2021年新初三数学人教新版开学考模拟试卷3

这是一份2021年新初三数学人教新版开学考模拟试卷3，共42页。
2021年新初三数学人教新版开学考模拟试卷3
一．选择题（共10小题）
1．（2021•云南）一个十边形的内角和等于（　　）
A．1800° B．1660° C．1440° D．1200°
2．（2021春•河西区期中）点P（，1）在平面直角坐标系中，则点到原点的距离是（　　）
A．2 B．﹣2 C．10 D．5
3．（2021春•福州期中）一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个多边形的边数是（　　）
A．10 B．8 C．6 D．5
4．（2021春•龙华区期中）如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且CE＝BD，若∠CBD＝20°，则∠A的度数为（　　）

A．20° B．40° C．60° D．70°
5．（2021•福建模拟）以下是小竹在实验过程中使用的部分实验器材图．其中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2021•河南）下列运算正确的是（　　）
A．（﹣a）2＝﹣a2 B．2a2﹣a2＝2
C．a2•a＝a3 D．（a﹣1）2＝a2﹣1
7．（2021春•龙马潭区期末）下列根式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
8．（2021春•沙坪坝区校级月考）若整数a使关于x的不等式组有且仅有三个整数解，且使关于y的分式方程﹣＝1有整数解，则满足条件的所有a的值之和是（　　）
A．2 B．﹣1 C．1 D．4
9．（2021•南充）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝BF＝2，△DEF的周长为3，则AD的长为（　　）

A． B．2 C．+1 D．2﹣1
10．（2017春•硚口区期末）如图，已知直线AB：y＝分别交x轴、y轴于点B、A两点，C（3，0），D、E分别为线段AO和线段AC上一动点，BE交y轴于点H，且AD＝CE．当BD+BE的值最小时，则H点的坐标为（　　）

A．（0，4） B．（0，5） C． D．
二．填空题（共5小题）
11．（2021•南京）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 　 　．
12．（2021•江岸区模拟）方程的解是 　 　．
13．（2021•深圳）如图，已知∠BAC＝60°，AD是角平分线且AD＝10，作AD的垂直平分线交AC于点F，作DE⊥AC，则△DEF周长为 　 　．

14．（2021春•沙坪坝区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝10，AB＝8，点P在边AD上，且BP＝BC，点M在线段BP上，点N在线段BC的延长线上，且PM＝CN，连接MN交CP于点F，过点M作ME⊥CP于E，则EF＝　 　．

15．（2018春•青山区期末）对于点P（a，b），点Q（c，d），如果a﹣b＝c﹣d，那么点P与点Q就叫作等差点．例如：点P（4，2），点Q（﹣1，﹣3），因4﹣2＝﹣1﹣（﹣3）＝2，则点P与点Q就是等差点．如图在矩形GHMN中，点H（2，3），点N（﹣2，﹣3），MN⊥y轴，HM⊥x轴，点P是直线y＝x+b上的任意一点（点P不在矩形的边上），若矩形GHMN的边上存在两个点与点P是等差点，则b的取值范围为　 　．

三．解答题（共10小题）
16．（2021•广安）先化简：÷（a﹣），再从﹣1，0，1，2中选择一个适合的数代入求值．
17．（2021春•海珠区校级月考）计算：
（1）﹣×．
（2）（3+1）（3﹣1）．
18．（2021春•海淀区校级期末）计算：
（1）（）；
（2）．
19．（2021春•鼓楼区校级期中）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC交BC于点E，且BE2﹣EA2＝AC2．
（1）求证：∠A＝90°；
（2）若AC＝6，BD＝5，求AE的长．

20．（2021•瓯海区模拟）如图，在五边形ABCDE中，AB＝CD，∠ABC＝∠BCD，BE，CE分别是∠ABC，∠BCD的角平分线．
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）当∠A＝80°，∠ABC＝140°时，求∠AED的度数．

21．（2021春•鼓楼区校级期中）如图，在四边形ABCD中，BE平分∠ABC，交CD的延长线于点E，AF平分∠BAD，交DC的延长线于点F，∠ADE+∠BCF＝180°，∠ABC＝2∠E．
（1）求证：AB∥EF；
（2）试判断∠E与∠F的数量关系，并说明理由．

22．（2021春•同安区校级月考）如图，A，B两个工厂位于一段直线形河的异侧，A厂距离河边AC＝5km，B厂距离河边BD＝1km，经测量CD＝8km，现准备在河边某处（河宽不计）修一个污水处理厂E．
（1）设ED＝x，请用x的代数式表示AE+BE的长；
（2）为了使两厂的排污管道最短，污水厂E的位置应怎样来确定此时需要管道多长？
（3）通过以上的解答，充分展开联想，运用数形结合思想，请你猜想的最小值为多少？

23．（2021春•渝中区校级月考）有这样一对数：一个数的数字排列完全颠倒过来就变成另一个数，简单地说就是顺序相反的两个数，我们把这样的一对数互称为反序数．比如：68的反序数是86，235的反序数是532，4056的反序数是6504．
根据以上阅读材料，回答下列问题：
（1）已知一个三位数，其数位上的数字为连续的三个自然数，请写出满足条件的一对反序数　 　与　 　，并求出原三位数与其反序数之差的绝对值　 　；
（2）如果一个两位数等于其反序数与1的平均数，求这个两位数；
（3）若一个两位数在其中间插入一个数字k（0≤k≤9，k为整数），得到的这个三位数是原来两位数的9倍，请求出满足条件的两位数的反序数．
24．（2020秋•青羊区校级期末）如图，已知直线y＝x﹣4分别与x轴，y轴交于A，B两点，直线OG：y＝kx（k＜0）交AB于点D．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）如图1，点E是线段OB的中点，连接AE，点F是射线OG上一点，当OG⊥AE，且OF＝AE时，
①求EF的长；
②在x轴上找一点P，使PE+PD的值最小，求出P点坐标．
（3）如图2，若k＝﹣，过B点BC∥OG，交x轴于点C，此时在x轴上是否存在点M，使∠ABM+∠CBO＝45°，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

25．（2020秋•招远市期末）在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DE∥AC交直线AB于点E，DF∥AB交直线AC于点F．

（1）当点D在边BC上时，如图①，求证：DE+DF＝AC；
（2）当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③请分别写出图②、图③中DE、DF、AC之间的等量关系式（不需要证明）；
（3）若AC＝10，DE＝7，问：DF的长为多少？

2021年新初三数学人教新版开学考模拟试卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2021•云南）一个十边形的内角和等于（　　）
A．1800° B．1660° C．1440° D．1200°
【考点】多边形内角与外角．菁优网版权所有
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【分析】根据多边形的内角和等于（n﹣2）•180°即可得解．
【解答】解：根据多边形内角和公式得，十边形的内角和等于：
（10﹣2）×180°＝8×180°＝1440°，
故选：C．
【点评】此题考查了多边形的内角与外角，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．
2．（2021春•河西区期中）点P（，1）在平面直角坐标系中，则点到原点的距离是（　　）
A．2 B．﹣2 C．10 D．5
【考点】两点间的距离公式；勾股定理．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观．
【分析】构造直角三角形，利用勾股定理直接求解．
【解答】解：由勾股定理得：PO＝＝2．
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理的计算，关键在于掌握好点到两个坐标轴的距离分别是多少．
3．（2021春•福州期中）一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个多边形的边数是（　　）
A．10 B．8 C．6 D．5
【考点】多边形内角与外角．菁优网版权所有
【专题】多边形与平行四边形；运算能力．
【分析】根据多边形的内角和公式与外角和的关系找出等量关系，构建方程即可求解．
【解答】解：设这个多边形是n边形，由题意得：
（n﹣2）•180°＝3×360°，
解得：n＝8，
故选：B．
【点评】本题考查多边形的内角和与外角和，解题关键是记住内角和的公式与外角和的性质．
4．（2021春•龙华区期中）如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且CE＝BD，若∠CBD＝20°，则∠A的度数为（　　）

A．20° B．40° C．60° D．70°
【考点】全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；推理能力．
【分析】首先利用直角三角形可得∠BCD得度数，再根据“HL“可得△BEC≌△CDB，进而得到∠BCD＝∠CBE，可得∠A．
【解答】解：∵BD是高，∠CBD＝20°，
∴∠BCD＝180°﹣90°﹣20°＝70°，
在Rt△BEC和Rt△CDB中，
，
∴Rt△BEC≌Rt△CDB（HL），
∴∠BCD＝∠CBE＝70°，
∴∠A＝180°﹣70°﹣70°＝40°．
故选：B．
【点评】本题考查直角三角形全等的判定和等腰三角形的性质，熟练的掌握全等的判定方法是解题关键．
5．（2021•福建模拟）以下是小竹在实验过程中使用的部分实验器材图．其中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】利用轴对称图形的定义进行解答即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
6．（2021•河南）下列运算正确的是（　　）
A．（﹣a）2＝﹣a2 B．2a2﹣a2＝2
C．a2•a＝a3 D．（a﹣1）2＝a2﹣1
【考点】合并同类项；同底数幂的乘法；完全平方公式．菁优网版权所有
【专题】整式；运算能力．
【分析】A．根据幂的乘方运算法则判断；
B．根据合并同类项法则判断；
C．根据同底数幂的乘法法则判断；
D．根据完全平方公式判断．
【解答】解：A．（﹣a）2＝a2，故本选项不符合题意；
B.2a2﹣a2＝a2，故本选项不符合题意；
C．a2•a＝a3，故本选项符合题意；
D．（a﹣1）2＝a2﹣2a+1，故本选项符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了合并同类项，完全平方公式，合并同类项以及幂的乘方，掌握相关公式与运算法则是解答本题的关键．
7．（2021春•龙马潭区期末）下列根式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】最简二次根式．菁优网版权所有
【专题】二次根式；符号意识；运算能力．
【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式逐一判断即可．
【解答】解：A．＝＝，此选项不符合题意；
B．是最简二次根式，符合题意；
C．＝，此选项不符合题意；
D．＝＝5，此选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查最简二次根式，最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
8．（2021春•沙坪坝区校级月考）若整数a使关于x的不等式组有且仅有三个整数解，且使关于y的分式方程﹣＝1有整数解，则满足条件的所有a的值之和是（　　）
A．2 B．﹣1 C．1 D．4
【考点】分式方程的解；一元一次不等式组的整数解．菁优网版权所有
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【分析】先根据不等式组有且仅有三个整数解求得a的取值范围，再求解分式方程，筛选使得分式方程有整数的a值，将其求和即可．
【解答】解：根据题意，
由①解得：x＜3，
由②解得：x＞，
∵该不等式组有且仅有三个整数解，
∴﹣1≤＜0，解得﹣3≤a＜3，
∵a为整数，
解关于y的分式方程﹣＝1，得y＝，
∵y＝为整数，a≠2且a为整数，
∴a的值可取：﹣2，0，1，
∴满足条件的所有a的值之和为：﹣2+1═﹣1，
故选：B．
【点评】本题考查分式方程的解及一元一次不等式组的整数解，此类型题目通常先将方程或不等式的解用含有相关字母的式子表示，根据题目要求解得相关字母的取值范围，联立多个限制条件综合起来求解即可．
9．（2021•南充）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝BF＝2，△DEF的周长为3，则AD的长为（　　）

A． B．2 C．+1 D．2﹣1
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【分析】连结BD，作DH⊥AB,垂足为H，先证明△ABD是等边三角形，再根据SAS证明△ADE≌△BDF，得到△DEF是等边三角形，根据周长求出边长DE＝，设AH＝x,则HE＝2﹣x，DH＝x,在Rt△DHE中，根据勾股定理列方程求出x,进而得到AD＝2x的值．
【解答】解：如图，连结BD，作DH⊥AB,垂足为H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD,AD∥BC,
∵∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，∠ABC＝180°﹣∠A＝120°,
∴AD＝BD,∠ABD＝∠A＝∠ADB＝60°,
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝120°﹣60°＝60°,
∵AE＝BF，
∴△ADE≌△BDF(SAS)，
∴DE＝DF,∠FDB＝∠ADE，
∴∠EDF＝∠EDB+∠FDB＝∠EDB+∠ADE＝∠ADB＝60°,
∴△DEF是等边三角形，
∵△DEF的周长是3，
∴DE＝,
设AH＝x,则HE＝2﹣x，
∵AD＝BD,DH⊥AB,
∴∠ADH＝∠ADB＝30°,
∴AD＝2x,DH＝x，
在Rt△DHE中，DH²+HE²＝DE²,
∴（x）²+(2﹣x)²＝()²,
解得：x＝(负值舍去），
∴AD＝2x＝1+，
故选：C．

【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是构造直角三角形，根据勾股定理求出AH．
10．（2017春•硚口区期末）如图，已知直线AB：y＝分别交x轴、y轴于点B、A两点，C（3，0），D、E分别为线段AO和线段AC上一动点，BE交y轴于点H，且AD＝CE．当BD+BE的值最小时，则H点的坐标为（　　）

A．（0，4） B．（0，5） C． D．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；轴对称﹣最短路线问题．菁优网版权所有
【专题】三角形．
【分析】首先证明AB＝AC＝8，取点F（3，8），连接CF，EF，BF．由△ECF≌△DAB（SAS），推出BD＝EF，推出BD+BE＝BE+EF，因为BE+EF≥BF，推出BD+BE的最小值为线段BF的长，推出当B，E，F共线时，BD+BE的值最小，求出直线BF的解析式即可解决问题．
【解答】解：由题意A（0，），B（﹣3，0），C（3，0），
∴AB＝AC＝8，
取点F（3，8），连接CF，EF，BF．
∵C（3，0），
∴CF∥OA，
∴∠ECF＝∠CAO，
∵AB＝AC，AO⊥BC，
∴∠CAO＝∠BAD，
∴∠BAD＝∠ECF，
∵CF＝AB＝8，AD＝EC，
∴△ECF≌△DAB（SAS），
∴BD＝EF，
∴BD+BE＝BE+EF，
∵BE+EF≥BF，
∴BD+BE的最小值为线段BF的长，
∴当B，E，F共线时，BD+BE的值最小，
∵直线BF的解析式为：y＝x+4，
∴H（0，4），
∴当BD+BE的值最小时，则H点的坐标为（0，4），
故选：A．

【点评】本题考查一次函数图象上的点的特征、最短问题等知识，解题的关键是学会构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
二．填空题（共5小题）
11．（2021•南京）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 　x≥0　．
【考点】二次根式有意义的条件．菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案．
【解答】解：依题意有5x≥0，
解得：x≥0．
故答案为：x≥0．
【点评】本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．
12．（2021•江岸区模拟）方程的解是 　x＝　．
【考点】解分式方程．菁优网版权所有
【专题】运算能力．
【分析】方程两边同时乘以最简公分母（2x﹣2），将分式方程转化为整式方程，再按照解整式方程的步骤（去括号、移项、合并同类项、系数化1）求解，最后将求得的解代入最简公分母进行检验．
【解答】解：，
去分母得：2═3+（2x﹣2），
去括号得：2═3+2x﹣2，
移项得：﹣2x═3﹣2﹣2，
合并同类项得：﹣2x═﹣1，
系数化1得：x═，
检验：将x═代入2x﹣2═2×﹣2═﹣1≠0，
故x═是原方程的解，
故答案为：x═．
【点评】本题考查解分式方程，解分式方程的一般步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论，其需要注意的是检验．
13．（2021•深圳）如图，已知∠BAC＝60°，AD是角平分线且AD＝10，作AD的垂直平分线交AC于点F，作DE⊥AC，则△DEF周长为 　5+5　．

【考点】线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到FA＝FD，根据直角三角形的性质求出DE，根据勾股定理求出AE，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵AD的垂直平分线交AC于点F，
∴FA＝FD，
∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，
∴∠DAE＝30°，
∴DE＝AD＝5，
∴AE＝＝＝5，
∴△DEF周长＝DE+DF+EF＝DE+FA+EF＝DE+AE＝5+5，
故答案为：5+5．
【点评】本题考查的是勾股定理、线段垂直平分线的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
14．（2021春•沙坪坝区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝10，AB＝8，点P在边AD上，且BP＝BC，点M在线段BP上，点N在线段BC的延长线上，且PM＝CN，连接MN交CP于点F，过点M作ME⊥CP于E，则EF＝　2　．

【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质．菁优网版权所有
【专题】推理填空题；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【分析】过点M作MH∥BC交CP于H，根据两直线平行，同位角相等可得∠MHP＝∠BCP，两直线平行，内错角相等可得∠NCF＝∠MHF，根据等边对等角可得∠BCP＝∠BPC，然后求出∠BPC＝∠MHP，根据等角对等边可得PM＝MH，根据等腰三角形三线合一的性质可得PE＝EH，利用“角边角”证明△NCF和△MHF全等，根据全等三角形对应边相等可得CF＝FH，从而求出EF＝CP，根据矩形的对边相等可得BC＝AD＝10，再利用勾股定理列式求出AP，然后求出PD，再次利用勾股定理列式计算即可求出CP，从而得解．
【解答】解：如图，过点M作MH∥BC交CP于H，
则∠MHP＝∠BCP，∠NCF＝∠MHF，
∵BP＝BC，
∴∠BCP＝∠BPC，
∴∠BPC＝∠MHP，
∴PM＝MH，
∵PM＝CN，
∴CN＝MH，
∵ME⊥CP，
∴PE＝EH，
在△NCF和△MHF中，
，
∴△NCF≌△MHF（AAS），
∴CF＝FH，
∴EF＝EH+FH＝CP，
∵矩形ABCD中，AD＝10，
∴BC＝AD＝10，
∴BP＝BC＝10，
在Rt△ABP中，AP＝＝＝6，
∴PD＝AD﹣AP＝10﹣6＝4，
在Rt△CPD中，CP＝＝＝4，
∴EF＝CP＝×4＝2．
故答案为：2．

【点评】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形和等腰三角形是解题的关键．
15．（2018春•青山区期末）对于点P（a，b），点Q（c，d），如果a﹣b＝c﹣d，那么点P与点Q就叫作等差点．例如：点P（4，2），点Q（﹣1，﹣3），因4﹣2＝﹣1﹣（﹣3）＝2，则点P与点Q就是等差点．如图在矩形GHMN中，点H（2，3），点N（﹣2，﹣3），MN⊥y轴，HM⊥x轴，点P是直线y＝x+b上的任意一点（点P不在矩形的边上），若矩形GHMN的边上存在两个点与点P是等差点，则b的取值范围为　﹣5＜b＜5　．

【考点】一次函数图象与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征；矩形的性质．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用．
【分析】由题意，G（﹣2，3），M（2，﹣3），根据等差点的定义可知，当直线y＝x+b与矩形MNGH有两个交点时，矩形GHMN的边上存在两个点与点P是等差点，求出直线经过点G或M时的b的值即可判断．
【解答】解：由题意，G（﹣2，3），M（2，﹣3），
根据等差点的定义可知，当直线y＝x+b与矩形MNGH有两个交点时，矩形GHMN的边上存在两个点与点P是等差点，
当直线y＝x+b经过点G（﹣2，3）时，b＝5，
当直线y＝x+b经过点M（2，﹣3）时，b＝﹣5，
∴满足条件的b的范围为：﹣5＜b＜5．
故答案为﹣5＜b＜5
【点评】本题考查一次函数图象上点的特征、矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三．解答题（共10小题）
16．（2021•广安）先化简：÷（a﹣），再从﹣1，0，1，2中选择一个适合的数代入求值．
【考点】分式的化简求值．菁优网版权所有
【专题】计算题；分式；运算能力．
【分析】先根据分式的混合运算法则化简，再取使得分式有意义的a的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝
由原式可知，a不能取1，0，﹣1，
∴a＝2时，原式＝．
【点评】此题考查了分式的化简求值，解题的关键是记住分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
17．（2021春•海珠区校级月考）计算：
（1）﹣×．
（2）（3+1）（3﹣1）．
【考点】平方差公式；二次根式的混合运算．菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】（1）根据二次根式的运算法则即可求出答案．
（2）根据平方差公式以及二次根式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝3﹣2×
＝3﹣
＝3﹣
＝．
（2）原式＝9×2﹣1
＝18﹣1
＝17．
【点评】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．
18．（2021春•海淀区校级期末）计算：
（1）（）；
（2）．
【考点】实数的运算；平方差公式．菁优网版权所有
【专题】整式；运算能力．
【分析】（1）先进行开方运算和去括号，再合并同类二次根式即可；
（2）先计算开方运算、利用平方差公式计算，再合并同类二次根式即可；
【解答】解：（1）原式＝3+2﹣
＝2；
（2）原式＝2+5﹣（﹣3）﹣（7﹣3）
＝7+3﹣4
＝6．
【点评】此题考查的是实数的运算及平方差公式，掌握公式结构是解决此题关键．
19．（2021春•鼓楼区校级期中）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC交BC于点E，且BE2﹣EA2＝AC2．
（1）求证：∠A＝90°；
（2）若AC＝6，BD＝5，求AE的长．

【考点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】（1）连接CE，由线段垂直平分线的性质可求得BE＝CE，再结合BE2﹣EA2＝AC2可求得EA2+AC2＝CE2，可证得结论；
（2）由D是BC的中点可求得BC＝10，在Rt△AEC中，利用勾股定理结合已知条件可得到关于AE的方程，可求得AE．
【解答】（1）证明：连接CE，如图，

∵D是BC的中点，DE⊥BC，
∴CE＝BE，
∵BE2﹣EA2＝AC2，
∴CE2﹣EA2＝AC2，
∴EA2+AC2＝CE2，
∴△ACE是直角三角形，即∠A＝90°；

（2）解：∵D是BC的中点，BD＝5，
∴BC＝2BD＝10，
∵∠A＝90°，AC＝6，
∴AB＝＝＝8，
在Rt△AEC中，EA2+AC2＝CE2，
∵CE＝BE，
∴62+AE2＝（8﹣AE）2，
解得：x＝，
∴AE的长为．
【点评】本题主要考查勾股定理及其逆定理的应用，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键，注意方程思想在这类问题中的应用．
20．（2021•瓯海区模拟）如图，在五边形ABCDE中，AB＝CD，∠ABC＝∠BCD，BE，CE分别是∠ABC，∠BCD的角平分线．
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）当∠A＝80°，∠ABC＝140°时，求∠AED的度数．

【考点】全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】证明题；图形的全等；运算能力；推理能力．
【分析】（1）由角平分线的定义得出∠ABE＝∠CBE，∠BCE＝∠DCE，可证明△ABE≌△DCE（SAS）；
（2）由全等三角形的性质得出∠A＝∠D＝80°，根据五边形的内角和可求出答案．
【解答】（1）证明：∵BE，CE分别是∠ABC，∠BCD的角平分线．
∴∠ABE＝∠CBE，∠BCE＝∠DCE，
∵∠ABC＝∠BCD，
∴∠ABE＝∠DCE，∠EBC＝∠ECB，
∴BE＝CE，
在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（SAS）；
（2）解：∵△ABE≌△DCE，
∴∠A＝∠D＝80°，
∵∠ABC＝140°，
∴∠ABC＝∠BCD＝140°，
∵五边形ABCDE的内角和是540°，
∴∠AED＝540°﹣∠A﹣∠D﹣∠ABC﹣∠BCD＝540°﹣80°﹣80°﹣140°﹣140°＝100°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，五边形的内角和，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
21．（2021春•鼓楼区校级期中）如图，在四边形ABCD中，BE平分∠ABC，交CD的延长线于点E，AF平分∠BAD，交DC的延长线于点F，∠ADE+∠BCF＝180°，∠ABC＝2∠E．
（1）求证：AB∥EF；
（2）试判断∠E与∠F的数量关系，并说明理由．

【考点】平行线的判定与性质；多边形内角与外角．菁优网版权所有
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【分析】（1）由角平分线的性质得到∠ABC＝2∠ABE，可得，∠ABE＝∠E，即可判定AB∥EF；
（2）根据平行线的性质和判定，同角的补角相等以及等量代换，结合图形直观得出答案．
【解答】（1）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABE，
又∵∠ABC＝2∠E，
∴∠ABE＝∠E，
∴AB∥EF；
（2）∠E+∠F＝90°，理由如下：
∵∠ADE+∠BCF＝180°，∠ADE+∠ADF＝180°，
∴∠ADF＝∠BCF，
∴AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∵BE平分∠ABC，AF平分∠BAD，
∴∠ABE＝∠ABC，∠BAF＝∠BAD，
∴∠ABE+∠BAF＝∠ABC+∠BAD＝（∠ABC+∠BAD）＝×180°＝90°，
由（1）知，AB∥EF，
∴∠BAF＝∠F，∠ABE＝∠E，
∴∠E+∠F＝90°．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角、平行线的性质和判定，掌握平行线的判定方法和性质是正确解答的前提．
22．（2021春•同安区校级月考）如图，A，B两个工厂位于一段直线形河的异侧，A厂距离河边AC＝5km，B厂距离河边BD＝1km，经测量CD＝8km，现准备在河边某处（河宽不计）修一个污水处理厂E．
（1）设ED＝x，请用x的代数式表示AE+BE的长；
（2）为了使两厂的排污管道最短，污水厂E的位置应怎样来确定此时需要管道多长？
（3）通过以上的解答，充分展开联想，运用数形结合思想，请你猜想的最小值为多少？

【考点】轴对称﹣最短路线问题．菁优网版权所有
【专题】数学建模思想；推理能力．
【分析】（1）依据ED＝x，AC⊥CD、BD⊥CD，故根据勾股定理可用x表示出AE+BE的长；
（2）根据两点之间线段最短可知连接AB与CD的交点就是污水处理厂E的位置．过点B作BF⊥AC于F，构造出直角三角形，利用勾股定理求出AB的长；
（3）根据AE+BE＝可作出图形，当A、E、B共线时，利用勾股定理求出AB的值即可．
【解答】解：（1）在Rt△ACE和Rt△BDE中，根据勾股定理可得AE＝，BE＝，
∴AE+BE＝+，
（2）根据两点之间线段最短可知，连接AB与CD的交点就是污水处理厂E的位置．

过点B作BF⊥AC于F，则有BF＝CD＝8，BD＝CF＝1．
∴AF＝AC+CF＝6．
在Rt△ABF中，BA＝，
∴此时最少需要管道10km．
（3）根据以上推理，可作出下图，设ED＝x，BD＝3，CD＝15，AC＝5，当A、E、B共线时，求出AB的值即为原式的最小值．
在Rt△ABF中，AF＝8，BF＝CD＝15，
由勾股定理可得：AB＝，
∴的最小值为17．

【点评】本题考查了最短路线问题，综合利用了勾股定理，及用数形结合的方法求代数式的值的方法，利用两点之间线段最短是解决问题的关键．
23．（2021春•渝中区校级月考）有这样一对数：一个数的数字排列完全颠倒过来就变成另一个数，简单地说就是顺序相反的两个数，我们把这样的一对数互称为反序数．比如：68的反序数是86，235的反序数是532，4056的反序数是6504．
根据以上阅读材料，回答下列问题：
（1）已知一个三位数，其数位上的数字为连续的三个自然数，请写出满足条件的一对反序数　123　与　321　，并求出原三位数与其反序数之差的绝对值　198　；
（2）如果一个两位数等于其反序数与1的平均数，求这个两位数；
（3）若一个两位数在其中间插入一个数字k（0≤k≤9，k为整数），得到的这个三位数是原来两位数的9倍，请求出满足条件的两位数的反序数．
【考点】绝对值；算术平均数．菁优网版权所有
【专题】实数；一次方程（组）及应用；运算能力．
【分析】（1）根据“反序数”的意义以及“连续自然数”的意义看得出答案；
（2）设未知数表示这个两位数以及它的“反序数”，然后列方程求其正整数解即可；
（3）表示出这个两位数，根据各个数位上的数须为正整数，分情况讨论得出答案．
【解答】解：（1）由于一个三位数，其数位上的数字为连续的三个自然数，这个三位数可以为123，
因此123的“反序数”为321，
|123﹣321|＝198，
故答案为：123，321，198（答案不唯一）；
（2）设这个两位数的十位数字为a，个位数字为b，则这个两位数为10a+b，
其“反序数”为10b+a，由题意得，
10a+b＝，
即19a＝8b+1，
又∵0＜a≤9，0＜b≤9的整数，
∴a＝3，b＝7，
∴这个两位数为37；
（3）设这个两位数的十位数字为m，个位数字为n，则这个两位数为10m+n，
在这个两位数的中间插入一个数字k（0≤k≤9，k为整数），得到的这个三位数为100m+10k+n，
由题意得，
9（10m+n）＝100m+10k+n，
即8n＝10（m+k），
∵0＜m≤9，0＜n≤9的整数，0≤k≤9的整数，
∴n一定为5，即n＝5，
当n＝5时，由于8n＝10（m+k），可得m+k＝4，
∴m＝1或m＝2或m＝3或m＝4，
∴这个两位数为15，25，35，45，
∴这个两位数的“反序数”为51，52，53，54，
答：这个两位数的反序数分别为51，52，53，54．
【点评】本题考查字母表示数，绝对值，平均数，理解绝对值的意义，掌握平均数的计算方法是解决问题的前提，理解“反序数”的意义是正确解答的关键．
24．（2020秋•青羊区校级期末）如图，已知直线y＝x﹣4分别与x轴，y轴交于A，B两点，直线OG：y＝kx（k＜0）交AB于点D．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）如图1，点E是线段OB的中点，连接AE，点F是射线OG上一点，当OG⊥AE，且OF＝AE时，
①求EF的长；
②在x轴上找一点P，使PE+PD的值最小，求出P点坐标．
（3）如图2，若k＝﹣，过B点BC∥OG，交x轴于点C，此时在x轴上是否存在点M，使∠ABM+∠CBO＝45°，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】一次函数综合题．菁优网版权所有
【专题】代数几何综合题；推理能力．
【分析】（1）根据题意列方程即可得到结论；
（2）①由A（4，0），B（0，﹣4），得到OA＝OB＝4，求得OE＝2，过F作FB′⊥y轴于B′，根据全等三角形的性质得到FB'＝OE＝2，OB′＝OA＝4，根据勾股定理求出EF即可．
②作点E关于x轴的对称点E′，连接DE′交x轴于P，连接PE，此时PE+PD的值最小，求出直线DE′的解析式即可．
（3）根据题意得到C（﹣3，0），如图，当点M在点A的左侧，根据全等三角形的性质得到OM＝OC＝3，当点M在点A的右侧时，根据三角形的面积即可得到结论．
【解答】解：（1）∵直线y＝x﹣4分别与x轴，y轴交于A，B两点，
∴令y＝0，则x﹣4＝0，
∴x＝4，
令x＝0，则y＝﹣4，
∴A（4，0），B（0，﹣4）．

（2）①∵A（4，0），B（0，﹣4），
∴OA＝OB＝4，
∵点E是线段OB的中点，
∴OE＝2，
过F作FB′⊥y轴于B′，
∴∠AOE＝∠OB′F＝90°，
∵OG⊥AE，
∴∠OAE+∠AOF＝∠B′OG+∠AOF＝90°，
∴∠OAE＝∠B′OF，
∵OF＝AE，
∴△AOE≌△OB′F（AAS），
∴FB'＝OE＝2，OB′＝OA＝4，
∵OB＝4，
∴点B与点B′重合，
∴EF＝＝＝2．

②由①可知，F（2，﹣4），
∴直线OF的解析式为y＝﹣2x，
由，
解得，
∴D（，﹣），
作点E关于x轴的对称点E′，连接DE′交x轴于P，连接PE，此时PE+PD的值最小，
∵E′（0，2），
∴直线DE′的解析式为y＝﹣x+2，
令y＝0，可得x＝，
∴P（，0）．

（3）存在，∵k＝﹣，
∴直线OG：y＝﹣x（k＜0），
∵BC∥OG，
∴设直线BC的解析式为y＝﹣x﹣4，
当y＝0时，即﹣x﹣4＝0，
∴x＝﹣3，
∴C（﹣3，0），
如图，当点M在点A的左侧，
∵∠ABO＝45°，∠ABM+∠CBO＝45°，
∴∠MBO＝∠CBO，
∵∠COB＝∠NOB＝90°，OB＝OB，
∴△BCO≌△BMO（ASA），
∴OM＝OC＝3，
∴M（3，0）；
当点M在点A的右侧时，
∵∠OAB＝∠AM′B+∠ABM′＝45°，∠ABM'+∠CBO＝45°，
∴∠AM′B＝∠OBC，
∵∠CBO＝∠OM′B，
∴∠CBO+∠OBM′＝90°，
设OM′＝a，
∴BM′＝，
∵S△CBM′＝OB×CM′＝BC•BM′，
∴4×（3+a）＝×，
解得：a＝，
∴M′（，0），
综上所述，点M的坐标为：（3，0），（，0）．


【点评】本题考查了直线与坐标轴的交点问题，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积公式，全等三角形的判定和性质，正确的理解题意是解题的关键．
25．（2020秋•招远市期末）在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DE∥AC交直线AB于点E，DF∥AB交直线AC于点F．

（1）当点D在边BC上时，如图①，求证：DE+DF＝AC；
（2）当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③请分别写出图②、图③中DE、DF、AC之间的等量关系式（不需要证明）；
（3）若AC＝10，DE＝7，问：DF的长为多少？
【考点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．菁优网版权所有
【分析】（1）证明四边形AFDE是平行四边形，且△DEC和△BDF是等腰三角形即可证得；
（2）与（1）的证明方法相同；
（3）根据（1）（2）中的结论直接求解．
【解答】解：（1）∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴DE＝AF，∠FDC＝∠B，
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C
∴∠FDC＝∠C，
∴DF＝FC，
∴DE+DF＝AF+FC＝AC；
（2）当点D在边BC的延长线上时，在图②，DE﹣DF＝AC；
当点D在边BC的反向延长线上时，在图③，DF﹣DE＝AC．
（3）当在图①的情况，DF＝AC﹣DE＝10﹣7＝3；
当在图③的情况，DF＝AC+DE＝10+7＝17．
【点评】本题考查平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的判定，是一个基础题，解决本题的关键是进行分类讨论．

考点卡片
1．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
2．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．

【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
3．合并同类项
（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．
（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．
（3）合并同类项时要注意以下三点：
①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；
②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；
③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．
4．同底数幂的乘法
（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
am•an＝am+n（m，n是正整数）
（2）推广：am•an•ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数）
在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．
（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．
5．完全平方公式
（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．
（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．
6．平方差公式
（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．
7．分式的化简求值
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
【规律方法】分式化简求值时需注意的问题
1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．
2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
8．二次根式有意义的条件
判断二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．
学习要求：
能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．
【规律方法】二次根式有无意义的条件
1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
9．最简二次根式
最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．

最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；
含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等．
10．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
11．分式方程的解
求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．
注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
12．解分式方程
（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：
①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．
②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．
所以解分式方程时，一定要检验．
13．一元一次不等式组的整数解
（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
（2）已知解集（整数解）求字母的取值．
一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．
14．两点间的距离公式
两点间的距离公式：
设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB＝．

说明：求直角坐标系内任意两点间的距离可直接套用此公式．
15．一次函数图象与系数的关系
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限；
②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限；
③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限；
④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限．
16．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
17．一次函数综合题
（1）一次函数与几何图形的面积问题
首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．
（2）一次函数的优化问题
通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．
（3）用函数图象解决实际问题
从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．
18．平行线的判定与性质
（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
（3）平行线的判定与性质的联系与区别
区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．
联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．
（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．
19．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
20．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
21．等腰三角形的判定与性质
1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
22．等边三角形的判定与性质
（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．
23．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
24．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
25．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
26．多边形内角与外角
（1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数）
此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．
（2）多边形的外角和等于360°．
①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．
②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°．
27．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
28．平行四边形的判定与性质
平行四边形的判定与性质的作用
平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单．
凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．
29．菱形的性质
（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
（2）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（3）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度）
30．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
31．轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
32．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．

2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
33．算术平均数
（1）平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
（2）算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则＝（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数．
（3）算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数．
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