2021高三数学第一轮复习 导学案 第44讲直线、平面平行的判定及其性质

第四十四讲：直线、平面平行的判定及其性质

【学习目标】

1. 以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理；
2. 能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题。

【重点、难点】

重点：掌握线面平行的有关性质与判定定理；

难点：运用性质与判定定理证明。

【知识梳理】 

1、直线与平面平行的判定定理和性质定理

2、平面与平面平行的判定定理和性质定理

【常用结论】

（1）垂直与同一条直线的两个平面平行，即若，则.

（2）垂直与同一个平面的两条直线平行，即若，则.

（3）平行于同一个平面的两个平面平行，即若，则.

【典题分析】  

题型1：与线、面平行相关命题的判定

例1设为两个平面，则的充要条件是（   ）

    A.内有无数条直线与平行      B.内有两条相交直线与平行

    C.平行于同一条直线          D.垂直于同一平面

【方法规律】 熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，可以从中选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项 .

【题组练习】

1、（多选题）如图，在下列四个正方体中，为正方体的两个顶点，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面平行的是（   ）

        A                       B                      C                    D

2、若直线不平行与平面，且，则（   ）

  A.内的所有直线与异面         B.内不存在与平行的直线

  C.与直线至少有两个公共点     D.内的直线与都相交

3、已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题中正确的是（  ）

 A.若，则.         B.若，则.       

 C.若，则.        D.若，则.

4、设是三个不同的平面，是两条不同的直线，在命题“，且     ，则”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题.

①；②；③.

可以填入的条件有               .

题型2：直线与平面平行的判定

例2 如图，在几何体中，四边形是矩形，平面，，，分别是线段的中点.

求证：平面.

【方法规律】 证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，解题的思路是利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行，注意内外平行三条件，缺一不可.

【题组练习】

1、如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC⊥BC，D是A1C1的中点，且AC＝BC＝AA1＝2.

（1）求证：BC1∥平面AB1D；

（2）求直线BC与平面AB1D所成角的正弦值.

2、如图，四棱锥中，平面，，，，为线段上一点，，为的中点．

（I）证明：平面；

（II）求四面体的体积.

题型3：直线与平面平行的性质

例3 如图所示，四边形是平行四边形，点是平面外一点，是的中点，在上取一点，过和作平面交平面于.

求证：.

【方法规律】 要证明线线平行，可把它们转化为线面平行.即在应用性质定理时，一般遵循从“高维”到“低维”的转化，即从“线面平行”到“线线平行”；而解决线面平行的判定时其顺序恰好相反.

【题组练习】

1、如图，四棱锥中，，分别为，上的点，且平面，则　　

A．          B． 

C．        D．以上均有可能

2、如图，在三棱锥中，侧面是边长为2的等边三角形，，分别为，的中点，过的平面与侧面交于.

（1）求证：；

（2）若平面平面， ，求直线与平面所成角的正弦值.

3、如图，已知三棱柱中，，为上一点，平面．

（1）求证：为的中点;

（2）若平面平面，求证：为直角三角形.

题型4：平面与平面平行的判定与性质

例4 如图所示，在三棱柱中，，分别是的中点，求证：

（1）四点共面；

（2）平面平面.

【方法规律】 本题的证明应用了三种平行关系之间的转化

【题组练习】

1、如图，四边形是正方形，平面，平面.

证明：平面平面.

2、如图，四棱锥中，平面，，，，，分别为，的中点.

（1）求证：平面平面；

（2）若，求点到平面的距离.