2021学年第23章 图形的相似23.3 相似三角形3. 相似三角形的性质课堂检测

这是一份2021学年第23章 图形的相似23.3 相似三角形3. 相似三角形的性质课堂检测，共10页。试卷主要包含了单选题，填空题，综合题等内容，欢迎下载使用。

1.下列命题是真命题的是（ ）
A. 如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的周长比为2:3；
B. 如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的周长比为4:9；
C. 如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的面积比为2:3；
D. 如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的面积比为4:9.
2.已知△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应中线，若AD＝10，A'D'＝6，则△ABC与△A'B'C'的周长比是（ ）
A. 3：5 B. 9：25 C. 5：3 D. 25：9
3.如图，在 ABCD中，点E在对角线BD上，EM∥AD，交AB于点M，EN∥AB，交AD于点N，则下列式子一定正确的是( ）．
A. B. C. D.
4.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，DE∥BC，若AD＝2，AB＝3，DE＝4，则BC等于（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
5.如图,在一斜边长30cm的直角三角形木板(即Rt△ACB)中截取一个正方形CDEF, 点D在边BC上,点E在斜边AB上,点F在边AC上,若AF:AC=1:3,则这块木板截取正方形CDEF后,剩余部分的面积为（ ）
A. 200cm2 B. 170cm2 C. 150cm2 D. 100 cm2
6.如图，在 中， ， ， 为 边上的一点，且 ．若 的面积为 ，则 的面积为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
7.三个形状大小相同的菱形按如图所示方式摆放，已知∠AOB＝∠AOE＝90°，菱形的较短对角线长为2cm．若点C落在AH的延长线上，则△ABE的周长为________cm．
三、综合题
8.小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．
请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．
（1）温故：如图1，在△ 中， ⊥ 于点 ，正方形 的边 在 上，顶点 ， 分别在 ， 上，若 BC=a，AD=h，求正方形 的边长(a,h表示)．
（2）操作：如何能画出这个正方形PQMN呢?
如图2，小波画出了图1的△ABC，然后按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作，先在AB上任取一点 ，画正方形 ，使 ， 在 边上， 在△ 内，然后连结 并延长交 于点N，画 ⊥ 于点 ， ⊥ 交 于点 ， ⊥ 于点 ，得到四边形P ．
推理：证明图2中的四边形 是正方形．
（3）拓展：小波把图2中的线段BN称为“波利亚线”，在该线截取 ，连结 ， (如图3)．当∠ =90°时，求“波利亚线”BN的长（用a、h表示）．
9.如图①,在正方形ABCD中,AB=6,M为对角线BD上任意一点(不与B、D重合),连接CM,过点M作MN⊥CM,交线段AB于点N

（1）求证:MN=MC:
（2）若DM:DB=2:5,求证:AN=4BN2
（3）如图②,连接MC交BD于点G.若BG:MG=3:5,求NG·CG的值
10.综合与实践
折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识．
折一折：把边长为4的正方形纸片ABCD对折，使边AB与CD重合，展开后得到折痕EF，如图①；点M为CF上一点，将正方形纸片ABCD沿直线DM折叠，使点C落在EF上的点N处，展开后连接DN，MN，AN，如图②．

（1）(一)填一填，做一做：
图②中，∠CMD=________ °；线段NF=________ ；
（2）图②中，试判断△AND的形状，并给出证明．
剪一剪、折一折：将图②中的△AND剪下来，将其沿直线GH折叠，使点A落在点A’处，分别得到图③、图④．

（3）(二)填一填：
图③中阴影部分的周长为________；
（4）图③中，若∠A'GN=80°，则∠A'HD=________°；
（5）图③中的相似三角形(包括全等三角形)共有________ 对；
（6）如图④点A'落在边ND上，若 ，则 = ________(用含m，n的代数式表示)．
答案解析部分
一、单选题
1. B
【解析】【解答】解： A：如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的周长比为4:9，故此答案错误，不符合题意；
B：如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的周长比为4:9， 故此答案正确，符合题意；
C：如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的面积比为16:81， 故此答案错误，不符合题意；
D：如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的面积比,14:81. 故此答案错误，不符合题意。
故答案为：B。
【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，即可一一判断得出答案。
2. C
分析：解：∵△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应中线，AD＝10，A'D'＝6，
∴△ABC与△A'B'C'的周长比＝AD：A′D′＝10：6＝5：3.
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的周长之比、对应中线的比都等于相似比即可得出答案。
3. D
分析：解：∵ EM∥AD ， EN∥AB
∴△DNE∽△DAB∽△EMB
∴
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD=BC
∴
故答案为：D
【分析】利用已知条件易证△DNE∽△DAB∽△EMB，利用相似三角形的性质，可证得， 再根据平行四边形的性质，可证得一定正确的结论。
4. B
分析：解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ＝ ，
即 ＝ ，
解得：BC＝6。
故答案为：B。
【分析】根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形原三角形相似得出△ADE∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例得出 ＝ ，根据比例式即可算出BC的长。
5. D
分析：解：设AF=k,则AC=3k,FC=2k, EF∥BC，则∠AEF=∠EBD，∴Rt△AEF∽Rt△EBD，AF:EF=ED:BD，
k:2k=2k:BD,∴BD=4k, BC=6k,由勾股定理得：AB2=AC2+BC2 ,AB2=15k2=300, ∴k2=20cm2, 所以S△ABC-S正方形CDEF=S△AEF+S△BDE=（4k×2k+2k×k）÷2=5k2=100cm2
故答案为：D

【分析】设AF=k, 根据三角形相似，把各边用k表示，统一量，在△ABC中利用勾股定理列式求出k2的值，把剩余部分的面积用k来表示，最后代入k2的值即可。
6. C
分析：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得， 的面积为 ，
∴ 的面积为： ，
故答案为：C．

【分析】根据两角分别相等可证△ACD∽△BCA，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方可得S△BCA=4S△ACD=4a，从而求出△ABD的面积.
二、填空题
7. 12+8
分析：解：连接AC交BD于K，
根据菱形的性质OA和HG互相垂直平分，又∵∠AOB=90°得HG∥KO，又OG∥KH，∴则四边形HKOG为平行四边形，则OK=HG=2。∠CDB+∠HDB=∠ADH+∠HDB=90°。又OH=OC，则△HOC为等腰直角△，∠CHO=45°，∵HG=KO=2，∠BOC=∠CAO，∠OCK=∠ACK，∴△OCK=△ACK， ，则BE=2OA= ，AB= ，则△ABE周长为BE+2AB= 。
在故答案为： 。
【分析】利用四边形HKOG是平行四边形得KO=2，由△COH是等腰直角三角形，得各边之比确定，本题关键是抓住A、H、C三点共线，找三角形相似，利用相似比可求OA的长，OA求出，∵△ABE是等腰直角三角形，则其他各边可求，得其周长。
三、综合题
8. （1）解：由正方形PQMN得PN∥BC，
∴△APN∽△ABC.
∴ ,即.
解得PN=
（2）证明：推理：由画法可得∠QMN=∠PNM=∠PQM=∠Q'M'N'=90°,
∴四边形PQMN为矩形，MN∥M'N'.
∴△BN'M'∽△BNM.
∴
同理可得
∴
:M'N'=P'N'，∴MN=PN
∴四边形PQMN为正方形。
（3）解：过N作NR⊥EM于点R，

∵NE=NM，
∴∠NEM=∠NME，
∴ER=RM= EM，
又∵∠EQM+∠EMQ=∠EMQ+∠EMN=90°，
∴∠EQM=∠EMN，
又∠QEM=∠NRM=90°，NM=QM，
∴△EQM≌△RMN(AAS)
∴EQ=RM,
∴EQ= EM,
∵∠QEM=90°，
∴∠BEQ+∠NEM=90°，
∴BEQ=∠EMB，
又∵∠EBM=∠QBE,
∴△BEQ∽△BME，
∴ ，
设BQ=x，则BE=2x，BM=4x，
∴QM=BM-BQ=3x=MN=NE，
∴BN=BE+NE=5x，
∴BN= NM=
【解析】【分析】（1）温故：利用正方形的性质易证PN∥BC，就可证得△PAN∽△ABC，再利用相似三角形的性质，得出对应边成比例，建立关于PN的方程，解方程求出PN的长。
（2）推理：根据画法易证四边形PQMN是矩形，可得到MN∥M'N'，易证△BMN和△BM'N'，再利用相似三角形的性质，得出对应边成比例，同理可证△P'BN'∽△PBN，得出对应边成比例，利用中间比及M'N'=P'N'，可证MN=PN，然后利用一组邻边相等的矩形是正方形，可证得结论。
（3） 拓展： 过N作NR⊥EM于点R， 根据已知条件去证明 △EQM≌△RMN，利用全等三角形的性质，可证得 EQ=RM，即可得到 EQ= EM ，再证明 △BEQ∽△BME，利用相似三角形的性质，得出对应边成比例，设BQ=x，用含x的代数式分别表示出BE、BM、QM、BN， 然后根据 BN= NM，就可求出“波利亚线”BN的长、
9. （1）解：如图,过M分别作ME∥AB交BC于点E,MF∥BC交AB于点F,

则四边形BEMF是平行四边形
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ABC=90°,∠ABD=∠CBD=∠BME=45°
∴ME= BE
∴平行四边形MEBF是正方形．
∴ME=MF
∵CM⊥MN,
∴∠CMN=90°
∵∠FME=90°
∴．∠CME=∠FMN
∴△MFN≌△MEC,
∴MN=MC
（2）证明:由(1)得:FM∥AD,EM∥CD
.
AF=24.CE=24.
△MFN≌△MEC
∴FN=EC=2.4
N=4.8,BN=6-4.8=1.2
AN=4BN
（3）解：把△DMC绕点C逆时针旋转90°得到△BHC,连接GH

∵△DMC≌△BHC,∠BCD=90°,
∴MC=HC,DM=BH,∠CDM=∠CBH,∠DCM=∠BCH=45°
∴∠MBH=90°,∠MCH=90°
MC=MN,MC⊥MN
∴△MNC是等腰直角三角形
∠MNC=45°
∴∠NCH=45°
∴△MCG≌△HCG
∴MG=HG
∵BG:MG=3:5,
∴设BG=3a,则MG=GH=5a
在Rt△BGH中,BH= =4a,则MD=4a
∵正方形ABCD的边长为6,
.BD=6
∴DM+MG+BG=12a=6
∴a=
∴BG= ,MG=
∵∠MGC=∠NGB,∠MNG=∠GBC=45°
∴△MGC∽△MGB.
∴
∴CG·NG=BG·MG≈
【解析】【分析】（1）如图,过M分别作ME∥AB交BC于点E,MF∥BC交AB于点F,先证四边形MEBF是正方形，可得ME=MF，根据同角的余角相等可得∠CME=∠FMN，根据“ASA”可证△MFN≌△MEC,利用全等三角形的对应边相等可得MN=MC.
（2）根据平行线分线段成比例定理可得， 据此可得AF=24.CE=24，利用全等三角形对应边相等可得FN=EC=2.4，从而求出AN=4.8,BN=6-4.8=1.2，据此得出结论.
（3）把△DMC绕点C逆时针旋转90°得到△BHC,连接GH，根据旋转的性质可得△MNC是等腰直角三角形，可得∠NCH=45°，根据“SAS”可证△MCG≌△HCG，可得MG=HG. 设BG=3a,则MG=GH=5a, 在Rt△BGH中,利用勾股定理求出BH的长，从而可得MD.利用正方形的性质可得BD=， 由DM+MG+BG=12a=6 ， 求出a值，从而求出BG、MG的长.根据两角分别相等可证 △MGC∽△MGB，可得 ， 继而得出结论.

10. （1）75；4-2
（2）解：△AND等边三角形
证明：由折叠可知DN=CD=AD
∵DE= AD∴DE= DN
∵EF⊥AD∴∠END=30°
∴∠ADN=60°
∴△ADN是等边三角形
（3）12
（4）40
（5）4
（6）
【解析】【分析】（1）根据折叠角和折叠边都相等，写出即可。
（2）根据折叠的性质，折叠边相等， 可判断三角形为等边三角形。
（3）根据图中的信息，利用周长公式，求得即可。
（4）根据角度关系的换算，可得出角的度数。
（5）根据全等三角形和相似三角形的判定定理可得出个数。
（6）根据题意，用m、n表示出线段的比即可。