第6讲 二次函数与三角形相似结合题型-2021年中考数学二轮复习重点题型针对训练（北师大版）

这是一份第6讲 二次函数与三角形相似结合题型-2021年中考数学二轮复习重点题型针对训练（北师大版），共16页。教案主要包含了方法梳理，强化巩固练习，答案详解，思考角度1，思考角度2等内容，欢迎下载使用。
两种题型出现相似符号“∽”出现中文字说相似→→分类讨论（注意步骤书写技巧）→→相似性质→→
→走“边成比例性质”→→列方程求解走“角相等性质”→→三角函数或边角存在性问题
【强化巩固练习】
例1.如图1，已知抛物线y=ax²+bx+3图象与x轴相交于A（-3，0），B（1，0）两点，与y轴相交于点C.
（1）请直接写出抛物线的解析式为__
（2）如图1，连接AC，若点P在y轴上时，AP和4C的夹角为15°，求线段CP的长;
（3）如图2，直线l与x轴相交于点M，直线l与线段BC相交于点N，当△MCN~△CAM时，求直线l的表达式.
例2．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣2）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接AD，BC交于点E，求DEAE的最大值；
（3）如图2，连接AC，BC，过点O作直线l∥BC，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点，试探究：在第一象限是否存在这样的点P，Q，使△PQB∽△CAB．若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
例3.已知抛物线y=12x2+bx+c与x轴交于A(-4,0)、B两点，与y轴交于点C，且AO=2OC.
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点D为第三象限抛物线上一点，连接OD、AC交于点E，求DEOE的最大值；
（3）如图2，连接AC，BC，过点O作直线l//AC，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点，试探究：在第二象限是否存在这样的点P,Q，使△PQA∽△CBA，若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由。
例4．如图，已知抛物线y=13x2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（﹣9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；
（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
例5.如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线y=ax2+bx+c经过O，D，C三点.
(1)求AD的长及抛物线的解析式；
(2)一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，以P，Q，C为顶点的三角形与∆ADE相似？
(3)点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由.
例6.（走角题）.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B(1,0)两点，与y轴交于点D，直线AD:y=x+3，抛物线的顶点为C，CE⊥AB.
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在点M，使得S∆ACD=38S∆MAB?若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由；
（3）若点P为x轴上方的抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），PQ⊥AC于点Q，当△PCQ与△ACE相似时，求点P的坐标；

【答案详解】
例1.如图1，已知抛物线y=ax²+bx+3图象与x轴相交于A（-3，0），B（1，0）两点，与y轴相交于点C.
（1）请直接写出抛物线的解析式为__
（2）如图1，连接AC，若点P在y轴上时，AP和4C的夹角为15°，求线段CP的长;
（3）如图2，直线l与x轴相交于点M，直线l与线段BC相交于点N，当△MCN~△CAM时，求直线l的表达式.
【解析】
（1）y=-x2-2x+3
（2）注意题目隐藏条件“∠CAO=45º”，即当P在C点上方时则∠OAP=60º，当P在C点下方时则∠OAP=30º，利用特殊角的三角函数值来求解CP的长；
解：由抛物线解析式可得C(0,3)，
则OA=OC=3,则∠CAO=45º.
①当点P在C点上方时，则∠OAP=60º，
∴OP=OAtan∠OAP=3OA=33,
∴CP=OP-OC=33-3；
②当点P在C点下方时，则∠OAP=30º，
∴OP=OAtan∠OAP=33OA=3,
∴CP=OC-OP=3-3；
综上所述，CP的长为33-3或3-3；
（3）二次函数与三角形相似综合题型，此题不存在分类讨论，有两个思考角度或解题方法，分别是“走边”或“走角”；
【思考角度1】“走边”
解：由△MCN~△CAM可得∠ACM=∠CMN，
可得AC//MN，
由A、C两点坐标可得直线AC的解析式为y=x+3，
则设直线MN的解析式为y=x+a，
即OM=a，
由△MCN~△CAM可得MC:CA=MN:CM，
即MN=CM2CA=a2+932，
由MN//AC可得MN:AC=MB:BA，
即a2+932:32=a+1:4，
解得a=32或a=3(舍去)，
∴直线l的表达式y=x+32.
【思考角度2】“走角”
由△MCN~△CAM可得∠CAM=∠MCN=45º，出现特殊角，而只需求出M点坐标即可求出直线l的表达式.这是二次函数几何综合题中的典型题型“边角存在性问题”.按“边角存在性问题”的典型解题思路走即可解答此题.
解：如图，作BD⊥BC交MC于点D，过点B作y轴的平行线，过点C、D作x轴的平分线，分别交于点E、F两点，由∠CBD=∠BED=∠CFB=90º,∠BDE=∠DCF,CD=BD,
可证△BDE≌△BCF，
则DE=BF=3,BE=CF=1,
∴D(-2,-1)，
设直线CD的解析式为y=kx+3，
代入D点坐标可得k=2，
∴直线CD的解析式为y=2x+3，
∴M(-32，0),
∴直线l的表达式y=x+32.
例2．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣2）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接AD，BC交于点E，求DEAE的最大值；
（3）如图2，连接AC，BC，过点O作直线l∥BC，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点，试探究：在第一象限是否存在这样的点P，Q，使△PQB∽△CAB．若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】
(1)设抛物线为交点式，即y=a(x+1)(x-4)，
代入C点坐标，可得a=12，
∴抛物线解析式为y=12(x+1)(x-4)=12x2-32x-2
(2)构造相似典型图形“8字模型”，利用相似性质把DEAE用代数式表示出来，再利用二次函数配方法求最值。
解：作KA⊥x轴交直线BC于点K，作DG⊥x轴于点G,交直线BC于点F，
由B(4,0)、C(0,-2)可得直线BC的解析式为：y=12x-2，
则K（-1，-52），
则AK=52，
设D(a, 12a2-32a-2)，
则F(a, 12a-2),
则DF=12a-2-(12a2-32a-2)=-12a2+2a,
∵DF//AK，
∴DEAE=DFAK=-12a2+2a52=-15a2+45a=-15a-22+45，
即当a=2时，DEAE有最大值为45.
(3)由题可知：AC2=5，BC2=20，AB2=25，
∵AC2+BC2=AB2,
∴∠ACB=90°，
当△PQB∽△CAB时，∠QPB=∠ACB=90°，BPQP=BCAC=205=2，构造“一线三垂直模型”可求解点P的坐标；
又∵直线l∥BC，
∴直线l的表达式为y=12x.
①当P在Q点右侧时，如图，
过P作MN⊥x轴于N，作QM⊥MN于点M，
则△QMP∽△PNB，
∴BNMP=PNQM=BPQP=2
设P(2m，m)，则BN=2m-4，PN=m，
∴QM=12m，MP=m-2，
∴Q点坐标为（32m，2m-2）,
将Q点坐标代入抛物线解析式中得12×(32m)2-32×(32m)-2=2m-2，
解得m=349或m=0(舍去)，
∴P点坐标为（689，349）；
②当P在Q点左侧时，如图，
过P作MN⊥x轴于N，作QM⊥MN于点M，
则△QMP∽△PNB，
∴BNMP=PNQM=BPQP=2
设P(2m，m)，
则BN=4-2m，PN=m，
∴QM=12m，MP=2-m，
∴Q点坐标为（52m，2）,
将Q点坐标代入抛物线解析式中得12×(52m)2-32×(52m)-2=2，
解得m=3+415或m=3-415 (舍去)，
∴P点坐标为（6+2415，3+415）；
综上所述，P的坐标为（689，349）或（6+2415，3+415）
例3.已知抛物线y=12x2+bx+c与x轴交于A(-4,0)、B两点，与y轴交于点C，且AO=2OC.
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点D为第三象限抛物线上一点，连接OD、AC交于点E，求DEOE的最大值；
（3）如图2，连接AC，BC，过点O作直线l//AC，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点，试探究：在第二象限是否存在这样的点P,Q，使△PQA∽△CBA，若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由。
【解析】
（1）∵A(-4,0)，
∴OA=4，
∵AO=2OC,
∴OC=2,
∴C(0,-2),
将A、C两点坐标代入y=12x2+bx+c，
可得12×16-4b+c=0c=-2 ，
解得b=32 c=-2，
∴抛物线的函数表达式y=12x2+32x-2
（2）出现“线段比”，构造相似三角形，利用相似性质转化成已知线段相关联；出现最值，用字母表示，利用二次函数配方法求解。
解：作DF//y轴交AC于点F，
由A、C的坐标可得直线AC的解析式为y=-12x-2，
设D(a, 12a2+32a-2),
则F（a, -12a-2）,
∴DF=-12a-2-( 12a2+32a-2)=- 12a2-2a，
∵DF//OC，
∴DEOE=DFOC=- 12a2-2a2，
即DEOE=- 14a2-a=- 14a+22+1,
∵- 14