2020年上海市黄浦区中考一模数学试卷（期末）

这是一份2020年上海市黄浦区中考一模数学试卷（期末），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. 下列四条线段中，不能成比例的是
A. a=4，b=8，c=5，d=10B. a=2，b=25，c=5，d=5
C. a=1，b=2，c=3，d=4D. a=1，b=2，c=2，d=4

2. 把抛物线 y=−2x2 向上平移 1 个单位，再向右平移 1 个单位，得到的抛物线是
A. y=−2x+12+1B. y=−2x−12+1
C. y=−2x−12−1D. y=−2x+12−1

3. 如图，传送带和地面所成斜坡 AB 的坡度为 1:2，物体从地面沿着该斜坡前进了 10 米，那么物体离地面的高度为
A. 5 米B. 53 米C. 25 米D. 45 米

4. 如图，点 D，E 分别在 △ABC 的 AB，AC 边上，下列条件中：① ∠ADE=∠C；② AEAB=DEBC；③ ADAC=AEAB．使 △ADE 与 △ACB 一定相似的是
A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③

5. 下列判断错误的是
A. 0⋅a=0
B. 如果 a+b=2c，a−b=3c，其中 c≠0，那么 a∥b
C. 设 e 为单位向量，那么 e=1
D. 如果 ∣a∣=2∣b∣，那么 a=2b 或 a=−2b

6. 已知二次函数 y=ax2+bx+ca>0 的图象经过 0,1，4,0，当该二次函数的自变量分别取 x1，x20A. 0
二、填空题（共12小题；共60分）
7. 已知 x3=2y，则 xy= ．

8. 若点 P 是线段 AB 的黄金分割点，AB=10 cm，则较长线段 AP 的长是 cm．

9. 计算：3a−2b−2a−3b= ．

10. 如果抛物线 y=2x2+x+m−1 经过原点，那么 m 的值等于 ．

11. 如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在边 DC 上，△DEF 的面积与 △BAF 的面积之比为 9:16，则 DE:EC= ．

12. 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AB=10，AC=8，则 csA= ．

13. 如图，图中所有四边形都是正方形，其中左上角 n 个小正方形与右下角的 1 个小正方形边长相等，若最大正方形边长是最小正方形边长的 m 倍，则用含 n 的代数式表示 m 的结果为 m= ．

14. 如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，EF 是梯形的中位线，点 E 在 AB 上，若 AD:BC=1:3，AD=a，则用 a 表示 FE 是：FE= ．

15. 在 △ABC 中，AB=AC=5，BC=8，如果点 G 为重心，那么 ∠GCB 的余切值为 ．

16. 为了测量某建筑物 BE 的高度（如图）， 小明在离建筑物 15 米（即 DE=15 米）的 A 处，用测角仪测得建筑物顶部 B 的仰角为 45∘，已知测角仪高 AD=1.8 米，则 BE= 米．

17. 如图，在 △ABC 中，AD，BE 分别是边 BC，AC 上的中线，AB=AC=5，cs∠C=45，那么 GE= ．

18. 如图，在矩形 ABCD 中，点 E 是 CD 的中点，将 △BCE 沿 BE 折叠后得到 △BEF 、且点 F 在矩形 ABCD 的内部，将 BF 延长交 AD 于点 G．若 DGGA=17，则 ADAB= ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 计算：sin30∘+∣−2∣−tan45∘+−12019．

20. 已知：如图，在平行四边形 ABCD 中，设 BA=a，BC=b．
（1）填空：CA= （用 a，b 的式子表示）．
（2）在图中求作 a+b．（不要求写出作法，只需写出结论即可）

21. 已知抛物线 y=−2x2+bx+c 与 x 轴交于 A2,−1，B−1,−4 两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）用配方法求抛物线的顶点坐标．

22. 如图，在某一路段，规定汽车限速行驶，交通警察在此限速路段的道路上设置了监测区，其中点 C，D 为监测点，已知点 C，D，B 在同一直线上，且 AC⊥BC，CD=400 米，tan∠ADC=2，∠ABC=35∘．
参考数据：sin35∘≈0.5736，cs35∘≈0.8192，tan35∘≈0.7002．
（1）求道路 AB 段的长（结果精确到 1 米）；
（2）如果道路 AB 的限速为 60 千米/时，一辆汽车通过 AB 段的时间为 90 秒，请你判断该车是否是超速，并说明理由．

23. 如图，菱形 ABCD 中，∠BAD=60∘，点 E 在边 AD 上，连接 BE，在 BE 上取点 F，连接 AF 并延长交 BD 于 H，且 ∠AFE=60∘，过 C 作 CG∥BD，直线 CG，AF 交于 G．
（1）求证：∠FAE=∠EBA；
（2）求证：AH=BE；
（3）若 AE=3，BH=5，求线段 FG 的长．

24. 抛物线 y=x2+bx+c 经过点 A，B，C，已知 A−1,0，C0,−3．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图 1，抛物线顶点为 E，EF⊥x 轴于 F 点，Mm,0 是 x 轴上一动点，N 是线段 EF 上一点，若 ∠MNC=90∘，请指出实数 m 的变化范围，并说明理由．
（3）如图 2，将抛物线平移，使其顶点 E 与原点 O 重合，直线 y=kx+2k>0 与抛物线相交于点 P，Q（点 P 在左边），过点 P 作 x 轴平行线交抛物线于点 H，当 k 发生改变时，请说明直线 QH 过定点，并求定点坐标．

25. 小李在学习了定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”之后做了如下思考，请你帮他完成如下问题．
（1）他认为该定理有逆定理：“如果一个三角形某条边上的中线等于该边长的一半，那么这个三角形是直角三角形”应该成立．即如图①，在 △ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，若 AD=BD=CD，求证：∠BAC=90∘．
（2）如图②，已知矩形 ABCD，如果在矩形外存在一点 E，使得 AE⊥CE，求证：BE⊥DE（可以直接用第（1）问的结论）．
（3）在第（2）问的条件下，如果 △AED 恰好是等边三角形，请求出此时矩形的两条邻边 AB 与 BC 的数量关系．
答案
第一部分
1. C【解析】A、 4×10=5×8，能成比例；
B、 2×5=25×5，能成比例；
C、 1×4≠2×3，不能成比例；
D、 1×4=2×2，能成比例．
故选C．
2. B【解析】∵ 函数 y=−2x2 的顶点为 0,0，
∴ 向上平移 1 个单位，再向右平移 1 个单位顶点为 1,1，
∴ 将函数 y=−2x2 的图象向上平移 1 个单位，再向右平移 1 个单位，得到抛物线的解析式为 y=−2x−12+1．
3. C【解析】作 BC⊥ 地面于点 C．
设 BC=x 米，
∵ 传送带和地面所成斜坡 AB 的坡度为 1:2，
∴AC=2x 米，
由勾股定理得 AC2+BC2=AB2，即 2x2+x2=102，
解得 x=25，即 BC=25 米．
4. C
5. D
【解析】A、 0⋅a=0，故本选项不符合题意．
B、由 a+b=2c，a⋅b=3c 得到：a=52c，b=−12c，故两向量方向相反，a∥b，故本选项不符合题意．
C、 e 为单位向量，那么 e=1，故本选项不符合题意．
D、由 a=2b 只能得到两向量模间的数量关系，不能判断其方向，判断错误，故本选项符合题意．
6. C【解析】当 a>0 时，抛物线开口向上，则点 0,1 的对称点为 x0,1，
∴x0>4，
∴ 对称轴为 x=m 中 2第二部分
7. 6
【解析】∵x3=2y，
∴xy=6．
8. 55−5
【解析】∵P 是线段 AB 的黄金分割点，AP>BP，
∴AP=5−12AB．
∵AB=10 cm，
∴AP=10×5−12=55−5．
故答案为 55−5．
9. a
【解析】3a−2b−2a−3b=3a−6b−2a+6b=3−2a+−6+6b=a.
10. 1
【解析】根据题意，知点 0,0 在抛物线 y=2x2+x+m−1 上，
∴0=m−1，
解得，m=1．
11. 3:1
【解析】∵ 四边形 ABCD 为平行四边形，
∴DE∥AB，DC=AB，
∴△DEF∽△BAF．
∵△DEF 的面积与 △BAF 的面积之比为 9:16，
∴DEBA=34，
∵DEEC=DECD−DE=34−3=3．
12. 45
【解析】Rt△ABC 中，∠C=90∘，AB=10，AC=8，
所以 BC=AB2−AC2=6，
所以 csA=ACAB=810=45．
13. 2n+5
【解析】如图，过 A 作 AB⊥FG 于 B，则 △ABC∽△CDE．
∴ABCD=BCDE=ACCE=2．
设小正方形的边长为 1，则大正方形的边长为 m．
∴AB=m−1，BF=n，DE=1，
∴BC=2DE=2，CD=12AB=12m−1．
∴FG=FB+BC+CD+DG=n+2+12m−1+1=m．
∴m=2n+5．
14. −2a
【解析】根据 AD:BC=1:3，则 BC=AD．
根据梯形的中位线定理，得 EF=2AD，
又 ∵AD=a，
∴FE=−2a．
15. 4
【解析】设 AG 交 BC 于 D．
∵AB=AC=5，BC=8，点 G 为重心，
∴AD⊥BC，BD=CD=12BC=12×8=4，
∴AD2=AC2−CD2，AD=3，
∴GA=2，
∴DG=1，
∴BG=17，
∴∠CBG 的余切值 =BDDG=4．
16. 16.8
【解析】如图，
∠CAB=45∘，
∴AC=BC=DE=15，
AD=1.8，
BE=BC+CE=16.8．
故答案为 16.8．
17. 172
【解析】过点 E 作 EF⊥BC 交 BC 于点 F．
∵AB=AC，AD 为 BC 的中线．
∴AD⊥BC．
∴EF 为 △ADC 的中位线．
又 ∵cs∠C=45，AB=AC=5，
∴AD=3，BD=CD=4，EF=32，DF=2．
∴BF=6．
∴ 在 Rt△BEF 中 BE=BF2+EF2=3172，
又 ∵△BGD∽△BEF，
∴BGBE=BDBF，即 BG=17．
GE=BE−BG=172．
18. 2
【解析】连接 GE，
∵ 点 E 是 CD 的中点，
∴EC=DE，
∵ 将 △BCE 沿 BE 折叠后得到 △BEF 、且点 F 在矩形 ABCD 的内部，
∴EF=DE，∠BFE=90∘，
在 Rt△EDG 和 Rt△EFG 中，
GE=GE,DE=EF,
∴Rt△EDG≌Rt△EFGHL，
∴FG=DG，
∵DGGA=17，
∴ 设 DG=FG=a，则 AG=7a，
故 AD=BC=8a，则 BG=BF+FG=9a，
∴AB=9a2−7a2=42a，
故 ADAB=8a42a=2．
第三部分
19. 原式=12+2−1−1=12.
20. （1） a−b
【解析】∵CA=CB+BA，BA=a，BC=b，
∴CA=a−b．
（2） BD 即为所求．
【解析】连接 BD．
∵BD=BA+AD，AD=BC，
∴BD=a+b．
∴BD 即为所求．
21. （1） 把 A2,−1，B−1,−4 两点代入 y=−2x2+bx+c，
得 −8+2b+c=−1,−2−b+c=−4, 解得 b=3,c=1,
故该抛物线解析式为 y=−2x2+3x+1．
（2） 由（1）知，抛物线解析式为 y=−2x2+3x+1．
y=−2x2+3x+1=−2x2−32x+916+1+98=−2x−342+178.
∴ 抛物线的顶点坐标是 34,178．
22. （1） 在 Rt△ACD 中，AC=CD⋅tan∠ADC=400×2=800，
在 Rt△ABC 中，AB=ACsin∠ABC=8000.5736≈1395（米）．
（2） 车速为：139590≈15.5 m/s=55.8 km/h<60 km/h．
∴ 该汽车没有超速．
23. （1） ∵∠AFE=∠BAE=60∘，∠AEF=∠BEA，
∴△AEF∽△BEA，
∴∠FAE=∠ABE．
（2） ∵ 四边形 ABCD 是菱形，且 ∠BAD=60∘，
∴AB=AD，∠BAE=∠ADB=60∘，
在 △ABE 和 △DAH 中，
∵∠ABE=∠DAH,AB=DA,∠BAE=∠ADB,
∴△ABE≌△DAHASA，
∴AH=BE．
（3） 如图，连接 AC 交 BD 于点 P，则 AC⊥BD，且 AC 平分 BD，
∵△ABE≌△DAH，
∴AE=DH=3，则 BD=BH+DH=8，
∴BP=PD=4，PH=BH−BP=1，
∵AB=BD=8，
∴AP=AB2−BP2=43，则 AC=2AP=83，
∵CG∥BD，且 P 为 AC 中点，
∴∠ACG=90∘，CG=2PH=2，
∴AG=AC2+CG2=14，BE=AH=12AG=7，
∵△AEF∽△BEA，
∴AFAB=AEBE，即 AF8=37，
解得：AF=247，
∴FG=AG−AF=14−247=747．
24. （1） ∵ 抛物线 y=x2+bx+c 经过点 A，C，
把点 A−1,0，C0,−3 代入，
得：0=1−b+c,−3=c, 解得 b=−2,c=−3,
∴ 抛物线的解析式为 y=x2−2x−3．
（2） 如图，作 CH⊥EF 于 H．
∵y=x2−2x−3=x−12−4，
∴ 抛物线的顶点坐标 E1,−4，
设 N 的坐标为 1,n，−4≤n≤0，
∵∠MNC=90∘，
∴∠CNH+∠MNF=90∘，
又 ∵∠CNH+∠NCH=90∘，
∴∠NCH=∠MNF，
又 ∵∠NHC=∠MFN=90∘，
∴Rt△NCH∽△MNF，
∴CHNF=HNFM，即 1−n=n+31−m，
解得：m=n2+3n+1=n+322−54，
∴ 当 n=−32 时，m 最小值为 −54；
当 n=−4 时，m 有最大值，m 的最大值 =16−12+1=5．
∴m 的取值范围是 −54 （3） 设点 Px1,y1，Qx2,y2，
∵ 过点 P 作 x 轴平行线交抛物线于点 H，
∴H−x1,y1，
∵y=kx+2，y=x2，
消去 y 得，x2−kx−2=0，
x1+x2=k，x1x2=−2，
设直线 HQ 表达式为 y=ax+t，
将点 Qx2,y2，H−x1,y1 代入，得 y2=ax2+t,y1=−ax1+t,
∴y2−y1=ax1+x2，即 kx2−x1=ka，
∴a=x2−x1，
∵x22=x2−x1x2+t，
∴t=−2，
∴ 直线 HQ 表达式为 y=x2−x1x−2，
∴ 当 k 发生改变时，直线 QH 过定点，定点坐标为 0,−2．
25. （1） ∵AD=BD，
∴∠B=∠BAD，
∵AD=CD，
∴∠C=∠CAD，
在 △ABC 中，∠B+∠C+∠BAC=180∘，
∴∠B+∠C+∠BAD+∠CAD=∠B+∠C+∠B+∠C=180∘．
∴∠B+∠C=90∘，
∴∠BAC=90∘．
（2） 如图②，连接 AC 与 BD，交点为 O，连接 OE．
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴OA=OB=OC=OD=12AC=12BD，
∵AE⊥CE，
∴∠AEC=90∘，
∴OE=12AC，
∴OE=12BD，
∴∠BED=90∘，
∴BE⊥DE．
（3） 如图 3，过点 B 作 BF⊥AE 于点 F．
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴AD=BC，∠BAD=90∘，
∵△ADE 是等边三角形，
∴AE=AD=BC，∠DAE=∠AED=60∘，
由（2）知，∠BED=90∘，
∴∠BAE=∠BEA=30∘，
∴AE=2AF，
∵ 在 Rt△ABF 中，∠BAE=30∘，
∴AB=2AF，AF=3BF，
∴AE=3AB，
∵AE=BC，
∴BC=3AB．