沪科版 八年级数学下学期期末模拟卷4（含解析）

这是一份沪科版 八年级数学下学期期末模拟卷4（含解析），共17页。试卷主要包含了选择，填空等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）若，，则x与y关系是（ ）
A．x＞yB．x＝yC．x＜yD．xy＝1
2．（4分）正方形的网格中，每个小正方形的边长为1，则网格中三角形ABC中，边长是无理数的边数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
3．（4分）实数a、b在数轴上位置如图，则化简为（ ）
A．﹣aB．﹣3aC．2b+aD．2b﹣a
4．（4分）长度分别为9cm、12cm、15cm、36cm、39cm五根木棍首尾连接，最多可搭成直角三角形的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．（4分）方程2x（x﹣3）＝5（x﹣3）的根是（ ）
A．B．x＝3
C．x1＝3，D．
6．（4分）若t是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根，则判别式△＝b2﹣4ac和完全平方式M＝（2at+b）2的关系是（ ）
A．△＝MB．△＞M
C．△＜MD．大小关系不能确定
7．（4分）已知三角形两边长是4和7，第三边是方程x2﹣16x+55＝0的根，则第三边长是（ ）
A．5B．11C．5或11D．6
8．（4分）A、B、C、D为同一平面内四个点，从下面这四个条件中任意选两个，能使四边形ABCD是平行四边形选法有（ ）
①AB∥CD②AB＝CD③BC∥AD④BC＝AD．
A．5种B．4种C．3种D．2种
9．（4分）如图，直线L过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线L的距离分别是1和2，则正方形的边长是（ ）
A．5B．3C．D．
10．（4分）如图是某班一次数学测验成绩的频数分布直方图，则数学成绩在69.5～89.5分范围内的学生占全体学生的（ ）
A．47.5%B．60%C．72.5%D．82.5%
二、填空（每题5分，计20分）
11．（5分）在△ABC中，AB＝AC＝41cm，BC＝80cm，AD为∠A的平分线，则S△ABC＝ ．
12．（5分）计算＝ ．
13．（5分）在梯形ABCD中．AB∥CD，EF为中位线，则△AEF的面积与梯形ABCD的面积之比是 ．
14．（5分）已知矩形纸片ABCD中，AB＝1，BC＝2．将该纸片折叠成一个平面图形，折痕EF不经过A点（E、F是该矩形边界上的点），折叠后点A落在点A′处，给出以下判断：
①当四边形A′CDF为正方形时，EF＝；
②当EF＝时，四边形A′CDF为正方形；
③当EF＝时，四边形BA′CD为等腰梯形；
④当四边形BA′CD为等腰梯形时，EF＝．
其中正确的是 （把所有正确结论的序号都填在横线上）．
三、（2×8分＝16分）
15．（8分）计算 ．
16．（8分）计算：（3﹣2+）÷2+（）2．
四、（2×8分＝16分）
17．（8分）解方程x2﹣1＝4x．
18．（8分）定义运算“@”如下：当a≥b时，a@b＝ab﹣a；当a＜b时，a@b＝ab+b．
（1）计算：2@（﹣）；
（2）若x@（x+3）＝8，求x的值？
五、（2×10分＝20分）
19．（10分）一辆汽车装满货物的卡车，2.5m的高，1.6m的宽，要进厂门形状如图某工厂，问这辆卡车能否通过门？请说明理由．
20．（10分）某中学团委会为研究该校学生的课余活动情况，采取抽样的方法，从阅读、运动、娱乐、其它等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制了如下的两幅不完整的统计图（如图1，图2），请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次研究中，一共调查了多少名学生？
（2）“其它”在扇形图中所占的圆心角是多少度？
（3）补全频数分布折线图．
六、（12分）
21．（12分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC．点E、F、G分别在边AB、BC、CD上，AE＝GF＝GC．
（1）求证：四边形AEFG是平行四边形；
（2）当∠FGC＝2∠EFB时，求证：四边形AEFG是矩形．
七、（12分）
22．（12分）关于x的方程4kx2+4（k+2）x+k＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
八、（14分）
23．（14分）如图，△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝4，DC＝6，求AD的长．
小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题．
请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：
（1）分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，证明四边形AEGF是正方形；
（2）设AD＝x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值．
期末模拟卷（4）
参考答案与试题解析
一、选择（每题4分，计40分）
1．（4分）若，，则x与y关系是（ ）
A．x＞yB．x＝yC．x＜yD．xy＝1
【分析】先把y进行分母有理化得到y＝2+，即可得到x与y的关系．
【解答】解：∵y＝＝＝2+，
而x＝2+，
∴x＝y．
故选：B．
2．（4分）正方形的网格中，每个小正方形的边长为1，则网格中三角形ABC中，边长是无理数的边数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【分析】根据图中所示，利用勾股定理求出每个边长，依此即可求解．
【解答】解：观察图形，应用勾股定理，得
AB＝＝，
BC＝＝，
AC＝＝5，
边长是无理数的边数是2．
故选：C．
3．（4分）实数a、b在数轴上位置如图，则化简为（ ）
A．﹣aB．﹣3aC．2b+aD．2b﹣a
【分析】由数轴可知，b＜0＜a，且|b|＞|a|，由此可知a+b＜0，立方根化简时，不需要判断（a﹣b）的符号．
【解答】解：∵b＜0＜a，且|b|＞|a|，
∴a+b＜0，
∴
＝﹣a﹣b﹣a﹣（a﹣b）
＝﹣3a，
故选：B．
4．（4分）长度分别为9cm、12cm、15cm、36cm、39cm五根木棍首尾连接，最多可搭成直角三角形的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】分别求出5个数字的平方，看哪两个的平方和等于第三个数的平方，从而可判断能构成直角三角形．
【解答】解：∵92＝81，122＝144，152＝225，362＝1296，392＝1521，
∴81+144＝225，225+1296＝1521，
即92+122＝152，152+362＝392，
故选：B．
5．（4分）方程2x（x﹣3）＝5（x﹣3）的根是（ ）
A．B．x＝3
C．x1＝3，D．
【分析】先把方程变形为：2x（x﹣3）﹣5（x﹣3）＝0，再把方程左边进行因式分解得（x﹣3）（2x﹣5）＝0，程就可化为两个一元一次方程x﹣3＝0或2x﹣5＝0，解两个一元一次方程即可．
【解答】解：方程变形为：2x（x﹣3）﹣5（x﹣3）＝0，
∴（x﹣3）（2x﹣5）＝0，
∴x﹣3＝0或2x﹣5＝0，
∴x1＝3，x2＝．
故选：C．
6．（4分）若t是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根，则判别式△＝b2﹣4ac和完全平方式M＝（2at+b）2的关系是（ ）
A．△＝MB．△＞M
C．△＜MD．大小关系不能确定
【分析】把t代入原方程得到at2+bt+c＝0两边同乘以4a，移项，再两边同加上b2，就得到了（2at+b）2＝b2﹣4ac．
【解答】解：t是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根
则有at2+bt+c＝0
4a2t2+4abt+4ac＝0
4a2t2+4abt＝﹣4ac
4a2t2+b2+4abt＝b2﹣4ac
（2at）2+4abt+b2＝b2﹣4ac
（2at+b）2＝b2﹣4ac＝△
故选：A．
7．（4分）已知三角形两边长是4和7，第三边是方程x2﹣16x+55＝0的根，则第三边长是（ ）
A．5B．11C．5或11D．6
【分析】求出方程的解x1＝11，x2＝5，分为两种情况：①当x＝11时，此时不符合三角形的三边关系定理；②当x＝5时，此时符合三角形的三边关系定理，即可得出答案．
【解答】解：x2﹣16x+55＝0，
（x﹣11）（x﹣5）＝0，
x﹣11＝0，x﹣5＝0，
解得：x1＝11，x2＝5，
①当x＝11时，
∵4+7＝11，
∴此时不符合三角形的三边关系定理，
∴11不是三角形的第三边；
②当x＝5时，三角形的三边是4、7、5，
∵此时符合三角形的三边关系定理，
∴第三边长是5．
故选：A．
8．（4分）A、B、C、D为同一平面内四个点，从下面这四个条件中任意选两个，能使四边形ABCD是平行四边形选法有（ ）
①AB∥CD②AB＝CD③BC∥AD④BC＝AD．
A．5种B．4种C．3种D．2种
【分析】平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．灵活运用平行四边形的判定定理，可作出判断．
【解答】解：①和③根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能推出四边形ABCD为平行四边形；
①和②，③和④根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能推出四边形ABCD为平行四边形；
②和④根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，能推出四边形ABCD为平行四边形；
所以能推出四边形ABCD为平行四边形的有四组，故选B．
9．（4分）如图，直线L过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线L的距离分别是1和2，则正方形的边长是（ ）
A．5B．3C．D．
【分析】两直角三角形的斜边是正方形的两边，相等；有一直角对应相等；再根据正方形的角为直角，可得到有一锐角对应相等，易得两直角三角形全等，由三角形全等的性质可把2，1，正方形的边长组合到直角三角形内得正方形边长．
【解答】解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，∠ABM+∠CBN＝90°，
而AM⊥MN，CN⊥BN，
∴∠BAM＝∠CBN，∠AMB＝∠CNB＝90°，
∴△AMB≌△BCN，
∴BM＝CN，
∴AB＝＝，
故选：C．
10．（4分）如图是某班一次数学测验成绩的频数分布直方图，则数学成绩在69.5～89.5分范围内的学生占全体学生的（ ）
A．47.5%B．60%C．72.5%D．82.5%
【分析】从图中得到总人数及其中数学成绩在69.5～89.5分范围内人数，根据频率＝，计算数学成绩在69.5～89.5分范围内的学生占全体学生的频率．
【解答】解：读图可知：共有（2+9+10+14+5）＝40人，其中数学成绩在69.5～89.5分范围内有（14+10）＝24人，故数学成绩在69.5～89.5分范围内的学生占全体学生的＝60%．
故选：B．
二、填空（每题5分，计20分）
11．（5分）在△ABC中，AB＝AC＝41cm，BC＝80cm，AD为∠A的平分线，则S△ABC＝ 360cm2 ．
【分析】根据等腰三角形的性质可知AD⊥BC，继而在Rt△ABD中利用勾股定理求出AD的长，最后利用三角形的面积公式求出S△ABC即可．
【解答】解：画出图形如下所示：
∵AB＝AC＝41cm，AD为∠A的平分线，
∴AD⊥BC，
∵BC＝80cm，
∴BD＝40cm，
在Rt△ABD中，利用勾股定理可得：AD＝＝＝9cm．
∴S△ABC＝BC•AD＝×80×9＝360cm2．
故答案为：360cm2．
12．（5分）计算＝ 1 ．
【分析】按照二次根式的除法法则进行运算即可．
【解答】解：原式＝÷＝1．
故答案为：1．
13．（5分）在梯形ABCD中．AB∥CD，EF为中位线，则△AEF的面积与梯形ABCD的面积之比是 1：4 ．
【分析】过A作AG⊥BC于G，交EF于H，再根据梯形的中位线定理及面积公式解答即可．
【解答】解：过A作AG⊥BC于G，交EF于H，
∵EF是梯形ABCD的中位线，
∴AD+BC＝2EF，AG＝2AH，
设△AEF的面积为xcm2，即 EF•AH＝xcm2，
∴EF•AH＝2xcm2，
∴S梯形ABCD＝（AD+BC）•AG＝×2EF×2AH＝2EF•AH＝2×2xcm2＝4xcm2．
∴△AEF的面积与梯形ABCD的面积之比为：1：4．
故答案为：1：4．
14．（5分）已知矩形纸片ABCD中，AB＝1，BC＝2．将该纸片折叠成一个平面图形，折痕EF不经过A点（E、F是该矩形边界上的点），折叠后点A落在点A′处，给出以下判断：
①当四边形A′CDF为正方形时，EF＝；
②当EF＝时，四边形A′CDF为正方形；
③当EF＝时，四边形BA′CD为等腰梯形；
④当四边形BA′CD为等腰梯形时，EF＝．
其中正确的是 ①③④ （把所有正确结论的序号都填在横线上）．
【分析】①根据正方形的性质和矩形的性质判定“A′F刚好是矩形ABCD的中位线，点E和点B重合，EF即正方形ABA′F的对角线”，所以在直角△AEF中，由勾股定理可以求得EF＝；
②根据①中的EF＝可以推知，当EF沿着BC边平移时，EF的长度不变，但是四边形A′CDF不是正方形；
③根据勾股定理求得BD＝，所以由已知条件可以推知EF与对角线BD重合．由折叠的性质、矩形的性质易证四边形BA′CD为等腰梯形；
④当四边形BA′CD为等腰梯形时，EF与对角线BD重合，即EF＝．
【解答】解：∵在矩形纸片ABCD中，AB＝1，BC＝2，
∴BC＝2AB．
①如图①．∵A′CDF为正方形，说明A′F刚好是矩形ABCD的中位线，
∴AF＝BA′＝1，即点E和点B重合，EF即正方形ABA′F的对角线．
EF＝AB＝．
故①正确；
②如图①，由①知四边形A′CDF为正方形时，EF＝，此时点E与点B重合．
EF可以沿着BC边平移，当点E与点B不重合时，四边形A′CDF就不是正方形．
故②错误；
③如图②，∵BD＝＝＝，EF＝，
∴BD＝EF，
∴EF与对角线BD重合．
易证BA′CD是等腰梯形．
故③正确；
④BA′CD为等腰梯形，只能是BA′＝CD，EF与BD重合，所以EF＝．
故④正确．
综上所述，正确的是①③④．
故填：①③④．
三、（2×8分＝16分）
15．（8分）计算 ．
【分析】分别计算负整数指数幂、零指数幂，然后去括号，合并同类二次根式即可．
【解答】解：原式＝﹣2﹣1+1＝2+﹣2＝．
16．（8分）计算：（3﹣2+）÷2+（）2．
【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，再把括号内合并后进行二次根式的乘法运算，然后进行加法运算．
【解答】解：原式＝（6﹣+4）÷2+
＝÷2+
＝+
＝5．
四、（2×8分＝16分）
17．（8分）解方程x2﹣1＝4x．
【分析】先化为一般式：x2﹣4x﹣1＝0．然后把a＝1，b＝﹣4，c＝﹣1代入求根公式计算即可．
【解答】解：原方程化为一般式：x2﹣4x﹣1＝0．
∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣1，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣1）＝20，
∴x＝＝＝2±，
∴x1＝2+，x2＝2﹣．
18．（8分）定义运算“@”如下：当a≥b时，a@b＝ab﹣a；当a＜b时，a@b＝ab+b．
（1）计算：2@（﹣）；
（2）若x@（x+3）＝8，求x的值？
【分析】（1）根据题意得出关于x的一元二次方程，求出方程的解即可；
（2）根据题意分为两种情况，得出关于x的一元二次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（1）2@（﹣）
＝2×（﹣）﹣2
＝﹣3；
（2）①当x≥x+3时，x@（x+3）＝8，
x（x+3）﹣x＝8，
x2+2x+8＝0，
b2﹣4ac＝22﹣4×1×8＜0，
此方程无解；
②当x＜x+3时，x@（x+3）＝8，
x（x+3）+x+3＝8，
x2+4x﹣5＝0，
解得：x＝﹣5或x＝1．
五、（2×10分＝20分）
19．（10分）一辆汽车装满货物的卡车，2.5m的高，1.6m的宽，要进厂门形状如图某工厂，问这辆卡车能否通过门？请说明理由．
【分析】首先利用垂径定理求得CE的长，然后利用勾股定理求得OE的长，从而求得CM的长，与2.5米比较后即可得到结果．
【解答】解：这辆卡车能通过厂门．理由如下：
如图M，N为卡车的宽度，过M，N作AB的垂线交半圆于C，D，过O作OE⊥CD，E为垂足，
则CD＝MN＝1.6m，AB＝2m，
由作法得，CE＝DE＝0.8m，
又∵OC＝OA＝1m，
∴OE＝＝0.6m
∴CM＝0.6+2.3＝2.9m＞2.5m
∴卡车能通过大门．
20．（10分）某中学团委会为研究该校学生的课余活动情况，采取抽样的方法，从阅读、运动、娱乐、其它等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制了如下的两幅不完整的统计图（如图1，图2），请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次研究中，一共调查了多少名学生？
（2）“其它”在扇形图中所占的圆心角是多少度？
（3）补全频数分布折线图．
【分析】（1）由“运动”的人数和所占比例，求出全部调查人数；
（2）根据扇形所对圆心角的度数与百分比的关系是：圆心角的度数＝百分比*360度计算出“其它”在扇形图中所占的圆心角；
（3）根据各项的比例，求出各项的人数，补全折线图．
【解答】解：（1）运动的人数为20人，占的比例为20%，则全部调查人数：20÷20%＝100人；
（2）阅读的人数为30人，则阅读占的比例：30÷100＝30%，其它占的比例＝1﹣20%﹣40%﹣30%＝10%，则表示其它的扇形的圆心角：360°×10%＝36°；
（3）其它的人数：100×10%＝10人，娱乐的人数＝100×40%＝40人，如图．
六、（12分）
21．（12分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC．点E、F、G分别在边AB、BC、CD上，AE＝GF＝GC．
（1）求证：四边形AEFG是平行四边形；
（2）当∠FGC＝2∠EFB时，求证：四边形AEFG是矩形．
【分析】（1）要证明该四边形是平行四边形，只需证明AE∥FG．根据对边对等角∠GFC＝∠C，和等腰梯形的性质得到∠B＝∠C．则∠B＝∠GFC，得到AE∥FG．
（2）在平行四边形的基础上要证明是矩形，只需证明有一个角是直角．根据三角形FGC的内角和是180°，结合∠FGC＝2∠EFB和∠GFC＝∠C，得到∠BFE+∠GFC＝90°．则∠EFG＝90°．
【解答】证明：（1）∵在梯形ABCD中，AB＝DC，
∴∠B＝∠C．
∵GF＝GC，
∴∠C＝∠GFC，
∴∠B＝∠GFC
∴AB∥GF，即AE∥GF．
∵AE＝GF，
∴四边形AEFG是平行四边形．
（2）∵∠FGC+∠GFC+∠C＝180°，∠GFC＝∠C，∠FGC＝2∠EFB，
∴2∠GFC+2∠EFB＝180°，
∴∠BFE+∠GFC＝90°．
∴∠EFG＝90°．
∵四边形AEFG是平行四边形，
∴四边形AEFG是矩形．
七、（12分）
22．（12分）关于x的方程4kx2+4（k+2）x+k＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
【分析】（1）由于x的方程4kx2+4（k+2）x+k＝0有两个不相等的实数根，由此可以得到判别式是正数，这样就可以得到关于k的不等式，解不等式即可求解；
（2）不存在符合条件的实数k．设方程4kx2+4（k+2）x+k＝0的两根分别为x1、x2，由根与系数关系有：x1+x2＝﹣，x1•x2＝，又＝，然后把前面的等式代入其中即可求k，然后利用（1）即可判定结果．
【解答】解：（1）由△＝[4（k+2）]2﹣4×4k•k＞0，
∴k＞﹣1
又∵4k≠0，
∴k的取值范围是k＞﹣1，且k≠0；
（2）不存在符合条件的实数k
理由：设方程4kx2+4（k+2）x+k＝0的两根分别为x1、x2，
由根与系数关系有：
x1+x2＝﹣，x1•x2＝，
又＝＝﹣＝0，
∴k＝﹣2，
由（1）知，k＝﹣2时，△＜0，原方程无实解，
∴不存在符合条件的k的值．
八、（14分）
23．（14分）如图，△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝4，DC＝6，求AD的长．
小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题．
请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：
（1）分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，证明四边形AEGF是正方形；
（2）设AD＝x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值．
【分析】（1）先根据△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，得出∠EAF＝90°；再根据对称的性质得到AE＝AF，从而说明四边形AEGF是正方形；
（2）利用勾股定理，建立关于x的方程模型（x﹣4）2+（x﹣6）2＝102，求出AD＝x＝12．
【解答】（1）证明：由题意可得：△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF．
∴∠DAB＝∠EAB，∠DAC＝∠FAC，又∠BAC＝45°，
∴∠EAF＝90°．
又∵AD⊥BC
∴∠E＝∠ADB＝90°，∠F＝∠ADC＝90°．
∴四边形AEGF是矩形，
又∵AE＝AD，AF＝AD
∴AE＝AF．
∴矩形AEGF是正方形．
（2）解：设AD＝x，则AE＝EG＝GF＝x．
∵BD＝4，DC＝6
∴BE＝4，CF＝6
∴BG＝x﹣4，CG＝x﹣6
在Rt△BGC中，BG2+CG2＝BC2，
∴（x﹣4）2+（x﹣6）2＝102．
化简得，x2﹣10x﹣24＝0
解得x1＝12，x2＝﹣2（舍去）
所以AD＝x＝12．