沪科版 八年级数学下学期期末模拟卷1（含解析）

这是一份沪科版 八年级数学下学期期末模拟卷1（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）下列根式中，不是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．﹣＝B．3×2＝6C．（2）2＝16D．＝1
3．（4分）已知关于x的方程x2+3x+a＝0有一个根为﹣2，则另一个根为（ ）
A．5B．2C．﹣1D．﹣5
4．（4分）正多边形的一个内角是150°，则这个正多边形的边数为（ ）
A．10B．11C．12D．13
5．（4分）某校规定学生的学期数学成绩满分为100分，其中研究性学习成绩占40%，期末卷面成绩占60%，小明的两项成绩（百分制）依次是80分，90分，则小明这学期的数学成绩是（ ）
A．80分B．82分C．84分D．86分
6．（4分）已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的根，则该三角形的周长为（ ）
A．8B．10C．8或10D．12
7．（4分）现有边长相同的正三角形、正方形和正六边形纸片若干张，下列拼法中不能镶嵌成一个平面图案的是（ ）
A．正方形和正六边形
B．正三角形和正方形
C．正三角形和正六边形
D．正三角形、正方形和正六边形
8．（4分）在△ABC中，AB＝3，BC＝4，AC＝2，D、E、F分别为AB、BC、AC中点，连接DF、FE，则四边形DBEF的周长是（ ）
A．5B．7C．9D．11
9．（4分）如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且a∥b，∠1＝60°，则∠2的度数为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
10．（4分）如图，点P是菱形ABCD边上一动点，若∠A＝60°，AB＝4，点P从点A出发，以每秒1个单位长的速度沿A→B→C→D的路线运动，当点P运动到点D时停止运动，那么△APD的面积S与点P运动的时间t之间的函数关系的图象是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）要使代数式有意义，则x的取值范围是 ．
12．（5分）方程x（x﹣1）＝x的解为 ．
13．（5分）如图所示，△ABC的顶点A、B、C在边长均为1的正方形网络的格点上，BD⊥AC于D，则BD的长＝ ．
14．（5分）如图，在▱ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是 ．（把所有正确结论的序号都填在横线上）
①∠DCF＝∠BCD；②EF＝CF；③S△BEC＝2S△CEF；④∠DFE＝3∠AEF．
三、解答题（共2小题，满分16分）
15．（8分）计算：（+1）（﹣1）+﹣（）0．
16．（8分）解方程：x2﹣2x＝4．
四、解答题（共2小题，满分16分）
17．（8分）（1）如图1，在平行四边形ABCD中，请作出一条直线，将其分成面积相等的两部分；
（2）如图2，在多边形ABCDEF中，AB∥CD∥EF，AF∥DE∥BC，请作出一条直线，将该多边形分成面积相等的两部分．（不写作法，保留作图痕迹）
18．（8分）定义新运算：对于任意实数m，n都有m☆n＝m2n+n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：﹣3☆2＝（﹣3）2×2+2＝20．根据以上知识解决问题：若2☆a的值小于0．
（1）求a的值；
（2）请判断方程：2x2﹣bx+a＝0的根的情况．
五、解答题（共2小题，满分20分）
19．（10分）如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15，DB＝9．
（1）求CD，AD的值；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由．
20．（10分）中华文明，源远流长：中华汉字，寓意深广，为了传承优秀传统文化，某校团委组织了一次全校3000名学生参加的“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生的成绩（成绩x取整数，总分100分）作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表：
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）这次比赛成绩的中位数会落在 分数段；
（4）若成绩在90分以上（包括90分）的为“优”等，则该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等约有多少人？
六、解答题（共1小题，满分12分）
21．（12分）为进一步发展基础教育，自2014年以来，某县加大了教育经费的投入，2014年该县投入教育经费6000万元．2016年投入教育经费8640万元．假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同．
（1）求这两年该县投入教育经费的年平均增长率；
（2）若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2017年该县投入教育经费多少万元．
七、解答题（共1小题，满分12分）
22．（12分）如图，将▱ABCD的边AB延长到点E，使BE＝AB，连接DE，交边BC于点F．
（1）求证：△BEF≌△CDF；
（2）连接BD、CE，若∠BFD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形．
八、解答题（共1小题，满分14分）
23．（14分）【问题情境】
如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．
【探究展示】
（1）证明：AM＝AD+MC；
（2）AM＝DE+BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
【拓展延伸】
（3）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示（1）、（2）中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明．
期末模拟卷（1）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）下列根式中，不是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式中的两个条件（被开方数不含分母，也不含能开的尽方的因数或因式）．是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：因为＝＝2，因此不是最简二次根式．
故选：B．
【点评】规律总结：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
2．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．﹣＝B．3×2＝6C．（2）2＝16D．＝1
【分析】A、和不是同类二次根式，不能合并；
B、二次根式相乘，系数相乘作为积的系数，被开方数相乘，作为积中的被开方数；
C、二次根式的乘方，把每个因式分别平方，再相乘；
D、二次根式的除法，把分母中的根号化去．
【解答】解：A、不能化简，所以此选项错误；
B、3×＝6，所以此选项正确；
C、（2）2＝4×2＝8，所以此选项错误；
D、＝＝，所以此选项错误；
本题选择正确的，故选B．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的计算法则是关键，要注意：①二次根式的运算结果要化为最简二次根式；②与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的；③灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径．
3．（4分）已知关于x的方程x2+3x+a＝0有一个根为﹣2，则另一个根为（ ）
A．5B．2C．﹣1D．﹣5
【分析】设方程的两个根为x1，x2，由根与系数的关系找出x1+x2＝﹣3，代入x1＝﹣2即可得出x2的值．
【解答】解：设方程的两个根为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣3，
∵方程的一根x1＝﹣2，
∴x2＝﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查了根与系数的关系，根据方程的系数找出x1+x2＝﹣3是解题的关键．
4．（4分）正多边形的一个内角是150°，则这个正多边形的边数为（ ）
A．10B．11C．12D．13
【分析】一个正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数．根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．
【解答】解：外角是：180°﹣150°＝30°，
360°÷30°＝12．
则这个正多边形是正十二边形．
故选：C．
【点评】考查了多边形内角与外角，根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数是解题关键．
5．（4分）某校规定学生的学期数学成绩满分为100分，其中研究性学习成绩占40%，期末卷面成绩占60%，小明的两项成绩（百分制）依次是80分，90分，则小明这学期的数学成绩是（ ）
A．80分B．82分C．84分D．86分
【分析】利用加权平均数的公式直接计算即可得出答案．
【解答】解：
由加权平均数的公式可知＝＝＝86，
故选：D．
【点评】本题主要考查加权平均数的计算，掌握加权平均数的公式＝是解题的关键．
6．（4分）已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的根，则该三角形的周长为（ ）
A．8B．10C．8或10D．12
【分析】用因式分解法可以求出方程的两个根分别是4和2，根据等腰三角形的三边关系，腰应该是4，底是2，然后可以求出三角形的周长．
【解答】解：x2﹣6x+8＝0
（x﹣4）（x﹣2）＝0
∴x1＝4，x2＝2，
由三角形的三边关系可得：
腰长是4，底边是2，
所以周长是：4+4+2＝10．
故选：B．
【点评】本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，用十字相乘法因式分解求出方程的两个根，然后根据三角形的三边关系求出三角形的周长．
7．（4分）现有边长相同的正三角形、正方形和正六边形纸片若干张，下列拼法中不能镶嵌成一个平面图案的是（ ）
A．正方形和正六边形
B．正三角形和正方形
C．正三角形和正六边形
D．正三角形、正方形和正六边形
【分析】正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满．
【解答】解：A、正方形和正六边形内角分别为90°、120°，由于90m+120n＝360，得m＝4﹣n，显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故A选项不能铺满；
B、正三角形和正方形内角分别为60°、90°，由于60°×3+90°×2＝360°，故B选项能铺满；
C、正三角形和正六边形内角分别为60°、120°，由于60°×2+120°×2＝360°，故C选项能铺满；
D、正三角形、正方形和正六边形内角分别为60°、90°、120°，由于60°+90°+90°+120°＝360°，故D选项能铺满．
故选：A．
【点评】考查了平面镶嵌（密铺），解决此类题，可以记住几个常用正多边形的内角，及能够用两种正多边形镶嵌的几个组合．
8．（4分）在△ABC中，AB＝3，BC＝4，AC＝2，D、E、F分别为AB、BC、AC中点，连接DF、FE，则四边形DBEF的周长是（ ）
A．5B．7C．9D．11
【分析】先根据三角形中位线性质得DF＝BC＝2，DF∥BC，EF＝AB＝，EF∥AB，则可判断四边形DBEF为平行四边形，然后计算平行四边形的周长即可．
【解答】解：∵D、E、F分别为AB、BC、AC中点，
∴DF＝BC＝2，DF∥BC，EF＝AB＝，EF∥AB，
∴四边形DBEF为平行四边形，
∴四边形DBEF的周长＝2（DF+EF）＝2×（2+）＝7．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
9．（4分）如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且a∥b，∠1＝60°，则∠2的度数为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
【分析】首先过点D作DE∥a，由∠1＝60°，可求得∠3的度数，易得∠ADC＝∠2+∠3，继而求得答案．
【解答】解：过点D作DE∥a，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ADC＝90°，
∴∠3＝90°﹣∠1＝90°﹣60°＝30°，
∵a∥b，
∴DE∥a∥b，
∴∠4＝∠3＝30°，∠2＝∠5，
∴∠2＝90°﹣30°＝60°．
故选：C．
【点评】此题考查了矩形的性质以及平行线的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
10．（4分）如图，点P是菱形ABCD边上一动点，若∠A＝60°，AB＝4，点P从点A出发，以每秒1个单位长的速度沿A→B→C→D的路线运动，当点P运动到点D时停止运动，那么△APD的面积S与点P运动的时间t之间的函数关系的图象是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据∠A的度数求出菱形的高，再分点P在AB上，在BC上和在CD上三种情况，利用三角形的面积公式列式求出相应的函数关系式，然后选择答案即可．
【解答】解：∵∠A＝60°，AB＝4，
∴菱形的高＝4×＝2，
点P在AB上时，△APD的面积S＝×4×t＝t（0≤t≤4）；
点P在BC上时，△APD的面积S＝×4×2＝4（4＜t≤8）；
点P在CD上时，△APD的面积S＝×4×（12﹣t）＝﹣t+12（8＜t≤12），
纵观各选项，只有B选项图形符合．
故选：B．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，根据点P的位置的不同，分三段求出相应的函数解析式是解题的关键．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）要使代数式有意义，则x的取值范围是 x≥﹣1 ．
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x+1≥0，
解得x≥﹣1．
故答案为：x≥﹣1．
【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
12．（5分）方程x（x﹣1）＝x的解为 x1＝0，x2＝2 ．
【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：x（x﹣1）＝x，
x（x﹣1）﹣x＝0，
x（x﹣1﹣1）＝0，
x＝0，x﹣1﹣1＝0，
x1＝0，x2＝2．
故答案为：x1＝0，x2＝2．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
13．（5分）如图所示，△ABC的顶点A、B、C在边长均为1的正方形网络的格点上，BD⊥AC于D，则BD的长＝ ．
【分析】根据图形和三角形的面积公式求出△ABC的面积，根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：△ABC的面积＝×BC×AE＝2，
由勾股定理得，AC＝＝，
则××BD＝2，
解得BD＝．
故答案为：．
【点评】本题考查的是勾股定理，掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．
14．（5分）如图，在▱ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是 ①②④ ．（把所有正确结论的序号都填在横线上）
①∠DCF＝∠BCD；②EF＝CF；③S△BEC＝2S△CEF；④∠DFE＝3∠AEF．
【分析】分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF≌△DMF（ASA），得出对应线段之间关系进而得出答案．
【解答】解：①∵F是AD的中点，
∴AF＝FD，
∵在▱ABCD中，AD＝2AB，
∴AF＝FD＝CD，
∴∠DFC＝∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC＝∠FCB，
∴∠DCF＝∠BCF，
∴∠DCF＝∠BCD，故①正确；
延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A＝∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF＝FD，
在△AEF和△DMF中，
，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE＝MF，∠AEF＝∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝∠ECD＝90°，
∵FM＝EF，
∴FC＝FM，故②正确；
③∵EF＝FM，
∴S△EFC＝S△CFM，
∵MC＞BE，
∴S△BEC＜2S△EFC
故S△BEC＝2S△CEF错误，即③错误；
④设∠FEC＝x，则∠FCE＝x，
∴∠DCF＝∠DFC＝90°﹣x，
∴∠EFC＝180°﹣2x，
∴∠EFD＝90°﹣x+180°﹣2x＝270°﹣3x，
∵∠AEF＝90°﹣x，
∴∠DFE＝3∠AEF，故④正确．
故答案为：①②④．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△AEF≌△DMF是解题关键．
三、解答题（共2小题，满分16分）
15．（8分）计算：（+1）（﹣1）+﹣（）0．
【分析】先根据平方差公式和零指数幂的意义得到原式＝3﹣1+2﹣1，然后进行加减运算．
【解答】解：原式＝3﹣1+2﹣1
＝1+2．
【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂．
16．（8分）解方程：x2﹣2x＝4．
【分析】在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解
【解答】解：配方x2﹣2x+1＝4+1
∴（x﹣1）2＝5
∴x＝1±
∴x1＝1+，x2＝1﹣．
【点评】在实数运算中要注意运算顺序，在解一元二次方程时要注意选择适宜的解题方法．
四、解答题（共2小题，满分16分）
17．（8分）（1）如图1，在平行四边形ABCD中，请作出一条直线，将其分成面积相等的两部分；
（2）如图2，在多边形ABCDEF中，AB∥CD∥EF，AF∥DE∥BC，请作出一条直线，将该多边形分成面积相等的两部分．（不写作法，保留作图痕迹）
【分析】（1）由于平行四边形是中心对称图形，于是过对角线的交点作直线即可；
（2）延长CB交EF于G，过两个平行四边形的对角线交点作直线即可．
【解答】解：（1）连接AC、BD交于点O，
过O作直线，即把平行四边形面积等分；
如图所示：
（2）延长CB交EF于G，连接CE、DG交于点M，
连接AG、BF交于点N，作直线MN，
如图所示
【点评】本题考查了平行四边形的性质；熟练掌握平行四边形的性质是关键．
18．（8分）定义新运算：对于任意实数m，n都有m☆n＝m2n+n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：﹣3☆2＝（﹣3）2×2+2＝20．根据以上知识解决问题：若2☆a的值小于0．
（1）求a的值；
（2）请判断方程：2x2﹣bx+a＝0的根的情况．
【分析】（1）根据新运算的定义式结合2☆a的值小于0，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出结论；
（2）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△＝b2﹣8a≥﹣8a＞0，由此可得出方程2x2﹣bx+a＝0有两个不相等的实数根．
【解答】解：（1）∵2☆a的值小于0，
∴22a+a＝5a＜0，
解得：a＜0．
（2）∵在方程2x2﹣bx+a＝0中，△＝（﹣b）2﹣4×2a＝b2﹣8a≥﹣8a＞0，
∴方程2x2﹣bx+a＝0有两个不相等的实数根．
【点评】本题考查了根的判别式以及实数的运算，解题的关键是：（1）根据新运算的定义式找出关于a的一元一次不等式；（2）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”．
五、解答题（共2小题，满分20分）
19．（10分）如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15，DB＝9．
（1）求CD，AD的值；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由．
【分析】（1）应用勾股定理，求出CD，AD的值各是多少即可．
（2）判断出AC2+BC2＝AB2，即可判断出△ABC为直角三角形．
【解答】解：（1）∵CD⊥AB，
∴△BCD和△ACD都是直角三角形，
∴CD＝＝12，AD＝＝16．
（2）△ABC为直角三角形，
理由：∵AD＝16，BD＝9，
∴AB＝AD+BD＝16+9＝25，
∵AC2+BC2＝202+152＝625＝252＝AB2，
∴△ABC为直角三角形．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，以及勾股定理的逆定理的应用，要熟练掌握．
20．（10分）中华文明，源远流长：中华汉字，寓意深广，为了传承优秀传统文化，某校团委组织了一次全校3000名学生参加的“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生的成绩（成绩x取整数，总分100分）作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表：
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）a＝ 60 ，b＝ 0.15 ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）这次比赛成绩的中位数会落在 80≤x＜90 分数段；
（4）若成绩在90分以上（包括90分）的为“优”等，则该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等约有多少人？
【分析】（1）根据第一组的频数是10，频率是0.05，求得数据总数，再用数据总数乘以第四组频率可得a的值，用第三组频数除以数据总数可得b的值；
（2）根据（1）的计算结果即可补全频数分布直方图；
（3）根据中位数的定义，将这组数据按照从小到大的顺序排列后，处于中间位置的数据（或中间两数据的平均数）即为中位数；
（4）利用总数3000乘以“优”等学生的所占的频率即可．
【解答】解：（1）样本容量是：10÷0.05＝200，
a＝200×0.30＝60，b＝30÷200＝0.15；
（2）补全频数分布直方图，如下：
（3）一共有200个数据，按照从小到大的顺序排列后，第100个与第101个数据都落在第四个分数段，
所以这次比赛成绩的中位数会落在80≤x＜90分数段；
（4）3000×0.40＝1200（人）．
即该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等的大约有1200人．
故答案为60，0.15；80≤x＜90；1200．
【点评】本题考查读频数（率）分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．也考查了中位数和利用样本估计总体．
六、解答题（共1小题，满分12分）
21．（12分）为进一步发展基础教育，自2014年以来，某县加大了教育经费的投入，2014年该县投入教育经费6000万元．2016年投入教育经费8640万元．假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同．
（1）求这两年该县投入教育经费的年平均增长率；
（2）若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2017年该县投入教育经费多少万元．
【分析】（1）设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据2014年该县投入教育经费6000万元和2016年投入教育经费8640万元列出方程，再求解即可；
（2）根据2016年该县投入教育经费和每年的增长率，直接得出2017年该县投入教育经费为8640×（1+0.2），再进行计算即可．
【解答】解：（1）设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意得：
6000（1+x）2＝8640
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去），
答：该县投入教育经费的年平均增长率为20%；
（2）因为2016年该县投入教育经费为8640万元，且增长率为20%，
所以2017年该县投入教育经费为：y＝8640×（1+0.2）＝10368（万元），
答：预算2017年该县投入教育经费10368万元．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，掌握增长率问题是本题的关键，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
七、解答题（共1小题，满分12分）
22．（12分）如图，将▱ABCD的边AB延长到点E，使BE＝AB，连接DE，交边BC于点F．
（1）求证：△BEF≌△CDF；
（2）连接BD、CE，若∠BFD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形．
【分析】（1）先根据平行四边形的性质得出AB＝CD，AB∥CD，再由BE＝AB得出BE＝CD，根据平行线的性质得出∠BEF＝∠CDF，∠EBF＝∠DCF，进而可得出结论；
（2）根据平行四边形的性质可得AB∥CD，AB＝CD，∠A＝∠DCB，再由AB＝BE，可得CD＝EB，进而可判定四边形BECD是平行四边形，然后再证明BC＝DE即可得到四边形BECD是矩形
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝CD，AB∥CD．
∵BE＝AB，
∴BE＝CD．
∵AB∥CD，
∴∠BEF＝∠CDF，∠EBF＝∠DCF，
在△BEF与△CDF中，
∵，
∴△BEF≌△CDF（ASA）；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，∠A＝∠DCB，
∵AB＝BE，
∴CD＝EB，
∴四边形BECD是平行四边形，
∴BF＝CF，EF＝DF，
∵∠BFD＝2∠A，
∴∠BFD＝2∠DCF，
∴∠DCF＝∠FDC，
∴DF＝CF，
∴DE＝BC，
∴四边形BECD是矩形．
【点评】此题主要考查的值矩形的判定及平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的对边相等；对角相等；对角线互相平分．
八、解答题（共1小题，满分14分）
23．（14分）【问题情境】
如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．
【探究展示】
（1）证明：AM＝AD+MC；
（2）AM＝DE+BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
【拓展延伸】
（3）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示（1）、（2）中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明．
【分析】（1）从平行线和中点这两个条件出发，延长AE、BC交于点N，如图1（1），易证△ADE≌△NCE，从而有AD＝CN，只需证明AM＝NM即可．
（2）作FA⊥AE交CB的延长线于点F，易证AM＝FM，只需证明FB＝DE即可；要证FB＝DE，只需证明它们所在的两个三角形全等即可．
（3）在图2（1）中，仿照（1）中的证明思路即可证到AM＝AD+MC仍然成立；在图2（2）中，采用反证法，并仿照（2）中的证明思路即可证到AM＝DE+BM不成立．
【解答】方法一：
（1）解：如图1（1）过点E作EF⊥AM交AM于F点，连接EM，
∵AE平分∠DAM
∴∠DAE＝∠EAF
在△ADE和△AEF中，
AE＝AE
∠D＝∠AFE＝90°
∴△ADE≌△AEF
∴AD＝AF，EF＝DE＝EC，
在△EFM和△ECM中，
∠EFM＝∠C
EM＝EM
EF＝CE
∴△EFM≌△ECM，
∴FM＝MC，AM＝AF+FM＝AD+MC
方法二：
证明：延长AE、BC交于点N，如图1（2），
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC．
∴∠DAE＝∠ENC．
∵AE平分∠DAM，
∴∠DAE＝∠MAE．
∴∠ENC＝∠MAE．
∴MA＝MN．
在△ADE和△NCE中，
∴△ADE≌△NCE（AAS）．
∴AD＝NC．
∴MA＝MN＝NC+MC
＝AD+MC．
（2）AM＝DE+BM成立．
方法一：
证明：将△ADE绕点A顺时针旋转90°，得到新△ABF，如图1（3）
∴BF＝DE，∠F＝∠AED．
∵AB∥DC，
∴∠AED＝∠BAE．
∵∠FAB＝∠EAD＝∠EAM，
∴∠AED＝∠BAE＝∠BAM+∠EAM＝∠BAM+∠FAB＝∠FAM．
∴∠F＝∠FAM．
∴AM＝FM．
∴AM＝FB+BM＝DE+BM
方法二：
证明：过点A作AF⊥AE，交CB的延长线于点F，如图1（4）所示．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠D＝∠ABC＝90°，AB＝AD，AB∥DC．
∵AF⊥AE，
∴∠FAE＝90°．
∴∠FAB＝90°﹣∠BAE＝∠DAE．
在△ABF和△ADE中，
∴△ABF≌△ADE（ASA）．
∴BF＝DE，∠F＝∠AED．
∵AB∥DC，
∴∠AED＝∠BAE．
∵∠FAB＝∠EAD＝∠EAM，
∴∠AED＝∠BAE＝∠BAM+∠EAM
＝∠BAM+∠FAB
＝∠FAM．
∴∠F＝∠FAM．
∴AM＝FM．
∴AM＝FB+BM＝DE+BM．
（3）①结论AM＝AD+MC仍然成立．
证明：延长AE、BC交于点P，如图2（1），
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC．
∴∠DAE＝∠EPC．
∵AE平分∠DAM，
∴∠DAE＝∠MAE．
∴∠EPC＝∠MAE．
∴MA＝MP．
在△ADE和△PCE中，
∴△ADE≌△PCE（AAS）．
∴AD＝PC．
∴MA＝MP＝PC+MC
＝AD+MC．
②结论AM＝DE+BM不成立．
证明：假设AM＝DE+BM成立．
过点A作AQ⊥AE，交CB的延长线于点Q，如图2（2）所示．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠D＝∠ABC＝90°，AB∥DC．
∵AQ⊥AE，
∴∠QAE＝90°．
∴∠QAB＝90°﹣∠BAE＝∠DAE．
∴∠Q＝90°﹣∠QAB
＝90°﹣∠DAE
＝∠AED．
∵AB∥DC，
∴∠AED＝∠BAE．
∵∠QAB＝∠EAD＝∠EAM，
∴∠AED＝∠BAE＝∠BAM+∠EAM
＝∠BAM+∠QAB
＝∠QAM．
∴∠Q＝∠QAM．
∴AM＝QM．
∴AM＝QB+BM．
∵AM＝DE+BM，
∴QB＝DE．
在△ABQ和△ADE中，
∴△ABQ≌△ADE（AAS）．
∴AB＝AD．
与条件“AB≠AD“矛盾，故假设不成立．
∴AM＝DE+BM不成立．
【点评】本题考查了正方形及矩形的性质、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的判定、平行线的性质、角平分线的定义等知识，考查了基本模型的构造（平行加中点构造全等三角形），考查了反证法的应用，综合性比较强．添加辅助线，构造全等三角形是解决这道题的关键．成绩x/分
频数
频率
50≤x＜60
10
0.05
60≤x＜70
20
0.10
70≤x＜80
30
b
80≤x＜90
a
0.30
90≤x≤100
80
0.40
成绩x/分
频数
频率
50≤x＜60
10
0.05
60≤x＜70
20
0.10
70≤x＜80
30
b
80≤x＜90
a
0.30
90≤x≤100
80
0.40