-江苏省苏州市高新区2020-2021学年七年级下学期期末数学试卷（word版 含答案）

这是一份-江苏省苏州市高新区2020-2021学年七年级下学期期末数学试卷（word版 含答案），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年江苏省苏州市高新区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题2分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将选择题的答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置上。
1．目前代表华为手机最强芯片的麒麟990处理器采用7nm工艺制程，1nm＝0.0000001cm，则7nm用科学记数法表示为（　　）
A．0.7×10﹣6cm B．0.7×10﹣7cm C．7×10﹣6cm D．7×10﹣7cm
2．下列各式，计算结果为a6的是（　　）
A．a2+a4 B．a7÷a C．a2•a3 D．（a2）4
3．若a＜b，则下列不等式中正确的是（　　）
A．a﹣3＜b﹣3 B．a﹣b＞0 C．b D．﹣2a＜﹣2b
4．不等式2x+3＞1的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．下列命题中，可判断为假命题的是（　　）
A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
C．同旁内角互补，两直线平行
D．直角三角形两个锐角互余
6．如图，在四边形ABCD中，连接BD，下列判断正确的是（　　）

A．若∠1＝∠2，则AB∥CD
B．若∠3＝∠4，则AD∥BC
C．若∠A+∠ABC＝180°，则AB∥CD
D．若∠A＝∠C，∠ABC＝∠ADC，则AB∥CD
7．《九章算术》中记载：“今有上禾三秉，益实六斗，当下禾十秉；下禾五秉，益实一斗，当上禾二秉．问上、下禾实一秉各几何？”其大意是：今有上等稻子三捆，若打出来的谷子再加六斗，则相当于十捆下等稻子打出来的谷子；有下等稻子五捆，若打出来的谷子再加一斗，则相当于两捆上等稻子打出来的谷子．问上等、下等稻子每捆打多少斗谷子？设上等稻子每捆打x斗谷子，下等稻子每捆打y斗谷子，根据题意可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，在△ABC中，BC＝7，∠A＝80°，∠B＝70°，把△ABC沿RS的方向平移到△DEF的位置，若CF＝4，则下列结论中错误的是（　　）

A．DF＝7 B．∠F＝30° C．AB∥DE D．BE＝4
9．已知a是任何实数，若M＝（2a﹣3）（3a﹣1），N＝2a（a﹣）﹣1，则M、N的大小关系是（　　）
A．M≥N
B．M＞N
C．M＜N
D．M，N的大小由a的取值范围
10．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝6，BC＝10，DC＝DE，∠CDE＝90°，则△ADE的面积是（　　）

A．4 B．8 C．12 D．16
二、填空题：本大题共8小题，每小题2分，共16分，把答案直接填写在答题卡相应位置上。
11．五边形的内角和等于　 　度．
12．若正有理数m使得x2+2mx+9是一个完全平方式，则m＝　 　．
13．计算：0.1252020×（﹣8）2021＝　 　．
14．已知三角形两边的长分别为1、5，第三边长为整数，则第三边的长为　 　．
15．如果方程组的解与方程组的解相同，则a+b＝　 　．
16．如图，将四边形纸片ABCD沿MN折叠，点A、D分别落在A1、D1处，若∠1+∠2＝144°，则∠B+∠C＝　 　°．

17．若m2＝n+2021，n2＝m+2021（m≠n），那么代数式m3﹣2mn+n3的值 　 　．
18．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．点P从A点出发沿A→C→B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B→C→A路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以每秒1和3的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E、作QF⊥l于F，当点P运动 　 　秒时，以P、E、C为顶点的三角形和以Q、F、C为顶点的三角形全等．

三、解答题：本大题共10小题，共64分，把解答过程写在答题卡相应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明。作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔。
19．（6分）计算：
（1）；
（2）x3•x5﹣（2x4）2+x10÷x2．
20．（6分）将下列各式分解因式：
（1）4x2﹣9；
（2）2x2y﹣8xy+8y．
21．（6分）解方程组与不等式组：
（1）；
（2）．
22．（6分）如图，在方格纸内将△ABC经过平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′．根据下列条件，利用网格点和三角尺画图：
（1）补全△A′B′C′；
（2）画出AC边上的中线BD；
（3）求△ABD的面积 　 　．

23．（6分）先化简，再求值：（2x+y）2+（x﹣y）（x+y）﹣5x（x﹣y），中x＝﹣2，y＝2．
24．（6分）如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠ABC＝∠DCB，AB＝DC．
（1）求证：△ABC≌DCB；
（2）当∠EBC＝30°，求∠AEB的度数．

25．（6分）已知非负数x、y满足，设L＝2x+y﹣3k．
（1）求k的取值范围；
（2）求满足条件的L的所有整数值．
26．（6分）某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得第十届茅盾文学奖的《北上》（徐则臣著）和《牵风记》（徐怀中著）两种书共50本．已知购买6本《北上》与购买7本《牵风记》的价格相同；购买2本《北上》和1本《牵风记》需100元．
（1）求这两种书的单价；
（2）若购买《北上》的数量不少于所购买《牵风记》数量的一半，且购买两种书的总价不超过1600元．请问有哪几种购买方案？哪种购买方案的费用最低？最低费用为多少元？
27．（8分）我们定义：如果两个一元一次不等式有公共解，那么称这两个不等式互为“云不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“云不等式”．
（1）在不等式①2x﹣1＜0，②x≤2，③x﹣（3x﹣1）＜﹣5中，不等式x≥2的“云不等式”是 　 　；（填序号）
（2）若关于x的不等式x+2m≥0不是2x﹣3＜x+m的“云不等式”，求m的取值范围；
（3）若a≠﹣1，关于x的不等式x+3≥a与不等式ax﹣1＜a﹣x互为“云不等式”，求a的取值范围．
28．（8分）（1）阅读理解：如图1，在△ABC中，若AB＝5，AC＝8．求BC边上的中线AD的取值范围．小聪同学是这样思考的：延长AD至E，使DE＝AD，连接BE．利用全等将边AC转化到BE，在△BAE中利用三角形三边关系即可求出中线AD的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是 　 　，中线AD的取值范围是 　 　；
（2）问题解决：如图2，在△ABC中，点D是BC的中点，点M在AB边上，点N在AC边上，若DM⊥DN．求证：BM+CN＞MN；
（3）问题拓展：如图3，在△ABC中，点D是BC的中点，分别以AB，AC为直角边向△ABC外作Rt△ABM和Rt△ACN，其中∠BAM＝∠NAC＝90°，AB＝AM，AC＝AN，连接MN，探索AD与MN的关系，并说明理由．


2020-2021学年江苏省苏州市高新区七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题2分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将选择题的答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置上。
1．目前代表华为手机最强芯片的麒麟990处理器采用7nm工艺制程，1nm＝0.0000001cm，则7nm用科学记数法表示为（　　）
A．0.7×10﹣6cm B．0.7×10﹣7cm C．7×10﹣6cm D．7×10﹣7cm
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：7nm＝7×0.0000001cm＝7×10﹣7cm，
故选：D．
2．下列各式，计算结果为a6的是（　　）
A．a2+a4 B．a7÷a C．a2•a3 D．（a2）4
【分析】直接利用合并同类项，同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则计算得出答案．
【解答】解：A、a2+a4，无法计算，故此选项错误；
B、a7÷a＝a6，故此选项正确；
C、a2•a3＝a5，故此选项错误；
D、（a2）4＝a8，故此选项错误．
故选：B．
3．若a＜b，则下列不等式中正确的是（　　）
A．a﹣3＜b﹣3 B．a﹣b＞0 C．b D．﹣2a＜﹣2b
【分析】根据不等式的性质1，可判断A、B；根据不等式的性质2，可判断C；根据不等式的性质3，可判断D．
【解答】解：A、不等式的两边都减3，不等式的方向不变，故A正确；
B、不等式的两边都减b，不等号的方向不变，故B错误；
C、不等式的两边都乘以，不等号的方向不变，故C错误；
D、不等式的两边都乘以﹣2，不等号的方向改变，故D错误；
故选：A．
4．不等式2x+3＞1的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得．
【解答】解：2x＞1﹣3，
2x＞﹣2，
x＞﹣1，
故选：D．
5．下列命题中，可判断为假命题的是（　　）
A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
C．同旁内角互补，两直线平行
D．直角三角形两个锐角互余
【分析】利用直线的位置关系、平行线的性质及直角三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，是真命题；
B、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故错误，是假命题；
C、同旁内角互补，两直线平行，正确，是真命题；
D、直角三角形两个锐角互余，正确，是真命题，
故选：B．
6．如图，在四边形ABCD中，连接BD，下列判断正确的是（　　）

A．若∠1＝∠2，则AB∥CD
B．若∠3＝∠4，则AD∥BC
C．若∠A+∠ABC＝180°，则AB∥CD
D．若∠A＝∠C，∠ABC＝∠ADC，则AB∥CD
【分析】根据平行线的判定逐个判断即可．
【解答】解：A、根据∠1＝∠2不能推出AB∥CD，故本选项不符合题意；
B、根据∠3＝∠4不能推出AD∥BC，故本选项不符合题意；
C、根据∠A+∠ABC＝180°能不能推出AB∥CD，故本选项不符合题意；
D、根据∠A＝∠C，∠ABC＝∠ADC，可得∠A+∠ADC＝180°，能推出AB∥CD，故本选项符合题意．
故选：D．
7．《九章算术》中记载：“今有上禾三秉，益实六斗，当下禾十秉；下禾五秉，益实一斗，当上禾二秉．问上、下禾实一秉各几何？”其大意是：今有上等稻子三捆，若打出来的谷子再加六斗，则相当于十捆下等稻子打出来的谷子；有下等稻子五捆，若打出来的谷子再加一斗，则相当于两捆上等稻子打出来的谷子．问上等、下等稻子每捆打多少斗谷子？设上等稻子每捆打x斗谷子，下等稻子每捆打y斗谷子，根据题意可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】设上等稻子每捆打x斗谷子，下等稻子每捆打y斗谷子，分别利用已知“今有上等稻子三捆，若打出来的谷子再加六斗，则相当于十捆下等稻子打出来的谷子；有下等稻子五捆，若打出来的谷子再加一斗，则相当于两捆上等稻子打出来的谷子”分别得出等量关系求出答案．
【解答】解：设上等稻子每捆打x斗谷子，下等稻子每捆打y斗谷子，
根据题意可列方程组为：．
故选：C．
8．如图，在△ABC中，BC＝7，∠A＝80°，∠B＝70°，把△ABC沿RS的方向平移到△DEF的位置，若CF＝4，则下列结论中错误的是（　　）

A．DF＝7 B．∠F＝30° C．AB∥DE D．BE＝4
【分析】根据平移的性质，平移只改变图形的位置，不改变图形的大小与形状，平移后对应点的连线互相平行，对各选项分析判断后利用排除法．
【解答】解：∵把△ABC沿RS的方向平移到△DEF的位置，BC＝7，∠A＝80°，∠B＝70°，
∴EF＝BC＝7，CF＝BE＝4，∠F＝∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣80°﹣70°＝30°，AB∥DE，
∴B、C、D正确，A错误，
故选：A．
9．已知a是任何实数，若M＝（2a﹣3）（3a﹣1），N＝2a（a﹣）﹣1，则M、N的大小关系是（　　）
A．M≥N
B．M＞N
C．M＜N
D．M，N的大小由a的取值范围
【分析】把M与N代入M﹣N中计算，判断差的正负即可得到结果．
【解答】解：∵M＝（2a﹣3）（3a﹣1），N＝2a（a﹣）﹣1，
∴M﹣N
＝（2a﹣3）（3a﹣1）﹣2a（a﹣）+1，
＝6a2﹣11a+3﹣2a2+3a+1
＝4a2﹣8a+4
＝4（a﹣1）2
∵（a﹣1）2≥0，
∴M﹣N≥0，则M≥N．
故选：A．
10．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝6，BC＝10，DC＝DE，∠CDE＝90°，则△ADE的面积是（　　）

A．4 B．8 C．12 D．16
【分析】过D点作DH⊥BC于H，过E点作EF⊥AD于F，如图，易得四边形ABHD为矩形，则BH＝AD＝6，CH＝4，再证明△DEF≌△DCH得到EF＝CH＝4，然后根据三角形面积公式计算．
【解答】解：过D点作DH⊥BC于H，过E点作EF⊥AD于F，如图，
∵AB⊥BC，AD∥BC，
∴∠DAB＝∠B＝90°，
∵DH⊥BC，
∴四边形ABHD为矩形，
∴BH＝AD＝6，
∴CH＝BC﹣BH＝10﹣6＝4，
∵∠ADH＝90°，
∴∠FDC+∠CDH＝90°，
∵∠CDE＝90°，即∠EDF+∠FDC＝90°，
∴∠EDF＝∠CDH，
在△DEF和△DCH中，
，
∴△DEF≌△DCH（AAS），
∴EF＝CH＝4，
∴S△ADE＝•AD•EF＝×6×4＝12．
故选：C．

二、填空题：本大题共8小题，每小题2分，共16分，把答案直接填写在答题卡相应位置上。
11．五边形的内角和等于　540　度．
【分析】直接根据n边形的内角和＝（n﹣2）•180°进行计算即可．
【解答】解：五边形的内角和＝（5﹣2）•180°＝540°．
故答案为：540．
12．若正有理数m使得x2+2mx+9是一个完全平方式，则m＝　3　．
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值．
【解答】解：∵x2+2mx+9是一个完全平方式，
∴m＝±3，
∵m为正有理数，
∴m＝3，
故答案为：3．
13．计算：0.1252020×（﹣8）2021＝　﹣8　．
【分析】根据积的乘方运算法则计算即可，积的乘方，等于每个因式乘方的积．
【解答】解：0.1252020×（﹣8）2021
＝0.1252020×82020×（﹣8）
＝（0.125×8）2020×（﹣8）
＝12020×（﹣8）
＝1×（﹣8）
＝﹣8．
14．已知三角形两边的长分别为1、5，第三边长为整数，则第三边的长为　5　．
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边”，求得第三边的取值范围，再进一步根据第三边是整数求解．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得
第三边＞4，而＜6．
又第三条边长为整数，
则第三边是5．
15．如果方程组的解与方程组的解相同，则a+b＝　1　．
【分析】两个方程组的解相同，意思是这两个方程组中的x都等于4，y都等于3，即是方程组的解，根据方程组的解的定义，即可求出a+b的值．
【解答】解：依题意，知是方程组的解，
∴
①+②，得7a+7b＝7，
方程两边都除以7，得a+b＝1．
16．如图，将四边形纸片ABCD沿MN折叠，点A、D分别落在A1、D1处，若∠1+∠2＝144°，则∠B+∠C＝　108　°．

【分析】先根据∠1+∠2＝144°得出∠AMN+∠DNM的度数，再由四边形内角和定理即可得出结论．
【解答】解：∵∠1+∠2＝144°，
∴∠AMN+∠DNM＝＝108°．
∵∠A+∠D+（∠AMN+∠DNM）＝360°，∠A+∠D+（∠B+∠C）＝360°，
∴∠B+∠C＝∠AMN+∠DNM＝108°．
故答案为：108．
17．若m2＝n+2021，n2＝m+2021（m≠n），那么代数式m3﹣2mn+n3的值 　﹣2021　．
【分析】将两式m2＝n+2021，n2＝m+2021相减得出m+n＝﹣1，将m2＝n+2021两边乘以m，n2＝m+2021两边乘以n再相加便可得出．
【解答】解：将两式m2＝n+2021，n2＝m+2021相减，得
m2﹣n2＝n﹣m，
（m+n）（m﹣n）＝n﹣m，（因为m≠n，所以m﹣n≠0），
m+n＝﹣1，
将m2＝n+2021两边乘以m，得m³＝mn+2021m①，
将n2＝m+2021两边乘以n，得n³＝mn+2021n②，
由①+②得：m³+n³＝2mn+2021（m+n），
m³+n³﹣2mn＝2021（m+n），
m³+n³﹣2mn＝2021×（﹣1）＝﹣2021．
故答案为﹣2021．
18．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．点P从A点出发沿A→C→B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B→C→A路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以每秒1和3的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E、作QF⊥l于F，当点P运动 　1或或12　秒时，以P、E、C为顶点的三角形和以Q、F、C为顶点的三角形全等．

【分析】根据题意分为五种情况，根据全等三角形的性质得出CP＝CQ，代入得出关于t的方程，解方程即可．
【解答】解：分为五种情况：①如图1，P在AC上，Q在BC上，则PC＝6﹣t，QC＝8﹣3t，
∵PE⊥l，QF⊥l，
∴∠PEC＝∠QFC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠EPC+∠PCE＝90°，∠PCE+∠QCF＝90°，
∴∠EPC＝∠QCF，
∵△PCE≌△CQF，
∴PC＝CQ，
即6﹣t＝8﹣3t，
t＝1；
②如图2，P在BC上，Q在AC上，则PC＝t﹣6，QC＝3t﹣8，
∵由①知：PC＝CQ，
∴t﹣6＝3t﹣8，
t＝1；
t﹣6＜0，即此种情况不符合题意；
③当P、Q都在AC上时，如图3，
CP＝6﹣t＝3t﹣8，
t＝；
④当Q到A点停止，P在BC上时，AC＝PC，t﹣6＝6时，解得t＝12．
⑤P和Q都在BC上的情况不存在，因为P的速度是每秒1cm，Q的速度是每秒3cm；
答：点P运动1或或12秒时，以P、E、C为顶点的三角形上以O、F、C为顶点的三角形全等．
故答案为：1或或12．



三、解答题：本大题共10小题，共64分，把解答过程写在答题卡相应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明。作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔。
19．（6分）计算：
（1）；
（2）x3•x5﹣（2x4）2+x10÷x2．
【分析】（1）直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质分别化简得出答案；
（2）直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：（1）原式＝1﹣4+8
＝5；

（2）原式＝x8﹣4x8+x8
＝﹣2x8．
20．（6分）将下列各式分解因式：
（1）4x2﹣9；
（2）2x2y﹣8xy+8y．
【分析】（1）直接利用平方差公式即可；
（2）先提公因式，再利用完全平方公式即可．
【解答】解：（1）原式＝（2x+3）（2x﹣3）；
（2）原式＝2y（x2﹣4x+4）＝2y（x﹣2）2．
21．（6分）解方程组与不等式组：
（1）；
（2）．
【分析】（1）方程组利用加减消元法求解即可；
（2）求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可．
【解答】解：（1），
②﹣①×2，得x＝6，
将x＝6代入①，得，6+2y＝0，
解得y＝﹣3，
则；
（2）解不等式x﹣2（x﹣1）≥2，得x≤0，
解不等式，得x＜2，
则不等式组的解集为x≤0．
22．（6分）如图，在方格纸内将△ABC经过平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′．根据下列条件，利用网格点和三角尺画图：
（1）补全△A′B′C′；
（2）画出AC边上的中线BD；
（3）求△ABD的面积 　4　．

【分析】（1）由点B的对应点B′知，三角形需向左平移5个单位、向下平移2个单位，据此可补全△A′B′C′；
（2）连接AC的中点D与点B即可得AC边上的中线BD；
（3）割补法求解可得△ABD的面积．
【解答】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求作三角形．

（2）如图所示，BD为AC边上的中线；
（3）如图所示，S△ABD＝4×6﹣×1×2﹣×4×6﹣×（1+6）×2＝24﹣1﹣12﹣7＝4，
故答案为：4．
23．（6分）先化简，再求值：（2x+y）2+（x﹣y）（x+y）﹣5x（x﹣y），中x＝﹣2，y＝2．
【分析】直接利用乘法公式化简，再合并同类项，再代入数据得出答案．
【解答】解：原式＝4x2+4xy+y2+x2﹣y2﹣5x2+5xy
＝9xy，
当x＝﹣2，y＝2时，
原式＝9×（﹣2）×2
＝﹣36．
24．（6分）如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠ABC＝∠DCB，AB＝DC．
（1）求证：△ABC≌DCB；
（2）当∠EBC＝30°，求∠AEB的度数．

【分析】（1）利用全等三角形的判定定理SAS证得结论；
（2）利用（1）中全等三角形的对应角相等得到：∠EBC＝∠ECB＝30°，故∠EBC+∠ECB＝∠AEB＝60°．
【解答】（1）证明：在△ABC和△DCB中，

∴△ABC≌△DCB（SAS）；

（2）解：∵由（1）知，△ABC≌△DCB，
∴∠EBC＝∠ECB＝30°，
∴∠EBC+∠ECB＝∠AEB＝60°．
25．（6分）已知非负数x、y满足，设L＝2x+y﹣3k．
（1）求k的取值范围；
（2）求满足条件的L的所有整数值．
【分析】（1）用含k代数式表示x、y，根据x、y是非负数列不等式组，即可解得k的范围；
（2）用含k代数式表示L，根据k的范围求出L的范围，再取整数值即可．
【解答】解：（1）∵，
∴x＝4k+2，y＝3﹣3k，
∵x、y是非负数，
∴，
∴﹣≤k≤1；
（2）把x＝4k+2，y＝3﹣3k代入L＝2x+y﹣3k得：
L＝2（4k+2）+（3﹣3k）﹣3k＝2k+7，
由（1）知﹣≤k≤1，
∴﹣1≤2k≤2，
∴6≤2k+7≤9，即6≤L≤9，
∴满足条件的L的所有整数值有：6，7，8，9．
26．（6分）某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得第十届茅盾文学奖的《北上》（徐则臣著）和《牵风记》（徐怀中著）两种书共50本．已知购买6本《北上》与购买7本《牵风记》的价格相同；购买2本《北上》和1本《牵风记》需100元．
（1）求这两种书的单价；
（2）若购买《北上》的数量不少于所购买《牵风记》数量的一半，且购买两种书的总价不超过1600元．请问有哪几种购买方案？哪种购买方案的费用最低？最低费用为多少元？
【分析】（1）设购买《北上》的单价为x元，《牵风记》的单价为y元，根据“购买2本《北上》和1本《牵风记》需100元”和“购买6本《北上》与购买7本《牵风记》的价格相同”建立方程组求解即可；
（2）设购买《北上》的数量为n本，则购买《牵风记》的数量为（50﹣n）本，根据“购买《北上》的数量不少于所购买《牵风记》数量的一半”和“购买两种书的总价不超过1600元”两个不等关系列不等式组解答并确定整数解即可．
【解答】解：（1）设购买《北上》的单价为x元，《牵风记》的单价为y元，
由题意得：，
解得．
答：购买《北上》的单价为35元，《牵风记》的单价为30元；

（2）设购买《北上》的数量为n本，则购买《牵风记》的数量为（50﹣n）本，
根据题意得，
解得：16≤n≤20，
则n可以取17、18、19、20，
当n＝17时，50﹣n＝33，共花费17×35+33×30＝1585（元）；
当n＝18时，50﹣n＝32，共花费18×35+32×30＝1590（元）；
当n＝19时，50﹣n＝31，共花费19×35+31×30＝1595（元）；
当n＝20时，50﹣n＝30，共花费20×35+30×30＝1600（元）；
所以，共有4种购买方案分别为：购买《北上》和《牵风记》的数量分别为17本和33本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为18本和32本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为19本和31本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为20本和30本；其中购买《北上》和《牵风记》的数量分别为17本和33本费用最低，最低费用为1585元．
27．（8分）我们定义：如果两个一元一次不等式有公共解，那么称这两个不等式互为“云不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“云不等式”．
（1）在不等式①2x﹣1＜0，②x≤2，③x﹣（3x﹣1）＜﹣5中，不等式x≥2的“云不等式”是 　②③　；（填序号）
（2）若关于x的不等式x+2m≥0不是2x﹣3＜x+m的“云不等式”，求m的取值范围；
（3）若a≠﹣1，关于x的不等式x+3≥a与不等式ax﹣1＜a﹣x互为“云不等式”，求a的取值范围．
【分析】（1）根据云不等式的定义即可求解；
（2）解不等式x+2m≥0可得x≥﹣2m，解不等式2x﹣3＜x+m得x＜m+3，再根据云不等式的定义可得﹣2m＞m+3，解不等式即可求解；
（3）分两种情况讨论根据云不等式的定义得到含a的不等式，解得即可．
【解答】解：（1）不等式不等式2x﹣1＜0和x≥2没有公共解，故①不是不等式x≥2的“云不等式”；
不等式不等式x≤2和x≥2有公共解，故②是不等式x≥2的“云不等式”；
不等式不等式x﹣（3x﹣1）＜﹣5和x≥2有公共解，故③是不等式x≥2的“云不等式”；
故答案为：②③；
（2）解不等式x+2m≥0可得x≥﹣2m，
解不等式2x﹣3＜x+m得x＜m+3，
∵关于x的不等式x+2m≥0不是2x﹣3＜x+m的“云不等式”，
∴﹣2m≥m+3，
解得m≤﹣1，
故m的取值范围是m≤﹣1；
（3）①当a+1＞0时，即a＞﹣1时，依题意有a﹣3＜1，即a＜4，故﹣1＜a＜4；
②当a+1＜0时，即a＜﹣1时，始终符合题意，故a＜﹣1；
综上，a的取值范围为a＜﹣1或﹣1＜a＜4．
28．（8分）（1）阅读理解：如图1，在△ABC中，若AB＝5，AC＝8．求BC边上的中线AD的取值范围．小聪同学是这样思考的：延长AD至E，使DE＝AD，连接BE．利用全等将边AC转化到BE，在△BAE中利用三角形三边关系即可求出中线AD的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是 　SAS　，中线AD的取值范围是 　＜AD＜　；
（2）问题解决：如图2，在△ABC中，点D是BC的中点，点M在AB边上，点N在AC边上，若DM⊥DN．求证：BM+CN＞MN；
（3）问题拓展：如图3，在△ABC中，点D是BC的中点，分别以AB，AC为直角边向△ABC外作Rt△ABM和Rt△ACN，其中∠BAM＝∠NAC＝90°，AB＝AM，AC＝AN，连接MN，探索AD与MN的关系，并说明理由．

【分析】（1）阅读理解：由SAS证明△ACD≌△EBD，得出BE＝AC＝8，在△ABE中，由三角形的三边关系即可得出结论．
（2）问题解决：延长ND至点F，使FD＝ND，连接BF、MF，同（1）得：△BFD≌△CND，由全等三角形的性质得出BF＝CN，由线段垂直平分线的性质得出MF＝MN，在△BFM中，由三角形的三边关系即可得出结论．
（3）问题拓展：延长AD至E，使DE＝AD，连接CE，由（1）得：△BAD≌△CED，由全等三角形的性质得出∠BAD＝∠E，AB＝CE，证出∠ACE＝∠MAN，证明△ACE≌△NAM得出AE＝MN，∠EAC＝∠MNA，则2AD＝MN．延长DA交MN于G，证出∠AGN＝90°，得出AD⊥MN即可．
【解答】（1）阅读理解：解：如图1中，∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∵AD＝DE，∠ADC＝∠BDE，
∴△ACD≌△EBD（SAS），
∴BE＝AC＝8，
在△ABE中，由三角形的三边关系得：BE﹣AB＜AE＜BE+AB，
∴8﹣5＜AE＜8+5，即3＜AE＜13，
∴＜AD＜，
故答案为：SAS，＜AD＜．

（2）问题解决：证明：如图2中，延长ND至点F，使FD＝ND，连接BF、MF，

同（1）得：△BFD≌△CND（SAS），
∴BF＝CN，
∵DM⊥DN，FD＝ND，
∴MF＝MN，
在△BFM中，由三角形的三边关系得：BM+BF＞MF，
∴BM+CN＞MN．

（3）问题拓展：解：结论：2AD＝MN，AD⊥MN．
理由：如图3中，延长AD至E，使DE＝AD，连接CE，延长DA交MN于G．

由（1）得：△BAD≌△CED，
∴∠BAD＝∠E，AB＝CE，
∵∠BAM＝∠NAC＝90°，
∴∠BAC+∠MAN＝180°，
即∠BAD+∠CAAD+∠MAN＝180°，
∵∠E+∠CAD+∠ACE＝180°，
∴∠ACE＝∠MAN，
∵△ABM和△ACN是等腰直角三角形，
∴AB＝MA，AC＝AN，
∴CE＝MA，
∴△ACE≌△NAM（SAS），
∴AE＝MN，∠EAC＝∠MNA，
∴2AD＝MN．
∵∠NAC＝90°，
∴∠EAC+∠NAG＝90°，
∴∠MNA+∠NAG＝90°，
∴∠AGN＝90°，
∴AD⊥MN．