人教版五年级下册2 因数与倍数综合与测试教案设计

这是一份人教版五年级下册2 因数与倍数综合与测试教案设计，共11页。教案主要包含了思路引导，完整解答等内容，欢迎下载使用。

知识点一：因数与倍数
1、 如果a×b=c(a、b、c都是非0的自然数)那么a和b就是c的因数，c就是a和b的倍数。因数和倍数两个不同的概念是相互依存的，不能单独存在。例如4×3=12，12是4的倍数,12也是3的倍数,4和3都是12的因数。
2、 因数的特点：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。例：10的因数有1、2、5、10，其中最小的因数是1，最大的因数是10。(1是所有非0自然数的因数)
一个数的因数的求法：成对地按顺序找
3、 倍数的特点：一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。例：3的倍数有：3、6、9、12…其中最小的倍数是3 ，没有最大的倍数。
一个数的倍数的求法：依次乘以自然数
知识点二：2、5、3的倍数的特征
1、2的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数(2的倍数的数叫做偶数、不是2的倍数的数叫做奇数)。
2、5的倍数的特征：个位上是0或5的数，都是5的倍数。
3、3的倍数的特征：一个数的各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
知识点三：奇数与偶数（自然数按能不能被2整除来分：奇数、偶数）
(1)定义：奇数：(也叫单数)自然数中不能被2整除的数 最小的奇数是1，
偶数：(也叫双数)自然数中能被2整除的数 最小的偶数是0.
(2)特征：奇数：个位上是1，3，5，7，9的数
偶数：个位上是0，2，4，6，8 的数
(3)字母表示：奇数：2n+1(n>=0) 偶数：2n(n>=0)
(4)公式：奇数+奇数=偶数 奇数+偶数=奇数 偶数+偶数=偶数
(5)自然数中，不是奇数就是偶数。0是偶数。
知识点四：质数与合数（自然数按因数的个数来分：质数、合数、1、0四类）
(1)定义：质数：只有1和它本身两个因数的数(共有2个因数)
合数：除了1和它本身之外还有别的因数的数(至少有3个因数)，
(2)最小的质数是2 最小的合数是4
(3)“1”既不是质数，也不是合数。 (因为1只有1个因数)。
(4)自然数中，除了0和1之外，不是质数就是合数
(5)在自然数里，不是奇数的质数只有2
(6)公式：质数*质数=合数 质数*合数=合数 合数*合数=合数
(7)100以内的质数： 2、3、5、7和11， 13后面是17， 19、23、29， 31、
37、41， 43、47、53， 59、61、67， 71、73、79， 83、89、97。
一．选择题（共5小题，满分10分，每小题2分）
1．（2分）（2021春•沁阳市期中）下面说法错误的是（ ）
A．两个质数的积一定是合数
B．用1，2，3组成的三位数都是3的倍数
C．一个数是2的倍数，这个数一定是4的倍数
【思路引导】在目然数中，除了1和它本身外，没有别的因数的数为质数，除了1和它本身外，还有别的因数的数为合数；根据3的倍数特征：各个数位上的数字和是3的倍数的数，这个数就是3的倍数；是2的倍数，不一定是4的倍数，但是4的倍数一定是2的倍数。
【完整解答】选项A：两个质数相乘得到的积，除了1和它本身外，还有这两个质数是它的因数。它有4个因数，所以一定是合数。
选项B：因为1+2+3＝6，6是3的倍数，所以用1，2，3三个数字组成的三位数都是3的倍数。
选项C：2是2的倍数，但2不是4的倍数，所以原题说法错误。
故选：C。
2．（2分）（2021春•舞钢市期中）下面（ ）组中既有公因数2，又有公因数3。
A．6和27B．30和40C．10和35D．24和42
【思路引导】把每组的两个数的公因数都找出来，看哪组的两个数的公因数既有因数2，又有因数3即可。
【完整解答】A.6＝2×3，27＝3×3×3，所以6和27的公因数有：1，3；
B.30＝2×3×5，40＝2×2×2×5，所以30和40的公因数有：1，2，5，10；
C.10＝2×5，35＝5×7，所以10和35的公因数有：5；
D.24＝2×2×2×3；42＝2×3×7，所以24和42的公因数有：1，2，3，6；
所以符合条件的只有24和42。
故选：D。
3．（2分）（2021春•沁阳市期中）李老师为幼儿园买下面玩具中的一种用去114元，李老师买的玩具是（ ）
A． 9元B． 5元 C．6元
【思路引导】因为李老师买一种玩具用去114元，所买玩具的单价应被114整除，因此，李老师买的是花皮球。
【完整解答】114÷9＝12（个）（元）
114÷5＝22（个）（元）
114÷6＝19（个）
答：李老师买的玩具是6元的花皮球。
故选：C。
4．（2分）（2021春•天门期中）有一个数，它既是30的倍数又是30的因数，这个数是（ ）
A．15B．30C．60
【思路引导】由题意知：30的最小倍数是30×1＝30，最大约数是30，因为最大约数和最小倍数相等，故这个数为30．
【完整解答】有一个数，它既是30的倍数又是30的因数，这个数就是30本身；
故选：B．
5．（2分）（2020秋•滦州市期中）4□7中，方框里最大填写（ ），这个数是3的倍数。
A．1B．4C．7
【思路引导】根据3的倍数的特征：各位上的数字之和是3的倍数，这个数一定能是3的倍数。据此解答。
【完整解答】在4口7中，因为4+7＝11，11不是3的倍数，所以空格里可以填1或4、7，方框里最大填写7。
故选：C。
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
6．（2分）（2021春•东川区期中）12的因数有 1、2、3、4、6、12 ，最大的因数是 12 ，最小的因数是 1 。
【思路引导】根据一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。
【完整解答】12的因数有1、2、3、4、6、12，最大的因数是12，最小的因数是1。
故答案为：1、2、3、4、6、12；12；1。
7．（2分）（2021春•魏县期中）一个长方形的长和宽的厘米数都是质数，这个长方形的周长是40cm，面积是91cm2，这个长方形的长和宽分别是 13 cm和 7 cm。
【思路引导】由题意可知，面积为91cm2的长方形，长和宽分别是两个质数，利用分解质因数的方法，把91分解质因数，问题即可解决。
【完整解答】把91分解质因数：91＝13×7，
（13+7）×2＝40（cm）
所以长方形的长是13cm，宽是7厘米。
故答案为：13，7。
8．（2分）（2021春•广饶县校级期中）4□，□中最大填 48 时，这个数能被3整除，这个数的因数有 1、2、3、4、6、8、12、16、24、48 。
【思路引导】3的倍数特征：把一个数的各位上的数相加的和，如果相加的和是3的倍数，那么这个数就是3的倍数。据此可知，要使4□能被3整中可以填2、5、8，最大填8。这个数就是48。根据因数的定义可知，1×48＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8＝48，则48的因数有1、2、3、4、6、8、12、16、24、48。
【完整解答】4□，□中最大填48时这个数能被3整除，这个数的因数有1、2、3、4、6、8、12、16、24、48。
故答案为：48，1、2、3、4、6、8、12、16、24、48。
9．（2分）（2020秋•昆都仑区期末）12的因数有 6 个，因此12是一个 合 数。
【思路引导】一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身；自然数中，除了1和它本身外，还有别的因数的数为合数，由此解答即可。
【完整解答】12的因数有：1、2、3、4、6、12，一共6个，因此12是一个合数。
故答案为：6；合。
10．（2分）（2021•宁波模拟）9个连续的自然数，它们都大于80，那么其中质数至多有 4 个．
【思路引导】9个连续的自然数，末尾可能是0﹣9，末尾是0、2、4、6、8的一定被2整除，末尾是5 的一定被5整除，只有末尾是1、3、7、9的数可能是质数．
至少有4个偶数，即至多有5个连续的奇数．因为大于80的质数必为奇数（偶数质数只有一个2），于是质数只可能在这5个连续的奇数中，在这5个奇数中，末尾是5 的一定被5整除，每连续3个自然数中一定有一个是3的倍数，所以质数个数不能超过4．（这里采用了逐次淘汰的方法．） 另外，在101至109这9个连续的自然数，101，103，107，109是质数，这就是说，在9个连续自然数中，可以至多有四个质数．
【完整解答】9个连续的自然数，末尾可能是0﹣9，末尾是0、2、4、6、8的一定被2整除，末尾是5 的一定被5整除，只有末尾是1、3、7、9的数可能是质数．
至少有4个偶数，即至多有5个连续的奇数．因为大于80的质数必为奇数（偶数质数只有一个2），又因为每连续3个自然数中一定有一个是3的倍数，于是质数只可能在这5个连续的奇数中，
所以质数个数不能超过4．
如：101 102 103 104 105 106 107 108 109 当中有101 103 107 109四个质数，
这就是说，在9个连续自然数中，可以至多有四个质数．
综上所述，在大于80的9个连续自然数中至多有4个质数．
故答案为：4．
11．（2分）（2020春•莱阳市期末）要使“64□”既是3的倍数又是2的倍数，□里最大应填 8 ．
【思路引导】由“64□”是2的倍数可知：□可以为0，2，4，6，8，由“64□”是3的倍数可知：6+4+□＝10+□为3的倍数，则□最大可以为8。
【完整解答】经分析可知：
□可以为0，2，4，6，8，
10+□为3的倍数，
则□最大可以为8。
故答案为：8。
12．（2分）（2016•长沙模拟）自然数1～9中，最小的质数、最小的合数、最大的质数、最大的合数这四个数的和是 22 ．
【思路引导】根据质数、合数的意义，一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，一个自然数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数．据此解答即可．
【完整解答】在自然数1﹣﹣9中，最小的质数是2、最小的合数是4、最大的质数是7、最大的合数是9，所以这四个数的和是2+4+7+9＝22．
故答案为：22．
13．（2分）（2010春•武昌区期末）两个质数的积是91，这两个质数是 7 和 13 ．
【思路引导】根据分解质因数的方法，把91分解质因数即可．
【完整解答】91＝7×13，
所以这两个质数分别为：7和13；
故答案为：7，13．
三．判断题（共6小题，满分12分，每小题2分）
14．（2分）（2021春•汉川市期中）24÷3＝8，所以3是24的因数。 √ （判断对错）
【思路引导】根据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（为了方便，我们在研究因数和倍数时，所说的数一般指不是零的自然数）；据此进行判断即可。
【完整解答】根据因数和倍数的意义，当a÷b＝c（a、b、c为非0自然数）我们说a是b的倍数，b是a的因数；
所以24÷3＝8，3是24的因数；原题说法正确。
故答案为：√。
15．（2分）（2021春•固始县期中）一个数如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做合数。 × （判断对错）
【思路引导】质数是一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数（素数），合数是指自然数中除了能被1和本身整除外，还有其它因数的数，一定要区分开质数和合数定义的区别。
【完整解答】一个数如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做合数。原来的说法错误。
故答案为：×。
16．（2分）（2021•河南模拟）因为2.1÷3＝0.7，所以2.1是3和0.7的倍数，3和0.7是2.1的因数． × ．（判断对错）
【思路引导】要注意，只有在除法算式中，除数和被除数都是整数的情况下才能讨论倍数和约数的概念．
【完整解答】在2.1÷3＝0.7，这个除法算式中2.1和0.7是小数，不是整数，所以因为2.1÷3＝0.7，所以2.1是3和0.7的倍数，3和0.7是2.1的因数说法错误；
故答案为：×．
17．（2分）（2019秋•高平市期末）自然数中，最小的质数与最小的合数相差2． √ ． （判断对错）
【思路引导】自然数中，除了1和它本身外，没有别的因数的数为质数，除了1和它本身外，还有别的因数的数为合数．由此可知，最小的质数是2，最小的合数是4，据此解答即可．
【完整解答】在自然数中最小的质数是2，最小的合数是4，
最小的质数与最小的合数相差：4﹣2＝2，
所以原题说法正确；
故答案为：√．
18．（2分）一个数既是12的因数，又是12的倍数，那么这个数一定是12． √ （判断对错）
【思路引导】根据因数与倍数的意义，一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大倍数．据此解答．
【完整解答】因为一个数的最大因数是它本身．一个数的最小倍数是它本身．
所以，一个数既是12的因数，又是12的倍数，那么这个数一定是12．这种说法是正确的．
故答案为：√．
19．（2分）因为7是质数，所以7没有因数． × ．（判断对错）
【思路引导】根据质数的意义：只有1和它本身两个因数的数叫做质数，7是质数，7的因数有1和7；据此判断．
【完整解答】7是质数，有1、7两个因数，
所以7没有因数说法错误；
故答案为：×．
四．应用题（共6小题，满分30分，每小题5分）
20．（5分）（2021春•渑池县期中）小明的球衣号码是一个质数，这个质数所有因数之和是20。你知道小明球衣的号码是多少吗？
【思路引导】一个质数的因数只有两个，即1和它本身，据此解答即可。
【完整解答】20以内的质数有：2，3，5，7，11，13，17，19，在这些质数中，只有19符合条件，19的因数是1和19，且1+19＝20。
答：小明球衣的号码是19。
21．（5分）（2019秋•和平区期末）盒里有48块糖块，如果不一次拿出，也不一个一个地拿出，要求每次拿出的个数同样多，拿完时又正好不多不少，共有多少种拿法？每次拿出多少个？
【思路引导】拿完时又正好不多不少，说明每次拿出的个数都是48的因数，不一次拿出，也不一个个地拿，所以48和1这对因数不要，共有8种拿法；由此求解。
【完整解答】48＝2×2×2×2×3，
所以将48裂项为：
48＝1×48＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8，
共有10个因数，不一次拿出，也不一个个地拿，所以48和1这对因数不要；共有8种拿法．
答：有8种不同拿法。
故答案为：8。
22．（5分）（2018秋•和平区期末）如表是五年级四个班人数，哪几个班可以平均分成人数相同组？（每组人数大于1）哪几个班不可以？为什么？
【思路引导】这些班的人数中，是合数的可以平均分成每组相同的人数，是质数的就不能分成相同的组数。
【完整解答】45、42是合数，可以平均分成人数相同的小组；
41、43是质数，不可以平均分成人数相同的小组．
答：（1）班、（4）班可以平均分成人数相同的小组；（2）班、（3）班班不可以平均分成人数相同的小组。
23．（5分）（2020秋•新丰县期中）幼儿园大班有一些小朋友（多于10人，且少于40人），李老师拿了48颗糖平均分给他们，正好分完，小朋友的人数可能是多少？
【思路引导】根据因数与倍数的意义，和找一个数的因数的个数的方法，求出48的因数有哪些，根据题意可以平均分给多少个小朋友，由此解答。
【完整解答】48的因数有：1，2，3、4，6，8，12，16，24，48．
根据题意不可能分给1个小朋友，小朋友（多于10人，且少于40人），因此可以平均分给12，16，24个小朋友。
答：小朋友的人数可能是12，16，24。
24．（5分）35名同学在操场上做游戏，可以每4个人分一组，也可以每5个人分一组，怎样安排没有剩余？
【思路引导】根据求一个数的因数的方法，一个数的最小因数是1，最大因数是它本身，35的因数有：1、5、7、35；由此可知，4不是35的因数，5是35的因数。所以每5个人分一组，没有剩余。据此解答。
【完整解答】35÷4＝8（组）（人）
35÷5＝7（组）
答：5个人分一组没有剩余。
25．（5分）（2019•温州）4只同样的瓶子内分别装有一定数量的油。每瓶和其它各瓶分别合称一次，记录千克数如下：8、9、10、11、12、13。已知4个空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数，问最重的两瓶内有多少千克油？
【思路引导】由于每只瓶都称了三次，因此记录数之和是4瓶油（连瓶）重量之和的3倍，即4瓶油（加瓶）共重（8+9+10+11+12+13）÷3＝21（千克），而油重之和及瓶重之和均为质数，所以它们必为一奇一偶，而质数中是偶数的质数只有2，当油重之和为19千克，瓶重之和为2千克，每只瓶重2÷4＝（千克），最重的两瓶内的油为13﹣×2＝12（千克）；当油重之和为2千克，瓶重之和为19千克，每只瓶重千克，最重的两瓶内的油为13﹣×2＝（千克），这与油重之和为2千克矛盾，不符合题意。
【完整解答】每个瓶称三次，故四个瓶子总重量为（8+9+10+11+12+13）÷3＝21 （千克），21是奇数，故空瓶重量之和与油重量之和必为一奇一偶。
而质数中是偶数的质数只有2，分两种情况求解：
（1）当空瓶重量和为2，油重量和为19；每个空瓶2÷4＝（千克），故最重两瓶（即重13的两瓶）有13﹣×2＝12（千克）；
（2）油重之和为2千克，瓶重之和为19千克，每只瓶重19÷4＝千克，最重的两瓶内的油为13﹣×2＝（千克），这与油重之和为2千克矛盾，不符合题意。
答：最重的两瓶内有12千克油。
五．解答题（共6小题，满分32分）
26．（5分）（2019春•台州期中）五（3）班共有40名学生，现在要把这些学生分成人数相等的若干小组（不能分成40组），有几种分法？每组最多有多少人？
【思路引导】求有几种分法，即求40的因数有多少，根据找一个数因数的方法，列举出40的所有因数，根据因数的个数，并结合题意，即可得出分法共有多少种．
【完整解答】40的因数有1、2、4、5、8、10、20、40共8个，
①分成1个小组，每组40人；
②分成2个小组，每组20人；
③分成4个小组，每组10人；
④分成5个小组，每组8人；
⑤分成8个小组，每组5人；
⑥分成10个小组，每组4人；
⑦分成20个小组，每组2人．
因为不能分成40组这个要求，所以只有7种分法．
答：有7种分法，每组最多有40人．
27．（5分）（2018秋•乳源县期中）一个数，既是6的倍数，又是24的因数，这个数可能是多少？
【思路引导】一个数既是24的因数，又是6的倍数，即求既是24的因数又是6的倍数的数，找出共同的数即可．
【完整解答】24的因数：1、2、3、4、6、8、12、24
24（包括24）以内6的倍数有：6、12、18、24；
所以，一个数既是24的因数又是6的倍数，这个数可能是6、12、24．
答：这个数可能是6、12、24．
28．（5分）（2019春•荥阳市期末）我们知道5有2个因数1和5，6有4个因数1，2，3，6；5和6的因数个数都是偶数．请你找出几个因数个数是奇数，你能发现什么？
【思路引导】一个数的因数是成对出现的，要想因数个数是奇数个，就需有两个相同的因数，可举4和9，分析可得平方数的因数有奇数个．
【完整解答】4的因数有1，2，4，3个
9的因数有1，3，9，3个，
可得出平方数的因数有奇数个．
29．（5分）（2021春•昌黎县期中）42名同学去参观水立方，老师要把同学们平均分成若干小组，而且每组人数都是偶数，可以分成几组，每组几人？（组数大于1）（写出思考过程）
【思路引导】写出两个整数的积等于42的所有乘法算式，偶数因数作每组人数，另一个因数作组数，组数不能为1。
【完整解答】两个整数的积等于42，偶数因数作每组人数，另一个因数作组数，组数不能为1。
1×42＝42
偶数因数42作每组人数，组数为1，不符合题目组数大于1的要求。
2×21＝42
3×14＝42
6×7＝42
答：可以分成21组，每组2人；
也可以分成3组，每组14人；
还可以分成7组，每组6人。
30．（6分）（2019春•兴仁市月考）五（1）班6名同学去给小树苗浇水，小树苗不到30棵，他们发现每人浇水棵数相同，这批小树苗可能有多少棵？
【思路引导】根据题意，树苗棵数肯定是6的倍数，且小于30，小于30的，且是6的倍数的有：6、12、18、24，所以这批小树苗可能有6棵或12棵或18棵或24棵．
【完整解答】小于30的且是6的倍数的有：6、12、18、24棵；
答：这批小树苗可能有6棵或12棵或18棵或24棵．
31．（6分）（2019春•镇康县校级月考）食品店有75个面包，如果每2个装一袋，能正好装完吗？如果每5个装一袋，能正好装完吗？如果每3个装一袋，能正好装完吗？为什么？
【思路引导】（1）根据能被2整除的特征：即个位上是0、2、4、6、8的数判断即可；
（2）根据能被5整除的特征：即个位上是0或5的数判断即可；
（3）根据能被3整除的特征：各个数位上的数字之和能被3整除这个数就能被3整除，判断即可．
【完整解答】（1）75个位上是5，不能被2整除，
所以每2个装一袋，不能正好装完；
答：不能正好装完；
（2）75个位上是5，能被5整除，
所以每5个装一袋，能正好装完；
答：能正好装完；
（3）7+5＝12，能被3整除，
所以每3个装一袋，能正好装完；
答：能正好装完班级
一班
二班
三班
四班
人数（人）
45
43
41
42