2021高三数学第一轮复习 导学案 第31讲：平面向量的数量积及其运算

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第三十一讲：平面向量的数量积及其运算【学习目标】理解和掌握平面向量的数量积及其几何意义.掌握平面向量数量积的性质和分配率掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系【知识梳理】  1、两向量的夹角与垂直已知两个非零向量，作，则叫做向量的夹角。当夹角为时，与垂直，记作。2、向量数量积的定义已知两个非零向量，它们的夹角为，我们把数量          叫做与的数量积，记作，即      ，规定与任一向量的数量积为   3、的几何意义的几何意义：等于的长度    与在方向上的投影        的乘积。4、向量数量积的性质（1）是两个非零向量，它们的夹角为.当与同向时，      ，当当与反向时，      ；特别地，      或       （2）        （3）          （4）5、向量数量积的运算律（1）（2）         =          （3）                 数量积不满足结合律与消去律。6、向量数量积的坐标表示（1）若,,则       （2）若，则        ，                   （3）若,则           （4）若,则    （5）是两个非零向量，它们的夹角为，,,则             【典题分析】  题型1：平面向量数量积的运算例1 已知,与的夹角为,(1) =             ;          (2)=           ;(3)=            ;  (4)=             方法：（1）求平面向量的数量积可直接利用定义，也可以利用坐标法进行求解。（2）利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用。【题组训练】1．设、、是非零向量，则下列说法中正确是（ ）A． B．C．若，则 D．若，则2．设向量，夹角为，则“是锐角”是“”的（   ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3、已知两个单位向量的夹角为，若向量，，则=        4、设向量满足，且与的方向相反，则的坐标为          4、已知平面向量，，且，则实数的值为（  ）A、    B、    C、   D、5．已知单位向量与的夹角为，若与垂直，则实数x的值为（    ）A． B． C． D．6．在中，D为边BC的中点，AD＝3，BC＝4，G为的重心，则的值为（    ）A．﹣12 B．﹣15 C．﹣3 D．7．在中，，，，则的值为______________.8．已知菱形的边长为4，，是的中点，则（    ）A．24 B． C． D．9．边长为2的正方形中，为对角线上一动点，则______.  题型2：向量数量积的应用例2 已知，（1）求与的夹角；（2）求；（3）若,作，求的面积。       方法：平面向量数量积公式的应用，可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题。【题组训练】1．设点是线段的中点，点在直线外，,，则（   ）  A、8      B、4      C、2    D、12．为平面向量,已知,则夹角的余弦值等于（  ）A、    B、   C、   D、3、若，向量,,且则（  ） A、    B、   C、   D、104．设向量满足，，则（  ）A、    B、    C、   D、5、已知向量,，若与垂直，则（  ）A、   B、   C、2    D、46、已知平面向量满足，且，则向量与的夹角为（  ）A、    B、    C、    D、7．若是夹角为的两个单位向量，则向量的夹角为（    ）A．     B．     C．     D．8．向量（是单位向量）.若，，则（    ）A． B． C． D．9．若两个非零向量，满足，且，则与夹角的余弦值为（    ）A． B． C． D．10．已知O是平面上一点，，A、B、C是平面上不共线的三个点，点O满足，则O点一定是△ABC的（    ）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心11．已知向量.若与共线，则在方向上的投影为 ________.12．已知，如果与的夹角为锐角，则的取值范围是      .13．已知是单位向量，向量满足，且对任意实数t恒成立，则的取值范围是______________.14、已知向量,,.（1）若，求；（2）求的最大值。       15．（1）已知非零向量、不共线，欲使和共线，试确定实数k的值.（2）已知向量，，，求与夹角的大小.