升六年级数学奥数讲义-抽屉原理（教师版 学生版）

 抽屉原理 

知识定位

1．充分理解和掌握抽屉原理的基本概念

2．运用抽屉原理求解的较为复杂的组合计算与证明问题

本讲的知识点必须让学生充分理解、吃透，因为所与这个知识点的变形很多，与其他知识点的结合类型也很多。

知识梳理

一．抽屉原理的概念

①举例：桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。

②定义：一般情况下，如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素，假如有n＋1或多于n＋1个元素放到n个集合中去，其中必定至少有一个集合里至少有两个元素。我们称这种现象为抽屉原理。

集合：一定范围的，确定的，可以区别的事物，当作一个整体来看待，就叫做集合。

元素：集合中各事物叫做集合的元素。

二. 抽屉原理的分类

抽屉原理一：将n+1个元素放到n个抽屉中去，则无论怎么放，必定有一个抽屉至少有两个元素．

抽屉原理二：将nr+1个元素放到n个抽屉中去，则无论怎么放，必定有一个抽

屉至少有r+1个元素．

抽屉原理三：将m个元素放到n个抽屉中去(m≥n)，则无论怎么放，必定有一个抽屉至少有个元素．

例题精讲

【试题来源】

【题目】

证明：在从1开始的前10个奇数中任取6个，一定有2个数的和是20.

【试题来源】

【题目】

从1，2，3，…，2007，2008这些自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每

两个数的差都不等于4？

【试题来源】

【题目】

从1至1993这1993个自然数中最多能取出多少个数，使得其中任意的两数都不连续且差不等于4？

【试题来源】

【题目】

从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12中最多能选出几个数，使得在选出的数中，每一个数都不是另一个数的2倍?

【试题来源】

【题目】

从1，3，5，7，…，97，99中最多可以选出多少个数，使得选出的数中，每一个数都不是另一个数的倍数?

【试题来源】

【题目】

证明：任给12个不同的两位数，其中一定存在着这样的两个数，它们的差是个位与十位数字相同的两位数．

【试题来源】

【题目】

从1，2，3，…，49，50这50个数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不能被7整除，则最多能取出多少个数?

【试题来源】

【题目】

从1，2，3，…，99，100这100个数中任意选出51个数．证明：

(1)在这51个数中，一定有两个数互质；

(2)在这51个数中，一定有两个数的差等于50；

(3)在这51个数中，一定存在9个数，它们的最大公约数大于1．

【试题来源】

【题目】

求证：可以找到一个各位数字都是4的自然数，它是1996的倍数．

【试题来源】

【题目】

某班有16名学生，每个月教师把学生分成两个小组．问最少要经过几个月，才能使该班的任意两个学生总有某个月份是分在不同的小组里?

【试题来源】

【题目】

两个布袋各有12个大小一样的小球，且都是红、白、蓝各4个。从第一袋中拿出尽可能少的球，但至少有两种颜色一样的放入第二袋中；再从第二袋中拿出尽可能少的球放入第一袋中，使第一袋中每种颜色的球不少于3个。这时，两袋中各有多少个球？

【试题来源】

【题目】

100个苹果最多分给多少个学生，能保证至少有一个学生所拥有的苹果数不少于12个.

【试题来源】

【题目】

一次数学竞赛出了10道选择题，评分标准为：基础分10分，每道题答对得3分，答错扣 1分，不答不得分。问：要保证至少有4人得分相同，至少需要多少人参加竞赛？

【试题来源】

【题目】

有49个小孩，每人胸前有一个号码，号码从1到49各不相同．现在请你挑选若干个小孩，排成一个圆圈，使任何相邻两个小孩的号码数的乘积小于100，那么你最多能挑选出多少个孩子?

【试题来源】

【题目】

在边长为1的正方形内随意放进9个点，证明其中必有3个点构成的三角形的面积不大于．

【试题来源】

【题目】

上体育课时，21名男、女学生排成3行7列的队形做操．老师是否总能从队形中划出一个长方形，使得站在这个长方形4个角上的学生或者都是男生，或者都是女生?如果能，请说明理由；如果不能，请举出实例．

【试题来源】

【题目】

8个学生解8道题目．

(1)若每道题至少被5人解出，请说明可以找到两个学生，每道题至少被过两个学生中的一个解出．

(2)如果每道题只有4个学生解出，那么(1)的结论一般不成立．试构造一个例子说明这点.

【试题来源】

【题目】

时钟的表盘上按标准的方式标着1，2，3，…，11，12这12个数，在其上任意做n个的扇形，每一个都恰好覆盖4个数，每两个覆盖的数不全相同．如果从这任做的n个扇形中总能恰好取出3个覆盖整个钟面的全部12个数，求n的最小值．

【试题来源】

【题目】

试卷上共有4道选择题，每题有3个可供选择的答案．一群学生参加考试，结果是对于其中任何3人，都有一个题目的答案互不相同．问参加考试的学生最多有多少人?

【试题来源】

【题目】

在一个矩形内任意放五点，其中任意三点不在一条直线上。证明：在以这五点为顶点的三角形中，至少有一个的面积小于矩形面积的四分之一。

习题演练

【试题来源】

【题目】

 任意将若干个小朋友分为五组，试证明：其中一定有两组，他们中的男孩总数和女孩总数都是偶数。

【试题来源】

【题目】

有5050张数字卡片，其中1张上写着1，2张上写着2，3张上写着3……100张上写着100。现在要从中抽取若干张，为了确保抽出的卡片至少有10张以上的数字完全相同，至少要抽取多少张卡片？

【试题来源】

【题目】

有若干卡片，每张卡片上写着一个数，它是3的倍数或4的倍数，其中标有3的倍数的卡片占，标有4的倍数的卡片占，标有12的倍数的卡片有15张，那么，这些卡片一共有多少张？

【试题来源】

【题目】

 某班级学生人数有60人，班中很多同学参加了课外兴趣小组，参加课外兴趣小组的学生中的参加了计算机兴趣小组，参加了艺术兴趣小组，参加了数学兴趣小组，又知道同时参加两个以上兴趣小组的学生人数有4人，求参加三个兴趣小组的学生有多少人？

【试题来源】

【题目】

求证：对于任意的8个连续自然数，一定能从中找到6个数a，b，c，d，e，f，

使得(a-b)(c-d)(e-f)是105的倍数