24137213=13．
（3） 当 OE=1 时，AD 的长是 25 或 1829145．