2020-2021学年第4章 图形与坐标4.2 平面直角坐标系精品精练

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知识提要
平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直，并且有公共原点O的数轴，其中一条叫做x轴，另一条叫做y轴．这样，在平面上建立了平面直角坐标系，简称直角坐标系，坐标系所在的平面就叫做坐标平面，其中公共原点O叫做直角坐标系的原点．
坐标：有序实数对（x，y）叫做一个点的坐标．
其中x叫做该点的横坐标，y叫做该点的纵坐标．
象限：x轴与y轴把坐标平面分成四个象限，x轴、y轴上的点不属于任何象限．
建立平面直角坐标系的方法：在建立直角坐标系表示给定的点或图形的位置时，应选择适当的点作为原点，适当的直线作为坐标轴，适当的距离为单位长度，这样往往有助于表示和解决有关问题．
练习
一、选择题
1．如图，P1，P2，P3这三个点中，在第二象限内的有( D )
A. P1，P2，P3 B. P1，P2C. P1，P3 D. P1
2. 若点P(x，y)的坐标满足xy＝0，则点P的位置在( D )
A. 原点 B. x轴上C. y轴上 D. x轴上或y轴上
3．已知点P(0，m)在y轴的正半轴上，则点M(－m，－m－1)在( C )
A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限 D. 第四象限
4．已知点P(3－m，m)在第二象限，则m的取值范围是( C )
A. m>0 B. m<0C. m>3 D. 05. 在平面直角坐标系中，点A在x轴上方，y轴左侧，距离每条坐标轴都是1个单位，则点A的坐标为( C )
(1，1) B. (－1，－1)
(－1，1) D. (1，－1)
6．若点P(2－a，3a＋6)到两条坐标轴的距离相等，则点P的坐标为( D )
A．(3，3) B．(3，－3)C．(6，－6) D．(3，3)或(6，－6)
如图，在平面直角坐标系中，已知点B，C在x轴上，AB⊥x轴于点B，DA⊥AB.若
AD＝5，点A的坐标为(－2，7)，则点D的坐标为( C )
A．(－2，2) B．(－2，12)C．(3，7) D．(－7，7)
8．在y轴上且到点A(4，0)的线段长度为5的点B的坐标是( D )
A. (0，3) B. (0，－3)C. (3，0)或(－3，0) D. (0，3)或(0，－3)
9. 已知点P在第二象限，有序数对(m，n)中的整数m，n满足m－n＝－6，则符合条件的点P共有( A )
A．5个 B．6个 C．7个 D．无数个
【解】 ∵点P(m，n)在第二象限，∴m<0，n>0.
∵m－n＝－6，∴m＝n－6，∴n－6<0，∴n<6，∴0又∵m，n为整数，∴n＝1或2或3或4或5，∴点P共有5个．
已知P(x，y)是第四象限内的一点，且x2＝4，|y|＝3，则点P的坐标为( D )
A. (2，3) B. (－2，3)C. (－2，－3) D. (2，－3)
【解】 ∵x2＝4，|y|＝3，∴x＝±2，y＝±3.
∵P(x，y)在第四象限，∴x>0，y<0.∴x＝2，y＝－3，∴点P(2，－3)．
如图，点A的坐标是(1，1)，若点B在x轴上，且△ABO是等腰三角形，则点B的坐标不可能是( B )
A. (2，0) B. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))C. (－eq \r(,2)，0) D. (1，0)
【解】B 根据勾股定理可得AO＝eq \r(2).
当O为顶角的顶点时，∵腰长BO＝AO＝eq \r(2)，∴点B的坐标为(－eq \r(,2)，0)或(eq \r(2)，0)．
当A为顶角的顶点时，点B的坐标为(2，0)．当B为顶角的顶点时，点B的坐标为(1，0)．
如图，已知△ABC为等边三角形，点A(－eq \r(3)，0)，B(0，1)，点P(3，a)在第一象限内，且满足2S△ABP＝S△ABC，则a的值为( C )
A. eq \f(7,4) B. eq \r(2)C. eq \r(3) D. 2
【解】C 过点P作PD⊥x轴，垂足为D.由点A(－eq \r(3)，0)，B(0，1)，得OA＝eq \r(3)，OB＝1，
由勾股定理，得AB＝eq \r(OA2＋OB2)＝2.∵△ABC为等边三角形，∴S△ABC＝eq \f(1,2)×2×eq \r(3)＝eq \r(3).
又∵S△ABP＝S△AOB＋S梯形BODP－S△ADP＝eq \f(1,2)×eq \r(3)×1＋eq \f(1,2)×(1＋a)×3－eq \f(1,2)×(eq \r(3)＋3)×a＝eq \f(\r(3)＋3－\r(3)a,2)，2S△ABP＝S△ABC，∴eq \r(3)＋3－eq \r(3)a＝eq \r(3)，∴a＝eq \r(3).
已知点P在第二象限，有序数对(m，n)中的整数m，n满足m－n＝－6，则符合条件的点P共有( A )
A. 5个 B. 6个C. 7个 D. 无数个
【解】 ∵点P在第二象限，∴m＜0，n＞0.又∵m－n＝－6，∴m＝n－6＜0，∴n＜6.
∴0＜n＜6.∴整数n＝1，2，3，4，5，对应的m有5个值，∴点P共有5个．
14．如图，已知点A(－1，0)和点B(1，2)，在坐标轴上确定点P，使得△ABP为直角三角形，则满足这样条件的点P共有( C )

A．2个 B．4个 C．6个 D．7个
【解】C 如解图．①以A为直角顶点，可过点A作直线垂直于AB，与坐标轴交于点P1.
②以B为直角顶点，可过点B作直线垂直于AB，与坐标轴交于点P2，P3.
③以P为直角顶点，可以AB为直径画圆，则圆心为AB的中点I，与坐标轴交于点P4，P5，P6(由AI＝BI＝PI可得出∠APB为直角)．故满足条件的点P共有6个．
二、填空题
1. 在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点(a，b)，若规定以下三种变换：①△(a，b)＝(－a，b)；②○(a，b)＝(－a，－b)；③□(a，b)＝(a，－b)．按照以上变换，例如：△(○(1，2))＝(1，－2)，则○(□(3，4))＝(－3，4)．
2. 已知点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)|x|，\f(1,2)x＋1))在第一、三象限的角平分线上，则x＝6或－eq \f(6,7)．
【解】 ∵点M在第一、三象限的角平分线上，∴eq \f(2,3)|x|＝eq \f(1,2)x＋1，∴x＝6或－eq \f(6,7).
3．平行四边形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，若OA＝AB＝2，∠AOC＝45°，则点B的坐标为(－2－eq \r(2)，eq \r(2))．
【解】 延长BA交y轴于点D，则AD⊥y轴．
∵∠AOD＝90°－∠AOC＝45°，∴△AOD为等腰直角三角形，∴OD＝AD＝eq \r(2).
∴BD＝AB＋AD＝2＋eq \r(2)，∴点B(－2－eq \r(2)，eq \r(2))．
4. 如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位，P1，P2，P3，…均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：点P1(0，0)，P2(0，1)，P3(1，1)，P4(1，－1)，P5(－1，－1)，P6(－1，2)，…，根据这个规律，求点P2018的坐标 ．
【解】 2018÷4＝504……2.∵点P2(0，1)，P6(－1，2)，P10(－2，3)，…，
∴点P4n＋2(－n，n＋1)(n为自然数)，
∴点P2018的坐标为(－504，504＋1)，点P2018(－504，505)．
解答题
已知点A(2m＋1，m＋9)到x轴和y轴的距离相等，求点A的坐标．
【解】 由题意，得2m＋1＝m＋9或2m＋1＋m＋9＝0，
解得m＝8或－eq \f(10,3)，∴2m＋1＝17或－eq \f(17,3).
∴点A的坐标为(17，17)或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17,3)，\f(17,3))).
2. (1)已知点P(a－1，3a＋6)在y轴上，求点P的坐标．
(2)已知点A(－3，m)，B(n，4)，若AB∥x轴，求m的值，并确定n的取值范围．
【解】 (1)∵点P(a－1，3a＋6)在y轴上，∴横坐标为0，即a－1＝0，∴a＝1.
∴点P的坐标为(0，9)．
(2)∵AB∥x轴，∴点A(－3，m)，B(n，4)的纵坐标相等，∴m＝4.
∵A，B两点不能重合，∴n 的取值范围是n≠－3.
3. 如果|3x－13y＋16|＋|x＋3y－2|＝0，那么点P(x，y)在第几象限？点Q(x＋1，y－1)在平面直角坐标系的什么位置？
【解】 由题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x－13y＋16＝0，,x＋3y－2＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝1.))
∴点P的坐标为(－1，1)，在第二象限；点Q的坐标为(0，0)，是平面直角坐标系的原点．
4.如图，在平面直角坐标系中，点A(0，1)，B(2，0)，C(4，3)．
(1)求△ABC的面积．
(2)设点P在坐标轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，求点P的坐标．
【解】 (1)过点C作CH⊥x轴于点H.
S△ABC＝S梯形AOHC－S△AOB－S△CHB＝eq \f(1,2)(1＋3)×4－eq \f(1,2)×1×2－eq \f(1,2)×2×3＝4.
(2)当点P在x轴上时，设点P(x，0)．
由题意，得S△APB＝eq \f(1,2)BP·AO＝eq \f(1,2)|x－2|×1＝4，解得x＝－6或10，
故点P的坐标为(－6，0)或(10，0)．
当点P 在y轴上时，设点P(0，y)．
由题意，得S△ABP＝eq \f(1,2)AP·BO＝eq \f(1,2)|y－1|×2＝4，解得y＝－3或5，
故点P的坐标为(0，－3)或(0，5)．
综上所述，点P的坐标为(－6，0)或(10，0)或(0，－3)或(0，5)．
如图，已知点A，B的坐标分别为(1，3)，(1，－1)，在线段AB上求一点E，使OE把△AOB面积分成1∶2的两部分．
【解】 设AB交x轴于点C.
∵点A(1，3)，B(1，－1)，∴AB＝4.
∵OE把△AOB的面积分成1∶2的两部分，∴S△AOE∶S△BOE＝1∶2或2∶1.
易知S△AOE∶S△BOE＝AE∶BE，当S△AOE∶S△BOE＝1∶2时，AE∶BE＝1∶2，
∴AE＝eq \f(1,3)AB＝eq \f(4,3)，∴EC＝3－eq \f(4,3)＝eq \f(5,3)，∴点E的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(5,3)))
当S△AOE∶S△BOE＝2∶1时，AE∶BE＝2∶1，
∴AE＝eq \f(2,3)AB＝eq \f(8,3)，∴EC＝3－eq \f(8,3)＝eq \f(1,3)，∴点E的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,3))).
综上所述，点E的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(5,3)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,3))).
如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，在长方形OABC中，点A(10，0)，C(0，4)，D为OA的中点，P为BC边上的一点．若△POD为等腰三角形，求所有满足条件的点P的坐标．
【解】 ∵四边形OABC是长方形，
∴∠OCB＝90°，OC＝4，BC＝OA＝10.
∵D为OA的中点，∴OD＝AD＝5.
①当PO＝PD时，点P在OD的垂直平分线上，∴点P的坐标为(2.5，4)．
②当OP＝OD时，OP＝OD＝5，PC＝eq \r(52－42)＝3，∴点P的坐标为(3，4)．
③当DP＝DO时，过点P作PE⊥OA于点E，
则∠PED＝90°，DE＝eq \r(52－42)＝3.
分两种情况讨论：当点E在点D的左侧时，如解图所示．
此时OE＝5－3＝2，∴点P的坐标为(2，4)．
当点E在点D的右侧时，同理可得点P的坐标为(8，4)．
综上所述，点P的坐标为(2.5，4)或(3，4)或(2，4)或(8，4)．
如图，在一次“寻宝”游戏中，寻宝人已经找到了A(－1，2)和B(1，2)两点，已知宝藏在点(4，3)处，请你确定平面直角坐标系并找出“宝藏”的位置，说明你的方法，并画出示意图．
【解】 由于点A与点B的纵坐标相同，横坐标互为相反数，故作AB的中垂线即为y轴，而AB＝2，故原点在以垂足为圆心，AB长为半径的圆弧与中垂线在AB下方的交点处，再根据建立的直角坐标系确定宝藏地点．作法如下：
①作AB的中垂线CD，垂足为E.
②以点E为圆心，AB长为半径作圆弧与直线CD交于两点，设线段AB下方的交点为O.
③以点O为原点，直线CD为y轴建立坐标系，且单位长度为线段BE的长．④在所建立的平面直角坐标系找到点(4，3)，便可得宝藏的位置．
示意图如解图所示．
在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别是A(5，0)，B(0，3)，C(5，3)，O为坐标原点，点E在线段BC上．若△AEO为等腰三角形，求点E的坐标(画出图形，不需要写计算过程)．
【解】 画出图形如解图．
①若A为顶角顶点，则AE＝AO，故点E(1，3)．
②若E为顶角顶点，则EO＝EA，故点E(2.5，3)．
③若O为顶角顶点，则OE＝OA，故点E(4，3)．
在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x，y)，我们把P1(y－1，－x－1)叫做点P的友好点，已知点A1的友好点为A2，点A2的友好点为A3，点A3的友好点为A4……这样依次得到点An(n为正整数)．
(1)若点A1的坐标为(2，1)，则点A3的坐标为(－4，－1)，点A2018的坐标为(0，－3)．
(2)若点A2018的坐标为(－3，2)，设点A1(x，y)，求x＋y的值．
(3)设点A1的坐标为(a，b)，若点A1，A2，A3，…，An均在y轴的左侧，求a，b的取值范围．
【解】 (1)∵点A1(2，1)，∴点A2(0，－3)，∴点A3(－4，－1)，
∴点A4(－2，3)，∴点A5(2，1)……由此可知，每4个点为一循环，
∴点A4a＋1(2，1)，A4a＋2(0，－3)，A4a＋3(－4，－1)，A4a＋4(－2，3)(a为自然数)．
∵2018＝504×4＋2，∴点A2018的坐标为(0，－3)．
(2)∵点A2018的坐标为(－3，2)，∴点A2017(－3，－2)，∴点A1(－3，－2)，
∴x＋y＝－5.
(3)∵点A1(a，b)，∴点A2(b－1，－a－1)，
A3(－a－2，－b)，A4(－b－1，a＋1)．
∵点A1，A2，A3，…，An均在y轴的左侧，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a<0，,－a－2<0，))且eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b－1<0，,－b－1<0，))
解得－2＜a＜0，－1＜b＜1.