2020-2021学年安徽省六安市霍邱县八年级（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年安徽省六安市霍邱县八年级（下）期末数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）下列根式中是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．（4分）甲、乙、丙、丁四人各进行了10次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是s甲2＝0.6，s乙2＝1.1，s丙2＝1.2，s丁2＝0.9，则射击成绩最稳定的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
3．（4分）如图，P是面积为S的▱ABCD内任意一点，△PAD的面积为S1，△PBC的面积为S2，则（ ）
A．S1+S2＞
B．S1+S2＜
C．S1+S2＝
D．S1+S2的大小与P点位置有关
4．（4分）若关于的x方程x2+3x+a＝0有一个根为﹣1，则a的值为（ ）
A．﹣4B．﹣2C．2D．4
5．（4分）以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5B．9，12，15
C．0.3，0.4，0.5D．，，
6．（4分）一个多边形的每一个内角都等于140°，那么这个多边形的边数是（ ）
A．9条B．8条C．7条D．6条
7．（4分）已知四边形ABCD中有四个条件：AB∥CD，AB＝CD，BC∥AD，BC＝AD，从中任选两个，不能使四边形ABCD成为平行四边形的选法是（ ）
A．AB∥CD，AB＝CDB．AB∥CD，BC∥AD
C．AB∥CD，BC＝ADD．AB＝CD，BC＝AD
8．（4分）某机械厂七月份生产零件50万个，计划八、九月份共生产零件115.5万个，设八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A．50（1+x）2＝115.5
B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝115.5
C．50（1+x）+50（1+x）2＝115.5
D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝115.5
9．（4分）为了了解某校学生的课外阅读情况，随机抽查了10学生周阅读用时数，结果如下表：
则关于这10名学生周阅读所用时间，下列说法正确的是（ ）
A．中位数是6.5B．众数是12
C．平均数是3.9D．方差是6
10．（4分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3，AD＝，点M、N分别为线段BC、AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E、F分别为DM、MN的中点，则EF长度的最大值为（ ）
A．B．3.5C．5D．2.5
二、填空题(本题共有4小题,每小题5分,共计20分)
11．（5分）若二次根式有意义，则x的取值范围是 ．
12．（5分）把x2+2x﹣2＝0化为（x+m）2＝k的形式（m，k为常数），则m+k＝ ．
13．（5分）《九章算术》中记载：“今有竹高一丈，未折抵地，去根三尺，问折者高几何？”译文：有一根竹子原高一丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？我们用线段OA和线段AB来表示竹子，其中线段AB表示竹子折断部分，用线段OB表示竹梢触地处离竹根的距离，则竹子折断处离地面的高度OA是 尺．
14．（5分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC边上一点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，使点B落在点B'处．
（1）若∠CEB'＝70°，则∠DAB'的大小等于 ．
（2）若点B'恰好在矩形ABCD的对角线AC上，则BE的长为 ．
三、解答题(本大题共有9小题,共计90分)
15．（8分）计算：（+2）（﹣2）﹣×+
16．（8分）解方程：2x2＝3x﹣1．
17．（8分）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若x1+x2﹣x1x2＝1，计算m的值．
18．（8分）在进行二次根式的运算时，如遇到这样的式子，还需做进一步的化简：﹣1．这种化去分母中根号的运算叫分母有理化．
（1）请参照以上方法化简；
（2）计算．
19．（10分）已知在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为，，，如图所示是小辉同学在正方形网格中（每个小正方形的边长均为1），画出的格点△ABC（△ABC的三个顶点都在小正方形的顶点处），请你参照小辉的方法在图2的正方形网格图中画出格点三角形△DEF，使得DE、EF、DF三边的长分别为、、．
（1）判断△DEF的形状，并说明理由；
（2）求△DEF的面积．
20．（10分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是CD中点，连接OE．过点C作CF∥BD交OE的延长线于点F，连接DF．
求证：（1）△ODE≌△FCE；
（2）四边形OCFD是矩形．
21．（12分）为弘扬中华传统文化，某校组织八年级1000名学生参加汉字听写大赛，为了解学生整体听写能力，从中抽取部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计分析，请根据尚未完成的下列图表，解答下列问题：
（1）表中m＝ ，n＝ ，此样本中成绩的中位数落在第 组内；
（2）补全频数分布直方图；
（3）若成绩超过80分为优秀，则该校八年级学生中汉字听写能力优秀的约有多少人？
22．（12分）某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“六一”儿童节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．
（1）每件童装降价多少元时，能让利于顾客并且商家平均每天能盈利1200元．
（2）要想平均每天盈利2000元，可能吗？请说明理由．
23．（14分）【问题情境】
如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．
【探究展示】
（1）证明：AM＝AD+MC；
（2）AM＝DE+BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
【拓展延伸】
（3）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示（1）、（2）中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明．
2020-2021学年安徽省六安市霍邱县八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共有10小题,每小题4分,共计40分)
1．（4分）下列根式中是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】直接利用最简二次根式的定义分析得出答案．
【解答】解：A、＝，故此选项错误；
B、是最简二次根式，故此选项正确；
C、＝3，故此选项错误；
D、＝2，故此选项错误；
故选：B．
2．（4分）甲、乙、丙、丁四人各进行了10次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是s甲2＝0.6，s乙2＝1.1，s丙2＝1.2，s丁2＝0.9，则射击成绩最稳定的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【解答】解：∵s甲2＝0.6，s乙2＝1.1，s丙2＝1.2，s丁2＝0.9，
∴S甲2＜S丁2＜S乙2＜S丙2，
∴射击成绩最稳定的是甲，
故选：A．
3．（4分）如图，P是面积为S的▱ABCD内任意一点，△PAD的面积为S1，△PBC的面积为S2，则（ ）
A．S1+S2＞
B．S1+S2＜
C．S1+S2＝
D．S1+S2的大小与P点位置有关
【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据图形和平行四边形的面积、三角形的面积，即可得到S和S1、S2之间的关系，本题得以解决．
【解答】解：过点P作EF⊥AD交AD于点E，交BC的延长线于点F，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，
∴S＝BC•EF，，，
∵EF＝PE+PF，AD＝BC，
∴S1+S2＝，
故选：C．
4．（4分）若关于的x方程x2+3x+a＝0有一个根为﹣1，则a的值为（ ）
A．﹣4B．﹣2C．2D．4
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x＝﹣1代入方程得到关于a的一次方程，然后解此一次方程即可．
【解答】解：把x＝﹣1代入方程x2+3x+a＝0得1﹣3+a＝0，
解得a＝2．
故选：C．
5．（4分）以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5B．9，12，15
C．0.3，0.4，0.5D．，，
【分析】判断一个三角形是不是直角三角形，必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．先分别求出两小边的平方和和最长边的平方，再看看是否相等即可．
【解答】解：A．∵32+42＝52，
∴以3、4、5为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B．∵92+122＝152，
∴以9、12、15为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C．∵0.32+0.42＝0.52，
∴以0.5、0.4、0.5为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D．∵（）2+（）2≠（）2，
∴以、、为边不能组成直角三角形，故本选项符合题意；
故选：D．
6．（4分）一个多边形的每一个内角都等于140°，那么这个多边形的边数是（ ）
A．9条B．8条C．7条D．6条
【分析】先求出外角的度数，根据多边形的外角和等于360°即可求出多边形的边数．
【解答】解：∵一个多边形的每一个内角都等于140°，
∴这个多边形的每一个内角对应的外角度数我180°﹣140°＝40°，
∵多边形的外角和为360°，
∴多边形的边数为＝9，
故选：A．
7．（4分）已知四边形ABCD中有四个条件：AB∥CD，AB＝CD，BC∥AD，BC＝AD，从中任选两个，不能使四边形ABCD成为平行四边形的选法是（ ）
A．AB∥CD，AB＝CDB．AB∥CD，BC∥AD
C．AB∥CD，BC＝ADD．AB＝CD，BC＝AD
【分析】平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据判定方法依次组合即可．
【解答】解：A、AB∥CD，AB＝CD．根据平行四边形的判定定理“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可以判定四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；
B、AB∥CD，BC∥AD．根据平行四边形的判定定理“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可以判定四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；
C、AB∥CD，BC＝AD，根据一组对边平行，另一组对边相等，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故本选项正确；
D、AB＝CD，BC＝AD，根据平行四边形的判定定理“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”可以判定四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；
故选：C．
8．（4分）某机械厂七月份生产零件50万个，计划八、九月份共生产零件115.5万个，设八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A．50（1+x）2＝115.5
B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝115.5
C．50（1+x）+50（1+x）2＝115.5
D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝115.5
【分析】主要考查增长率问题，一般增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示八、九月份的产量，然后根据题意可得出方程．
【解答】解：依题意得八、九月份的产量为50（1+x）、50（1+x）2，
∴50（1+x）+50（1+x）2＝115.5．
故选：C．
9．（4分）为了了解某校学生的课外阅读情况，随机抽查了10学生周阅读用时数，结果如下表：
则关于这10名学生周阅读所用时间，下列说法正确的是（ ）
A．中位数是6.5B．众数是12
C．平均数是3.9D．方差是6
【分析】A：根据中位数的求法，把这10名学生周阅读所用时间从大到小排列，则中间两个数的平均数即是这10名学生周阅读所用时间的中位数．
B：根据众数的求法，这10名学生周阅读所用时间中出现次数最多的，即为这10名学生周阅读所用时间的众数．
C：根据算术平均数的求法，求出这10名学生周阅读所用时间的平均数是多少即可．
D：根据方差的计算方法，求出这10名学生周阅读所用时间的方差是多少即可．
【解答】解：这10名学生周阅读所用时间从大到小排列，可得
4、4、4、5、5、5、5、8、8、12，
∴这10名学生周阅读所用时间的中位数是：
（5+5）÷2＝10÷2＝5，
∴选项A不正确；
∵这10名学生周阅读所用时间出现次数最多的是5小时，
∴这10名学生周阅读所用时间的众数是5，
∴选项B不正确；
∵（4×3+5×4+8×2+12）÷10
＝60÷10
＝6
∴这10名学生周阅读所用时间的平均数是6，
∴选项C不正确；
∵[（4﹣6）2+（4﹣6）2+（4﹣6）2+（5﹣6）2+（5﹣6）2+（5﹣6）2+（5﹣6）2+（8﹣6）2+（8﹣6）2+（12﹣6）2]
＝[4+4+4+1+1+1+1+4+4+36]
＝60
＝6
∴这10名学生周阅读所用时间的方差是6，
∴选项D正确．
故选：D．
10．（4分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3，AD＝，点M、N分别为线段BC、AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E、F分别为DM、MN的中点，则EF长度的最大值为（ ）
A．B．3.5C．5D．2.5
【分析】连接BD、DN，根据勾股定理求出BD，根据三角形中位线定理解答．
【解答】解：连接BD、DN，
在Rt△ABD中，DB＝＝5，
∵点E、F分别为DM、MN的中点，
∴EF＝DN，
由题意得，当点N与点B重合时，DN最大，
∴DN的最大值是5，
∴EF长度的最大值是2.5，
故选：D．
二、填空题(本题共有4小题,每小题5分,共计20分)
11．（5分）若二次根式有意义，则x的取值范围是 x≤2 ．
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，2﹣x≥0，
解得x≤2．
故答案为：x≤2．
12．（5分）把x2+2x﹣2＝0化为（x+m）2＝k的形式（m，k为常数），则m+k＝ 4 ．
【分析】移项，配方，变形后求出m、k的值，再求出m+k即可．
【解答】解：x2+2x﹣2＝0，
移项，得x2+2x＝2，
配方，得x2+2x+1＝2+1，
即（x+1）2＝3，
所以m＝1，k＝3，
即m+k＝1+3＝4，
故答案为：4．
13．（5分）《九章算术》中记载：“今有竹高一丈，未折抵地，去根三尺，问折者高几何？”译文：有一根竹子原高一丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？我们用线段OA和线段AB来表示竹子，其中线段AB表示竹子折断部分，用线段OB表示竹梢触地处离竹根的距离，则竹子折断处离地面的高度OA是 4.55 尺．
【分析】根据题意结合勾股定理得出折断处离地面的长度即可．
【解答】解：设折断处离地面的高度OA是x尺，根据题意可得：
x2+32＝（10﹣x）2，
解得：x＝4.55，
答：折断处离地面的高度OA是4.55尺．
故答案为：4.55．
14．（5分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC边上一点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，使点B落在点B'处．
（1）若∠CEB'＝70°，则∠DAB'的大小等于 20° ．
（2）若点B'恰好在矩形ABCD的对角线AC上，则BE的长为 3 ．
【分析】（1）由矩形的性质得∠BAD＝∠B＝90°，再由折叠的性质得∠BEA＝∠B′EA，∠BAE＝∠B′AE，则∠BEA＝∠B′EA＝55°，得∠BAE＝35°，则∠BAB′＝70°，即可求解；
（2）由折叠的性质得BE＝B′E，AB＝AB′＝6，∠B＝∠AB′E＝90°，设BE＝B′E＝x，则CE＝BC﹣BE＝8﹣x，再在Rt△CB′E中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠B＝90°，
由折叠的性质得：∠BEA＝∠B′EA，∠BAE＝∠B′AE，
∵∠CEB′＝70°，
∴∠BEB′＝180°﹣70°＝110°，
∴∠BEA＝∠B′EA＝×110°＝55°，
∴∠BAE＝90°﹣55°＝35°，
∴∠BAB′＝2×35°＝70°，
∴∠DAB′＝∠BAD﹣∠BAB′＝90°﹣70°＝20°，
故答案为：20°；
（2）点B'恰好在矩形ABCD的对角线AC上，如图1所示：
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝＝10，
由折叠的性质得：BE＝B′E，AB＝AB′＝6，∠B＝∠AB′E＝90°，
∴B′C＝AC﹣AB′＝10﹣6＝4，∠CB′E＝90°，
设BE＝B′E＝x，
则CE＝BC﹣BE＝8﹣x，
在Rt△CB′E中，由勾股定理得：CE2＝B′E2+B′C2，
即：（8﹣x）2＝x2+42，
解得：x＝3，
故答案为：3．
三、解答题(本大题共有9小题,共计90分)
15．（8分）计算：（+2）（﹣2）﹣×+
【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝3﹣4﹣+
＝﹣1
16．（8分）解方程：2x2＝3x﹣1．
【分析】移项后把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：2x2＝3x﹣1，
移项，得2x2﹣3x+1＝0，
（2x﹣1）（x﹣1）＝0，
2x﹣1＝0或x﹣1＝0，
解得：x1＝，x2＝1．
17．（8分）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若x1+x2﹣x1x2＝1，计算m的值．
【分析】（1）由方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；
（2）根据根与系数的关系即可得出x1+x2＝4，x1x2＝m，代入x1+x2﹣x1x2＝1，得到4﹣m＝1，解得m＝3．
【解答】解：（1）∵方程有两个实数根，
∴Δ＝16﹣4m≥0，
∴m≤4；
（2）由根与系数的关系，得：x1+x2＝4，x1x2＝m，
∵x1+x2﹣x1x2＝1，
∴4﹣m＝1，
∴m＝3．
18．（8分）在进行二次根式的运算时，如遇到这样的式子，还需做进一步的化简：﹣1．这种化去分母中根号的运算叫分母有理化．
（1）请参照以上方法化简；
（2）计算．
【分析】（1）直接利用二次根式的性质找出有理化因式，进而化简得出答案；
（2）直接利用二次根式的性质找出有理化因式，进而化简得出答案．
【解答】解：（1）原式＝＝；
（2）原式＝++++
＝
＝．
19．（10分）已知在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为，，，如图所示是小辉同学在正方形网格中（每个小正方形的边长均为1），画出的格点△ABC（△ABC的三个顶点都在小正方形的顶点处），请你参照小辉的方法在图2的正方形网格图中画出格点三角形△DEF，使得DE、EF、DF三边的长分别为、、．
（1）判断△DEF的形状，并说明理由；
（2）求△DEF的面积．
【分析】（1）根据网格和勾股定理即可画出格点△DEF，再根据勾股定理逆定理即可判断△DEF的形状；
（2）结合（1）即可求△DEF的面积．
【解答】解：（1）如图，△DEF即为所求；
△DEF是直角三角形，理由如下：
∵DE2+EF2＝2+8＝10，DF2＝10，
∴DE2+EF2＝DF2，
∴∠DEF＝90°，
∴△DEF是直角三角形；
（2）△DEF的面积为：DE•EF＝×＝2．
20．（10分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是CD中点，连接OE．过点C作CF∥BD交OE的延长线于点F，连接DF．
求证：（1）△ODE≌△FCE；
（2）四边形OCFD是矩形．
【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等可得∠ODE＝∠FCE，根据线段中点的定义可得CE＝DE，然后利用“角边角”证明△ODE和△FCE全等；
（2）根据全等三角形对应边相等可得OD＝FC，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形ODFC是平行四边形，根据菱形的对角线互相垂直得出∠COD＝90°，即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵CF∥BD，
∴∠ODE＝∠FCE，
∵E是CD中点，
∴CE＝DE，
在△ODE和△FCE中，，
∴△ODE≌△FCE（ASA）；
（2）∵△ODE≌△FCE，
∴OD＝FC，
∵CF∥BD，
∴四边形OCFD是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠COD＝90°，
∴四边形OCFD是矩形．
21．（12分）为弘扬中华传统文化，某校组织八年级1000名学生参加汉字听写大赛，为了解学生整体听写能力，从中抽取部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计分析，请根据尚未完成的下列图表，解答下列问题：
（1）表中m＝ 50 ，n＝ 0.40 ，此样本中成绩的中位数落在第 四 组内；
（2）补全频数分布直方图；
（3）若成绩超过80分为优秀，则该校八年级学生中汉字听写能力优秀的约有多少人？
【分析】（1）根据第一组的频数是16，对应的频率是0.08，即可求得总人数，然后根据频率的公式求得m和n的值；
（2）根据（1）即可直接补全直方图；
（3）利用总人数乘以对应的频率即可求解．
【解答】解：（1）调查的总人数是16÷0.08＝200（人），
则m＝200×0.25＝50，
n＝＝0.40．
中位数落在第四组．
故答案是：50，0.40，四；
（2）
；
（3）该校八年级学生中汉字听写能力优秀的约有1000×（0.40+0.12）＝520（人）．
答：该校八年级学生中汉字听写能力优秀的约有520人．
22．（12分）某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“六一”儿童节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．
（1）每件童装降价多少元时，能让利于顾客并且商家平均每天能盈利1200元．
（2）要想平均每天盈利2000元，可能吗？请说明理由．
【分析】（1）设每件童装降价x元，则销售量为（20+2x）件，根据总利润＝每件利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论；
（2）设每件童装降价y元，则销售量为（20+2y）件，根据总利润＝每件利润×销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ＜0可得出原方程无解，进而即可得出不可能每天盈利2000元．
【解答】解：（1）设每件童装降价x元，则销售量为（20+2x）件，
根据题意得：（120﹣80﹣x）（20+2x）＝1200，
整理得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20．
∵要让利于顾客，
∴x＝20．
答：每件童装降价20元时，能让利于顾客并且商家平均每天能盈利1200元．
（2）不可能，理由如下：
设每件童装降价y元，则销售量为（20+2y）件，
根据题意得：（120﹣80﹣y）（20+2y）＝2000，
整理得：y2﹣30y+600＝0．
∵Δ＝（﹣30）2﹣4×1×600＝﹣1500＜0，
∴该方程无解，
∴不可能每天盈利2000元．
23．（14分）【问题情境】
如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．
【探究展示】
（1）证明：AM＝AD+MC；
（2）AM＝DE+BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
【拓展延伸】
（3）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示（1）、（2）中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明．
【分析】（1）从平行线和中点这两个条件出发，延长AE、BC交于点N，如图1（1），易证△ADE≌△NCE，从而有AD＝CN，只需证明AM＝NM即可．
（2）作FA⊥AE交CB的延长线于点F，易证AM＝FM，只需证明FB＝DE即可；要证FB＝DE，只需证明它们所在的两个三角形全等即可．
（3）在图2（1）中，仿照（1）中的证明思路即可证到AM＝AD+MC仍然成立；在图2（2）中，采用反证法，并仿照（2）中的证明思路即可证到AM＝DE+BM不成立．
【解答】方法一：
（1）解：如图1（1）过点E作EF⊥AM交AM于F点，连接EM，
∵AE平分∠DAM
∴∠DAE＝∠EAF
在△ADE和△AEF中，
AE＝AE
∠D＝∠AFE＝90°
∴△ADE≌△AEF
∴AD＝AF，EF＝DE＝EC，
在△EFM和△ECM中，
∠EFM＝∠C
EM＝EM
EF＝CE
∴△EFM≌△ECM，
∴FM＝MC，AM＝AF+FM＝AD+MC
方法二：
证明：延长AE、BC交于点N，如图1（2），
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC．
∴∠DAE＝∠ENC．
∵AE平分∠DAM，
∴∠DAE＝∠MAE．
∴∠ENC＝∠MAE．
∴MA＝MN．
在△ADE和△NCE中，
∴△ADE≌△NCE（AAS）．
∴AD＝NC．
∴MA＝MN＝NC+MC
＝AD+MC．
（2）AM＝DE+BM成立．
方法一：
证明：将△ADE绕点A顺时针旋转90°，得到新△ABF，如图1（3）
∴BF＝DE，∠F＝∠AED．
∵AB∥DC，
∴∠AED＝∠BAE．
∵∠FAB＝∠EAD＝∠EAM，
∴∠AED＝∠BAE＝∠BAM+∠EAM＝∠BAM+∠FAB＝∠FAM．
∴∠F＝∠FAM．
∴AM＝FM．
∴AM＝FB+BM＝DE+BM
方法二：
证明：过点A作AF⊥AE，交CB的延长线于点F，如图1（4）所示．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠D＝∠ABC＝90°，AB＝AD，AB∥DC．
∵AF⊥AE，
∴∠FAE＝90°．
∴∠FAB＝90°﹣∠BAE＝∠DAE．
在△ABF和△ADE中，
∴△ABF≌△ADE（ASA）．
∴BF＝DE，∠F＝∠AED．
∵AB∥DC，
∴∠AED＝∠BAE．
∵∠FAB＝∠EAD＝∠EAM，
∴∠AED＝∠BAE＝∠BAM+∠EAM
＝∠BAM+∠FAB
＝∠FAM．
∴∠F＝∠FAM．
∴AM＝FM．
∴AM＝FB+BM＝DE+BM．
（3）①结论AM＝AD+MC仍然成立．
证明：延长AE、BC交于点P，如图2（1），
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC．
∴∠DAE＝∠EPC．
∵AE平分∠DAM，
∴∠DAE＝∠MAE．
∴∠EPC＝∠MAE．
∴MA＝MP．
在△ADE和△PCE中，
∴△ADE≌△PCE（AAS）．
∴AD＝PC．
∴MA＝MP＝PC+MC
＝AD+MC．
②结论AM＝DE+BM不成立．
证明：假设AM＝DE+BM成立．
过点A作AQ⊥AE，交CB的延长线于点Q，如图2（2）所示．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠D＝∠ABC＝90°，AB∥DC．
∵AQ⊥AE，
∴∠QAE＝90°．
∴∠QAB＝90°﹣∠BAE＝∠DAE．
∴∠Q＝90°﹣∠QAB
＝90°﹣∠DAE
＝∠AED．
∵AB∥DC，
∴∠AED＝∠BAE．
∵∠QAB＝∠EAD＝∠EAM，
∴∠AED＝∠BAE＝∠BAM+∠EAM
＝∠BAM+∠QAB
＝∠QAM．
∴∠Q＝∠QAM．
∴AM＝QM．
∴AM＝QB+BM．
∵AM＝DE+BM，
∴QB＝DE．
在△ABQ和△ADE中，
∴△ABQ≌△ADE（AAS）．
∴AB＝AD．
与条件“AB≠AD“矛盾，故假设不成立．
∴AM＝DE+BM不成立．
周阅读用时数（小时）
4
5
8
12
学生人数（人）
3
4
2
1
组别
分数段
频数
频率
一
50.5～60.5
16
0.08
二
60.5～70.5
30
0.15
三
70.5～80.5
m
0.25
四
80.5～90.5
80
n
五
90.5～100.5
24
0.12
周阅读用时数（小时）
4
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分数段
频数
频率
一
50.5～60.5
16
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二
60.5～70.5
30
0.15
三
70.5～80.5
m
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四
80.5～90.5
80
n
五
90.5～100.5
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