高中数学1.2.1 空间中的点、直线与空间向量练习

1.2.1 空间中的点、直线与空间向量-A基础练

一、选择题

1．（2020全国高二课时练）若异面直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为150°，则l1与l2的夹角为(　　)

A．30°          B．150°           C．30°或150°       D．以上均不对

【答案】A

【解析】根据异面直线所成角的定义即知l1，l2所成角为30°，故选：A．

2.已知l1的方向向量为v1=(1,2,3),l2的方向向量为v2=(λ,4,6),若l1∥l2,则λ等于(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

【答案】B

【解析】由l1∥l2,得v1∥v2,得,故λ=2.

3. （2020山东章丘四中高二月考）已知两个异面直线的方向向量分别为，，且||＝||＝1，

•，则两直线的夹角为（    ）

A．           B．         C．            D．

【答案】B

【解析】设两直线的夹角为θ，则由题意可得1×1×cos，，∴cos，，

∴，，∴θ，

4.（2020安徽无为中学高二期中）在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E为A1C1的中点,则直线CE垂直于(　　)

A.BD B.AC             C.A1D        D.A1A

【答案】A

【解析】以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Dxyz.设正方体的棱长为1.则C(0,1,0),B(1,1,0),A(1,0,0),D(0,0,0),C1(0,1,1),A1(1,0,1),E,1,

∴=,-,1,=(-1,1,0),=(-1,-1,0),=(-1,0,-1),=(0,0,-1),

∵=(-1)×+(-1)×-+0×1=0,=-1≠0,=-≠0,=-1≠0,

∴CE⊥BD.

5．（多选题）（2020·山东寿光高二期末）如图是正四面体的平面展开图,G,H,M,N分别为DE,BE,EF,EC的中点,在这个正四面体中， 一下四个命题中正确的是（  ） 

A. GH与EF平行                          B. BD与MN为异面直线

C. GH与MN成60°角                      D. DE与MN垂直

【答案】BCD

【解析】还原成正四面体知GH与EF为异面直线,BD与MN为异面直线,GH与MN成60°角,

DE与MN为异面垂直.

6．（多选题）（2020山东章丘四中高二月考）如图，设，分别是正方体的棱上两点，且，，其中正确的命题为（    ）

A．三棱锥的体积为定值             B．异面直线与所成的角为

C．平面                         D．直线与所成的角为

【答案】AD

【解析】对于A，

故三棱锥的体积为定值，故A正确；对于B， ，和所成的角为，异面直线与所成的角为，故B错误；对于C， 若平面，则直线，即异面直线与所成的角为，故C错误；对于D， 将平移至易得，直线与所成的角为，正确，故选：AD

二、填空题

7.（2020全国高二课时练）若a=(1,λ,2),b=(2,-1,2),且a与b夹角的余弦值为,则λ=_________.

【答案】2或-

【解析】a·b=2-λ+4=6-λ,|a|=,|b|=3.cos<a,b>=.

55λ2+108λ-4=0,解得λ=-2或λ=.

8．（2020·绥德中学高二月考（理））在棱长为的正方体中，向量与向量所成的角为__________.

【答案】

【解析】如下图所示，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，

则、、、，，，

，，则.因此，向量与向量所成的角为.

9．（2020·全国高二课时练习）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为A1D1，BB1的中点，则____，EF=____. 

【答案】；    

【解析】以A为原点，AB，AD，AA1分别为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系

设正方体棱长为1，则，

，.

10．（2020·武邑宏达学校高二期末）在三棱锥中，，平面ABC⊥平面BCD，当三棱锥的体积的最大值时，则与所成角的余弦值为___________．

【答案】

【解析】设到平面的距离为，到平面的距离为，又在三棱锥中，平面ABC⊥平面BCD，所以，又因为，

考虑圆的一条弦对的圆周角相等，当两边相等时顶点到底边距离最大.由题意可知，当 时，三棱锥的体积最大，此时，与是等边三角形，如下图所示：

取的中点为，连接，则；又平面ABC⊥平面BCD，则两两互相垂直，设为坐标原点，，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系；

设，则，则；所以；

即与所成角的余弦值为.

三、解答题

11．（2020全国高二课时练）已知棱长为的正方体中，是的中点，为的中点.

（1）求证：；

（2）求异面直线与所成角的余弦值.

【解析】（1）证明：以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，所以，，

所以，所以．

（2），则，又，

，

所以异面直线与所成角的余弦值是．

12.已知圆柱的底面半径为3,高为4,A,B两点分别在两底面圆周上,并且AB=5,求异面直线AB与轴OO'之间的距离.

【解析】如图,直线AB与轴OO'之间的距离等于轴OO'与平面ABC的距离,

由图形可知,直线AB与轴OO'之间的距离等于点O'到BC的距离,

∵AB=5,AC=4,且AC⊥BC,

∴BC==3,

∴异面直线AB与轴OO'之间的距离为.