升六年级数学奥数讲义-不规则图形面积与周长（教师版 学生版）

 学科培优 数学 

“不规则图形面积与周长”

知识定位

几何是历届小升初和各杯赛的必考知识点，在奥数中，几何不但具有直观性，而且变换精巧，妙趣横生。本讲基于一般的规则图形周长与面积之基础上，重点讲解不规则图形面积与周长的求解方法。针对这些不规则图形，常常通过实施割补、剪拼等方法将它们转化为基本图形的和、差关系。

由于本讲基于基本图形的变形之上，所以在讲解本讲之前有必要先复习一下常见几何图形的面积和周长的求解公式。然后通过生活实例或教学模具逐渐引出本讲专题，使学生领悟分割、拼补、旋转等转换思想。几何问题就像看图说话，需要掌握其中的玄妙。

知识梳理

一、不规则图形面积与周长

我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形，一般称为基本图形或规则图形。它们的面积及周长都有相应的公式直接计算，如下表：

实际问题中，有些图形不是以基本图形的形状出现，而是由一些基本图形组合、拼凑成的，它们的面积及周长无法应用公式直接计算.一般我们称这样的图形为不规则图形。

那么，不规则图形的面积及周长怎样去计算呢？针对这些图形，我们可以变动图形的位置或对图形进行适当的分割、拼补、旋转等方法将它们转化为基本图形的和、差关系。有时也可利用公式的变形，比如巧用半径的平方。我们知道，要计算圆的面积通常要知道半径，有的时候题目不知道半径，根据其他条件也能求出圆的面积。

一般的，两个可以完全重合的图形的面积相等；图形被分成若干部分时，各部分面积之和等于图形的面积。

通过转换思想，复杂问题经常要化繁为简，从最简单的情况开始，找出其中规律，归纳总结到一般情形。

【授课批注】

不规则图形有时也称为组合图形，其重点在于掌握转换这一伟大思想，很多较复杂的问题都是以简单的基本图形为基础的，当然也都可以根据几何图形的特征，通过分割、割补、平移、翻折、对称、旋转等方法，化复杂为简单，变组合图形为基本图形的加减组合。

【重点难点解析】

1．一般图形问题的面积和周长公式。

2．巧求周长与面积的基本方法。

3．理解并掌握割补、平移等数学思想方法。

【竞赛考点挖掘】

1．杯赛考试中出现的几何问题多数需要进行适当的转换。

2．辅助线的巧妙利用能够有效提高做题速度。

3．割补法、平移法、旋转法、差不变等解题技巧。

例题精讲

【试题来源】

【题目】计算右面图形的周长(单位：厘米)。

【试题来源】

【题目】如右图所示，在一个正方形内画中、小两个正方形，使三个正方形具有公共顶点，这样大正方形被分割成了正方形区域甲，和L形区域乙和丙 .甲的边长为4厘米，乙的边长是甲边长的1.5倍，丙的边长是乙边长的1.5倍，那么丙的周长为多少厘米？EF长多少厘米？

【试题来源】

【题目】

用若干个边长都是2cm的平行四边形与三角形（如下图）拼接成一个大的平行四边形，已知大平行四边形的周长是236cm，平行四边形和三角形各有多少个？

【试题来源】

【题目】有9个小长方形，它们的长和宽分别相等，用这9个小长方形拼成的大长方形(如图)的面积是45平方厘米，求这个大长方形的周长。

【试题来源】

【题目】用7张长4 cm、宽3 cm的小长方形纸片，拼一个大长方形，大长方形的周长可能是多少厘米？

【试题来源】

【题目】

右图是由9个等边三角形拼成的六边形，已知中间最小的等边三角形的边长是1，问：这个六边形的周长是多少?

【试题来源】

【题目】用同样大小的瓷砖铺一个正方形地面，两条对角线上铺黑色的，其它地方铺白色的，如图所示。如果铺满这块地面共用101块黑色瓷砖，那么白色瓷砖用了多少块？

习题演练

【试题来源】

【题目】如图所示共有8条边，分别用a、b、c、d、e、f、g、h表示，要测量它的周长，至少要测量哪几条线段的长度？

【试题来源】

【题目】长方形ABCD的周长是20cm，在它的每条边上各画一个以该边为边长的正方形（如图）。已知这四个正方形的面积和是104cm2，求长方形ABCD的面积。

【试题来源】

【题目】如图，一个矩形被分成八个小矩形，其中有五个矩形的面积如图中所示（单位：平方厘米），问大矩形的面积是多少平方厘米？

【试题来源】

【题目】如图，正方形ABCD的边长是5，E、F分别是AB和BC的中点，求四边形BFGE的面积。

【试题来源】

【题目】如右图，甲、乙、丙、丁四个长方形拼成一个正方形EFGH，中间阴影为正方形。已知甲、乙、丙、丁四个长方形面积的和是32平方厘米，四边形ABCD的面积是20平方厘米，求甲、乙、丙、丁四个长方形周长的总和。

【试题来源】

【题目】有一大一小两块正方形试验田，他们的周长相差40米，面积相差220平方米，那么小正方形试验田的面积是多少平方米？

【试题来源】

【题目】右图中外侧的四边形是一个边长为10厘米的正方形，求阴影部分的面积。

【试题来源】

【题目】有红、黄、绿三块大小一样的正方形纸片，放在一个正方形盒内，它们之间相互叠合（如右图），已知露在外面的部分中，红色面积是20，黄色面积是12，绿色面积是8，那么正方形盒的底面积是多少？

【试题来源】

【题目】图中阴影部分的面积是40厘米，那么环形的面积是多少平方厘米？

【试题来源】

【题目】10个相同的小矩形拼成一个面积为30cm2的大矩形（如右图）。求大矩形的周长。

【试题来源】

【题目】求右图所示图形的周长。(每个小正方形的顶点恰在另一个正方形的中心，且边相互平行)。

【题目】长方形ABCD的周长是厘米，以这个长方形的每一条边为边长向外画正方形。已知这四个正方形的面积之和为290平方厘米，那么长方形ABCD的面积是多少平方厘米？

【题目】右图中 A，B两点分别是长方形的长和宽的中点，阴影部分占长方形面积的几分之几？

【题目】图中的E、F、G分别是正方形ABCD三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是______；

【题目】把正三角形的每条边三等分，以各边的中间一段为边向外作小正三角形，得到一个六角形。再将这个六角形的六个“角”（即小正三角形）的两边三等分，又以它的中间段为边向外作更小的小正三角形，这样就得到如右图所示的图形。如果所作的最小的小正三角形的面积为平方厘米，求如图中整个图形的面积。