课时过关检测（二十） 任意角和弧度制及任意角的三角函数

这是一份课时过关检测（二十） 任意角和弧度制及任意角的三角函数，共6页。
1．下列命题错误的是( )
A．－eq \f(3π,4)是第二象限角 B．eq \f(4π,3)是第三象限角
C．－400°是第四象限角D．－315°是第一象限角
解析：选A －eq \f(3π,4)是第三象限角，故A错误.eq \f(4π,3)＝π＋eq \f(π,3)，从而eq \f(4π,3)是第三象限角，B正确．－400°＝－360°－40°，从而C正确．－315°＝－360°＋45°，从而D正确．
2．已知圆上的一段弧长等于该圆内接正方形的边长，则这段弧所对圆心角的弧度数为( )
A.eq \f(\r(2),4) B．eq \f(\r(2),2)
C.eq \r(2)D．2eq \r(2)
解析：选C 设圆的半径为r，则该圆内接正方形的边长为eq \r(2)r，即这段圆弧长为eq \r(2)r，则该圆弧所对的圆心角的弧度数为eq \f(\r(2)r,r)＝eq \r(2).故选C.
3．已知点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(3,4)π，cs \f(3,4)π))落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )
A．eq \f(π,4)B．eq \f(3π,4)
C．eq \f(5π,4)D．eq \f(7π,4)
解析：选D 点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(3,4)π，cs\f(3,4)π))，
即Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\f(－\r(2),2)))，点P落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，所以θ＝eq \f(7π,4).
4．若角α与β的终边关于x轴对称，则有( )
A．α＋β＝90°
B．α＋β＝90°＋k·360°，k∈Z
C．α＋β＝2k·180°，k∈Z
D．α＋β＝180°＋k·360°，k∈Z
解析：选C 因为α与β的终边关于x轴对称，所以β＝2k·180°－α，k∈Z，所以α＋β＝2k·180°，k∈Z.
5．(多选)(2021·济宁模拟)关于角度，下列说法正确的是( )
A．时钟经过两个小时，时针转过的角度是60°
B．钝角大于锐角
C．三角形的内角必是第一或第二象限角
D．若α是第三象限角，则eq \f(α,2)是第二或第四象限角
解析：选BD 对于A，时钟经过两个小时，时针转过的角是－60°，故错误；
对于B，钝角一定大于锐角，显然正确；
对于C，若三角形的内角为90°，则是终边在y轴正半轴上的角，故错误；
对于D，∵角α的终边在第三象限，
∴2kπ＋π＜α＜2kπ＋eq \f(3π,2)，k∈Z，
∴kπ＋eq \f(π,2)＜eq \f(α,2)＜kπ＋eq \f(3π,4)，k∈Z.
当k＝2n，n∈Z时，2nπ＋eq \f(π,2)＜eq \f(α,2)＜2nπ＋eq \f(3π,4)，n∈Z，得eq \f(α,2)是第二象限角；
当k＝2n＋1，n∈Z时，(2n＋1)π＋eq \f(π,2)＜eq \f(α,2)＜(2n＋1)π＋eq \f(3π,4)，n∈Z，得eq \f(α,2)是第四象限角，故正确．
6．(多选)(2021·泰安模拟)已知x∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(kπ,2)，k∈Z))))，则函数y＝eq \f(sin x,|sin x|)＋eq \f(cs x,|cs x|)－eq \f(tan x,|tan x|)的值可能为( )
A．3B．－3
C．1D．－1
解析：选BC x∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(kπ,2)，k∈Z))))，
当x在第一象限时：y＝eq \f(sin x,|sin x|)＋eq \f(cs x,|cs x|)－eq \f(tan x,|tan x|)＝1＋1－1＝1；
当x在第二象限时：y＝eq \f(sin x,|sin x|)＋eq \f(cs x,|cs x|)－eq \f(tan x,|tan x|)＝1－1＋1＝1；
当x在第三象限时：y＝eq \f(sin x,|sin x|)＋eq \f(cs x,|cs x|)－eq \f(tan x,|tan x|)＝－1－1－1＝－3
当x在第四象限时：y＝eq \f(sin x,|sin x|)＋eq \f(cs x,|cs x|)－eq \f(tan x,|tan x|)＝－1＋1＋1＝1，故选B、C．
7．若α＝1 560°，角θ与α终边相同，且－360°＜θ＜360°，则θ＝ .
解析：因为α＝1 560°＝4×360°＋120°，
所以与α终边相同的角为360°×k＋120°，k∈Z，
令k＝－1或k＝0，可得θ＝－240°或θ＝120°.
答案：120°或－240°
8．已知扇形的圆心角为eq \f(π,6)，面积为eq \f(π,3)，则扇形的弧长等于 ．
解析：设扇形半径为r，弧长为l，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(l,r)＝\f(π,6)，\f(1,2)lr＝\f(π,3)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(l＝\f(π,3)，r＝2.))
答案：eq \f(π,3)
9．已知扇形的圆心角为θ，其弧长是半径的2倍，则eq \f(sin θ,|sin θ|)＋eq \f(|cs θ|,cs θ)＋eq \f(|tan θ|,tan θ)＝ .
解析：由题意，得θ＝2.而eq \f(π,2)＜2＜π，∴θ是第二象限角，∴sin θ＞0，cs θ＜0，tan θ＜0，∴eq \f(sin θ,|sin θ|)＋eq \f(|cs θ|,cs θ)＋eq \f(|tan θ|,tan θ)＝1－1－1＝－1.
答案：－1
10．(2021·天津模拟)在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边交单位圆O于点P(a，b)，且a＋b＝eq \f(7,5)，则ab＝ ，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,2)))＝ .
解析：由题知sin α＝b，cs α＝a.∵a＋b＝eq \f(7,5)，∴sin α＋cs α＝eq \f(7,5).两边平方可得sin2α＋cs2α＋2sin αcs α＝eq \f(49,25)，∴1＋2sin αcs α＝eq \f(49,25)，∴2sin αcs α＝eq \f(24,25).∴sin αcs α＝ab＝eq \f(12,25)，∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,2)))＝－sin 2α＝－2sin αcs α＝－eq \f(24,25).
答案：eq \f(12,25) －eq \f(24,25)
11．已知eq \f(1,|sin α|)＝－eq \f(1,sin α)，且lg(cs α)有意义．
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边上一点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，m))，且OM＝1(O为坐标原点)，求m及sin α的值．
解：(1)由eq \f(1,|sin α|)＝－eq \f(1,sin α)，得sin α0，所以α是第四象限角．
(2)因为OM＝1，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))2＋m2＝1，解得m＝±eq \f(4,5).
又α为第四象限角，故m0，所以m＝eq \f(3,5)，故Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)，\f(3,5)))，
根据三角函数的定义得tan α＝eq \f(\f(3,5),－\f(4,5))＝－eq \f(3,4).
(2)若△AOB为等边三角形，则∠AOB＝eq \f(π,3)，故与角α终边相同的角β的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(β\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(β＝\f(π,3)＋2kπ，k∈Z)))).
B级——综合应用
13．(多选)(2021·潍坊质检)在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边经过点P(－1，m)(m>0)，则下列各式的值一定为负的是( )
A．sin α＋cs αB．sin α－cs α
C．sin αcs αD．eq \f(sin α,tan α)
解析：选CD 由已知得r＝|OP|＝eq \r(m2＋1)，则sin α＝eq \f(m,\r(m2＋1)) >0，cs α＝－eq \f(1,\r(m2＋1))