2021年新初三数学北师大新版开学考模拟试卷3

这是一份2021年新初三数学北师大新版开学考模拟试卷3，共34页。
2021年新初三数学北师大新版开学考模拟试卷3
一．选择题（共10小题）
1．（2020秋•路北区期末）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4 B．ab+ac+d＝a（b+c）+d
C．x2﹣9＝（x﹣3）2 D．a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）
2．（2020秋•平阴县期末）如图所示，∠C＝∠D＝90°，添加下列条件①AC＝AD；②∠ABC＝∠ABD； ③∠BAC＝∠BAD； ④BC＝BD，能判定Rt△ABC与Rt△ABD全等的条件的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2020春•丹东期末）下列是不等式的是（　　）
A．x+y B．3x＞7 C．2x+3＝5 D．x3y2
4．（2021春•和平区校级月考）如图，一块形状为长方形ABCD的场地，长AB＝98米，宽AD＝46米，A、B两处入口E小路宽都为1米，两小路汇合处路口宽2米，其余部分种植草坪，那么草坪的面积为（　　）

A．4320平方米 B．4410平方米 C．4416平方米 D．4508平方米
5．（2021春•碑林区校级期中）在代数式，，﹣3x，，中，其中是分式的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2018秋•黄陂区期中）如图，△ABC中，AC＝DC＝3，BD垂直∠BAC的角平分线于D，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（　　）

A．1.5 B．3 C．4.5 D．9
7．（2018秋•槐荫区期末）如图，在等边三角形ABC中，在AC边上取两点M、N，使∠MBN＝30°．若AM＝m，MN＝x，CN＝n，则以x，m，n为边长的三角形的形状为（　　）

A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．随x，m，n的值而定
8．（2019秋•荔湾区期末）如图．已知⊙O的半径为3，OA＝8，点P为⊙O上一动点．以PA为边作等边△PAM，则线段OM的长的最大值为（　　）

A．14 B．9 C．12 D．11
9．（2020秋•南宫市校级期中）已知a，b，c是正整数，a＞b，且a2﹣ab﹣ac+bc＝11，则a﹣c等于（　　）
A．﹣1 B．﹣1或﹣11 C．1 D．1或11
10．（2014•德阳）已知方程﹣a＝，且关于x的不等式组只有4个整数解，那么b的取值范围是（　　）
A．﹣1＜b≤3 B．2＜b≤3 C．8≤b＜9 D．3≤b＜4
二．填空题（共5小题）
11．（2020春•港闸区期中）k的值大于﹣1且不大于3，则用不等式表示 k的取值范围是　 　．（使用形如a≤x≤b的类似式子填空．）
12．（2008秋•萧山区期末）如果关于x的不等式3x﹣a≤0只有3个正整数解，则a的取值范围　 　．
13．（2014春•大邑县校级期中）已知a，b，c是不为0的实数，且，那么的值是　 　．
14．（2020•北京一模）如图，正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，则∠ACD+∠BDC＝　 　°．

15．（2016春•武侯区期末）如图，把Rt△ABC绕顶点C顺时针旋转90°得到Rt△DFC，若直线DF垂直平分AB，垂足为点E，连接BF，CE，且BC＝2．下面四个结论：
①BF＝；
②∠CBF＝45°；
③∠CED＝30°；
④△ECD的面积为，
其中正确的结论有　 　．

三．解答题（共10小题）
16．（2020秋•金昌期末）因式分解
（1）﹣2a3+12a2﹣18a
（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）
17．（2019•让胡路区模拟）已知，求的值．
18．（2008秋•兴化市期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D为斜边BC上一点，且BD＝BA，过点D作BC的垂线交AC于点E．求证：点E在∠ABC的角平分线上．

19．（2018秋•苍溪县期中）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，△ABC的面积是28cm2，AB＝16cm，AC＝12cm，求DE的长．

20．（2020春•沈河区期末）如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB＝10，AC＝6，求DF的长．

21．（2018春•张店区期末）（1）①如果a﹣b＜0，那么a　 　b；②如果a﹣b＝0，那么a　 　b；
③如果a﹣b＞0，那么a　 　b；
（2）由（1）你能归纳出比较a与b大小的方法吗？请用文字语言叙述出来．
（3）用（1）的方法你能否比较3x2﹣3x+7与4x2﹣3x+7的大小？如果能，请写出比较过程．
22．（2017秋•新化县期末）如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．
（1）在方程①3x﹣1＝0，②x+1＝0，③x﹣（3x+1）＝﹣5中，不等式组的关联方程是　 　；（填序号）
（2）若不等式组的一个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是　 　；（写出一个即可）
（3）若方程3﹣x＝2x，3+x＝2（x+）都是关于x的不等式组的关联方程，直接写出m的取值范围．
23．（2020春•新邵县期末）请看下面的问题：把x4+4分解因式
分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢
19世纪的法国数学家苏菲•姬曼抓住了该式只有两项，而且属于平方和（x2）2+22的形式，要使用公式就必须添一项4x2，随即将此项4x2减去，即可得x4+4＝x4+4x2+4﹣4x2＝（x2+2）2﹣4x2＝（x2+2）2﹣（2x）2＝（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）
人们为了纪念苏菲•姬曼给出这一解法，就把它叫做“姬曼定理”，请你依照苏菲•姬曼的做法，将下列各式因式分解．
（1）x4+4y4；
（2）x2﹣2ax﹣b2﹣2ab．
24．（2021春•武昌区校级月考）如图1．将线段AB平移至CD，使A与D对应，B与C对应，连AD、BC．

（1）填空：AB与CD的关系为　 　，∠B与∠D的大小关系为　 　
（2）如图2，若∠B＝60°，F、E为BC的延长线上的点，∠EFD＝∠EDF，DG平分∠CDE交BE于G，求∠FDG．
（3）在（2）中，若∠B＝α，其它条件不变，则∠FDG＝　 　．
25．（2019春•柳江区期中）如图，长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，A点的坐标为（4，0），C点的坐标为（0，6），点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣A﹣B﹣C﹣O的路线移动（即：沿着长方形移动一周）．
（1）写出点B的坐标（　 　）．
（2）当点P移动了4秒时，描出此时P点的位置，并求出点P的坐标．
（3）在移动过程中，当点P到x轴距离为5个单位长度时，求点P移动的时间．


2021年新初三数学北师大新版开学考模拟试卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2020秋•路北区期末）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4 B．ab+ac+d＝a（b+c）+d
C．x2﹣9＝（x﹣3）2 D．a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）
【考点】因式分解的意义；因式分解﹣提公因式法．菁优网版权所有
【专题】整式；运算能力．
【分析】直接利用因式分解的定义分析得出答案．
【解答】解：A、（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4，从左到右的变形是整式的乘法运算，不是因式分解，故此选项错误；
B、ab+ac+d＝a（b+c）+d，从左到右的变形，不是因式分解，故此选项错误；
C、x2﹣9＝（x﹣3）（x+3），故此选项错误；
D、a2b﹣ab2＝ab（a﹣b），从左到右的变形，是因式分解，故此选项正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了因式分解，正确把握因式分解的定义是解题关键．
2．（2020秋•平阴县期末）如图所示，∠C＝∠D＝90°，添加下列条件①AC＝AD；②∠ABC＝∠ABD； ③∠BAC＝∠BAD； ④BC＝BD，能判定Rt△ABC与Rt△ABD全等的条件的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】直角三角形全等的判定．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；推理能力．
【分析】根据直角三角形的全等的条件进行判断，即可得出结论．
【解答】解：①当AC＝AD时，由∠C＝∠D＝90°，AC＝AD且AB＝AB，可得Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）；
②当∠ABC＝∠ABD时，由∠C＝∠D＝90°，∠ABC＝∠ABD且AB＝AB，可得Rt△ABC≌Rt△ABD（AAS）；
③当∠BAC＝∠BAD时，由∠C＝∠D＝90°，∠BAC＝∠BAD且AB＝AB，可得Rt△ABC≌Rt△ABD（AAS）；
④当BC＝BD时，由∠C＝∠D＝90°，BC＝BD且AB＝AB，可得Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）；
故选：D．
【点评】本题主要考查了直角三角形全等的判定，直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时直角三角形又是特殊的三角形，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．
3．（2020春•丹东期末）下列是不等式的是（　　）
A．x+y B．3x＞7 C．2x+3＝5 D．x3y2
【考点】不等式的定义．菁优网版权所有
【专题】一元一次不等式(组)及应用；符号意识．
【分析】根据不等式的定义，逐项判断即可．
【解答】解：A、x+y是代数式，不是不等式，故此选项不符合题意；
B、3x＞7是不等式，故此选项符合题意；
C、2x+3＝5是等式，故此选项不符合题意；
D、x3y2是代数式，不是不等式，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了不等式的定义．解题的关键是掌握不等式的定义．用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式．
4．（2021春•和平区校级月考）如图，一块形状为长方形ABCD的场地，长AB＝98米，宽AD＝46米，A、B两处入口E小路宽都为1米，两小路汇合处路口宽2米，其余部分种植草坪，那么草坪的面积为（　　）

A．4320平方米 B．4410平方米 C．4416平方米 D．4508平方米
【考点】生活中的平移现象．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；应用意识．
【分析】本题要看图解答．从图中可以看出剩余部分的草坪正好可以拼成一个长方形，然后根据题意求出长和宽，最后可求出面积．
【解答】解：由图可知：矩形ABCD中去掉小路后，草坪正好可以拼成一个新的矩形，
且它的长为：98﹣2＝96，宽为46﹣1＝45，
所以草坪的面积是：长×宽＝96×45＝4320（米2）．
故选：A．
【点评】此题考查了平移的性质，矩形的性质及空间想象能力，有一定的思维容量，得出草坪正好可以拼成一个长方形是解题关键．
5．（2021春•碑林区校级期中）在代数式，，﹣3x，，中，其中是分式的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】分式的定义．菁优网版权所有
【专题】分式；运算能力．
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【解答】解：，是分式，共2个，
故选：B．
【点评】本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以不是分式，是整式．
6．（2018秋•黄陂区期中）如图，△ABC中，AC＝DC＝3，BD垂直∠BAC的角平分线于D，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（　　）

A．1.5 B．3 C．4.5 D．9
【考点】等腰三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形．
【分析】首先证明两个阴影部分面积之差＝S△ADC，当CD⊥AC时，△ACD的面积最大．
【解答】解：延长BD交AC于点H．设AD交BE于点O．

∵AD⊥BH，
∴∠ADB＝∠ADH＝90°，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠H+∠HAD＝90°，
∵∠BAD＝∠HAD，
∴∠ABD＝∠H，
∴AB＝AH，∵AD⊥BH，
∴BD＝DH，
∵DC＝CA，
∴∠CDA＝∠CAD，
∵∠CAD+∠H＝90°，∠CDA+∠CDH＝90°，
∴∠CDH＝∠H，
∴CD＝CH＝AC，
∵AE＝EC，
∴S△ABE＝S△ABH，S△CDH＝S△ABH，
∵S△OBD﹣S△AOE＝S△ADB﹣S△ABE＝S△ADH﹣S△CDH＝S△ACD，
∵AC＝CD＝3，
∴当DC⊥AC时，△ACD的面积最大，最大面积为×3×3＝．
故选：C．
【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形中线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．
7．（2018秋•槐荫区期末）如图，在等边三角形ABC中，在AC边上取两点M、N，使∠MBN＝30°．若AM＝m，MN＝x，CN＝n，则以x，m，n为边长的三角形的形状为（　　）

A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．随x，m，n的值而定
【考点】等边三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】三角形；几何直观；推理能力．
【分析】将△ABM绕点B顺时针旋转60°得到△CBH．连接HN．想办法证明∠HCN＝120°HN＝MN＝x即可解决问题；
【解答】解：将△ABM绕点B顺时针旋转60°得到△CBH．连接HN．

∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，
∵∠MBN＝30°，
∴∠ABM+∠CBN＝30°，
∴∠NBH＝∠CBH+∠CBN＝30°，
∴∠NBM＝∠NBH，
∵BM＝BH，BN＝BN，
∴△NBM≌△NBH，
∴MN＝NH＝x，
∵∠BCH＝∠A＝60°，CH＝AM＝n，
∴∠NCH＝120°，
∴x，m，n为边长的三角形△NCH是钝角三角形，
故选：C．
【点评】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
8．（2019秋•荔湾区期末）如图．已知⊙O的半径为3，OA＝8，点P为⊙O上一动点．以PA为边作等边△PAM，则线段OM的长的最大值为（　　）

A．14 B．9 C．12 D．11
【考点】三角形三边关系；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；旋转的性质．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质．
【分析】如图，以OP为边向下作等边△POH，连接AH．由△HPA≌△OPM（SAS），推出AH＝OM，由AH≤OH+AO，即AH≤11即可解决问题；
【解答】解：如图，以OP为边向下作等边△POH，连接AH．

∵△POH，△APM都是等边三角形，
∴PH＝PO，PA＝PM，∠HPO＝∠APM＝60°，
∴∠HPA＝∠OPM，
∴△HPA≌△OPM（SAS），
∴AH＝OM，
∵AH≤OH+AO，即AH≤11，
∴AH的最大值为11，
∴OM的最大值为11，
故选：D．
【点评】本题考查旋转变换，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
9．（2020秋•南宫市校级期中）已知a，b，c是正整数，a＞b，且a2﹣ab﹣ac+bc＝11，则a﹣c等于（　　）
A．﹣1 B．﹣1或﹣11 C．1 D．1或11
【考点】因式分解的应用．菁优网版权所有
【专题】计算题；探究型；应用意识．
【分析】根据因式分解的分组分解法即可求解．
【解答】解：a2﹣ab﹣ac+bc＝11
（a2﹣ab）﹣（ac﹣bc）＝11
a（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝11
（a﹣b）（a﹣c）＝11
∵a＞b，
∴a﹣b＞0，a，b，c是正整数，
∴a﹣b＝1或11，a﹣c＝11或1．
故选：D．
【点评】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是掌握分组分解法分解因式．
10．（2014•德阳）已知方程﹣a＝，且关于x的不等式组只有4个整数解，那么b的取值范围是（　　）
A．﹣1＜b≤3 B．2＜b≤3 C．8≤b＜9 D．3≤b＜4
【考点】分式方程的解；一元一次不等式组的整数解．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到a的值，经检验确定出分式方程的解，根据已知不等式组只有4个正整数解，即可确定出b的范围．
【解答】解：分式方程去分母得：3﹣a﹣a2+4a＝﹣1，即（a﹣4）（a+1）＝0，
解得：a＝4或a＝﹣1，
经检验a＝4是增根，故分式方程的解为a＝﹣1，
已知不等式组解得：﹣1＜x≤b，
∵不等式组只有4个整数解，
∴3≤b＜4．
故选：D．
【点评】此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，弄清题意是解本题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．（2020春•港闸区期中）k的值大于﹣1且不大于3，则用不等式表示 k的取值范围是　﹣1＜k≤3　．（使用形如a≤x≤b的类似式子填空．）
【考点】不等式的定义．菁优网版权所有
【分析】根据不大于意思是小于或等于以及大于的意思列出不等式即可．
【解答】解：根据题意，得﹣1＜k≤3．
故填﹣1＜k≤3．
【点评】此题考查了不等式的定义，解题时要读懂题意，抓住关键词语，弄清不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．
12．（2008秋•萧山区期末）如果关于x的不等式3x﹣a≤0只有3个正整数解，则a的取值范围　9≤a＜12　．
【考点】一元一次不等式的整数解．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的正整数即可．
【解答】解：3x﹣a≤0的解集为x≤；
其正整数解为1，2，3，
则3≤＜4，
所以a的取值范围9≤a＜12．
【点评】本题考查不等式的解法及整数解的确定．解不等式要用到不等式的性质：
（1）不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
（3）不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
13．（2014春•大邑县校级期中）已知a，b，c是不为0的实数，且，那么的值是　　．
【考点】分式的基本性质．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】将已知条件进行变换，然后将分式代简，即可得出结果．
【解答】解：∵＝，
∴＝3，即+＝3①；
同理可得+＝4②，
+＝5③；
∴①+②+③得：2（++）＝3+4+5；++＝6；
又∵的倒数为，即为++＝6，则原数为．
故答案为．
【点评】本题先把已知式子转化为倒数计算，可使计算简便．
14．（2020•北京一模）如图，正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，则∠ACD+∠BDC＝　90　°．

【考点】直角三角形全等的判定．菁优网版权所有
【专题】三角形；图形的全等；推理能力．
【分析】易证得Rt△AEC≌Rt△DAB，即可证得∠ACE＝∠ABD，进而证得∠EAC+∠ABD＝90°，得到∠AFB＝90°，即∠CFD＝90°，即可证得∠ACD+∠BDC＝90°．
【解答】解：在Rt△AEC和Rt△DAB中

∴Rt△AEC≌Rt△DAB（HL），
∴∠ACE＝∠ABD，
∵∠EAC+∠ACE＝90°，
∴∠EAC+∠ABD＝90°，
∴∠AFB＝90°，即∠CFD＝90°，
∴∠ACD+∠BDC＝90°，
故答案为90．

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证得∠AFB＝90°是解题的关键．
15．（2016春•武侯区期末）如图，把Rt△ABC绕顶点C顺时针旋转90°得到Rt△DFC，若直线DF垂直平分AB，垂足为点E，连接BF，CE，且BC＝2．下面四个结论：
①BF＝；
②∠CBF＝45°；
③∠CED＝30°；
④△ECD的面积为，
其中正确的结论有　①②④　．

【考点】线段垂直平分线的性质；旋转的性质．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】利用旋转的性质得CF＝CB＝2，∠BCF＝90°，则可得△CBF为等腰直角三角形，于是可对①②进行判断；由于直线DF垂直平分AB，则FA＝FB，BE＝AE，于是根据等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算出∠ECA＝∠A＝22.5°，然后根据三角形内角和可计算出∠CEF，从而可对③进行判断；作EH⊥BD于H，如图，根据三角形中位线性质得EH＝AC＝+1，利用旋转性质得CD＝CA＝2+2，则利用三角形面积公式可计算出△ECD的面积，从而可对④进行判断．
【解答】解：∵把Rt△ABC绕顶点C顺时针旋转90°得到Rt△DFC，
∴CF＝CB＝2，∠BCF＝90°，
∴△CBF为等腰直角三角形，
∴BF＝BC＝2，∠CBF＝45°，所以①②正确；
∵直线DF垂直平分AB，
∴FA＝FB，BE＝AE，
∴∠A＝∠ABF，
而∠BFC＝∠A+∠ABF＝45°，
∴∠A＝22.5°，
∵CE为斜边AB上的中线，
∴EC＝EA，
∴∠ECA＝∠A＝22.5°，
∴∠CEF＝180°﹣90°﹣2×22.5°＝45°，所以③错误；
作EH⊥BD于H，如图，
∵把Rt△ABC绕顶点C顺时针旋转90°得到Rt△DFC，
∴CD＝CA＝2+2，
∵点E为AB的中点，
∴EH＝AC＝+1，
∴△ECD的面积＝•（+1）•（2+2）＝2+3，所以④正确．
故答案为①②④．

【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．求出点E到CD的距离是判断④的关键．
三．解答题（共10小题）
16．（2020秋•金昌期末）因式分解
（1）﹣2a3+12a2﹣18a
（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有
【专题】计算题；因式分解．
【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；
（2）原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣2a（a2﹣6a+9）＝﹣2a（a﹣3）2；
（2）原式＝（x﹣y）（9a2﹣4b2）＝（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
17．（2019•让胡路区模拟）已知，求的值．
【考点】分式的值．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】我们可将前面式子变式为x2+1＝3x，再将后面式子的分母变式为的形式从而求出值．
【解答】解：将两边同时乘以x，得x2+1＝3x，
＝＝＝．
【点评】本题考查的是分式的值，解题关键是用到了整体代入的思想．
18．（2008秋•兴化市期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D为斜边BC上一点，且BD＝BA，过点D作BC的垂线交AC于点E．求证：点E在∠ABC的角平分线上．

【考点】直角三角形全等的判定．菁优网版权所有
【专题】证明题．
【分析】可通过证明Rt△ABE≌Rt△DBE从而得到结论．
【解答】证明：连接BE，
∵ED⊥BC，
∴∠BDE＝∠A＝90°．
在Rt△ABE和Rt△DBE中
∵，
∴Rt△ABE≌Rt△DBE（HL）．
∴∠ABE＝∠DBE．
∴点E在∠ABC的角平分线上．

【点评】此题主要考查了直角三角形的判定、性质和角平分线的性质解题，做题时，要根据情况作辅助线是必须的，也是解决本题的关键．
19．（2018秋•苍溪县期中）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，△ABC的面积是28cm2，AB＝16cm，AC＝12cm，求DE的长．

【考点】角平分线的性质．菁优网版权所有
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝DF，再根据S△ABC＝S△ABD+S△ACD列方程计算即可得解．
【解答】解：∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD＝AB×DE+AC×DF，
∴S△ABC＝（AB+AC）×DE，
即×（16+12）×DE＝28，
解得DE＝2（cm）．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并列出方程是解题的关键．
20．（2020春•沈河区期末）如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB＝10，AC＝6，求DF的长．

【考点】等腰三角形的判定与性质；三角形中位线定理．菁优网版权所有
【专题】推理填空题．
【分析】延长CF交AB于点G，判断出AF垂直平分CG，得到AC＝AG，根据三角形中位线定理解答．
【解答】解：延长CF交AB于点G，
∵AE平分∠BAC，
∴∠GAF＝∠CAF，
∴AF垂直平分CG，
∴AC＝AG，
GF＝CF，
又∵点D是BC中点，
∴DF是△CBG的中位线，
∴DF＝BG＝（AB﹣AG）＝（AB﹣AC）＝2．

【点评】本题关键是通过题目角平分线和垂线合一启发构造等腰三角形，从而构造出DF为△BCG的中位线，利用中位线定理解决问题．
21．（2018春•张店区期末）（1）①如果a﹣b＜0，那么a　＜　b；②如果a﹣b＝0，那么a　＝　b；
③如果a﹣b＞0，那么a　＞　b；
（2）由（1）你能归纳出比较a与b大小的方法吗？请用文字语言叙述出来．
（3）用（1）的方法你能否比较3x2﹣3x+7与4x2﹣3x+7的大小？如果能，请写出比较过程．
【考点】不等式的性质．菁优网版权所有
【分析】根据不等式的基本性质（1）即可解答．
【解答】解：（1）①＜②＝③＞
（2）比较a，b两数的大小，如果a与b的差大于0，则a大于b；a与b的差等于0，则a等于b；如果a与b的差小于0，则a小于b．
（3）（3x2﹣3x+7）﹣（4x2﹣3x+7）＝﹣x2≤0，∴3x2﹣3x+7≤4x2﹣3x+7．
【点评】解答此题的关键是熟知不等式的基本性质：
基本性质1：不等式两边同时加或减去同一个数或式子，不等号方向不变．
22．（2017秋•新化县期末）如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．
（1）在方程①3x﹣1＝0，②x+1＝0，③x﹣（3x+1）＝﹣5中，不等式组的关联方程是　③　；（填序号）
（2）若不等式组的一个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是　x﹣1＝0（答案不唯一）　；（写出一个即可）
（3）若方程3﹣x＝2x，3+x＝2（x+）都是关于x的不等式组的关联方程，直接写出m的取值范围．
【考点】一元一次方程的解；不等式的解集．菁优网版权所有
【分析】（1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可；
（2）先求出不等式组的解集，求出不等式组的整数解，再写出方程即可；
（3）先求出方程的解和不等式组的解集，即可得出答案．
【解答】解：（1）解方程3x﹣1＝0得：x＝，
解方程x+1＝0得：x＝﹣，
解方程x﹣（3x+1）＝﹣5得：x＝2，
解不等式组得：＜x＜，
所以不等式组的关联方程是③，
故答案为：③；

（2）解不等式组得：＜x＜，
这个关联方程可以是x﹣1＝0，
故答案为：x﹣1＝0（答案不唯一）；

（3）解方程3﹣x＝2x得：x＝1，
解方程3+x＝2（x+）得：x＝2，
解不等式组得：m＜x≤2+m，
∵方程3﹣x＝2x，3+x＝2（x+）都是关于x的不等式组的关联方程，
∴0≤m＜1，
即m的取值范围是0≤m＜1．
【点评】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解，解一元一次不等式组等知识点，能理解关联方程的定义是解此题的关键．
23．（2020春•新邵县期末）请看下面的问题：把x4+4分解因式
分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢
19世纪的法国数学家苏菲•姬曼抓住了该式只有两项，而且属于平方和（x2）2+22的形式，要使用公式就必须添一项4x2，随即将此项4x2减去，即可得x4+4＝x4+4x2+4﹣4x2＝（x2+2）2﹣4x2＝（x2+2）2﹣（2x）2＝（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）
人们为了纪念苏菲•姬曼给出这一解法，就把它叫做“姬曼定理”，请你依照苏菲•姬曼的做法，将下列各式因式分解．
（1）x4+4y4；
（2）x2﹣2ax﹣b2﹣2ab．
【考点】因式分解﹣运用公式法．菁优网版权所有
【专题】阅读型．
【分析】这是要运用添项法因式分解，首先要看明白例题才可以尝试做以下题目．
【解答】解：（1）x4+4y4＝x4+4x2y2+4y2﹣4x2y2，
＝（x2+2y2）2﹣4x2y2，
＝（x2+2y2+2xy）（x2+2y2﹣2xy）；

（2）x2﹣2ax﹣b2﹣2ab，
＝x2﹣2ax+a2﹣a2﹣b2﹣2ab，
＝（x﹣a）2﹣（a+b）2，
＝（x﹣a+a+b）（x﹣a﹣a﹣b），
＝（x+b）（x﹣2a﹣b）．
【点评】本题考查了添项法因式分解，难度比较大．
24．（2021春•武昌区校级月考）如图1．将线段AB平移至CD，使A与D对应，B与C对应，连AD、BC．

（1）填空：AB与CD的关系为　AB∥CD，且AB＝CD　，∠B与∠D的大小关系为　相等　
（2）如图2，若∠B＝60°，F、E为BC的延长线上的点，∠EFD＝∠EDF，DG平分∠CDE交BE于G，求∠FDG．
（3）在（2）中，若∠B＝α，其它条件不变，则∠FDG＝　　．
【考点】平移的性质．菁优网版权所有
【分析】（1）根据平移的性质解答；
（2）根据两直线平行，同位角相等可得∠DCE＝∠B，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠CDG、∠EDG，然后根据DG平分∠CDE列出方程求解即可得到∠FDG＝∠B，再代入数据计算即可得解；
（3）根据（2）的思路解答．
【解答】解：（1）AB∥CD，且AB＝CD，∠B与∠D相等；

（2）∵AB∥CD，
∴∠DCE＝∠B，
由三角形的外角性质得，∠CDF＝∠DFE﹣∠DCE，
∴∠CDG＝∠CDF+∠FDG＝∠DFE﹣∠DCE+∠FDG，
在△DEF中，∠DEF＝180°﹣2∠DFE，
在△DFG中，∠DGF＝180°﹣∠FDG﹣∠DFE，
∴∠EDG＝∠DGF﹣∠DEF＝180°﹣∠FDG﹣∠DFE﹣（180°﹣2∠DFE）＝2∠DFE﹣∠FDG﹣∠DFE，
∵DG平分∠CDE，
∴∠CDG＝∠EDG，
∴∠DFE﹣∠DCE+∠FDG＝2∠DFE﹣∠FDG﹣∠DFE，
∴∠FDG＝∠DCE，
即∠FDG＝∠B，
∵∠B＝60°，
∴∠FDG＝×60°＝30°；

（3）思路同（2），
∵∠B＝α，
∴∠FDG＝．
故答案为：（1）AB∥CD，且AB＝CD，相等；（3）．
【点评】本题考查了平移的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，难点在于（2）表示出∠CDG和∠EDG并根据角平分线的定义列出方程求出∠FDG＝∠B．
25．（2019春•柳江区期中）如图，长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，A点的坐标为（4，0），C点的坐标为（0，6），点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣A﹣B﹣C﹣O的路线移动（即：沿着长方形移动一周）．
（1）写出点B的坐标（　4，6　）．
（2）当点P移动了4秒时，描出此时P点的位置，并求出点P的坐标．
（3）在移动过程中，当点P到x轴距离为5个单位长度时，求点P移动的时间．

【考点】坐标与图形变化﹣平移．菁优网版权所有
【分析】（1）根据长方形的性质，易得P得坐标；
（2）根据题意，P的运动速度与移动的时间，可得P运动了8个单位，进而结合长方形的长与宽可得答案；
（3）根据题意，当点P到x轴距离为5个单位长度时，有P在AB与OC上两种情况，分别求解可得答案．
【解答】解：（1）根据长方形的性质，可得AB与y轴平行，BC与x轴平行；
故B的坐标为（4，6）；
故答案为：（4，6）；

（2）根据题意，P的运动速度为每秒2个单位长度，
当点P移动了4秒时，则其运动了8个长度单位，
此时P的坐标为（4，4），位于AB上；

（3）根据题意，点P到x轴距离为5个单位长度时，有两种情况：
P在AB上时，P运动了4+5＝9个长度单位，此时P运动了4.5秒；
P在OC上时，P运动了4+6+4+1＝15个长度单位，此时P运动了＝7.5秒．
【点评】根据题意，注意P的运动方向与速度，分析各段的时间即可．

考点卡片
1．因式分解的意义
1、分解因式的定义：
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如：

3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验．
2．因式分解-提公因式法
1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
2、具体方法：
（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．
　（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数．
提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号．
3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．
4、提公因式法基本步骤：
　　（1）找出公因式；
　　（2）提公因式并确定另一个因式：
　　①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；
　　②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；
　　③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同．
3．因式分解-运用公式法
1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．
　　平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
　　完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；
　2、概括整合：
①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．
②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．
3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止．
4．提公因式法与公式法的综合运用
提公因式法与公式法的综合运用．
5．因式分解的应用
1、利用因式分解解决求值问题．
2、利用因式分解解决证明问题．
3、利用因式分解简化计算问题．
【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用
1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．
2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．
6．分式的定义
（1）分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．
（2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0．
（3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用．
（4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简．
（5）分式是一种表达形式，如x++2是分式，如果形式都不是的形式，那就不能算是分式了，如：（x+1）÷（x+2），它只表示一种除法运算，而不能称之为分式，但如果用负指数次幂表示的某些代数式如（a+b）﹣2，y﹣1，则为分式，因为y﹣1＝仅是一种数学上的规定，而非一种运算形式．
7．分式的值
分式求值历来是各级考试中出现频率较高的题型，而条件分式求值是较难的一种题型，在解答时应从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径．
8．分式的基本性质
（1）分式的基本性质：
分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
（2）分式中的符号法则：
分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变．
【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题
1．分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母中的系数化为整数．
2．解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号．
3．处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的．
9．一元一次方程的解
定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．
10．分式方程的解
求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．
注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
11．不等式的定义
（1）不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式．
（2）凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数．
12．不等式的性质
（1）不等式的基本性质
①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：
若a＞b，那么a±m＞b±m；
②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：
若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或＞；
③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：
若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或＜；
（2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．
【规律方法】
1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．
2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c．
13．不等式的解集
（1）不等式的解的定义：
使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解．
（2）不等式的解集：
能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集．
（3）解不等式的定义：
求不等式的解集的过程叫做解不等式．
（4）不等式的解和解集的区别和联系
不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示．不等式的每一个解都在它的解集的范围内．
14．一元一次不等式的整数解
解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题．
15．一元一次不等式组的整数解
（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
（2）已知解集（整数解）求字母的取值．
一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．
16．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
17．直角三角形全等的判定
1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．
18．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
19．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE

20．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
21．等腰三角形的判定与性质
1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
22．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
23．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DE＝BC．

24．生活中的平移现象
1、平移的概念
在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移．
2、平移是指图形的平行移动，平移时图形中所有点移动的方向一致，并且移动的距离相等．
3、确定一个图形平移的方向和距离，只需确定其中一个点平移的方向和距离．
25．平移的性质
（1）平移的条件
平移的方向、平移的距离
（2）平移的性质
①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．　　②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．
26．坐标与图形变化-平移
（1）平移变换与坐标变化
①向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y）
①向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y）
①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b）
①向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b）
（2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）
27．旋转的性质
（1）旋转的性质：
　　　　①对应点到旋转中心的距离相等．　　　　②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．　　　　③旋转前、后的图形全等．　　（2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　　　注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
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