中考数学一轮复习满分突破(全国通用)专题26垂径定理(原卷版+解析)

这是一份中考数学一轮复习满分突破(全国通用)专题26垂径定理(原卷版+解析)，共27页。

基础知识回顾
垂径定理：垂直与弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧。
推论一：平分弦（不是直径）的直径垂直与这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧。
推论二：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧。
推论三：平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦，并且平分这条弦所对的另一条弧。
推论四：在同圆或者等圆中，两条平行弦所夹的弧相等。
模型的概述：
在⊙O中，AB为⊙O的直径，CD为弦，且AB⊥CD于点E,则
CE=CE eq \(\s\up5(⌒),\s\d2(BC)) = eq \(\s\up5(⌒),\s\d2(BD)) eq \(\s\up5(⌒),\s\d2(AC)) = eq \(\s\up5(⌒),\s\d2(AD))
证明（思路）：如图，连接OC、OD，则OC=OD
∵AB⊥CD ∴∠OED=∠OEC=90°
∴∆OED≌∆OEC （HL） ∴CE=DE ∠BOC=∠BOD ∴ eq \(\s\up5(⌒),\s\d2(BC)) = eq \(\s\up5(⌒),\s\d2(BD))
∵AB为⊙O的直径 ∴ eq \(\s\up5(⌒),\s\d2(ACB)) = eq \(\s\up5(⌒),\s\d2(ADB)) ∴ eq \(\s\up5(⌒),\s\d2(AC)) = eq \(\s\up5(⌒),\s\d2(AD))
【总结】垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：
（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其中三个，解题过程中应灵活运用该定理。
【口诀】
垂径定理五条件，一个垂直三平分；一条直线过圆心，知二明三把理明；平分弦时要谨慎，此弦不可为直径；两条直径都平分，哪能啥时都垂直。
【解题技巧】见弦常作弦心距，连接半径，构造直角三角形用勾股定理求解。
【培优过关练】
1．(2023年安徽省中考数学真题）已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP＝（ ）
A．B．4C．D．5
2．(2023年四川省泸州市中考数学真题）如图，是的直径，垂直于弦于点，的延长线交于点．若，，则的长是（ ）
A．1B．C．2D．4
3．(2023年黑龙江省牡丹江市中考数学真题）的直径，AB是的弦，，垂足为M，，则AC的长为______．
4．(2023年青海省中考数学真题）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C是中弦AB的中点，CD经过圆心O交于点D，并且，，则的半径长为______m．
5．(2023年湖南省长沙市中考数学真题）如图，A、B、C是上的点，，垂足为点D，且D为OC的中点，若，则BC的长为___________．
6．(2023年黑龙江省省龙东地区中考数学真题）如图，在中，AB是的弦，的半径为3cm，C为上一点，，则AB的长为________cm．
7．(2023·浙江湖州·统考中考真题）如图，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足为C，OC的延长线交⊙O于点D．若∠APD是所对的圆周角，则∠APD的度数是______．
8．(2023年贵州省六盘水市中考数学试题卷）牂狗江“佘月郎山，西陵晚渡”的风景描绘中有半个月亮挂在山上，月亮之上有个“齐天大圣”守护洞口的传说．真实情况是老王山上有个月亮洞，洞顶上经常有猴子爬来爬去，下图是月亮洞的截面示意图．
(1)科考队测量出月亮洞的洞宽约是28m，洞高约是12m，通过计算截面所在圆的半径可以解释月亮洞像半个月亮，求半径的长（结果精确到0.1m）；
(2)若，点在上，求的度数，并用数学知识解释为什么“齐天大圣”点在洞顶上巡视时总能看清洞口的情况．
9．(2023年湖北省宜昌市中考数学真题）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为．桥的跨度（弧所对的弦长），设所在圆的圆心为，半径，垂足为．拱高（弧的中点到弦的距离）．连接．
(1)直接判断与的数量关系；
(2)求这座石拱桥主桥拱的半径（精确到）．
10．(2023年天津市中考数学真题）已知为的直径，，C为上一点，连接．
(1)如图①，若C为的中点，求的大小和的长；
(2)如图②，若为的半径，且，垂足为E，过点D作的切线，与的延长线相交于点F，求的长．
11．(2023年江苏省扬州市中考数学真题）如图，为的弦，交于点，交过点的直线于点，且．
(1)试判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若，求的长．
12．(2023年四川省德阳市中考数学真题）如图，是的直径，是的弦，，垂足是点，过点作直线分别与，的延长线交于点，，且．
(1)求证：是的切线；
(2)如果，，
①求的长；
②求的面积．
13．（北京市2021年中考数学真题试题）如图，是的外接圆，是的直径，于点．
（1）求证：；
（2）连接并延长，交于点，交于点，连接．若的半径为5，，求和的长．
14．(2023·山东德州·统考中考真题）如图1，在等腰三角形中，，为底边的中点，过点作，垂足为，以点为圆心，为半径作圆，交于点，．
(1)与的位置关系为_______；
(2)求证：是的切线；
(3)如图2，连接，，，求的直径．(结果保留小数点后一位．参考数据：)
15．(2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，如图，点A、B、C在圆O上，，直线，，点O在BD上．
(1)判断直线AD与圆O的位置关系，并说明理由；
(2)若圆的半径为6，求图中阴影部分的面积．
16．(2023·山东东营·统考中考真题）如图，为的直径，点C为上一点，于点D，平分．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若的半径为2，求图中阴影部分的面积．
专题26 垂径定理
基础知识回顾
垂径定理：垂直与弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧。
推论一：平分弦（不是直径）的直径垂直与这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧。
推论二：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧。
推论三：平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦，并且平分这条弦所对的另一条弧。
推论四：在同圆或者等圆中，两条平行弦所夹的弧相等。
模型的概述：
在⊙O中，AB为⊙O的直径，CD为弦，且AB⊥CD于点E,则
CE=CE eq \(\s\up5(⌒),\s\d2(BC)) = eq \(\s\up5(⌒),\s\d2(BD)) eq \(\s\up5(⌒),\s\d2(AC)) = eq \(\s\up5(⌒),\s\d2(AD))
证明（思路）：如图，连接OC、OD，则OC=OD
∵AB⊥CD ∴∠OED=∠OEC=90°
∴∆OED≌∆OEC （HL） ∴CE=DE ∠BOC=∠BOD ∴ eq \(\s\up5(⌒),\s\d2(BC)) = eq \(\s\up5(⌒),\s\d2(BD))
∵AB为⊙O的直径 ∴ eq \(\s\up5(⌒),\s\d2(ACB)) = eq \(\s\up5(⌒),\s\d2(ADB)) ∴ eq \(\s\up5(⌒),\s\d2(AC)) = eq \(\s\up5(⌒),\s\d2(AD))
【总结】垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：
（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其中三个，解题过程中应灵活运用该定理。
【口诀】
垂径定理五条件，一个垂直三平分；一条直线过圆心，知二明三把理明；平分弦时要谨慎，此弦不可为直径；两条直径都平分，哪能啥时都垂直。
【解题技巧】见弦常作弦心距，连接半径，构造直角三角形用勾股定理求解。
【培优过关练】
1．(2023年安徽省中考数学真题）已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP＝（ ）
A．B．4C．D．5
答案:D
分析：连接，过点作于点，如图所示，先利用垂径定理求得，然后在中求得，再在中，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：连接，过点作于点，如图所示，
则，，
∵PA＝4，PB＝6，
∴，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
故选：D
【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理的运用，构造直角三角形是解题的关键．
2．(2023年四川省泸州市中考数学真题）如图，是的直径，垂直于弦于点，的延长线交于点．若，，则的长是（ ）
A．1B．C．2D．4
答案:C
分析：根据垂径定理求出OD的长，再根据中位线求出BC=2OD即可．
【详解】设OD=x，则OE=OA=DE-OD=4-x．
∵是的直径，垂直于弦于点，
∴
∴OD是△ABC的中位线
∴BC=2OD
∵
∴，解得
∴BC=2OD=2x=2
故选：C
【点睛】本题考查垂径定理、中位线的性质，根据垂径定理结合勾股定理求出OD的长是解题的关键．
3．(2023年黑龙江省牡丹江市中考数学真题）的直径，AB是的弦，，垂足为M，，则AC的长为______．
答案:或
分析：分①点在线段上，②点在线段上两种情况，连接，先利用勾股定理求出的长，再在中，利用勾股定理求解即可得．
【详解】解：由题意，分以下两种情况：
①如图，当点在线段上时，连接，
的直径，
，
，
，
，
，
；
②如图，当点在线段上时，连接，
同理可得：，
，
；
综上，的长为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了勾股定理、圆，正确分两种情况讨论是解题关键．
4．(2023年青海省中考数学真题）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C是中弦AB的中点，CD经过圆心O交于点D，并且，，则的半径长为______m．
答案:/
分析：连接，先根据垂径定理、线段中点的定义可得，设的半径长为，则，，再在中，利用勾股定理即可得．
【详解】解：如图，连接，
是中的弦的中点，且，
，，
设的半径长为，则，
，
，
在中，，即，
解得，
即的半径长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题关键．
5．(2023年湖南省长沙市中考数学真题）如图，A、B、C是上的点，，垂足为点D，且D为OC的中点，若，则BC的长为___________．
答案:7
分析：根据垂径定理可得垂直平分，根据题意可得平方，可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质即可求解．
【详解】解：如图，连接，
A、B、C是上的点，，
，
D为OC的中点，
，
四边形是菱形，，
．
故答案为：7．
【点睛】本题考查了垂径定理，菱形的性质与判定，掌握垂径定理是解题的关键．
6．(2023年黑龙江省省龙东地区中考数学真题）如图，在中，AB是的弦，的半径为3cm，C为上一点，，则AB的长为________cm．
答案:
分析：连接OA、OB，过点O作OD⊥AB于点D，由垂径定理和圆周角定理可得，，再根据等腰三角形的性质可得，利用含30°角的直角三角形的性质和勾股定理即可求解．
【详解】解：连接OA、OB，过点O作OD⊥AB于点D，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质和勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
7．(2023·浙江湖州·统考中考真题）如图，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足为C，OC的延长线交⊙O于点D．若∠APD是所对的圆周角，则∠APD的度数是______．
答案:30°/30度
分析：根据垂径定理得出∠AOB=∠BOD，进而求出∠AOD=60°，再根据圆周角定理可得∠APD=∠AOD=30°．
【详解】∵OC⊥AB，OD为直径，
∴，
∴∠AOB=∠BOD，
∵∠AOB=120°，
∴∠AOD=60°，
∴∠APD=∠AOD=30°，
故答案为：30°．
【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理等知识，掌握垂径定理是解答本题的关键．
8．(2023年贵州省六盘水市中考数学试题卷）牂狗江“佘月郎山，西陵晚渡”的风景描绘中有半个月亮挂在山上，月亮之上有个“齐天大圣”守护洞口的传说．真实情况是老王山上有个月亮洞，洞顶上经常有猴子爬来爬去，下图是月亮洞的截面示意图．
(1)科考队测量出月亮洞的洞宽约是28m，洞高约是12m，通过计算截面所在圆的半径可以解释月亮洞像半个月亮，求半径的长（结果精确到0.1m）；
(2)若，点在上，求的度数，并用数学知识解释为什么“齐天大圣”点在洞顶上巡视时总能看清洞口的情况．
答案:(1)
(2)，因为CD在∠CMD的内部，所以点在洞顶上巡视时总能看清洞口的情况
分析：（1）根据垂径定理可得，勾股定理解，即可求解；
（2）在优弧上任取一点，连接根据圆周角定理可得，根据圆内接四边形对角互补即可求解．根据因为CD在∠CMD的内部，所以点在洞顶上巡视时总能看清洞口的情况．
【详解】（1）解：，，
，
设半径为，则
在中，
解得
答：半径的长约为
（2）如图，在优弧上任取一点，连接
，
，
，
因为CD在∠CMD的内部，所以点在洞顶上巡视时总能看清洞口的情况．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
9．(2023年湖北省宜昌市中考数学真题）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为．桥的跨度（弧所对的弦长），设所在圆的圆心为，半径，垂足为．拱高（弧的中点到弦的距离）．连接．
(1)直接判断与的数量关系；
(2)求这座石拱桥主桥拱的半径（精确到）．
答案:(1)
(2)这座石拱桥主桥拱半径约为
分析：（1）根据垂径定理即可得出结论；
（2）设主桥拱半径为，在中，根据勾股定理列出方程，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵半径，
∴．
故答案为：．
（2）设主桥拱半径为，由题意可知，，
∴，，
在中，由勾股定理，得，
即，
解得，
∴，
因此，这座石拱桥主桥拱半径约为．
【点睛】此题考查垂径定理和勾股定理，是重要考点，根据题意利用勾股定理列出方程是解题关键．
10．(2023年天津市中考数学真题）已知为的直径，，C为上一点，连接．
(1)如图①，若C为的中点，求的大小和的长；
(2)如图②，若为的半径，且，垂足为E，过点D作的切线，与的延长线相交于点F，求的长．
答案:(1)，
(2)
分析：（1）由圆周角定理得，由C为的中点，得，从而，即可求得的度数，通过勾股定理即可求得AC的长度；
（2）证明四边形为矩形，FD=CE= CB，由勾股定理求得BC的长，即可得出答案．
【详解】（1）∵为的直径，
∴，
由C为的中点，得，
∴，得，
在中，，
∴；
根据勾股定理，有，
又，得，
∴；
（2）∵是的切线，
∴，即，
∵，垂足为E，
∴，
同（1）可得，有，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，于是，
在中，由，得，
∴．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，切线的性质，等腰直角三角形的性质，垂径定理，勾股定理和矩形的判定和性质等，解题的关键是利用数形结合的思想解答此题．
11．(2023年江苏省扬州市中考数学真题）如图，为的弦，交于点，交过点的直线于点，且．
(1)试判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若，求的长．
答案:(1)相切，证明见详解
(2)6
分析：（1）连接OB，根据等腰三角形的性质得出，，从而求出，再根据切线的判定得出结论；
（2）分别作交AB于点M，交AB于N，根据求出OP，AP的长，利用垂径定理求出AB的长，进而求出BP的长，然后在等腰三角形CPB中求解CB即可．
【详解】（1）证明：连接OB，如图所示：
，
，，
，
，
，即，
，
，
为半径，经过点O，
直线与的位置关系是相切．
（2）分别作交AB于点M，交AB于N，如图所示：
，
，
，，
，，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了切线的证明，垂径定理的性质，等腰三角形，勾股定理，三角函数等知识点，熟练掌握相关知识并灵活应用是解决此题的关键，抓住直角三角形边的关系求解线段长度是解题的主线思路．
12．(2023年四川省德阳市中考数学真题）如图，是的直径，是的弦，，垂足是点，过点作直线分别与，的延长线交于点，，且．
(1)求证：是的切线；
(2)如果，，
①求的长；
②求的面积．
答案:(1)证明过程见详解
(2)①；②
分析：（1）连接OC、BC，根据垂径定理得到AB平分弦CD，AB平分，即有∠BAD=∠BAC=∠DCB，再根据∠ECD=2∠BAD，证得∠BCE=∠BCD，即有∠BCE=∠BAC，则有∠ECB=∠OCA，即可得∠ECB+∠OCB=90°，即有CO⊥FC，则问题得证；
（2）①利用勾股定理求出OH、BC、AC，在Rt△ECH中，，在Rt△ECO中，，即可得到，则问题得解；
②过F点作FP⊥AB，交AE的延长线于点P，先证△PAF∽△HAC，再证明△PEF∽△HEC，即可求出PF，则△PEF的面积可求．
【详解】（1）连接OC、BC，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，AO=OB，
∵AB⊥CD，
∴AB平分弦CD，AB平分，
∴CH=HD，，∠CHA=90°=∠CHE，
∴∠BAD=∠BAC=∠DCB，
∵∠ECD=2∠BAD，
∴∠ECD=2∠BAD=2∠BCD，
∵∠ECD=∠ECB+∠BCD，
∴∠BCE=∠BCD，
∴∠BCE=∠BAC，
∵OC=OA，
∴∠BAC=∠OCA，
∴∠ECB=∠OCA，
∵∠ACB=90°=∠OCA+∠OCB，
∴∠ECB+∠OCB=90°，
∴CO⊥FC，
∴CF是⊙O的切线；
（2）①∵AB=10，CD=6，
∴在（1）的结论中有AO=OB=5，CH=HD=3，
∴在Rt△OCH中，，
同理利用勾股定理，可求得，，
∴BH=OB-OH=5-4=1，HA=OA+OH=4+5=9，即HE=BH+BE，
在Rt△ECH中，，
∵CF是⊙O的切线，
∴∠OCB=90°，
∴在Rt△ECO中，，
∴，
解得：，
∴，
②过F点作FP⊥AB，交AE的延长线于点P，如图，
∵∠BAD=∠CAB，∠CHA=90°=∠P，
∴△PAF∽△HAC，
∴，即，
∴，
∵∠PEF=∠CEH，∠CHB=90°=∠P，
∴△PEF∽△HEC，
∴，即，
∵HB=1，，，，
∴，
解得：，
∴，
故△AEF的面积为．
【点睛】本题主要考查了垂径定理、切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，掌握垂径定理是解答本题的关键．利用相似三角形的性质是解题的难点．
13．（北京市2021年中考数学真题试题）如图，是的外接圆，是的直径，于点．
（1）求证：；
（2）连接并延长，交于点，交于点，连接．若的半径为5，，求和的长．
答案:（1）见详解；（2），
分析：（1）由题意易得，然后问题可求证；
（2）由题意可先作图，由（1）可得点E为BC的中点，则有，进而可得，然后根据相似三角形的性质可进行求解．
【详解】（1）证明：∵是的直径，，
∴，
∴；
（2）解：由题意可得如图所示：
由（1）可得点E为BC的中点，
∵点O是BG的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵的半径为5，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查垂径定理、三角形中位线及相似三角形的性质与判定，熟练掌握垂径定理、三角形中位线及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
14．(2023·山东德州·统考中考真题）如图1，在等腰三角形中，，为底边的中点，过点作，垂足为，以点为圆心，为半径作圆，交于点，．
(1)与的位置关系为_______；
(2)求证：是的切线；
(3)如图2，连接，，，求的直径．(结果保留小数点后一位．参考数据：)
答案:(1)相切
(2)见解析
(3)
分析：（1）利用直线与圆的相切的定义解答即可；
（2）过点作于点，连接，通过证明，利用直线与圆相切的定义解答即可；
（3）过点作于点，利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得，再利用垂径定理和直角三角形的边角关系定理求得圆的半径，则圆的直径可求．
【详解】（1）解：，点为圆心，为半径，
圆心到直线的距离等于圆的半径，
为的切线，
与的位置关系为相切，
故答案为：相切；
（2）证明：过点作于点，连接，如图，
，为底边的中点，
为的平分线，
，，
，
为的半径，
为的半径，
是的切线；
（3）解：过点作于点，如图，
，，
，
，
．
，
，
，，
为的平分线，
．
在中，
，
∴
的直径．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，垂径定理，圆的切线的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，三角形的内角和定理，过圆心作直线的垂线段是解决此类问题常添加的辅助线，综合运用以上知识是解题的关键．
15．(2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，如图，点A、B、C在圆O上，，直线，，点O在BD上．
(1)判断直线AD与圆O的位置关系，并说明理由；
(2)若圆的半径为6，求图中阴影部分的面积．
答案:(1)直线AD与圆O相切，理由见解析
(2)
分析：（1）连接OA，根据和AB=AD，可得∠DBC=∠ABD=∠D=30°，从而得到∠BAD=120°，再由OA=OB，可得∠BAO=∠ABD=30°，从而得到∠OAD=90°，即可求解；
（2）连接OC，作OH⊥BC于H，根据垂径定理可得，进而得到，再根据阴影部分的面积为，即可求解．
【详解】（1）解：直线AD与圆O相切，理由如下：
如图，连接OA，
∵，
∴∠D=∠DBC，
∵AB=AD，
∴∠D=∠ABD，
∵，
∴∠DBC=∠ABD=∠D=30°，
∴∠BAD=120°，
∵OA=OB，
∴∠BAO=∠ABD=30°，
∴∠OAD=90°，
∴OA⊥AD，
∵OA是圆的半径，
∴直线AD与园O相切，
（2）解：如图，连接OC，作OH⊥BC于H，
∵OB=OC=6，
∴∠OCB=∠OBC=30°，
∴∠BOC=120°，
∴，
∴，
∴，
∴扇形BOC的面积为，
∵，
∴阴影部分的面积为．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，求扇形面积，垂径定理，熟练掌握切线的判定定理，并根据题意得到阴影部分的面积为是解题的关键．
16．(2023·山东东营·统考中考真题）如图，为的直径，点C为上一点，于点D，平分．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若的半径为2，求图中阴影部分的面积．
答案:(1)见解析
(2)
分析：（1）连接OC，根据OB=OC，以及平分推导出，即可得出，从而推出，即证明得出结论；
（2）过点O作于F，利用即可得出答案．
【详解】（1）证明：连接OC，如图，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵于点D，
∴，
∴直线是的切线；
（2）过点O作于F，如图，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了圆的综合问题，包括垂径定理，圆的切线，扇形的面积公式等，熟练掌握以上性质并正确作出辅助线是本题的关键．