升六年级数学奥数讲义-不定方程与整数拆分（教师版 学生版）

不定方程与整数拆分

知识定位

不定方程，简单地说，可以用一句话概括，即方程的数量小于未知数的数

量。严格地说，不定方程是对解有一定限制的方程，属于数论的范畴，更

准确地说法是数论的分支。与现实联系比较密切，经常应用于各种优化方

案中。也是数学领域研究的重要课题之一。整数拆分方法和方式也有很多，哪一种是符合条件的数在题目中再具体研究。

知识梳理

1、解不定方程的4个步骤：①判断是否有解；②化简方程；③求特解；④求通解

2、重点难点解析

    （1）.判断不定方程何时有解。

    （2）.不定方程解的个数。

（3）.解不定方程及不定方程组。

（4）.整数拆分的方法和技巧。

3、竞赛考点挖掘

因其题型的局限性，解题技巧更是类似于余数整除问题，因此近两年来，杯赛很少涉及,因此对于杯赛来讲，不做重点讲解。整数拆分的思路和想法经常运用到小升初考试、杯赛中。重点讲解！

例题精讲

【试题来源】

【题目】

装某种产品的盒子有大、小两种，大盒每盒装11个，小盒每盒装8个，要把89个产品装入盒内，要求每个盒子都恰好装满，需要大、小盒子各多少个？

【试题来源】

【题目】

有100个同学去操场踢足球、打排球和打篮球，每个足球场地22人，每个排球场地12人，每个篮球场地10人，他们共占了8个场地。问：其中足球场、排球场和篮球场各几个？

【试题来源】

【题目】

某地收取电费的标准是：若每月用电不超过50千瓦时，则每千瓦时收5角；若超过50千瓦时，则超出部分按每千瓦时8角收费。某月甲用户比乙用户多交3元3角电费，这个月甲、乙各用了多少千瓦时电？

【试题来源】

【题目】

某次数学竞赛准备了22支铅笔作为奖品发给获得一、二、三等奖的学生，原计划一等奖每人发6支，二等奖每人发3支，三等奖每人发2支。后来又改为一等奖每人发9支，二等奖每人发4支，三等奖每人发1支。问：获一、二、三等奖的学生各几人？

【试题来源】

【题目】

新发行的一套邮票共3枚，面值分别为20分、40分和50分，小明花5.00元买了15张。问：其中三种面值的邮票各多少张？

【试题来源】

【题目】

工程队要铺设78米长的地下排水管道，仓库中有3米和5米长的两种管子。问：可以有多少种不同取法？

【试题来源】

【题目】

袋子里有三种球，分别标有数字2，3和5，小明从中摸出几个球，它们的数字之和是43。问：小明最多摸出几个标有数字2的球？

【试题来源】

【题目】

小花狗和波斯猫是一对好朋友，它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候。若是早晨见面，小花狗叫两声，波斯猫叫一声；若是晚上见面，小花狗叫两声，波斯猫叫三声。细心的小娟对它们的叫声统计了15天，发现它们并不是每天早晚都见面，在这15天内它们共叫了61声。问：波斯猫至少叫了多少声？

【试题来源】

【题目】

篮子里有煮蛋、茶蛋和皮蛋共30个，价值24元，已知煮蛋每个0.6元，茶蛋每个1.00元，皮蛋每个1.20元。问：篮子中最多有几个皮蛋？

【试题来源】

【题目】

用1分、2分和5分硬币凑成1元钱，共有多少种不同的凑法？

【试题来源】

【题目】

小华和小强各用6角4分买了若干支铅笔，他们买来的铅笔中都是5分一支和7分一支的两种，而且小华买来的铅笔比小强多．小华比小强多买来铅笔＿＿支．

【试题来源】

【题目】

小萌在邮局寄了3种信，平信每封8分，航空信每封1角，挂号信每封2角，她共用了1元2角2分。那么小萌寄的这3种信的总和最少是多少封？

【试题来源】

【题目】

某校师生为贫困地区捐款1995元．这个学校共有35名教师，14个教学班．各班学生人数相同且多于30人不超过45人．如果平均每人捐款的钱数是整数，那么平均每人捐款多少元？

【试题来源】

【题目】

甲、乙二人搬砖，甲搬的砖数是18的倍数，乙搬的砖数是23的倍数，两人共搬了300块砖。问：甲、乙二人谁搬的砖多？多几块？

【试题来源】

【题目】

某单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有寺的职工各带一个孩子参加．男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子种6棵树，他们一共种了216棵树．那么其中有多少名男职工?

【试题来源】

【题目】

设A和B都是自然数，并且满足,那么A+B等于多少? 

【试题来源】

【题目】

一居民要装修房屋，买来长0.7米和O.8米的两种木条各若干根．如果从这些木条中取出一些接起来，可以得到许多种长度的木条，例如：O.7+O.7=1.4米，0.7+0.8=1.5米．那么在3.6米、3.8米、3.4米、3.9米、3.7米这5种长度中，哪种是不可能通过这些木条的恰当拼接而实现的?

【试题来源】

【题目】

有三堆砝码，第一堆中每个砝码重3克，第二堆中每个砝码重5克，第三堆中每个砝码重7克．现在要取出最少个数的砝码，使它们的总重量为130克．那么共需要多少个砝码?其中3克、5克和7克的砝码各有几个?

【试题来源】

【题目】

(1)将50分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能大，那么这个最大质数是多少?

(2)将60分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能小，那么这个最大的质数是多少?

【试题来源】

【题目】

小明买红、蓝两支笔，共用了17元．两种笔的单价都是整数元，并且红笔比蓝笔贵．小强打算用35元来买这两种笔(也允许只买其中一种)，可是他无论怎么买，都不能把35元恰好用完．那么红笔的单价是多少元?

习题演练

【试题来源】

【题目】有150个乒乓球分装在大小两种盒子里，大盒装12个，小盒装7个。问：需要大、小盒子各多少个才能恰好把这些球装完？

【试题来源】

【题目】14个大、中、小号钢珠共重100克，大号钢珠每个重12克，中号每个重8克，小号

每个重5克。问：大、中、小号钢珠各多少个？

【试题来源】

【题目】一批布长36米，用此布做一套成人衣服用布3米，做一套儿童衣服用布1.6米。要把这批布刚好用完且成人衣服和儿童衣服都要做，应做多少套成人衣服？多少套儿童衣服？

【试题来源】

【题目】庙里有若干个大和尚和若干个小和尚，已知7个大和尚每天共吃41个馒头，29个小和尚每天共吃11个馒头，平均每个和尚每天恰好吃一个馒头。问：庙里至少有多少个和尚？

【试题来源】

【题目】商店里的白糖有4千克、3千克和1千克三种不同包装，一位顾客要买15千克白糖。问：售货员给这位顾客白糖可以用多少种不同方法？

【试题来源】

【题目】小明和小强都是张老师的学生，张老师的生日是M月N日，2人都不知道张老师的生日是下列10组中的哪一天，张老师把M值告诉了小明，把N值告诉了小强，张老师问他们知道他的生日是哪一天吗？

3月4日、3月5日 、3月8日 、6月4日、6月7日 、9月1日 、9月5日 、12月1日 、12月2日、 12月8日 ；
小明说：如果我不知道的话，小强肯定也不知道 小强说：本来我也不知道，但是现在我知道了 小明说：哦，那我也知道了 请根据以上对话推断出张老师的生日是哪一天？