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    2021年新初三数学北师大新版开学考模拟试卷2

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    2021年新初三数学北师大新版开学考模拟试卷2

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    这是一份2021年新初三数学北师大新版开学考模拟试卷2,共29页。
    2021年新初三数学北师大新版开学考模拟试卷2
    一.选择题(共10小题)
    1.(2021春•金水区校级月考)下列条件中,不能判定两个直角三角形全等的是(  )
    A.一个锐角和斜边对应相等
    B.两条直角边对应相等
    C.两个锐角对应相等
    D.斜边和一条直角边对应相等
    2.(2020秋•虎林市期末)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=8,3DC=AD,BD平分∠ABC,则点D到AB的距离等于(  )

    A.4 B.3 C.2 D.1
    3.(2021春•杏花岭区校级月考)下列式子:(1)4>0;(2)2x+3y<0;(3)x=3;(4)x≠y;(5)x+y;(6)x+3≤7中,不等式的个数有(  )
    A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
    4.(2020春•碑林区校级月考)比较a+b与a﹣b的大小,叙述正确的是(  )
    A.a+b≥a﹣b B.a+b>a﹣b
    C.由a的大小确定 D.由b的大小确定
    5.(2021春•天河区校级月考)汉字“王、人、木、水、口、立”中能通过单独平移组成一个新的汉字的有(  )
    A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
    6.(2021•济南模拟)如图,△ABC沿BC所在直线向右平移得到△DEF,已知EC=2,BF=8,则平移的距离为(  )

    A.3 B.4 C.5 D.6
    7.(2019春•漳州期中)若多项式x2﹣ax﹣1可分解为(x﹣2)(x+b),则a+b的值为(  )
    A.2 B.1 C.﹣2 D.﹣1
    8.(2021春•沙坪坝区校级月考)多项式x3+6x2y+9xy2与x3y﹣9xy3的公因式是(  )
    A.x(x+3y)2 B.x(x+3y) C.xy(x+3y) D.x(x﹣3y)
    9.(2010春•吉安期中)下列各式中,分式的个数是(  )

    A.2 B.3 C.4 D.5
    10.(2021春•莆田期末)如图,在△ABC中,BD、CE是角平分线,AM⊥BD于点M,AN⊥CE于点N.△ABC的周长为30,BC=12.则MN的长是(  )

    A.15 B.9 C.6 D.3
    二.填空题(共5小题)
    11.(2020春•齐齐哈尔期末)已知x﹣y=3,且x>2,y<1,则x+y的取值范围是   .
    12.(2020秋•莱州市期中)在式子、、、、+、9x+中,分式有   个.
    13.(2016秋•德惠市期末)给出六个多项式:①x2+y2;②﹣x2+y2;③x2+2xy+y2;④x4﹣1;⑤x(x+1)﹣2(x+1);⑥m2﹣mn+n2.其中,能够分解因式的是    (填上序号).
    14.(2020春•涟源市期末)如图,∠C=∠D=90°,添加一个条件:   (写出一个条件即可),可使Rt△ABC与Rt△ABD全等.

    15.(2018春•吉州区期末)某小区有一块长方形的草地(如图),长18米,宽10米,空白部分为两条宽度相等的小路,则草地的实际面积   m2.

    三.解答题(共10小题)
    16.(2020秋•铜官区期末)分解因式:2m(m﹣n)2﹣8m2(n﹣m)
    17.(2021春•浦东新区校级期中)已知不等式(a+b)x+(2a﹣3b)<0的解集是x<,求关于x的不等式(a﹣3b)x>2a﹣b的解集.
    18.(2021春•江北区校级期中)按要求完成下列各题:
    (1)若(x﹣3)(x+m)=x2+nx﹣15,求的值.
    (2)已知(n﹣2020)2+(2021﹣n)2=3,求(n﹣2020)(2021﹣n)的值.
    (3)已知多项式2x4﹣3x3+ax2+7x+b含有因式x2+x﹣2,求的值.
    19.(2013秋•合浦县期末)如图,已知∠A=∠D=90°,E、F在线段BC上,DE与AF交于点O,且AB=CD,BE=CF.求证:Rt△ABF≌Rt△DCE.

    20.(2021春•盐田区校级期中)已知:如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上的一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D、E,点F是OC上的另一点,连接DF,EF.求证:DF=EF.

    21.(2020春•瀍河区月考)如图所示,一块长为18m,宽为12m的草地上有一条宽为2m的曲折的小路,求这块草地的绿地面积.

    22.(2020春•溧阳市期末)知识阅读:我们知道,当a>2时,代数式a﹣2>0;当a<2时,代数式a﹣2<0;当a=2时,代数式a﹣2=0.
    基本应用:当a>2时,用“>,<,=”填空.
    (1)a+5   0;
    (2)(a+7)(a﹣2)   0;
    理解应用:
    当a>1时,求代数式a2+2a﹣15的值的大小;
    灵活应用:
    当a>2时,比较代数式a+2与a2+5a﹣19的大小关系.
    23.(2019秋•连山区期末)仔细阅读下面例题,解答问题:
    例题:已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是(x+3),求另一个因式以及m的值.
    解:设另一个因式为(x+n),得
    x2﹣4x+m=(x+3)(x+n)
    则x2﹣4x+m=x2+(n+3)x+3n
    ∴.
    解得:n=﹣7,m=﹣21
    ∴另一个因式为(x﹣7),m的值为﹣21
    问题:仿照以上方法解答下面问题:
    已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是(2x﹣5),求另一个因式以及k的值.
    24.(2021春•莆田期末)如图,已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,且AC=BD,M、N分别是AB、CD的中点,MN分别交BD、AC于点E、F.你能说出OE与OF的大小关系并加以证明吗?

    25.(2020春•巩义市期末)如图,长方形OABC中,O为平面直角坐标系的原点,点A、C的坐标分别为A(3,0)、C(0,2),点B在第一象限.
    (1)写出点B的坐标;
    (2)若过点C的直线交长方形的OA边于点D,且把长方形OABC的周长分成2:3的两部分,求点D的坐标;
    (3)如果将(2)中的线段CD向下平移3个单位长度,得到对应线段C′D′,在平面直角坐标系中画出△CD′C′,并求出它的面积.


    2021年新初三数学北师大新版开学考模拟试卷2
    参考答案与试题解析
    一.选择题(共10小题)
    1.(2021春•金水区校级月考)下列条件中,不能判定两个直角三角形全等的是(  )
    A.一个锐角和斜边对应相等
    B.两条直角边对应相等
    C.两个锐角对应相等
    D.斜边和一条直角边对应相等
    【考点】直角三角形全等的判定.菁优网版权所有
    【专题】图形的全等.
    【分析】根据已知及全等三角形的判定方法进行分析,从而得到答案.
    【解答】解:A、一个锐角和斜边对应相等,正确,符合AAS,
    B、两条直角边对应相等,正确,符合判定SAS;
    C、不正确,全等三角形的判定必须有边的参与;
    D、斜边和一条直角边对应相等,正确,符合判定HL.
    故选:C.
    【点评】本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、AAS、HL.
    注意:AAA、SSA不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角.
    2.(2020秋•虎林市期末)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=8,3DC=AD,BD平分∠ABC,则点D到AB的距离等于(  )

    A.4 B.3 C.2 D.1
    【考点】角平分线的性质.菁优网版权所有
    【专题】线段、角、相交线与平行线;运算能力.
    【分析】过D作DE⊥AB于E,根据角平分线的性质得出DE=CD,求出CD的长,再根据点到直线的距离的定义得出即可.
    【解答】解:过D作DE⊥AB于E,

    ∵∠C=90°,BD平分∠ABC,
    ∴DE=CD,
    ∵AC=8,3DC=AD,
    ∴CD=2,
    ∴DE=2,
    即点D到AB的距离是2,
    故选:C.
    【点评】本题考查了角平分线的性质和点到直线的距离,注意:角平分线上的点到角两边的距离相等.
    3.(2021春•杏花岭区校级月考)下列式子:(1)4>0;(2)2x+3y<0;(3)x=3;(4)x≠y;(5)x+y;(6)x+3≤7中,不等式的个数有(  )
    A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
    【考点】不等式的定义.菁优网版权所有
    【分析】主要依据不等式的定义﹣﹣﹣﹣﹣用“>”、“≥”、“<”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断.
    【解答】解:根据不等式的定义,只要有不等符号的式子就是不等式,
    所以(1),(2),(4),(6)为不等式,共有4个.
    故选:C.
    【点评】本题考查不等式的识别,一般地,用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式.解答此类题关键是要识别常见不等号:><≤≥≠.
    4.(2020春•碑林区校级月考)比较a+b与a﹣b的大小,叙述正确的是(  )
    A.a+b≥a﹣b B.a+b>a﹣b
    C.由a的大小确定 D.由b的大小确定
    【考点】不等式的性质.菁优网版权所有
    【专题】探究型.
    【分析】由于本题是两个式子比较大小,故可用作差法求出两式的差,再根据a、b的符号进行讨论.
    【解答】解:∵a+b﹣(a﹣b)=a+b﹣a+b=2b,
    ∴当b≥0时,2b≥0,a+b≥a﹣b;
    当b<0时,2b<0,a+b<a﹣b.
    故选:D.
    【点评】本题考查的是不等式的基本性质,先求出两式的差,再根据不等式的基本性质讨论两式的大小是解答此题的关键.
    5.(2021春•天河区校级月考)汉字“王、人、木、水、口、立”中能通过单独平移组成一个新的汉字的有(  )
    A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
    【考点】生活中的平移现象.菁优网版权所有
    【分析】根据平移是沿某一直线移动,且不改变图形的形状和大小,结合题意进行判断.
    【解答】解:“人”平移得到“从”,“木”平移得到“林”,“水”平移得到“淼”,“口”平移得到“品”,所以通过平移组成一个新的汉字的有4个.
    故选:D.
    【点评】把一个图形整体沿某一直线方向移动,会得到一个新的图形,新图形与原图形的形状和大小完全相同,图形的这种移动叫做平移.注意平移是图形整体沿某一直线方向移动.
    6.(2021•济南模拟)如图,△ABC沿BC所在直线向右平移得到△DEF,已知EC=2,BF=8,则平移的距离为(  )

    A.3 B.4 C.5 D.6
    【考点】平移的性质.菁优网版权所有
    【专题】平移、旋转与对称;应用意识.
    【分析】利用平移的性质解决问题即可.
    【解答】解:由平移的性质可知,BE=CF,
    ∵BF=8,EC=2,
    ∴BE+CF=8﹣2=6,
    ∴BE=CF=3,
    ∴平移的距离为3,
    故选:A.
    【点评】本题考查平移的性质,解题的关键是熟练掌握平移变换的性质,属于中考常考题型.
    7.(2019春•漳州期中)若多项式x2﹣ax﹣1可分解为(x﹣2)(x+b),则a+b的值为(  )
    A.2 B.1 C.﹣2 D.﹣1
    【考点】因式分解的意义.菁优网版权所有
    【分析】根据因式分解与整式的乘法互为逆运算,把(x﹣2)(x+b)利用多项式乘法法则展开即可求解.
    【解答】解:∵(x﹣2)(x+b)=x2+bx﹣2x﹣2b=x2+(b﹣2)x﹣2b=x2﹣ax﹣1,
    ∴b﹣2=﹣a,﹣2b=﹣1,
    ∴b=0.5,a=1.5,
    ∴a+b=2.
    故选:A.
    【点评】本题主要考查了因式分解与整式的乘法互为逆运算.是中考中的常见题型.
    8.(2021春•沙坪坝区校级月考)多项式x3+6x2y+9xy2与x3y﹣9xy3的公因式是(  )
    A.x(x+3y)2 B.x(x+3y) C.xy(x+3y) D.x(x﹣3y)
    【考点】公因式.菁优网版权所有
    【专题】整式;运算能力.
    【分析】分别将多项式x3+6x2y+9xy2与多项式x3y﹣9xy3进行因式分解,再寻找他们的公因式.
    【解答】解:∵x3+6x2y+9xy2=x(x2+6xy+9y2)=x(x+3y)2,
    x3y﹣9xy3=xy(x2﹣9y2)=xy(x+3y)(x﹣3y),
    ∴多项式x3+6x2y+9xy2与多项式x3y﹣9xy3的公因式是x(x+3y).
    故选:B.
    【点评】本题主要考查公因式的确定,先利用提公因式法和公式法分解因式,然后再确定公共因式.
    9.(2010春•吉安期中)下列各式中,分式的个数是(  )

    A.2 B.3 C.4 D.5
    【考点】分式的定义.菁优网版权所有
    【分析】判断分式的依据是看代数式的分母中是否含有字母,如果含有字母则是分式,如果不含有字母则不是分式.
    【解答】解:,的分母中均不含有字母,因此它们是整式,而不是分式;
    a+的分子不是整式,因此不是分式.
    ,,的分母中含有字母,因此是分式.
    故选:B.
    【点评】本题考查了分式的定义:如果A、B表示两个整式,并且B中含有字母,那么式子叫做分式,A叫做分式的分子,B叫做分式的分母.注意π不是字母,是常数,所以不是分式,是整式.
    10.(2021春•莆田期末)如图,在△ABC中,BD、CE是角平分线,AM⊥BD于点M,AN⊥CE于点N.△ABC的周长为30,BC=12.则MN的长是(  )

    A.15 B.9 C.6 D.3
    【考点】等腰三角形的判定与性质;三角形中位线定理.菁优网版权所有
    【专题】等腰三角形与直角三角形;几何直观.
    【分析】延长AM、AN分别交BC于点F、G,根据BM为∠ABC的角平分线,AM⊥BM得出∠BAM=∠G,故△ABG为等腰三角形,所以BM也为等腰三角形的中线,即AM=GM.同理AN=NF,根据三角形中位线定理即可得出结论.
    【解答】证明:∵△ABC的周长为30,BC=12.
    ∴AB+AC=30﹣BC=18.
    延长AN、AM分别交BC于点F、G.如图所示:
    ∵BM为∠ABC的角平分线,
    ∴∠CBM=∠ABM,
    ∵BM⊥AG,
    ∴∠ABM+∠BAM=90°,∠G+∠CBM=90°,
    ∴∠BAM=∠AGB,
    ∴AB=BG,
    ∴AM=FM,
    同理AC=CF,AN=NG,
    ∴MN为△AFG的中位线,GF=BG+CF﹣BC,
    ∴MN=(AB+AC﹣BC)=(18﹣12)=3.
    故选:D.

    【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形中位线定理,熟知三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半是解答此题的关键.
    二.填空题(共5小题)
    11.(2020春•齐齐哈尔期末)已知x﹣y=3,且x>2,y<1,则x+y的取值范围是 1<x+y<5 .
    【考点】不等式的性质.菁优网版权所有
    【专题】常规题型.
    【分析】利用不等式的性质解答即可.
    【解答】解:∵x﹣y=3,
    ∴x=y+3,
    又∵x>2,
    ∴y+3>2,
    ∴y>﹣1.
    又∵y<1,
    ∴﹣1<y<1,…①
    同理得:2<x<4,…②
    由①+②得﹣1+2<y+x<1+4
    ∴x+y的取值范围是1<x+y<5;
    故答案为:1<x+y<5.
    【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用,关键是先根据已知条件用一个量如y取表示另一个量如x,然后根据题中已知量x的取值范围,构建另一量y的不等式,从而确定该量y的取值范围,同法再确定另一未知量x的取值范围.
    12.(2020秋•莱州市期中)在式子、、、、+、9x+中,分式有 3 个.
    【考点】分式的定义.菁优网版权所有
    【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母,如果含有字母则是分式,如果不含有字母则不是分式.
    【解答】解:式子、、9x+的分母中含有字母,属于分式,其他的分母中不含有字母,不是分式.
    故答案是:3.
    【点评】本题主要考查分式的概念,分式与整式的区别主要在于:分母中是否含有未知数.
    13.(2016秋•德惠市期末)给出六个多项式:①x2+y2;②﹣x2+y2;③x2+2xy+y2;④x4﹣1;⑤x(x+1)﹣2(x+1);⑥m2﹣mn+n2.其中,能够分解因式的是 ②③④⑤⑥  (填上序号).
    【考点】因式分解的意义.菁优网版权所有
    【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式,可得答案.
    【解答】解:①x2+y2不能因式分解,故①错误;
    ②﹣x2+y2利用平方差公式,故②正确;
    ③x2+2xy+y2完全平方公式,故③正确;
    ④x4﹣1平方差公式,故④正确;
    ⑤x(x+1)﹣2(x+1)提公因式,故⑤正确;
    ⑥m2﹣mn+n2完全平方公式,故⑥正确;
    故答案为:②③④⑤⑥.
    【点评】本题考查了因式分解的意义,因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式,因式分解的方法有:提公因式法,公式法,十字相乘法,分组分解法,注意分解要彻底.
    14.(2020春•涟源市期末)如图,∠C=∠D=90°,添加一个条件: AC=AD (写出一个条件即可),可使Rt△ABC与Rt△ABD全等.

    【考点】直角三角形全等的判定.菁优网版权所有
    【专题】几何图形.
    【分析】由已知两三角形为直角三角形,且斜边为公共边,若利用HL证明两直角三角形全等,需要添加的条件为一对直角边相等,即BC=BD或AC=AD.
    【解答】解:条件是AC=AD(答案不唯一),
    ∵∠C=∠D=90°,
    在Rt△ABC和Rt△ABD中

    ∴Rt△ABC≌Rt△ABD(HL),
    故答案为:AC=AD(答案不唯一).
    【点评】本题考查了直角三角形全等的判定的应用,能熟记定理是解此题的关键,注意:直角三角形全等的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,HL.
    15.(2018春•吉州区期末)某小区有一块长方形的草地(如图),长18米,宽10米,空白部分为两条宽度相等的小路,则草地的实际面积 128 m2.

    【考点】生活中的平移现象.菁优网版权所有
    【分析】将小路两旁部分向中间平移,直到小路消失,发现草地是一个长为(18﹣2)米、宽为(10﹣2)米的长方形,根据长方形面积=长×宽列式计算即可.
    【解答】解:由题意,得草地的实际面积为:
    (18﹣2)×(10﹣2)=16×8=128(m2).
    故答案为128.
    【点评】此题考查生活中的平移现象,化曲为直是解决此题的关键思路.
    三.解答题(共10小题)
    16.(2020秋•铜官区期末)分解因式:2m(m﹣n)2﹣8m2(n﹣m)
    【考点】因式分解﹣提公因式法.菁优网版权所有
    【分析】直接找出公因式,进而提取公因式得出答案.
    【解答】解:2m(m﹣n)2﹣8m2(n﹣m)
    =2m(m﹣n)[(m﹣n)+4m]
    =2m(m﹣n)(5m﹣n).
    【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式,正确找出公因式是解题关键.
    17.(2021春•浦东新区校级期中)已知不等式(a+b)x+(2a﹣3b)<0的解集是x<,求关于x的不等式(a﹣3b)x>2a﹣b的解集.
    【考点】不等式的解集.菁优网版权所有
    【分析】根据已知条件,判断出a+b>0,a=2b,再求得不等式(a﹣3b)x>2a﹣b的解集.
    【解答】解:∵不等式(a+b)x+(2a﹣3b)<0的解集是x<,
    ∴x<﹣,
    ∴﹣=﹣,解得a=2b;
    把a=2b代入(a﹣3b)x>2a﹣b得,﹣bx>3b,
    ∵a+b>0,a=2b,
    ∴a>0,b>0,
    ∴x<﹣3.
    【点评】解答此题学生一定要注意不等式两边同乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.
    18.(2021春•江北区校级期中)按要求完成下列各题:
    (1)若(x﹣3)(x+m)=x2+nx﹣15,求的值.
    (2)已知(n﹣2020)2+(2021﹣n)2=3,求(n﹣2020)(2021﹣n)的值.
    (3)已知多项式2x4﹣3x3+ax2+7x+b含有因式x2+x﹣2,求的值.
    【考点】多项式乘多项式;因式分解的意义;因式分解﹣分组分解法;因式分解﹣十字相乘法等;分式的值.菁优网版权所有
    【专题】整式;分式;运算能力.
    【分析】(1)利用整式乘法求出m,n的值,再代入求值即可;
    (2)利用完全平方公式和整体代入,用多项式乘多项式法则求解即可;
    (3)由于x2+x﹣2=(x+2)(x﹣1),而多项式2x4﹣3x3+ax2+7x+b能被x2+x﹣2整除,则2x4﹣3x3+ax2+7x+b能被(x+2)(x﹣1)整除.运用待定系数法,可设商是A,则2x4﹣3x3+ax2+7x+b=A(x+2)(x﹣1),则x=﹣2和x=1时,2x4﹣3x3+ax2+7x+b=0,分别代入,得到关于a、b的二元一次方程组,解此方程组,求出a、b的值,进而得到的值.
    【解答】解:(1)∵(x﹣3)(x+m)=x2+(m﹣3)x﹣3m=x2+nx﹣15,
    ∴n=m﹣3,﹣3m=﹣15,
    ∴m=5,n=2,
    把m=5,n=2代入得,
    原式===﹣1.
    (2)令n﹣2020=a,2021﹣n=b,
    根据题意得:
    a2+b2=3,a+b=1,
    ∴原式=ab===﹣1.
    (3)∵x2+x﹣2=(x+2)(x﹣1),
    ∴2x4﹣3x3+ax2+7x+b能被(x+2)(x﹣1)整除,
    设商是A.
    则2x4﹣3x3+ax2+7x+b=A(x+2)(x﹣1),
    则x=﹣2或x=1时,右边都等于0,所以左边也等于0.
    当x=﹣2时,2x4﹣3x3+ax2+7x+b=32+24+4a﹣14+b=4a+b+42=0 ①,
    当x=1时,2x4﹣3x3+ax2+7x+b=2﹣3+a+7+b=a+b+6=0 ②,
    ①﹣②,得
    3a+36=0,
    ∴a=﹣12,
    ∴b=﹣6﹣a=6.
    ∴==﹣2.
    【点评】此题考查的是分式的值,熟记完全平方公式和多项式乘多项式法则是解题的基础,注意因式的特点,灵活解决问题.
    19.(2013秋•合浦县期末)如图,已知∠A=∠D=90°,E、F在线段BC上,DE与AF交于点O,且AB=CD,BE=CF.求证:Rt△ABF≌Rt△DCE.

    【考点】直角三角形全等的判定.菁优网版权所有
    【专题】证明题.
    【分析】由于△ABF与△DCE是直角三角形,根据直角三角形全等的判定的方法即可证明.
    【解答】证明:∵BE=CF,
    ∴BE+EF=CF+EF,即BF=CE,
    ∵∠A=∠D=90°,
    ∴△ABF与△DCE都为直角三角形,
    在Rt△ABF和Rt△DCE中,,
    ∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL).
    【点评】此题考查了直角三角形全等的判定,解题关键是由BE=CF通过等量代换得到BF=CE.
    20.(2021春•盐田区校级期中)已知:如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上的一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D、E,点F是OC上的另一点,连接DF,EF.求证:DF=EF.

    【考点】全等三角形的判定与性质;角平分线的性质.菁优网版权所有
    【专题】证明题.
    【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PD=PE,利用“HL”证明Rt△OPD和Rt△OPE全等,根据全等三角形对应边相等可得OD=OE,再利用“边角边”证明△ODF和△OEF全等,然后利用全等三角形对应边相等证明即可.
    【解答】证明:∵OC是∠AOB的平分线,PD⊥OA,PE⊥OB,
    ∴PD=PE,
    在Rt△OPD和Rt△OPE中,,
    ∴Rt△OPD≌Rt△OPE(HL),
    ∴OD=OE,
    ∵OC是∠AOB的平分线,
    ∴∠DOF=∠EOF,
    在△ODF和△OEF中,,
    ∴△ODF≌△OEF(SAS),
    ∴DF=EF.
    【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质,全等三角形的判定与性质,难点在于二次证明三角形全等.
    21.(2020春•瀍河区月考)如图所示,一块长为18m,宽为12m的草地上有一条宽为2m的曲折的小路,求这块草地的绿地面积.

    【考点】生活中的平移现象.菁优网版权所有
    【分析】根据平移的性质,表示出去掉小路宽后的长与宽可得答案.
    【解答】解:绿地的面积为:(18﹣2)×(12﹣2)=160(m2),
    答:这块草地的绿地面积是160m2.
    【点评】本题考查了生活中的平移现象,平移使路变直进而表示出是解题关键.
    22.(2020春•溧阳市期末)知识阅读:我们知道,当a>2时,代数式a﹣2>0;当a<2时,代数式a﹣2<0;当a=2时,代数式a﹣2=0.
    基本应用:当a>2时,用“>,<,=”填空.
    (1)a+5 > 0;
    (2)(a+7)(a﹣2) > 0;
    理解应用:
    当a>1时,求代数式a2+2a﹣15的值的大小;
    灵活应用:
    当a>2时,比较代数式a+2与a2+5a﹣19的大小关系.
    【考点】不等式的性质.菁优网版权所有
    【专题】常规题型;运算能力.
    【分析】本题主要考查不等式的基本逻辑计算.
    【解答】解:(1)∵a>2,
    ∴a+5>0;
    (2)∵a>2,
    ∴a﹣2>0,a+7>0,
    (a+7)(a﹣2)>0.
    理解应用:
    a2+2a﹣15=(a+1)2﹣16,当a=1时,a2+2a﹣15=﹣12,当a>1时,a2+2a﹣15>﹣12.
    灵活运用:
    先对代数式作差,(a2+5a﹣19)﹣(a+2)=a2+4a﹣21=(a+2)2﹣25,
    当(a+2)2﹣25>0时,a<﹣7或a>3.因此,当a≥3时,a2+5a﹣19≥a+2;
    当2<a<3时,a2+5a﹣19<a+2.
    【点评】本题主要考查不等式的基本逻辑计算.在比较大小时,注意给定范围内进行不等式的相减运算.
    23.(2019秋•连山区期末)仔细阅读下面例题,解答问题:
    例题:已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是(x+3),求另一个因式以及m的值.
    解:设另一个因式为(x+n),得
    x2﹣4x+m=(x+3)(x+n)
    则x2﹣4x+m=x2+(n+3)x+3n
    ∴.
    解得:n=﹣7,m=﹣21
    ∴另一个因式为(x﹣7),m的值为﹣21
    问题:仿照以上方法解答下面问题:
    已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是(2x﹣5),求另一个因式以及k的值.
    【考点】因式分解的意义.菁优网版权所有
    【专题】阅读型.
    【分析】根据例题中的已知的两个式子的关系,两个中二次三项式x2﹣4x+m的二次项系数是1,因式是(x+3)的一次项系数也是1,利用待定系数法求出另一个因式.所求的式子2x2+3x﹣k的二次项系数是2,因式是(2x﹣5)的一次项系数是2,则另一个因式的一次项系数一定是1,利用待定系数法,就可以求出另一个因式.
    【解答】解:设另一个因式为(x+a),得(1分)
    2x2+3x﹣k=(2x﹣5)(x+a)(2分)
    则2x2+3x﹣k=2x2+(2a﹣5)x﹣5a(4分)
    ∴(6分)
    解得:a=4,k=20(8分)
    故另一个因式为(x+4),k的值为20(9分)
    【点评】正确读懂例题,理解如何利用待定系数法求解是解本题的关键.
    24.(2021春•莆田期末)如图,已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,且AC=BD,M、N分别是AB、CD的中点,MN分别交BD、AC于点E、F.你能说出OE与OF的大小关系并加以证明吗?

    【考点】三角形中位线定理.菁优网版权所有
    【专题】证明题;探究型.
    【分析】此题要构造三角形的中位线,根据三角形的中位线定理进行证明.
    【解答】解:相等.理由如下:
    取AD的中点G,连接MG,NG,
    ∵G、N分别为AD、CD的中点,
    ∴GN是△ACD的中位线,
    ∴GN=AC,
    同理可得,GM=BD,
    ∵AC=BD,
    ∴GN=GM=AC=BD.
    ∴∠GMN=∠GNM,
    又∵MG∥OE,NG∥OF,
    ∴∠OEF=∠GMN=∠GNM=∠OFE,
    ∴OE=OF.

    【点评】注意此题中的辅助线:构造三角形的中位线.运用三角形的中位线的数量关系和位置关系进行分析证明.
    25.(2020春•巩义市期末)如图,长方形OABC中,O为平面直角坐标系的原点,点A、C的坐标分别为A(3,0)、C(0,2),点B在第一象限.
    (1)写出点B的坐标;
    (2)若过点C的直线交长方形的OA边于点D,且把长方形OABC的周长分成2:3的两部分,求点D的坐标;
    (3)如果将(2)中的线段CD向下平移3个单位长度,得到对应线段C′D′,在平面直角坐标系中画出△CD′C′,并求出它的面积.

    【考点】坐标与图形性质;平移的性质.菁优网版权所有
    【分析】(1)通过作x轴和y轴的垂线来确定B点的坐标.
    (2)先算出长方形OABC的周长为10,故两部分的周长分别为4和6,又OA+OC<6,即OC+OD=4.便可解得D点坐标.
    (3)向下平移即横坐标不变,纵坐标减小3.
    【解答】解:(1)B点的坐标为(3,2);

    (2)长方形OABC的周长为10,
    点D在OA边上,把长方形OABC的周长分成2:3两部分,
    ∵OC+OA=5<6,∴只能OC+OD=4,
    又∵OC=2,
    ∴OD=4﹣2=2,
    故D点坐标为(2,0);

    (3)△CD′C′如图;
    CC′=3,D′的坐标为(2,﹣3).
    可得三角形CD′C′的面积为:.

    【点评】本题考查了点的坐标问题,平面图形的周长问题及线段的平移问题.

    考点卡片
    1.多项式乘多项式
    (1)多项式与多项式相乘的法则:
    多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项,再把所得的积相加.
    (2)运用法则时应注意以下两点:
    ①相乘时,按一定的顺序进行,必须做到不重不漏;②多项式与多项式相乘,仍得多项式,在合并同类项之前,积的项数应等于原多项式的项数之积.
    2.因式分解的意义
    1、分解因式的定义:
    把一个多项式化为几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解,也叫做分解因式.
    2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形,即互逆运算,二者是一个式子的不同表现形式.因式分解是两个或几个因式积的表现形式,整式乘法是多项式的表现形式.例如:

    3、因式分解是恒等变形,因此可以用整式乘法来检验.
    3.公因式
    1、定义:多项式ma+mb+mc中,各项都含有一个公共的因式m,因式m叫做这个多项式各项的公因式.
    2、确定多项式中各项的公因式,可概括为三“定”:
    ①定系数,即确定各项系数的最大公约数;
    ②定字母,即确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式);
    ③定指数,即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂.
    4.因式分解-提公因式法
    1、提公因式法:如果一个多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.
    2、具体方法:
    (1)当各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数;字母取各项的相同的字母,而且各字母的指数取次数最低的;取相同的多项式,多项式的次数取最低的.
     (2)如果多项式的第一项是负的,一般要提出“﹣”号,使括号内的第一项的系数成为正数.
    提出“﹣”号时,多项式的各项都要变号.
    3、口诀:找准公因式,一次要提净;全家都搬走,留1把家守;提负要变号,变形看奇偶.
    4、提公因式法基本步骤:
      (1)找出公因式;
      (2)提公因式并确定另一个因式:
      ①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母;
      ②第二步提公因式并确定另一个因式,注意要确定另一个因式,可用原多项式除以公因式,所得的商即是提公因式后剩下的一个因式,也可用公因式分别除去原多项式的每一项,求的剩下的另一个因式;
      ③提完公因式后,另一因式的项数与原多项式的项数相同.
    5.因式分解-分组分解法
    1、分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解,分组有两个目的,一是分组后能出现公因式,二是分组后能应用公式.
    2、对于常见的四项式,一般的分组分解有两种形式:①二二分法,②三一分法.
    例如:①ax+ay+bx+by
    =x(a+b)+y(a+b)
    =(a+b)(x+y)
    ②2xy﹣x2+1﹣y2
    =﹣(x2﹣2xy+y2)+1
    =1﹣(x﹣y)2
    =(1+x﹣y)(1﹣x+y)
    6.因式分解-十字相乘法等
    借助画十字交叉线分解系数,从而帮助我们把二次三项式分解因式的
    方法,通常叫做十字相乘法.
    ①x2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解.
    这类二次三项式的特点是:二次项的系数是1;常数项是两个数的积;
    可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解:
    x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)

    ②ax2+bx+c(a≠0)型的式子的因式分解
    这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1•a2,
    把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1•c2,并使a1c2+a2c1正好是一
    次项b,那么可以直接写成结果:ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).
    7.分式的定义
    (1)分式的概念:一般地,如果A,B表示两个整式,并且B中含有字母,那么式子叫做分式.
    (2)因为0不能做除数,所以分式的分母不能为0.
    (3)分式是两个整式相除的商,分子就是被除式,分母就是除式,而分数线可以理解为除号,还兼有括号的作用.
    (4)分式的分母必须含有字母,而分子可以含字母,也可以不含字母,亦即从形式上看是的形式,从本质上看分母必须含有字母,同时,分母不等于零,且只看初始状态,不要化简.
    (5)分式是一种表达形式,如x++2是分式,如果形式都不是的形式,那就不能算是分式了,如:(x+1)÷(x+2),它只表示一种除法运算,而不能称之为分式,但如果用负指数次幂表示的某些代数式如(a+b)﹣2,y﹣1,则为分式,因为y﹣1=仅是一种数学上的规定,而非一种运算形式.
    8.分式的值
    分式求值历来是各级考试中出现频率较高的题型,而条件分式求值是较难的一种题型,在解答时应从已知条件和所求问题的特点出发,通过适当的变形、转化,才能发现解题的捷径.
    9.不等式的定义
    (1)不等式的概念:用“>”或“<”号表示大小关系的式子,叫做不等式,用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式.
    (2)凡是用不等号连接的式子都叫做不等式.常用的不等号有“<”、“>”、“≤”、“≥”、“≠”.另外,不等式中可含未知数,也可不含未知数.
    10.不等式的性质
    (1)不等式的基本性质
    ①不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子,不等号的方向不变,即:
    若a>b,那么a±m>b±m;
    ②不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即:
    若a>b,且m>0,那么am>bm或>;
    ③不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,即:
    若a>b,且m<0,那么am<bm或<;
    (2)不等式的变形:①两边都加、减同一个数,具体体现为“移项”,此时不等号方向不变,但移项要变号;②两边都乘、除同一个数,要注意只有乘、除负数时,不等号方向才改变.
    【规律方法】
    1.应用不等式的性质应注意的问题:在不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数时,一定要改变不等号的方向;当不等式的两边要乘以(或除以)含有字母的数时,一定要对字母是否大于0进行分类讨论.
    2.不等式的传递性:若a>b,b>c,则a>c.
    11.不等式的解集
    (1)不等式的解的定义:
    使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.
    (2)不等式的解集:
    能使不等式成立的未知数的取值范围,叫做不等式的解的集合,简称解集.
    (3)解不等式的定义:
    求不等式的解集的过程叫做解不等式.
    (4)不等式的解和解集的区别和联系
    不等式的解是一些具体的值,有无数个,用符号表示;不等式的解集是一个范围,用不等号表示.不等式的每一个解都在它的解集的范围内.
    12.坐标与图形性质
    1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的,表现在两个方面:①到x轴的距离与纵坐标有关,到y轴的距离与横坐标有关;②距离都是非负数,而坐标可以是负数,在由距离求坐标时,需要加上恰当的符号.
    2、有图形中一些点的坐标求面积时,过已知点向坐标轴作垂线,然后求出相关的线段长,是解决这类问题的基本方法和规律.
    3、若坐标系内的四边形是非规则四边形,通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题.
    13.直角三角形全等的判定
    1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”).
    2、直角三角形首先是三角形,所以一般三角形全等的判定方法都适合它,同时,直角三角形又是特殊的三角形,有它的特殊性,作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法.所以直角三角形的判定方法最多,使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件.
    14.全等三角形的判定与性质
    (1)全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时,关键是选择恰当的判定条件.
    (2)在应用全等三角形的判定时,要注意三角形间的公共边和公共角,必要时添加适当辅助线构造三角形.
    15.角平分线的性质
    角平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
    注意:①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长;②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据,有时不必证明全等;③使用该结论的前提条件是图中有角平分线,有垂直角平分线的性质语言:如图,∵C在∠AOB的平分线上,CD⊥OA,CE⊥OB∴CD=CE

    16.等腰三角形的判定与性质
    1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角,判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段.
    2、在等腰三角形有关问题中,会遇到一些添加辅助线的问题,其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线,虽然“三线合一”,但添加辅助线时,有时作哪条线都可以,有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同,需要具体问题具体分析.
    3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决,但要注意纠正不顾条件,一概依赖全等三角形的思维定势,凡可以直接利用等腰三角形的问题,应当优先选择简便方法来解决.
    17.三角形中位线定理
    (1)三角形中位线定理:
    三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.
    (2)几何语言:
    如图,∵点D、E分别是AB、AC的中点
    ∴DE∥BC,DE=BC.

    18.生活中的平移现象
    1、平移的概念
    在平面内,把一个图形整体沿某一的方向移动,这种图形的平行移动,叫做平移变换,简称平移.
    2、平移是指图形的平行移动,平移时图形中所有点移动的方向一致,并且移动的距离相等.
    3、确定一个图形平移的方向和距离,只需确定其中一个点平移的方向和距离.
    19.平移的性质
    (1)平移的条件
    平移的方向、平移的距离
    (2)平移的性质
    ①把一个图形整体沿某一直线方向移动,会得到一个新的图形,新图形与原图形的形状和大小完全相同.  ②新图形中的每一点,都是由原图形中的某一点移动后得到的,这两个点是对应点.连接各组对应点的线段平行且相等.
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