2021年上海市浦东新区中考一模数学试卷（期末）

这是一份2021年上海市浦东新区中考一模数学试卷（期末），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. A，B 两地的实际距离 AB=250 米，如果画在地图上的距离 AʹBʹ=5 厘米，那么地图上的距离与实际距离的比为
A. 1:500B. 1:5000C. 500:1D. 5000:1

2. 已知在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，∠B=α，AC=2，那么 AB 的长等于
A. 2sinα；B. 2sinα；C. 2csα；D. 2csα．

3. 下列 y 关于 x 的函数中，一定是二次函数的是
A. y=k−1x2+3B. y=1x2+1
C. y=x+1x−2−x2D. y=2x2−7x

4. 已知一个单位向量 e，设 a，b 是非零向量，那么下列等式中正确的是
A. ∣e∣a=a；B. ∣b∣e=b；C. 1∣a∣a=e；D. 1∣a∣a=1∣b∣b．

5. 如图，在 △ABC 中，点 D，F 是边 AB 上的点，点 E 是边 AC 上的点，如果 ∠ACD=∠B，DE∥BC，EF∥CD，下列结论不成立的是
A. AE2=AF⋅ADB. AC2=AD⋅AB
C. AF2=AE⋅ACD. AD2=AF⋅AB

6. 已知点 A1,2，B2,3，C2,1，那么抛物线 y=ax2+bx+1 可以经过的点是
A. 点 A，B，CB. 点 A，BC. 点 A，CD. 点 B，C

二、填空题（共12小题；共60分）
7. 如果线段 a，b 满足 ab=52，那么 a−bb 的值等于 ．

8. 已知线段 MN 的长为 4，点 P 是线段 MN 的黄金分割点，那么较长线段 MP 的长是 ．

9. 计算：2sin30∘−tan45∘= ．

10. 如果从某一高处甲看低处乙的俯角为 36 度，那么从低处乙看高处甲的仰角是 度．

11. 已知 AD，BE 是 △ABC 的中线，AD，BE 相交于点 F，如果 AD=3，那么 AF= ．

12. 如图，已知平行四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，设 OA=a，OB=b，那么向量 AB 关于 a，b 的分解式为 ．

13. 如果抛物线 y=m+4x2+m 经过原点，那么该抛物线的开口方向 ．（填“向上”或“向下”）

14. 如果 2,y1，3,y2 是抛物线 y=x+12 上两点，那么 y1 y2．（填“>”或“<”）

15. 如图，矩形 DEFG 的边 EF 在 △ABC 的边 BC 上，顶点 D，G 分别在边 AB，AC 上，已知 △ABC 的边 BC 长 60 厘米，高 AH 为 40 厘米，如果 DE=2DG，那么 DG= 厘米．

16. 秦九韶的《数书九章》中有一个“峻积验雪”的例子，其原理为：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=12，BC=5，AD⊥AB，AD=0.4，过点 D 作 DE∥AB 交 CB 的延长线于点 E，过点 B 作 BF⊥CE 交 DE 于点 F，那么 BF= ．

17. 如果将二次函数的图象平移，有一个点既在平移前的函数图象上又在平移后的函数图象上，那么称这个点为“平衡点”．
现将抛物线 C1：y=x−12−1 向右平移得到新抛物线 C2，如果“平衡点”为 3,3，那么新抛物线 C2 的表达式为 ．

18. 如图，△ABC 中，AB=10，BC=12，AC=8，点 D 是边 BC 上一点，且 BD:CD=2:1，连接 AD，过 AD 中点 M 的直线将 △ABC 分成周长相等的两部分，这条直线分别与边 BC，AC 相交于点 E，F，那么线段 BE 的长为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 已知向量关系式 12a−x=b+3x，试用向量 a，b 表示向量 x．

20. 已知抛物线 y=x2+2x+m−3 的顶点在第二象限，求 m 的取值范围．

21. 如图，已知 AD∥BE∥CF，它们依次交直线 l1，l2 于点 A，B，C 和点 D，E，F，且 AB=6，BC=8．
（1）求 DEDF 的值．
（2）当 AD=5，CF=19 时，求 BE 的长．

22. 如图，燕尾槽的横断面是等腰梯形 ABCD，现将一根木棒 MN 放置在该燕尾槽中，木棒与横断面在同一平面内，厚度等不计，它的底端 N 与点 C 重合，且经过点 A．已知燕尾角 ∠B=54.5∘，外口宽 AD=180 毫米，木棒与外口的夹角 ∠MAE=26.5∘，求燕尾槽的里口宽 BC（精确到 1 毫米）．（参考数据：sin54.5∘≈0.81，cs54.5∘≈0.58，tan54.5∘≈1.40，sin26.5∘≈0.45，cs26.5∘≈0.89，tan26.5∘≈0.50）

23. Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，点 D，E 分别为边 AB，BC 上的点，且 CD=CA，DE⊥AB．
（1）求证：CA2=CE⋅CB．
（2）连接 AE，取 AE 的中点 M，连接 CM 并延长与 AB 交于点 H．求证：CH⊥AB．

24. 二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 的图象经过点 A2,4，B5,0 和 O0,0．
（1）求二次函数的解析式．
（2）连接 AO，过点 B 作 BC⊥AO 于点 C，与该二次函数图象的对称轴交于点 P，连接 AP，求 ∠BAP 的余切值．
（3）在（2）的条件下，点 M 在经过点 A 且与 x 轴垂直的直线上，当 △AMO 与 △ABP 相似时，求点 M 的坐标．

25. 四边形 ABCD 是菱形，∠B≤90∘，点 E 为边 BC 上一点，连接 AE，过点 E 作 EF⊥AE，EF 与边 CD 交于点 F，且 EC=3CF．
（1）如图 1，当 ∠B=90∘ 时，求 S△ABE 与 S△ECF 的比值；
（2）如图 2，当点 E 是边 BC 的中点时，求 csB 的值；
（3）如图 3，连接 AF，当 ∠AFE=∠B 且 CF=2 时，求菱形的边长．
答案
第一部分
1. B
2. A
3. D
4. A
5. C
6. C
第二部分
7. 32
8. 25−2
9. 0
10. 36
11. 2
12. AB=b−a
13. 向上
14. <
15. 15
16. 2625
17. y=x−52−1
18. 2
第三部分
19. 12a−12x=b+3x.−12x−3x=b−12a.−72x=b−12a.x=−27b+17a.
20. 由题意得 y=x+12+m−4．
∴ 该抛物线的顶点为 −1,m−4．
∵ 抛物线的顶点在第二象限．
∴m−4>0．
解得 m>4．
∴m 的取值范围是 m>4．
21. （1） ∵AD∥BE∥CF，
∴DEDF=ABAC．
∵AB=6，BC=8，
∴AC=14．
∴DEDF=ABAC=614=37．
（2） 过点 A 作 AN∥l2，与 BE，CF 分别交于点 M，N．
∵AN∥l2，AD∥BE∥CF，
∴AD=ME=FN．
∵AD=5，
∴ME=FN=5．
∵CF=19，
∴CN=CF−FN=14．
∵BE∥CF，
∴ABAC=BMCN．
∵ABAC=37，
∴BMCN=37．
∴BM=6．
∴BE=BM+ME=6+5=11．
22. 分别过点 A，D 作 AH⊥BC，DG⊥BC，垂足分别为点 H，G．
根据题意，可知 BH=CG．
在 Rt△ABH 中，tan=AHBH，
∴BH=AHtanB．
在 Rt△ACH 中，tan∠ACH=AHCH，
∴CH=AHtan∠ACB．
∴AD=AHtan∠ACB−AHtanB．
∴AH=AD÷1tan∠ACB−1tan∠B．
∵AD∥BC，
∴∠ACB=∠MAE=26.5∘．
∵AD=180 毫米，∠B=54.5∘．
∴AH=AD÷1tan∠ACB−1tan∠B≈180÷10.50−11.40=140毫米.
∴BC=BH+CH=AHtan∠B+AHtan∠ACB≈1401.40+1400.50=380毫米.
答：燕尾槽的里口宽 BC 约为 380 毫米．
23. （1） ∵∠ACB=90∘，
∴∠CAD+∠CBA=90∘．
∵DE⊥AB，
∴∠EDA=90∘．
∴∠CDA+∠CDE=90∘．
∵CD=CA，
∴∠CDA=∠CAD．
∴∠CDE=∠B．
∵∠ECD=∠DCB，
∴△CDE∽△CBD．
∴CECD=CDCB．
∵CD=CA，
∴CECA=CACB．即 CA2=CE⋅CB．
（2） ∵∠ECA=∠ACB，CECA=CACB，
∴△ECA∽△ACB．
∴∠EAC=∠B．
∵∠ACB=90∘，M 是 AE 的中点，
∴MA=MC．
∴∠ACM=∠EAC．
∴∠ACM=∠B．
∵∠CAH=∠BAC，
∴△AHC∽△ACB．
∴∠AHC=∠ACB．
∵∠ACB=90∘，
∴∠AHC=90∘．
∴CH⊥AB．
24. （1） ∵ 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过点 A2,4，B5,0 和 O0,0．
∴4a+2b+c=4,25a+5b+c=0,c=0.
解得 a=−23，b=103，c=0．
∴ 二次函数的解析式是 y=−23x2+103x．
（2） 由（1）得抛物线的对称轴是直线 x=52．
将对称轴与 x 轴的交点记为 E，可得 OE=EB=52．
过点 A 作 AD⊥OB，垂足为点 D．
Rt△ADO 中，tan∠DAO=24=12．
由题意得 ∠DAO=∠CBO，
∴Rt△PEB 中，tan∠CBO=PEEB=12，
∴PE=54．
∴P52,54．
∵A2,4，B5,0，
∴PA=554，PB=554，AB=5．
∴PA=PB．
过点 P 作 PH⊥AB 于点 H，AH=12AB=52．
Rt△APH 中，由勾股定理得 PH=54．
∴ct∠BAP=AHPH=2．
（3） 由（2）得 tan∠BAP=PHAH=12，
∴tan∠DAO=tan∠BAP，
∴∠DAO=∠BAP．
若点 M 在点 A 上方，∠MAO=180∘−∠DAO，∠APB=180∘−∠BAP−∠ABP．
∴∠MAO≠∠APB．
∴ 点 M 在点 A 下方．
∴ 当 △AMO 与 △ABP 相似时，AMAO=APAB 或 AMAO=ABAP．
① AMAO=APAB，AM25=5545，AM=52．点 M 的坐标是 2,32．
② AMAO=ABAP，AM25=5554，AM=8．点 M 的坐标是 2,−4．
∴ 综上所述，点 M 的坐标是 2,32 或 2,−4．
25. （1） ∵ 四边形 ABCD 是菱形，∠B=90∘，
∴∠C=90∘，∠CFE+∠CEF=90∘．
∵EF⊥AE，
∴∠AEB+∠CEF=90∘．
∴∠CFE=∠BEA．
∴△ABE∽△ECF．
∴ABEC=BECF．
∵EC=3CF．
∴ABBE=ECCF=3．
∴AB=BC=3BE．
∴ABEC=32．
∴S△ABES△ECF=ABEC2=322=94，即 S△ABES△ECF=94．
（2） 由（1）中结论可知当 E 为 BC 中点时，∠B 不为 90∘．
分别过点 A，F 作 AG⊥BC，FH⊥BC，垂足分别为点 G，H．
∴∠AGE=∠EHF=90∘．
∵∠AEG=∠EFH，
∴△AGE∽△EHF．
∴AGEH=GEHF．
设 CF=k，CH=x．
由题意得 CE=BE=3k，AB=6k，EH=3k+x，HF=k2−x2．
由 △ABG∽△FCH，可得 BGCH=ABFC=6kk=6．
∴BG=6x．
∴AG=6k2−x2，GE=3k−6x．
∴6k2−x23k+x=3k−6xk2−x2．
化简可得 k=5x．
在 Rt△ABG 中，csB=BGAB=6x6k=xk=15．
即 csB=15．
（3） 由于 ∠B=∠AFE，
∴∠B 不为 90∘．
在 DC 的延长线上取点 P，使得 EP=EC．
∴∠P=∠ECP=∠D=∠B=∠AFE．
∵∠AFP=∠EFP+∠AFE=∠D+∠FAD，
∴∠EFP=∠FAD．
∴△EFP∽△FAD．
∴EPFD=PFDA=EFFA=cs∠AFE．
∵CF=2，EC=3CF，
∴EC=EP=6．
设菱形 ABCD 的边长为 m．
∴6m−2=2+PCm=cs∠AFE．
∴PC=4m+1m−2．
∴csP=12PCEP=m+13m−2．
∵∠AFE=∠P，
∴cs∠AFE=csP．
∴6m−2=m+13m−2，解得 m=17．经检验 m=17 是方程的解．
∴ 菱形 ABCD 的边长是 17．