还剩21页未读，
继续阅读
所属成套资源：天津中考模拟卷_历年天津中考模拟题及答案
成套系列资料，整套一键下载
2021年天津市河北区中考数学二模试卷（1）
展开
这是一份2021年天津市河北区中考数学二模试卷（1），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年天津市河北区中考数学二模试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（3分）计算：4×（﹣3）的结果是（ ）
A．﹣7 B．12 C．1 D．﹣12
2．（3分）2cos30°的值等于（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）截至2021年4月25日24时，天津市累计完成疫苗接种6547486剂次，其中：首剂6117711次，第二剂429775次，至此，天津市实现了新冠病毒疫苗首剂接种40%全人群覆盖．将429775用科学记数法表示应为（ ）
A．4.29775×105 B．0.429775×106
C．4.29775×106 D．42.9775×106
4．（3分）在如图所示四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）如图所示的是由5个相同的小正方体搭成的几何体，则它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）无理数在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
7．（3分）方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）如图，四边形ABCD为菱形，A、B两点的坐标分别是，B（0，1），点C、D在坐标轴上，则菱形ABCD的周长等于（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
9．（3分）化简﹣的结果为（ ）
A． B．a﹣1 C．a D．1﹣a
10．（3分）已知点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）是函数图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y2＜y1 D．无法确定
11．（3分）如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α，得到△EBD，若点A恰好在ED的延长线上，则∠CAD的度数为（ ）
A．90°﹣α B．α C．180°﹣α D．2α
12．（3分）如图抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数且a≠0）的图象交x轴于A（﹣2，0）和点B，交y轴负半轴于点C，且OB＝OC，下列结论：
①c＝2b﹣2；②a＝﹣；③b＝ac+1；④＜0．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：每小题3分，共18分.
13．（3分）﹣b•b3＝ ．
14．（3分）计算：（1﹣2）2＝ ．
15．（3分）一枚材质均匀的骰子，六个面的点数分别是1，2，3，4，5，6，投这个骰子，掷的点数不大于4的概率是 ．
16．（3分）若函数y＝（k﹣1）x+2是一次函数，且y的值随x值的增大而减小，则k的取值范围是 ．
17．（3分）如图，E是边长为2的正方形ABCD的对角线AC上一点，且AE＝AB，F为BE上任意一点，FG⊥AC于点G，FH⊥AB于点H，则FG+FH的值是 ．
18．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A、B、C均落在格点上．（Ⅰ）△ABC的面积为 ；
（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺在AC上做一点M，使以M为圆心，MC为半径的⊙M与AB相切，并简要说明点M的位置是如何找到的（不要求证明） ．
三、解答题：本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明，演算步骠或证明过程.
19．（8分）解不等式组
请结合解题过程，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ．
20．（8分）为了解某学校九年级学生每周平均课外阅读时间的情况，随机抽查了该学校九年级部分同学，对其每周平均课外阅读时间进行统计，绘制了如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）该校抽查九年级学生的人数为 ，图①中的m值为 ；
（Ⅱ）求统计的这组数据的众数、中位数和平均数．
（Ⅲ）根据统计的样本数据，估计该校九年级400名学生中，每周平均课外阅读时间大于2h的学生人数．
21．（10分）已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点作⊙O的切线，交AB的延长线于点P．
（Ⅰ）如图①，连接AC，BC，若BP＝OB，求∠A和∠P的大小；
（Ⅱ）如图②，过点P作⊙O的切线PD，切点为D，连接CD，BD，若∠BDC＝32°，求∠BDP的大小.
22．（10分）如图，从空中C点测得两建筑物A，B底部的俯角分别为37°和53°．如果测得C与B之间的距离为152m，且点A，B，D在同一直线上．（结果取整数）
（Ⅰ）求C点距地面的高度CD的值；
（Ⅱ）求建筑物A，B间的距离．
（参考值：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈）
23．（10分）同一种品牌的空调在甲、乙两个电器店的标价均是每台3000元．现甲、乙两个电器店优惠促销，甲电器店的优惠方案：如果一次购买台数不超过5台时，价格为每台3000元，如果一次购买台数超过5台时，超过部分按六折销售；乙电器店的优惠方案：全部按八折销售．
设某校在同一家电器店一次购买空调的数量为x（x为正整数）．
（Ⅰ）根据题意，填写下表：
一次购买台数（台）
2
6
15
…
甲电器店收费（元）
6000
…
乙电器店收费（元）
4800
…
（Ⅱ）设在甲电器店购买收费y1元，在乙电器店购买收费y2元，分别写出y1，y2关于x的函数关系式；
（Ⅲ）当x＞6时，该校在哪家电器店购买更合算？并说明理由．
24．（10分）已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴上，点C（4，2），点D是边OA上的动点，沿BD折叠该纸片，得点C的对应点C'，点A的对应点A′．
（Ⅰ）如图①，当点A′落在y轴上时，求点A′的坐标；
（Ⅱ）如图②，当BC′平分∠OBD时，求点A′的坐标；
（Ⅲ）连接A′C，C'C，求△A'C′C面积的最大值（直接写出结果即可）．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+3的对称轴是直线x＝2，与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（Ⅰ）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（Ⅱ）M为第一象限内抛物线上的一个点，过点M作MN⊥x轴于点N，交BC于点D，连接CM，当线段CM＝CD时，求点M的坐标；
（Ⅲ）以原点O为圆心，AO长为半径作⊙O，点P为⊙O上的一点，连接BP，CP，求2PC+3PB的最小值．
2021年天津市河北区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（3分）计算：4×（﹣3）的结果是（ ）
A．﹣7 B．12 C．1 D．﹣12
【分析】根据有理数的乘法法则计算即可，同号得正，异号得负，再把绝对值相乘．
【解答】解：4×（﹣3）＝﹣12．
故选：D．
2．（3分）2cos30°的值等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据特殊角的三角函数值直接解答即可．
【解答】解：2cos30°＝2×．
故选：B．
3．（3分）截至2021年4月25日24时，天津市累计完成疫苗接种6547486剂次，其中：首剂6117711次，第二剂429775次，至此，天津市实现了新冠病毒疫苗首剂接种40%全人群覆盖．将429775用科学记数法表示应为（ ）
A．4.29775×105 B．0.429775×106
C．4.29775×106 D．42.9775×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．
【解答】解：将429775用科学记数法表示应为4.29775×105，
故选：A．
4．（3分）在如图所示四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称，据此判断即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
5．（3分）如图所示的是由5个相同的小正方体搭成的几何体，则它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据俯视图是从上面看到的图形结合几何体判定则可．
【解答】解：从上面看，是一行三个小正方形．
故选：C．
6．（3分）无理数在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【分析】由＜＜可以得到答案．
【解答】解：∵3＜＜4，
∴无理数在3和4之间．
故选：B．
7．（3分）方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【分析】方程组利用代入消元法求出解即可．
【解答】解：，
把②代入①得：2y﹣y＝﹣1，
解得：y＝﹣1，
把y＝﹣1代入②得：x＝﹣2，
则方程组的解为，
故选：B．
8．（3分）如图，四边形ABCD为菱形，A、B两点的坐标分别是，B（0，1），点C、D在坐标轴上，则菱形ABCD的周长等于（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【分析】先由勾股定理求出AB的长，再由菱形的性质即可得出答案．
【解答】解：∵A，B两点的坐标分别是，B（0，1），
∴OA＝，OB＝1，
∴AB＝＝＝2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD＝AD＝AB＝2，
∴菱形的周长＝4AB＝8，
故选：C．
9．（3分）化简﹣的结果为（ ）
A． B．a﹣1 C．a D．1﹣a
【分析】首先通分运算，再利用分式的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝+
＝
＝a﹣1．
故选：B．
10．（3分）已知点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）是函数图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y2＜y1 D．无法确定
【分析】把点A、B、C的坐标分别代入函数解析式，求得y1、y2、y3的值，然后比较它们的大小．
【解答】解：∵点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）是函数图象上的三点，
∴y1＝﹣＝1，y2＝﹣＝﹣1，y3＝﹣＝﹣．
∵﹣1＜﹣＜1，
∴y2＜y3＜y1
故选：B．
11．（3分）如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α，得到△EBD，若点A恰好在ED的延长线上，则∠CAD的度数为（ ）
A．90°﹣α B．α C．180°﹣α D．2α
【分析】根据旋转的性质和四边形的内角和是360°，可以求得∠CAD的度数，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
∠CBD＝α，∠ACB＝∠EDB，
∵∠EDB+∠ADB＝180°，
∴∠ADB+∠ACB＝180°，
∵∠ADB+∠DBC+∠BCA+∠CAD＝360°，∠CBD＝α，
∴∠CAD＝180°﹣α，
故选：C．
12．（3分）如图抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数且a≠0）的图象交x轴于A（﹣2，0）和点B，交y轴负半轴于点C，且OB＝OC，下列结论：
①c＝2b﹣2；②a＝﹣；③b＝ac+1；④＜0．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】求出抛物线与y轴的交点C坐标，即可求出B坐标，从而得出x＝﹣c和x＝﹣2为一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根，由韦达定理建立等式可判断②③；由B（﹣c，0），代入抛物线的解析式即可判断①；由a＞0，c＜0，b＞0，即可判断④．
【解答】解：观察图象可知a＞0，c＜0，b＞0，
∴，故④正确；
∵OB＝OC，则点B坐标为（﹣c，0），
故x＝﹣c和x＝﹣2为一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根，
由韦达定理可得，
解第二个等式可得：a＝，故②错误；
把a＝代入第一个等式得：﹣2+（﹣c）＝﹣2b，
移项得：c＝2b﹣2，故①正确；
把B坐标代入函数中得：ac2﹣bc+c＝0，
∴ac﹣b+1＝0，即b＝ac+1，
故③正确；
正确的有3个．
故选：C．
二、填空题：每小题3分，共18分.
13．（3分）﹣b•b3＝ ﹣b4 ．
【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此计算即可．
【解答】解：﹣b•b3＝﹣b1+3＝﹣b4．
故答案为：﹣b4．
14．（3分）计算：（1﹣2）2＝ 13﹣4 ．
【分析】利用完全平方公式计算．
【解答】解：原式＝1﹣4+12
＝13﹣4．
故答案为13﹣4，
15．（3分）一枚材质均匀的骰子，六个面的点数分别是1，2，3，4，5，6，投这个骰子，掷的点数不大于4的概率是 ．
【分析】先求出点数不不大于4的数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：∵在这6种情况中，掷的点数不大于4的有4种结果，
∴掷的点数大于4的概率为＝，
故答案为：．
16．（3分）若函数y＝（k﹣1）x+2是一次函数，且y的值随x值的增大而减小，则k的取值范围是 k＜1 ．
【分析】根据一次函数y＝（k﹣1）x+2的增减性列出不等式k﹣1＜0，通过解该不等式即可求得k的取值范围．
【解答】解：∵一次函数y＝（k﹣1）x+2图象是函数值y随自变量x的值增大而减小，
∴k﹣1＜0，
解得，k＜1；
故答案是：k＜1．
17．（3分）如图，E是边长为2的正方形ABCD的对角线AC上一点，且AE＝AB，F为BE上任意一点，FG⊥AC于点G，FH⊥AB于点H，则FG+FH的值是 ．
【分析】过点E作EM⊥AB于M，连接AF，先根据三角函数的定义求出EM，由S△ABE＝AB•EM＝AE•GF+AB•FH，可得FG+FH＝EM，则FG+FH的值可求．
【解答】解：如图，过点E作EM⊥AB于M，连接AF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CAB＝45°，
∴∠AEM＝90°﹣∠CAM＝45°，
∴AM＝EM，
∴△AEM是等腰直角三角形，
∵AB＝AE＝2，
∴EM＝AE•sin45°＝2×＝，
∵S△ABE＝S△AEF+S△ABF，
∴S△ABE＝AB•EM＝AE•FG+AB•FH，
∴AB•EM＝AB（FG+FH），
∴EM＝FG+FH＝，
故答案为．
18．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A、B、C均落在格点上．（Ⅰ）△ABC的面积为 6 ；
（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺在AC上做一点M，使以M为圆心，MC为半径的⊙M与AB相切，并简要说明点M的位置是如何找到的（不要求证明） 延长BC到D，使BD＝5，连接AD，取AD的中点E，连接BE交AC于点M ．
【分析】（Ⅰ）根据三角形的面积计算公式可求答案；
（Ⅱ）利用格点，勾股定理构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质作出角B的平分线即可．
【解答】解：（Ⅰ）S△ABC＝×3×4＝6，
故答案为：6；
（Ⅱ）延长BC到D，使BD＝5，连接AD，取AD的中点E，连接BE交AC于点M，
理由如下：如图，AB＝＝5＝BD，
由等腰三角形的性质可知，点E是AD的中点，
∴BE平分∠ABC，
∴点M到∠ABC两边的距离相等，
因此点M符合题意，
故答案为：延长BC到D，使BD＝5，连接AD，取AD的中点E，连接BE交AC于点M．
三、解答题：本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明，演算步骠或证明过程.
19．（8分）解不等式组
请结合解题过程，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 x＞﹣1 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 x≤4 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ﹣1＜x≤4 ．
【分析】根据解一元一次不等式组的方法，可以解答本题．
【解答】解：
解不等式①，得
x＞﹣1，
解不等式②，得
x≤4，
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
故原不等式组的解集为﹣1＜x≤4．
故答案为：x＞﹣1，x≤4，﹣1＜x≤4．
20．（8分）为了解某学校九年级学生每周平均课外阅读时间的情况，随机抽查了该学校九年级部分同学，对其每周平均课外阅读时间进行统计，绘制了如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）该校抽查九年级学生的人数为 40 ，图①中的m值为 25 ；
（Ⅱ）求统计的这组数据的众数、中位数和平均数．
（Ⅲ）根据统计的样本数据，估计该校九年级400名学生中，每周平均课外阅读时间大于2h的学生人数．
【分析】（Ⅰ）由1小时的人数及其占总人数的百分比可得总人数，用4小时的人数除以总人数即可求出m；
（Ⅱ）根据众数、中位数及加权平均数的定义可得答案；
（Ⅲ）用总人数乘以每周平均课外阅读时间大于2h的学生人数所占的百分比即可．
【解答】解：（Ⅰ）该校抽查九年级学生的人数为：4÷10%＝40（人），
∵m%＝×100%＝25%，
∴m＝25，
故答案为：40，25；
（Ⅱ）∵在这组数据中3小时出现次数最多，有15次，
∴众数为3小时；
在这50个数据中，中位数为第25、26个数据的平均数，即中位数为＝3小时；
平均数是：（1×4+2×8+3×15+4×10+5×3）＝3（小时）；
（ III）根据题意得：
400×＝280（人），
答：根据统计的样本数据，估计该校九年级400名学生中，每周平均课外阅读时间大于2h的约有280人．
21．（10分）已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点作⊙O的切线，交AB的延长线于点P．
（Ⅰ）如图①，连接AC，BC，若BP＝OB，求∠A和∠P的大小；
（Ⅱ）如图②，过点P作⊙O的切线PD，切点为D，连接CD，BD，若∠BDC＝32°，求∠BDP的大小.
【分析】（Ⅰ）如图①，连接OC，根据切线的性质得到∠OCP＝90°，推出△BOC为等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠BOC＝60°，根据圆周角定理得到结论；
（Ⅱ）如图②，连接OC，OD，设CD交OP于E，根据切线的性质得到PC＝PD，∠OCP＝∠ODP＝90°，求得∠CEP＝∠DEP＝90°，根据三角形的内角和定理即可得到结论．
【解答】解：（Ⅰ）如图①，连接OC，
∵PC是⊙O的切线，
∴∠OCP＝90°，
∵BP＝OB，
∴BC＝OB，
∵OB＝OC，
∴△BOC为等边三角形，
∴∠BOC＝60°，
∴∠A＝∠BOC＝30°，
∴∠P＝90°﹣∠COB＝30°；
（Ⅱ）如图②，连接OC，OD，
设CD交OP于E，
∵PC，PD是⊙O的切线，
∴PC＝PD，∠OCP＝∠ODP＝90°，
∵OC＝OD，
∴OP垂直平分CD，
∴∠CEP＝∠DEP＝90°，
∵∠BDC＝32°，
∴∠OBD＝90°﹣∠BDC＝58°，
∴∠BDP＝90°﹣58°＝32°．
22．（10分）如图，从空中C点测得两建筑物A，B底部的俯角分别为37°和53°．如果测得C与B之间的距离为152m，且点A，B，D在同一直线上．（结果取整数）
（Ⅰ）求C点距地面的高度CD的值；
（Ⅱ）求建筑物A，B间的距离．
（参考值：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈）
【分析】（Ⅰ）在Rt△DBC中，∠DBC＝53°，BC＝152，∠BDC＝90°，解直角三角形即可；
（Ⅱ）分别求出AD、BD即可解决问题．
【解答】解：（Ⅰ）在Rt△DBC中，∠DBC＝53°，BC＝152，∠BDC＝90°，
∴sin∠DBC＝＝＝sin53°≈0.8，
解得CD≈152×0.8＝121.6≈122（m），
答：求C点距地面的高度CD的值约122m；
（Ⅱ）在Rt△DBC中，∠DBC＝53°，BC＝152，∠BDC＝90°，
∴cos∠DBC＝＝＝cos53°＝0.6，
解得BD≈152×0.6＝91.2（m），
在Rt△ADC中，∠DAC＝37°，CD≈121.6，∠ADC＝90°，
∴tan∠DBC＝＝tan37°≈，
∴AD≈121.6÷＝162.1（m），
∴AB＝AD+BD≈162.1+91.2≈253（m）．
答：AB之间的距离约为253m．
23．（10分）同一种品牌的空调在甲、乙两个电器店的标价均是每台3000元．现甲、乙两个电器店优惠促销，甲电器店的优惠方案：如果一次购买台数不超过5台时，价格为每台3000元，如果一次购买台数超过5台时，超过部分按六折销售；乙电器店的优惠方案：全部按八折销售．
设某校在同一家电器店一次购买空调的数量为x（x为正整数）．
（Ⅰ）根据题意，填写下表：
一次购买台数（台）
2
6
15
…
甲电器店收费（元）
6000
16800
33000
…
乙电器店收费（元）
4800
14400
36000
…
（Ⅱ）设在甲电器店购买收费y1元，在乙电器店购买收费y2元，分别写出y1，y2关于x的函数关系式；
（Ⅲ）当x＞6时，该校在哪家电器店购买更合算？并说明理由．
【分析】（Ⅰ）由题意直接求出购买6台，15台甲乙电器店的费用即可；
（Ⅱ）由题意分0＜x≤5和x＞5时甲电器店费用关于购买空调的数量x的函数解析式，以及直接写出乙电器店费用关于购买空调的数量x的解析式；
（Ⅲ）先求出y1与y2的总费用的差y关于购买空调的数量x的解析式，然后由y＞0，y＝0，y＜0，分类讨论即可．
【解答】解：（Ⅰ）一次买6台，甲电器店收费为：5×3000+（6﹣5）×3000×0.6＝16800（元），
乙电器店收费为：6×30000×0.8＝14400（元），
一次购买15台，甲电器店收费为：5×3000+（15﹣5）×3000×0.6＝33000（元），
乙电器店收费为：15×30000×0.8＝36000（元），
故答案为：16800，33000，14400，36000；
（Ⅱ）由题意得：当0＜x≤5时，y1＝3000x，
当x＞5时，y1＝5×3000+（x﹣5）×3000×0.6＝1800x+6000，
∴y1＝，
y2＝3000×0.8x＝2400x；
（Ⅲ）设y1与y2的总费用的差为y元，
x＞6时，
y＝y1﹣y2
＝1800x+6000﹣2400x
＝﹣600x+6000，
当y＝0时，﹣600x+6000＝0，解得：x＝10，
即x＝10时，甲、乙两个电器店的收费相同，
∵﹣600＜0，
∴y随x的增大而减小，
故当6＜x＜10时，y1＞y2，故在乙电器店购买更合算，
当x＞10时，y1＜y2，故在甲电器店购买更合算，
答：当6＜x＜10时，在乙电器店购买更合算，当x＞10时，在甲电器店购买更合算．
24．（10分）已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴上，点C（4，2），点D是边OA上的动点，沿BD折叠该纸片，得点C的对应点C'，点A的对应点A′．
（Ⅰ）如图①，当点A′落在y轴上时，求点A′的坐标；
（Ⅱ）如图②，当BC′平分∠OBD时，求点A′的坐标；
（Ⅲ）连接A′C，C'C，求△A'C′C面积的最大值（直接写出结果即可）．
【分析】（Ⅰ）由勾股定理可求AB的长，由折叠的性质可得AB＝A'B＝2，即可求解；
（Ⅱ）由折叠的性质和角平分线的性质可求∠CBD＝∠DBC'＝∠OBC'＝30°，由直角三角形的性质可求OD＝2，DE＝4﹣2，由折叠的性质和平角的性质可求∠A'DE＝60°，即可求解；
（Ⅲ）由折叠的性质可得AC＝A'C'＝2，则当点C到A'C'的距离最大时，△A'C′C面积有最大值，所以当点D与点O重合时，可得最大距离为8，即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）如图①，连接AB，
∵点C（4，2），
∴OB＝AC＝2，OA＝BC＝4，
∴AB＝＝＝2，
由折叠可得：AD＝A'D，AB＝A'B＝2，
∴A'O＝2﹣2，
∴点A'（0，2﹣2）；
（Ⅱ）如图②，过点A'作A'E⊥OA于E，
∵BC′平分∠OBD，
∴∠OBC'＝∠DBC'，
由折叠可得：∠CBD＝∠DBC'，∠BDA＝∠BDA'，
∴∠CBD＝∠DBC'＝∠OBC'＝30°，
∴∠OBD＝60°，
∴∠ODB＝30°，
∴OD＝OB＝2，∠BDA＝∠BDA'＝150°，
∴AD＝A'D＝4﹣2，∠ODA'＝120°，
∴∠ADE＝60°，
∴∠DA'E＝30°，
∴DE＝A'D＝2﹣，EA'＝DE＝2﹣3，
∴OE＝2+2﹣＝2+，
∴点A'（2+，3﹣2）；
（Ⅲ）由折叠可得：AC＝A'C'＝2，
∴当点C到A'C'的距离最大时，△A'C′C面积有最大值，
∴当点D与点O重合时，点C到AC的最大距离为BC+BC'＝8，
∴△A'C′C面积的最大值＝×2×8＝8．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+3的对称轴是直线x＝2，与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（Ⅰ）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（Ⅱ）M为第一象限内抛物线上的一个点，过点M作MN⊥x轴于点N，交BC于点D，连接CM，当线段CM＝CD时，求点M的坐标；
（Ⅲ）以原点O为圆心，AO长为半径作⊙O，点P为⊙O上的一点，连接BP，CP，求2PC+3PB的最小值．
【分析】（Ⅰ）由x＝2＝﹣＝﹣，解得b＝1，即可求解；
（Ⅱ）当线段CM＝CD时，则点C在MD的中垂线上，即yC＝（yM+yD），即可求解；
（Ⅲ）在OC上取点G，使＝，即，则△POG∽△COP，故2PC+3PB＝2（PB+PC）＝2（BP+PG），故当B、P、G三点共线时，2PC+3PB最小，最小值为3BG，进而求解．
【解答】解：（Ⅰ）∵对称轴是直线x＝2，
故x＝2＝﹣＝﹣，解得b＝1，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣2）2+4，
∴抛物线的顶点为（2，4）；
（Ⅱ）对于y＝﹣x2+x+3，令y＝﹣x2+x+3＝0，解得x＝6或﹣2，令x＝0，则y＝3，
故点A、B、C的坐标分别为（﹣2，0）、（6，0）、（0，3），
设直线BC的表达式为y＝mx+n，则，解得，
故直线BC的表达式为y＝﹣x+3，
设点M的坐标为（x，﹣x2+x+3），则点D的坐标为（x，﹣x+3），
当线段CM＝CD时，则点C在MD的中垂线上，即yC＝（yM+yD），
即3＝（﹣x2+x+3﹣x+3），
解得x＝0（舍去）或2，
故点M的坐标为（2，4）；
（Ⅲ）在OC上取点G，使＝，即，则OG＝，则点G（0，），
∵，∠GOP＝∠COP，
∴△POG∽△COP，
∴，故PG＝PC，
则2PC+3PB＝3（PB+PC）＝3（BP+PG），
故当B、P、G三点共线时，2PC+3PB最小，最小值为3BG，
则2PC+3PB的最小值3BG＝3＝．
2021年天津市河北区中考数学二模试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（3分）计算：4×（﹣3）的结果是（ ）
A．﹣7 B．12 C．1 D．﹣12
2．（3分）2cos30°的值等于（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）截至2021年4月25日24时，天津市累计完成疫苗接种6547486剂次，其中：首剂6117711次，第二剂429775次，至此，天津市实现了新冠病毒疫苗首剂接种40%全人群覆盖．将429775用科学记数法表示应为（ ）
A．4.29775×105 B．0.429775×106
C．4.29775×106 D．42.9775×106
4．（3分）在如图所示四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）如图所示的是由5个相同的小正方体搭成的几何体，则它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）无理数在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
7．（3分）方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）如图，四边形ABCD为菱形，A、B两点的坐标分别是，B（0，1），点C、D在坐标轴上，则菱形ABCD的周长等于（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
9．（3分）化简﹣的结果为（ ）
A． B．a﹣1 C．a D．1﹣a
10．（3分）已知点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）是函数图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y2＜y1 D．无法确定
11．（3分）如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α，得到△EBD，若点A恰好在ED的延长线上，则∠CAD的度数为（ ）
A．90°﹣α B．α C．180°﹣α D．2α
12．（3分）如图抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数且a≠0）的图象交x轴于A（﹣2，0）和点B，交y轴负半轴于点C，且OB＝OC，下列结论：
①c＝2b﹣2；②a＝﹣；③b＝ac+1；④＜0．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：每小题3分，共18分.
13．（3分）﹣b•b3＝ ．
14．（3分）计算：（1﹣2）2＝ ．
15．（3分）一枚材质均匀的骰子，六个面的点数分别是1，2，3，4，5，6，投这个骰子，掷的点数不大于4的概率是 ．
16．（3分）若函数y＝（k﹣1）x+2是一次函数，且y的值随x值的增大而减小，则k的取值范围是 ．
17．（3分）如图，E是边长为2的正方形ABCD的对角线AC上一点，且AE＝AB，F为BE上任意一点，FG⊥AC于点G，FH⊥AB于点H，则FG+FH的值是 ．
18．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A、B、C均落在格点上．（Ⅰ）△ABC的面积为 ；
（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺在AC上做一点M，使以M为圆心，MC为半径的⊙M与AB相切，并简要说明点M的位置是如何找到的（不要求证明） ．
三、解答题：本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明，演算步骠或证明过程.
19．（8分）解不等式组
请结合解题过程，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ．
20．（8分）为了解某学校九年级学生每周平均课外阅读时间的情况，随机抽查了该学校九年级部分同学，对其每周平均课外阅读时间进行统计，绘制了如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）该校抽查九年级学生的人数为 ，图①中的m值为 ；
（Ⅱ）求统计的这组数据的众数、中位数和平均数．
（Ⅲ）根据统计的样本数据，估计该校九年级400名学生中，每周平均课外阅读时间大于2h的学生人数．
21．（10分）已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点作⊙O的切线，交AB的延长线于点P．
（Ⅰ）如图①，连接AC，BC，若BP＝OB，求∠A和∠P的大小；
（Ⅱ）如图②，过点P作⊙O的切线PD，切点为D，连接CD，BD，若∠BDC＝32°，求∠BDP的大小.
22．（10分）如图，从空中C点测得两建筑物A，B底部的俯角分别为37°和53°．如果测得C与B之间的距离为152m，且点A，B，D在同一直线上．（结果取整数）
（Ⅰ）求C点距地面的高度CD的值；
（Ⅱ）求建筑物A，B间的距离．
（参考值：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈）
23．（10分）同一种品牌的空调在甲、乙两个电器店的标价均是每台3000元．现甲、乙两个电器店优惠促销，甲电器店的优惠方案：如果一次购买台数不超过5台时，价格为每台3000元，如果一次购买台数超过5台时，超过部分按六折销售；乙电器店的优惠方案：全部按八折销售．
设某校在同一家电器店一次购买空调的数量为x（x为正整数）．
（Ⅰ）根据题意，填写下表：
一次购买台数（台）
2
6
15
…
甲电器店收费（元）
6000
…
乙电器店收费（元）
4800
…
（Ⅱ）设在甲电器店购买收费y1元，在乙电器店购买收费y2元，分别写出y1，y2关于x的函数关系式；
（Ⅲ）当x＞6时，该校在哪家电器店购买更合算？并说明理由．
24．（10分）已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴上，点C（4，2），点D是边OA上的动点，沿BD折叠该纸片，得点C的对应点C'，点A的对应点A′．
（Ⅰ）如图①，当点A′落在y轴上时，求点A′的坐标；
（Ⅱ）如图②，当BC′平分∠OBD时，求点A′的坐标；
（Ⅲ）连接A′C，C'C，求△A'C′C面积的最大值（直接写出结果即可）．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+3的对称轴是直线x＝2，与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（Ⅰ）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（Ⅱ）M为第一象限内抛物线上的一个点，过点M作MN⊥x轴于点N，交BC于点D，连接CM，当线段CM＝CD时，求点M的坐标；
（Ⅲ）以原点O为圆心，AO长为半径作⊙O，点P为⊙O上的一点，连接BP，CP，求2PC+3PB的最小值．
2021年天津市河北区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（3分）计算：4×（﹣3）的结果是（ ）
A．﹣7 B．12 C．1 D．﹣12
【分析】根据有理数的乘法法则计算即可，同号得正，异号得负，再把绝对值相乘．
【解答】解：4×（﹣3）＝﹣12．
故选：D．
2．（3分）2cos30°的值等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据特殊角的三角函数值直接解答即可．
【解答】解：2cos30°＝2×．
故选：B．
3．（3分）截至2021年4月25日24时，天津市累计完成疫苗接种6547486剂次，其中：首剂6117711次，第二剂429775次，至此，天津市实现了新冠病毒疫苗首剂接种40%全人群覆盖．将429775用科学记数法表示应为（ ）
A．4.29775×105 B．0.429775×106
C．4.29775×106 D．42.9775×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．
【解答】解：将429775用科学记数法表示应为4.29775×105，
故选：A．
4．（3分）在如图所示四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称，据此判断即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
5．（3分）如图所示的是由5个相同的小正方体搭成的几何体，则它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据俯视图是从上面看到的图形结合几何体判定则可．
【解答】解：从上面看，是一行三个小正方形．
故选：C．
6．（3分）无理数在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【分析】由＜＜可以得到答案．
【解答】解：∵3＜＜4，
∴无理数在3和4之间．
故选：B．
7．（3分）方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【分析】方程组利用代入消元法求出解即可．
【解答】解：，
把②代入①得：2y﹣y＝﹣1，
解得：y＝﹣1，
把y＝﹣1代入②得：x＝﹣2，
则方程组的解为，
故选：B．
8．（3分）如图，四边形ABCD为菱形，A、B两点的坐标分别是，B（0，1），点C、D在坐标轴上，则菱形ABCD的周长等于（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【分析】先由勾股定理求出AB的长，再由菱形的性质即可得出答案．
【解答】解：∵A，B两点的坐标分别是，B（0，1），
∴OA＝，OB＝1，
∴AB＝＝＝2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD＝AD＝AB＝2，
∴菱形的周长＝4AB＝8，
故选：C．
9．（3分）化简﹣的结果为（ ）
A． B．a﹣1 C．a D．1﹣a
【分析】首先通分运算，再利用分式的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝+
＝
＝a﹣1．
故选：B．
10．（3分）已知点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）是函数图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y2＜y1 D．无法确定
【分析】把点A、B、C的坐标分别代入函数解析式，求得y1、y2、y3的值，然后比较它们的大小．
【解答】解：∵点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）是函数图象上的三点，
∴y1＝﹣＝1，y2＝﹣＝﹣1，y3＝﹣＝﹣．
∵﹣1＜﹣＜1，
∴y2＜y3＜y1
故选：B．
11．（3分）如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α，得到△EBD，若点A恰好在ED的延长线上，则∠CAD的度数为（ ）
A．90°﹣α B．α C．180°﹣α D．2α
【分析】根据旋转的性质和四边形的内角和是360°，可以求得∠CAD的度数，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
∠CBD＝α，∠ACB＝∠EDB，
∵∠EDB+∠ADB＝180°，
∴∠ADB+∠ACB＝180°，
∵∠ADB+∠DBC+∠BCA+∠CAD＝360°，∠CBD＝α，
∴∠CAD＝180°﹣α，
故选：C．
12．（3分）如图抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数且a≠0）的图象交x轴于A（﹣2，0）和点B，交y轴负半轴于点C，且OB＝OC，下列结论：
①c＝2b﹣2；②a＝﹣；③b＝ac+1；④＜0．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】求出抛物线与y轴的交点C坐标，即可求出B坐标，从而得出x＝﹣c和x＝﹣2为一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根，由韦达定理建立等式可判断②③；由B（﹣c，0），代入抛物线的解析式即可判断①；由a＞0，c＜0，b＞0，即可判断④．
【解答】解：观察图象可知a＞0，c＜0，b＞0，
∴，故④正确；
∵OB＝OC，则点B坐标为（﹣c，0），
故x＝﹣c和x＝﹣2为一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根，
由韦达定理可得，
解第二个等式可得：a＝，故②错误；
把a＝代入第一个等式得：﹣2+（﹣c）＝﹣2b，
移项得：c＝2b﹣2，故①正确；
把B坐标代入函数中得：ac2﹣bc+c＝0，
∴ac﹣b+1＝0，即b＝ac+1，
故③正确；
正确的有3个．
故选：C．
二、填空题：每小题3分，共18分.
13．（3分）﹣b•b3＝ ﹣b4 ．
【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此计算即可．
【解答】解：﹣b•b3＝﹣b1+3＝﹣b4．
故答案为：﹣b4．
14．（3分）计算：（1﹣2）2＝ 13﹣4 ．
【分析】利用完全平方公式计算．
【解答】解：原式＝1﹣4+12
＝13﹣4．
故答案为13﹣4，
15．（3分）一枚材质均匀的骰子，六个面的点数分别是1，2，3，4，5，6，投这个骰子，掷的点数不大于4的概率是 ．
【分析】先求出点数不不大于4的数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：∵在这6种情况中，掷的点数不大于4的有4种结果，
∴掷的点数大于4的概率为＝，
故答案为：．
16．（3分）若函数y＝（k﹣1）x+2是一次函数，且y的值随x值的增大而减小，则k的取值范围是 k＜1 ．
【分析】根据一次函数y＝（k﹣1）x+2的增减性列出不等式k﹣1＜0，通过解该不等式即可求得k的取值范围．
【解答】解：∵一次函数y＝（k﹣1）x+2图象是函数值y随自变量x的值增大而减小，
∴k﹣1＜0，
解得，k＜1；
故答案是：k＜1．
17．（3分）如图，E是边长为2的正方形ABCD的对角线AC上一点，且AE＝AB，F为BE上任意一点，FG⊥AC于点G，FH⊥AB于点H，则FG+FH的值是 ．
【分析】过点E作EM⊥AB于M，连接AF，先根据三角函数的定义求出EM，由S△ABE＝AB•EM＝AE•GF+AB•FH，可得FG+FH＝EM，则FG+FH的值可求．
【解答】解：如图，过点E作EM⊥AB于M，连接AF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CAB＝45°，
∴∠AEM＝90°﹣∠CAM＝45°，
∴AM＝EM，
∴△AEM是等腰直角三角形，
∵AB＝AE＝2，
∴EM＝AE•sin45°＝2×＝，
∵S△ABE＝S△AEF+S△ABF，
∴S△ABE＝AB•EM＝AE•FG+AB•FH，
∴AB•EM＝AB（FG+FH），
∴EM＝FG+FH＝，
故答案为．
18．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A、B、C均落在格点上．（Ⅰ）△ABC的面积为 6 ；
（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺在AC上做一点M，使以M为圆心，MC为半径的⊙M与AB相切，并简要说明点M的位置是如何找到的（不要求证明） 延长BC到D，使BD＝5，连接AD，取AD的中点E，连接BE交AC于点M ．
【分析】（Ⅰ）根据三角形的面积计算公式可求答案；
（Ⅱ）利用格点，勾股定理构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质作出角B的平分线即可．
【解答】解：（Ⅰ）S△ABC＝×3×4＝6，
故答案为：6；
（Ⅱ）延长BC到D，使BD＝5，连接AD，取AD的中点E，连接BE交AC于点M，
理由如下：如图，AB＝＝5＝BD，
由等腰三角形的性质可知，点E是AD的中点，
∴BE平分∠ABC，
∴点M到∠ABC两边的距离相等，
因此点M符合题意，
故答案为：延长BC到D，使BD＝5，连接AD，取AD的中点E，连接BE交AC于点M．
三、解答题：本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明，演算步骠或证明过程.
19．（8分）解不等式组
请结合解题过程，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 x＞﹣1 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 x≤4 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ﹣1＜x≤4 ．
【分析】根据解一元一次不等式组的方法，可以解答本题．
【解答】解：
解不等式①，得
x＞﹣1，
解不等式②，得
x≤4，
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
故原不等式组的解集为﹣1＜x≤4．
故答案为：x＞﹣1，x≤4，﹣1＜x≤4．
20．（8分）为了解某学校九年级学生每周平均课外阅读时间的情况，随机抽查了该学校九年级部分同学，对其每周平均课外阅读时间进行统计，绘制了如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）该校抽查九年级学生的人数为 40 ，图①中的m值为 25 ；
（Ⅱ）求统计的这组数据的众数、中位数和平均数．
（Ⅲ）根据统计的样本数据，估计该校九年级400名学生中，每周平均课外阅读时间大于2h的学生人数．
【分析】（Ⅰ）由1小时的人数及其占总人数的百分比可得总人数，用4小时的人数除以总人数即可求出m；
（Ⅱ）根据众数、中位数及加权平均数的定义可得答案；
（Ⅲ）用总人数乘以每周平均课外阅读时间大于2h的学生人数所占的百分比即可．
【解答】解：（Ⅰ）该校抽查九年级学生的人数为：4÷10%＝40（人），
∵m%＝×100%＝25%，
∴m＝25，
故答案为：40，25；
（Ⅱ）∵在这组数据中3小时出现次数最多，有15次，
∴众数为3小时；
在这50个数据中，中位数为第25、26个数据的平均数，即中位数为＝3小时；
平均数是：（1×4+2×8+3×15+4×10+5×3）＝3（小时）；
（ III）根据题意得：
400×＝280（人），
答：根据统计的样本数据，估计该校九年级400名学生中，每周平均课外阅读时间大于2h的约有280人．
21．（10分）已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点作⊙O的切线，交AB的延长线于点P．
（Ⅰ）如图①，连接AC，BC，若BP＝OB，求∠A和∠P的大小；
（Ⅱ）如图②，过点P作⊙O的切线PD，切点为D，连接CD，BD，若∠BDC＝32°，求∠BDP的大小.
【分析】（Ⅰ）如图①，连接OC，根据切线的性质得到∠OCP＝90°，推出△BOC为等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠BOC＝60°，根据圆周角定理得到结论；
（Ⅱ）如图②，连接OC，OD，设CD交OP于E，根据切线的性质得到PC＝PD，∠OCP＝∠ODP＝90°，求得∠CEP＝∠DEP＝90°，根据三角形的内角和定理即可得到结论．
【解答】解：（Ⅰ）如图①，连接OC，
∵PC是⊙O的切线，
∴∠OCP＝90°，
∵BP＝OB，
∴BC＝OB，
∵OB＝OC，
∴△BOC为等边三角形，
∴∠BOC＝60°，
∴∠A＝∠BOC＝30°，
∴∠P＝90°﹣∠COB＝30°；
（Ⅱ）如图②，连接OC，OD，
设CD交OP于E，
∵PC，PD是⊙O的切线，
∴PC＝PD，∠OCP＝∠ODP＝90°，
∵OC＝OD，
∴OP垂直平分CD，
∴∠CEP＝∠DEP＝90°，
∵∠BDC＝32°，
∴∠OBD＝90°﹣∠BDC＝58°，
∴∠BDP＝90°﹣58°＝32°．
22．（10分）如图，从空中C点测得两建筑物A，B底部的俯角分别为37°和53°．如果测得C与B之间的距离为152m，且点A，B，D在同一直线上．（结果取整数）
（Ⅰ）求C点距地面的高度CD的值；
（Ⅱ）求建筑物A，B间的距离．
（参考值：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈）
【分析】（Ⅰ）在Rt△DBC中，∠DBC＝53°，BC＝152，∠BDC＝90°，解直角三角形即可；
（Ⅱ）分别求出AD、BD即可解决问题．
【解答】解：（Ⅰ）在Rt△DBC中，∠DBC＝53°，BC＝152，∠BDC＝90°，
∴sin∠DBC＝＝＝sin53°≈0.8，
解得CD≈152×0.8＝121.6≈122（m），
答：求C点距地面的高度CD的值约122m；
（Ⅱ）在Rt△DBC中，∠DBC＝53°，BC＝152，∠BDC＝90°，
∴cos∠DBC＝＝＝cos53°＝0.6，
解得BD≈152×0.6＝91.2（m），
在Rt△ADC中，∠DAC＝37°，CD≈121.6，∠ADC＝90°，
∴tan∠DBC＝＝tan37°≈，
∴AD≈121.6÷＝162.1（m），
∴AB＝AD+BD≈162.1+91.2≈253（m）．
答：AB之间的距离约为253m．
23．（10分）同一种品牌的空调在甲、乙两个电器店的标价均是每台3000元．现甲、乙两个电器店优惠促销，甲电器店的优惠方案：如果一次购买台数不超过5台时，价格为每台3000元，如果一次购买台数超过5台时，超过部分按六折销售；乙电器店的优惠方案：全部按八折销售．
设某校在同一家电器店一次购买空调的数量为x（x为正整数）．
（Ⅰ）根据题意，填写下表：
一次购买台数（台）
2
6
15
…
甲电器店收费（元）
6000
16800
33000
…
乙电器店收费（元）
4800
14400
36000
…
（Ⅱ）设在甲电器店购买收费y1元，在乙电器店购买收费y2元，分别写出y1，y2关于x的函数关系式；
（Ⅲ）当x＞6时，该校在哪家电器店购买更合算？并说明理由．
【分析】（Ⅰ）由题意直接求出购买6台，15台甲乙电器店的费用即可；
（Ⅱ）由题意分0＜x≤5和x＞5时甲电器店费用关于购买空调的数量x的函数解析式，以及直接写出乙电器店费用关于购买空调的数量x的解析式；
（Ⅲ）先求出y1与y2的总费用的差y关于购买空调的数量x的解析式，然后由y＞0，y＝0，y＜0，分类讨论即可．
【解答】解：（Ⅰ）一次买6台，甲电器店收费为：5×3000+（6﹣5）×3000×0.6＝16800（元），
乙电器店收费为：6×30000×0.8＝14400（元），
一次购买15台，甲电器店收费为：5×3000+（15﹣5）×3000×0.6＝33000（元），
乙电器店收费为：15×30000×0.8＝36000（元），
故答案为：16800，33000，14400，36000；
（Ⅱ）由题意得：当0＜x≤5时，y1＝3000x，
当x＞5时，y1＝5×3000+（x﹣5）×3000×0.6＝1800x+6000，
∴y1＝，
y2＝3000×0.8x＝2400x；
（Ⅲ）设y1与y2的总费用的差为y元，
x＞6时，
y＝y1﹣y2
＝1800x+6000﹣2400x
＝﹣600x+6000，
当y＝0时，﹣600x+6000＝0，解得：x＝10，
即x＝10时，甲、乙两个电器店的收费相同，
∵﹣600＜0，
∴y随x的增大而减小，
故当6＜x＜10时，y1＞y2，故在乙电器店购买更合算，
当x＞10时，y1＜y2，故在甲电器店购买更合算，
答：当6＜x＜10时，在乙电器店购买更合算，当x＞10时，在甲电器店购买更合算．
24．（10分）已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴上，点C（4，2），点D是边OA上的动点，沿BD折叠该纸片，得点C的对应点C'，点A的对应点A′．
（Ⅰ）如图①，当点A′落在y轴上时，求点A′的坐标；
（Ⅱ）如图②，当BC′平分∠OBD时，求点A′的坐标；
（Ⅲ）连接A′C，C'C，求△A'C′C面积的最大值（直接写出结果即可）．
【分析】（Ⅰ）由勾股定理可求AB的长，由折叠的性质可得AB＝A'B＝2，即可求解；
（Ⅱ）由折叠的性质和角平分线的性质可求∠CBD＝∠DBC'＝∠OBC'＝30°，由直角三角形的性质可求OD＝2，DE＝4﹣2，由折叠的性质和平角的性质可求∠A'DE＝60°，即可求解；
（Ⅲ）由折叠的性质可得AC＝A'C'＝2，则当点C到A'C'的距离最大时，△A'C′C面积有最大值，所以当点D与点O重合时，可得最大距离为8，即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）如图①，连接AB，
∵点C（4，2），
∴OB＝AC＝2，OA＝BC＝4，
∴AB＝＝＝2，
由折叠可得：AD＝A'D，AB＝A'B＝2，
∴A'O＝2﹣2，
∴点A'（0，2﹣2）；
（Ⅱ）如图②，过点A'作A'E⊥OA于E，
∵BC′平分∠OBD，
∴∠OBC'＝∠DBC'，
由折叠可得：∠CBD＝∠DBC'，∠BDA＝∠BDA'，
∴∠CBD＝∠DBC'＝∠OBC'＝30°，
∴∠OBD＝60°，
∴∠ODB＝30°，
∴OD＝OB＝2，∠BDA＝∠BDA'＝150°，
∴AD＝A'D＝4﹣2，∠ODA'＝120°，
∴∠ADE＝60°，
∴∠DA'E＝30°，
∴DE＝A'D＝2﹣，EA'＝DE＝2﹣3，
∴OE＝2+2﹣＝2+，
∴点A'（2+，3﹣2）；
（Ⅲ）由折叠可得：AC＝A'C'＝2，
∴当点C到A'C'的距离最大时，△A'C′C面积有最大值，
∴当点D与点O重合时，点C到AC的最大距离为BC+BC'＝8，
∴△A'C′C面积的最大值＝×2×8＝8．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+3的对称轴是直线x＝2，与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（Ⅰ）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（Ⅱ）M为第一象限内抛物线上的一个点，过点M作MN⊥x轴于点N，交BC于点D，连接CM，当线段CM＝CD时，求点M的坐标；
（Ⅲ）以原点O为圆心，AO长为半径作⊙O，点P为⊙O上的一点，连接BP，CP，求2PC+3PB的最小值．
【分析】（Ⅰ）由x＝2＝﹣＝﹣，解得b＝1，即可求解；
（Ⅱ）当线段CM＝CD时，则点C在MD的中垂线上，即yC＝（yM+yD），即可求解；
（Ⅲ）在OC上取点G，使＝，即，则△POG∽△COP，故2PC+3PB＝2（PB+PC）＝2（BP+PG），故当B、P、G三点共线时，2PC+3PB最小，最小值为3BG，进而求解．
【解答】解：（Ⅰ）∵对称轴是直线x＝2，
故x＝2＝﹣＝﹣，解得b＝1，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣2）2+4，
∴抛物线的顶点为（2，4）；
（Ⅱ）对于y＝﹣x2+x+3，令y＝﹣x2+x+3＝0，解得x＝6或﹣2，令x＝0，则y＝3，
故点A、B、C的坐标分别为（﹣2，0）、（6，0）、（0，3），
设直线BC的表达式为y＝mx+n，则，解得，
故直线BC的表达式为y＝﹣x+3，
设点M的坐标为（x，﹣x2+x+3），则点D的坐标为（x，﹣x+3），
当线段CM＝CD时，则点C在MD的中垂线上，即yC＝（yM+yD），
即3＝（﹣x2+x+3﹣x+3），
解得x＝0（舍去）或2，
故点M的坐标为（2，4）；
（Ⅲ）在OC上取点G，使＝，即，则OG＝，则点G（0，），
∵，∠GOP＝∠COP，
∴△POG∽△COP，
∴，故PG＝PC，
则2PC+3PB＝3（PB+PC）＝3（BP+PG），
故当B、P、G三点共线时，2PC+3PB最小，最小值为3BG，
则2PC+3PB的最小值3BG＝3＝．
相关试卷
2023年天津市河北区中考数学三模试卷（含答案）： 这是一份2023年天津市河北区中考数学三模试卷（含答案），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年天津市河北区中考数学三模试卷： 这是一份2023年天津市河北区中考数学三模试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年天津市河北区中考数学二模试卷（含解析）： 这是一份2023年天津市河北区中考数学二模试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
