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广东省深圳市龙岗区2020-2021学年八年级下学期期末数学试卷（word版 含答案）
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这是一份广东省深圳市龙岗区2020-2021学年八年级下学期期末数学试卷（word版 含答案），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年广东省深圳市龙岗区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本部分共10小题，每小题3分，共30分。每小题给出4个选项，其中只有一个选项是正确的，请将正确的选项填在答题卡上）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若实数a，b满足a＞b，则（ ）
A．a＞2b B．2a＞b C．a+2＞b+1 D．a﹣2＞b﹣1
3．下列各式中，属于因式分解的是（ ）
A．（x+y）（x﹣2y）＝x2﹣xy+y2 B．3x2﹣x＝x（3x﹣1）
C．（a﹣b）2＝（a﹣b）（a﹣b） D．25（x﹣2y）2﹣4（2y﹣x）2
4．下列各式中，是分式的为（ ）
A．（1﹣x） B． C． D．1﹣
5．下列用数轴表示不等式组的解集正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．在以下现象中：①用打气筒打气时，气筒里活塞的运动；②传送带上，瓶装饮料的移动；③在笔直的公路上行驶的汽车；④温度计中，液柱的上升或下降；⑤钟摆的摆动．属于平移的是（ ）
A．① B．①② C．①②③ D．①②③④
7．如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝5cm，△ABD的周长为16cm，则△ABC的周长为（ ）
A．26cm B．21cm C．28cm D．31cm
8．已知a＜b，则的解集是（ ）
A．x＜5 B．x＞a C．a＜x＜b D．无解
9．若关于x的分式方程＝2有增根，则a的值为（ ）
A．a＝1 B．a＝﹣1 C．a＝3 D．a＝﹣3
10．如图在▱ABCD中，∠ABC＝60°，BC＝2AB＝8，点C关于AD的对称点为E，连接BE交AD于点F，点G为CD的中点，连接EG，BG．则△BEG的面积为（ ）
A．16 B．14 C．8 D．7
二、填空题（本部分共5小题，每小题3分，共15分，请将正确的答案填在答题卡上）
11．若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ．
12．分解因式：a2﹣4b2＝ ．
13．正八边形每个外角的度数为 ．
14．已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象如图所示，那么关于x的不等式kx+b＞0的解集是 ．
15．如图，等腰△ABC中，∠BAC＝150°，D是AB上一点，AD＝1，BD＝4，E点在边BC上，若点E绕点D逆时针旋转15°的对应点F恰好在AC上，则BE的长度为 ．
三、解答题（本大题共7题。其中16题10分，17题6分，18题6分，19题8分，20题8分，21题8分，22题9分，共55分）
16．（10分）（1）解不等式组：；
（2）分解因式：（x﹣y）3﹣9（x﹣y）．
17．（6分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝﹣1．
18．（6分）解方程：
19．（8分）某种型号油电混合动力汽车，从A地到B地，只用燃油行驶，需用燃油76元；从A地到B地，只用电行驶，需用电26元，已知每行驶1千米，只用燃油的费用比只用电的费用多0.5元．
（1）若只用电行驶，每行驶1千米的费用是多少元？
（2）若要使从A地到B地油电混合行驶所需的油、电费用合计不超过39元，则至少需用电行驶多少千米？
20．（8分）如图，在四边形ABCD中，点E和点F是对角线AC上的两点，AE＝CF，DF＝BE，且DF∥BE．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若∠CEB＝2∠EBA，BE＝3，EF＝2，求AC的长．
21．（8分）如图，已知A（8，0），P是y轴上一动点，线段PA绕着点P按逆时针方向旋转90°至线段PB位置，连接AB、OB．
（1）设P点坐标为（0，m），请求出B点坐标；
（2）求BO+BA的最小值．
22．（9分）如图，已知∠AOB＝60°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，∠DCE＝120°，当∠DCE的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E．
（1）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系，并说明理由；
（2）由（图1）的位置将∠DCE绕点C逆时针旋转θ角（0＜θ＜90°），线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由．
2020-2021学年广东省深圳市龙岗区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本部分共10小题，每小题3分，共30分。每小题给出4个选项，其中只有一个选项是正确的，请将正确的选项填在答题卡上）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：B．
2．若实数a，b满足a＞b，则（ ）
A．a＞2b B．2a＞b C．a+2＞b+1 D．a﹣2＞b﹣1
【分析】根据不等式的性质逐一进行判断即可，不等式的性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【解答】解：A．不妨设a＝2，b＝1.5，
则a＜2b，故本选项不合题意；
B．不妨设a＝﹣1.5，b＝﹣2，
则2a＜b，故本选项不合题意；
C．因为a＞b，
所以a+2＞b+1，故本选项符合题意；
D．不妨设a＝2，b＝1，
则a﹣2＝b﹣1，故本选项不合题意；
故选：C．
3．下列各式中，属于因式分解的是（ ）
A．（x+y）（x﹣2y）＝x2﹣xy+y2 B．3x2﹣x＝x（3x﹣1）
C．（a﹣b）2＝（a﹣b）（a﹣b） D．25（x﹣2y）2﹣4（2y﹣x）2
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，根据因式分解的概念判断即可．
【解答】解：A．等号右边不是积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B．从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
C．等号左边不是一个多项式的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
D．没有等号，没有进行变形，不是因式分解，故本选项不符合题意；
故选：B．
4．下列各式中，是分式的为（ ）
A．（1﹣x） B． C． D．1﹣
【分析】根据分式的定义即可求出答案．
【解答】解：根据分式的定义可知：是分式，
故选：C．
5．下列用数轴表示不等式组的解集正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】选项A根据“同大取大”判断即可；
选项B根据“同小取小”判断即可；
选项C根据“大小小大中间找”，包含实心圆点2，不包含空心圆点1；
选项D根据“大小小大中间找”，包含实心圆点1，不包含空心圆点2．
【解答】解：A、不等式组的解集为x≥2，故本选项不合题意；
B、不等式组的解集为x＜1，故本选项不合题意；
C、不等式组的解集为1＜x≤2，故本选项符合题意；
D、不等式组的解集为1≤x＜2，故本选项不合题意；
故选：C．
6．在以下现象中：①用打气筒打气时，气筒里活塞的运动；②传送带上，瓶装饮料的移动；③在笔直的公路上行驶的汽车；④温度计中，液柱的上升或下降；⑤钟摆的摆动．属于平移的是（ ）
A．① B．①② C．①②③ D．①②③④
【分析】根据平移的性质，对题中的现象进行一一分析，选出正确答案．
【解答】解：①用打气筒打气时，气筒里活塞沿直线运动，符合平移的性质，故属平移；
②传送带上，瓶装饮料的移动沿直线运动，符合平移的性质，故属平移；
③在笔直的公路上行驶的汽车沿直线运动，符合平移的性质，故属平移；
④随温度计中，液柱的上升或下降时，体积要发生变化，不符合平移的性质；
⑤钟摆的摆动，在运动的过程中改变图形的方向，不符合平移的性质．
故选：C．
7．如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝5cm，△ABD的周长为16cm，则△ABC的周长为（ ）
A．26cm B．21cm C．28cm D．31cm
【分析】根据线段垂直平分线的概念和性质得到DA＝DC，AC＝2AE＝10，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，AC＝2AE＝10，
∵△ABD的周长为16，
∴AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝16，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝16+10＝26（cm），
故选：A．
8．已知a＜b，则的解集是（ ）
A．x＜5 B．x＞a C．a＜x＜b D．无解
【分析】直接用口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）求解即可．
【解答】解：因为a＜b，
所以的解集是a＜x＜b．
故选：C．
9．若关于x的分式方程＝2有增根，则a的值为（ ）
A．a＝1 B．a＝﹣1 C．a＝3 D．a＝﹣3
【分析】方程两边都乘以（x﹣3）去掉分母，化简求出a的表达式，因为方程有增根，所以x﹣3＝0，求出x的值，代入即可求出a的值．
【解答】解：方程两边都乘以（x﹣3）得：a+1＝2（x﹣3），
a+1＝2x﹣6，
a＝2x﹣6﹣1，
a＝2x﹣7．
∵方程有增根，
∴x﹣3＝0，
∴x＝3，
∴a＝2x﹣7＝2×3﹣7＝﹣1．
故选：B．
10．如图在▱ABCD中，∠ABC＝60°，BC＝2AB＝8，点C关于AD的对称点为E，连接BE交AD于点F，点G为CD的中点，连接EG，BG．则△BEG的面积为（ ）
A．16 B．14 C．8 D．7
【分析】如图，取BC中点H，连接AH，连接EC交AD于N，作EM⊥CD交CD的延长线于M．构建S△BEG＝S△BCE+SECG﹣S△BCG计算即可；
【解答】解：如图，取BC中点H，连接AH，连接EC交AD于N，作EM⊥CD交CD的延长线于M．
∵BC＝2AB，BH＝CH，∠ABC＝60°，
∴BA＝BH＝CH，
∴△ABH是等边三角形，
∴HA＝HB＝HC，
∴∠BAC＝90°，
∴∠ACB＝30°，
∵EC⊥BC，∠BCD＝180°﹣∠ABC＝120°，
∴∠ACE＝60°，∠ECM＝30°，
∵BC＝2AB＝8，
∴CD＝4，CN＝EN＝2，
∴EC＝4，EM＝2，
∴S△BEG＝S△BCE+SECG﹣S△BCG
＝×8×4+×2×2﹣S平行四边形ABCD
＝16+2﹣4
＝14
故选：B．
二、填空题（本部分共5小题，每小题3分，共15分，请将正确的答案填在答题卡上）
11．若代数式有意义，则实数x的取值范围是 x≠﹣1 ．
【分析】根据分式有意义，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x+1≠0，
解得x≠﹣1．
故答案是：x≠﹣1．
12．分解因式：a2﹣4b2＝ （a+2b）（a﹣2b） ．
【分析】直接用平方差公式进行分解．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
【解答】解：a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b）．
故答案为：（a+2b）（a﹣2b）．
13．正八边形每个外角的度数为 45° ．
【分析】利用多边形的外角和等于360度即可得出答案．
【解答】解：因为任何一个多边形的外角和都是360°，
所以正八边形的每个外角的度数是：360°÷8＝45．
故答案为：45°．
14．已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象如图所示，那么关于x的不等式kx+b＞0的解集是 x＞2 ．
【分析】一次函数y＝kx+b的图象在x轴上方时，y＞0，再根据图象写出解集即可．
【解答】解：当不等式kx+b＞0时，一次函数y＝kx+b的图象在x轴上方，故x＞2．
故答案为：x＞2．
15．如图，等腰△ABC中，∠BAC＝150°，D是AB上一点，AD＝1，BD＝4，E点在边BC上，若点E绕点D逆时针旋转15°的对应点F恰好在AC上，则BE的长度为 1+4 ．
【分析】如图，延长BA到T，使得DT＝BE，连接TF，过点T作TM⊥AC于M．证明△TDF≌△BED（SAS），推出BD＝TF＝4，∠DTF＝∠B＝15°，TM＝FM＝2，再利用直角三角形30度角的性质求出AT即可解决问题．
【解答】解：如图，延长BA到T，使得DT＝BE，连接TF，过点T作TM⊥AC于M．
∵AB＝AC，∠BAC＝150°，
∴∠B＝∠ACB＝15°，
∵∠TDE＝∠B+∠DEB＝∠TDF+∠EDF，∠EDF＝∠B＝15°，
∴∠TDF＝∠BED，
∵DT＝EB，DF＝DE，
∴△TDF≌△BED（SAS），
∴BD＝TF＝4，∠DTF＝∠B＝15°，
∵∠TFC＝∠TAF+∠ATF＝45°，TM⊥FM，
∴TM＝FM＝2，
在Rt△ATM中，∵∠TAM＝30°，
∴AT＝2TM＝4，
∴BE＝DT＝AD+AT＝1+4，
故答案为1+4．
三、解答题（本大题共7题。其中16题10分，17题6分，18题6分，19题8分，20题8分，21题8分，22题9分，共55分）
16．（10分）（1）解不等式组：；
（2）分解因式：（x﹣y）3﹣9（x﹣y）．
【分析】（1）分别解不等式，进而得出不等式组的解集；
（2）直接提取公因式（x﹣y），再利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：（1），
解不等式①，得：x≤2，
解不等式②，得：x＞1，
不等式组的解集为：1＜x≤2；
（2）原式＝（x﹣y）[（x﹣y）2﹣9]
＝（x﹣y）（x﹣y+3）（x﹣y﹣3）．
17．（6分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝﹣1．
【分析】先根据分式的减法和乘除法运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．
【解答】解：原式＝（﹣）•
＝•
＝x+1，
当x＝﹣1时，
原式＝﹣1+1＝．
18．（6分）解方程：
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：3＝x﹣3+3x，
解得：x＝1.5，
经检验x＝1.5是分式方程的解．
19．（8分）某种型号油电混合动力汽车，从A地到B地，只用燃油行驶，需用燃油76元；从A地到B地，只用电行驶，需用电26元，已知每行驶1千米，只用燃油的费用比只用电的费用多0.5元．
（1）若只用电行驶，每行驶1千米的费用是多少元？
（2）若要使从A地到B地油电混合行驶所需的油、电费用合计不超过39元，则至少需用电行驶多少千米？
【分析】（1）设只用电行驶，每行驶1千米的费用是x元，则只用燃油行驶，每行驶1千米的费用是（x+0.5）元，根据A，B两地间的路程不变，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）利用A，B两地间的路程＝只用电行驶的总费用÷用电行驶1千米所需费用，可求出A，B两地间的路程，设用电行驶m千米，则用油行驶（100﹣m）千米，根据从A地到B地油电混合行驶所需的油、电费用合计不超过39元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设只用电行驶，每行驶1千米的费用是x元，则只用燃油行驶，每行驶1千米的费用是（x+0.5）元，
依题意得：＝，
解得：x＝0.26，
经检验，x＝0.26是原方程的解，且符合题意．
答：只用电行驶，每行驶1千米的费用是0.26元．
（2）A，B两地间的路程为26÷0.26＝100（千米）．
设用电行驶m千米，则用油行驶（100﹣m）千米，
依题意得：0.26m+（0.26+0.5）（100﹣m）≤39，
解得：m≥74．
答：至少需用电行驶74千米．
20．（8分）如图，在四边形ABCD中，点E和点F是对角线AC上的两点，AE＝CF，DF＝BE，且DF∥BE．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若∠CEB＝2∠EBA，BE＝3，EF＝2，求AC的长．
【分析】（1）证△ADF≌△CBE（SAS），得到AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，证出AD∥CB，即可得到结论；
（2）证∠EAB＝∠EBA，得出AE＝BE＝3，则CF＝AE＝3，即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵AE＝CF，
∴AE+EF＝CF+EF，
即AF＝CE，
∵DF∥BE，
∴∠DFA＝∠BEC，
在△ADF和△CBE中，，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
∴AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，
∴AD∥CB，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：∵∠CEB＝∠EBA+∠EAB＝2∠EBA，
∴∠EAB＝∠EBA，
∴AE＝BE＝3，
∴CF＝AE＝3，
∴AC＝AE+EF+CF＝3+2+3＝8．
21．（8分）如图，已知A（8，0），P是y轴上一动点，线段PA绕着点P按逆时针方向旋转90°至线段PB位置，连接AB、OB．
（1）设P点坐标为（0，m），请求出B点坐标；
（2）求BO+BA的最小值．
【分析】（1）作BC⊥y轴于点C，利用△BPC≌△PAO求得BC＝OP，PC＝AO，即可求出B点坐标；
（2）设直线y＝x+8与x轴交于点E，与y轴交于点F，作点O关于y＝x+8的对称点D，连接DE，DF，DA，DB，则EF垂直平分OD，转化为“轴对称—最短距离”模型即可求出BO+BA的最小值．
【解答】解：（1）如图，作BC⊥y轴于点C，
∵线段PA绕着点P按逆时针方向旋转90°至线段PB位置，
∴PA＝PB，∠BPA＝90°，
∵BC⊥y轴，∠POA＝90°，
∴∠BCP＝∠POA＝90°，∠OAP+∠OPA＝90°，
∵∠CPB+∠OPA＝90°，
∴∠BCP＝∠OAP，
∴△BPC≌△PAO（ASA），
∴BC＝OP，PC＝AO，
∵P（0，m），A（8，0），
∴BC＝OP＝m，PC＝AO＝8，
∴B点坐标为（m，m+8）；
（2）如图，
∵B（m，m+8）
∴B点在直线y＝x+8上，
设直线y＝x+8与x轴交于点E，与y轴交于点F，作点O关于y＝x+8的对称点D，连接DE，DF，DA，DB，则EF垂直平分OD，
∴BD＝BO，
∴OB+AB＝BD+AB≥AD，
∴BD+AB的最小值为AD，即BO+AB的最小值为AD，
∵OE＝OF＝8，
∴∠FEO＝∠EFO＝45°，
∴四边形DEOF为正方形，
∴∠DEA＝90°，DE＝8，EA＝16，
∴AD＝，
∴BO+AB的最小值为．
22．（9分）如图，已知∠AOB＝60°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，∠DCE＝120°，当∠DCE的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E．
（1）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系，并说明理由；
（2）由（图1）的位置将∠DCE绕点C逆时针旋转θ角（0＜θ＜90°），线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由．
【分析】（1）先判断出∠OCE＝60°，再利用特殊角的三角函数得出OD＝OE＝OC，即可得出结论；
（2）分两种情况画图，同（1）的方法得OF+OG＝OC，再判断出△CFD≌△CGE，得出DF＝EG，最后等量代换即可得出结论．
【解答】解：
（1）OE+OD＝OC．理由如下：
∵OM是∠AOB的平分线，
∴∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝30°，
∵CD⊥OA，∴∠ODC＝90°
∴∠OCD＝60°
∴∠OCE＝∠DCE﹣∠OCD＝60°，
在Rt△OCD中，OD＝OC•cos30°＝OC，
同理：OE＝OC，
∴OD+OE＝OC；
（2）OD+OE＝OC或OE﹣OD＝OC．理由如下：
①如备用图1，过点C作CF⊥OA于点F，CG⊥OB于点G，
∴∠OFC＝∠OGC＝90°
∵∠AOB＝60°，
∴∠FCG＝120°，
同（1）的方法得，OF＝OC，OG＝OC，
∴OF+OG＝OC，
∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C在∠AOB的平分线上，
∴CF＝CG，
∵∠DCE＝∠FCG＝120°，
∴∠DCF＝∠ECG，
∴△CFD≌△CGE（ASA）
∴DF＝EG，
∴OF＝OD+DF＝OD+EG，OG＝OE﹣GE，
∴OF+OG＝OD+OE，
∴OD+OE＝OC；
②如备用图2，过点C作CF⊥OA于点F，CG⊥OB于点G，
∴∠OFC＝∠OGC＝90°
∵∠AOB＝60°，
∴∠FCG＝120°，
同（1）的方法得，OF＝OC，OG＝OC，
∴OF+OG＝OC，
∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C在∠AOB的平分线上，
∴CF＝CG，
∵∠DCE＝∠FCG＝120°，
∴∠DCF＝∠ECG，
∴△CFD≌△CGE（ASA）
∴DF＝EG，
∴OF＝DF﹣OD＝EG﹣OD，OG＝OE﹣GE，
∴OF+OG＝OE﹣OD，
∴OE﹣OD＝OC；
综上所述：线段OD、OE与OC之间的数量关系为：OD+OE＝OC或OE﹣OD＝OC．
2020-2021学年广东省深圳市龙岗区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本部分共10小题，每小题3分，共30分。每小题给出4个选项，其中只有一个选项是正确的，请将正确的选项填在答题卡上）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若实数a，b满足a＞b，则（ ）
A．a＞2b B．2a＞b C．a+2＞b+1 D．a﹣2＞b﹣1
3．下列各式中，属于因式分解的是（ ）
A．（x+y）（x﹣2y）＝x2﹣xy+y2 B．3x2﹣x＝x（3x﹣1）
C．（a﹣b）2＝（a﹣b）（a﹣b） D．25（x﹣2y）2﹣4（2y﹣x）2
4．下列各式中，是分式的为（ ）
A．（1﹣x） B． C． D．1﹣
5．下列用数轴表示不等式组的解集正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．在以下现象中：①用打气筒打气时，气筒里活塞的运动；②传送带上，瓶装饮料的移动；③在笔直的公路上行驶的汽车；④温度计中，液柱的上升或下降；⑤钟摆的摆动．属于平移的是（ ）
A．① B．①② C．①②③ D．①②③④
7．如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝5cm，△ABD的周长为16cm，则△ABC的周长为（ ）
A．26cm B．21cm C．28cm D．31cm
8．已知a＜b，则的解集是（ ）
A．x＜5 B．x＞a C．a＜x＜b D．无解
9．若关于x的分式方程＝2有增根，则a的值为（ ）
A．a＝1 B．a＝﹣1 C．a＝3 D．a＝﹣3
10．如图在▱ABCD中，∠ABC＝60°，BC＝2AB＝8，点C关于AD的对称点为E，连接BE交AD于点F，点G为CD的中点，连接EG，BG．则△BEG的面积为（ ）
A．16 B．14 C．8 D．7
二、填空题（本部分共5小题，每小题3分，共15分，请将正确的答案填在答题卡上）
11．若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ．
12．分解因式：a2﹣4b2＝ ．
13．正八边形每个外角的度数为 ．
14．已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象如图所示，那么关于x的不等式kx+b＞0的解集是 ．
15．如图，等腰△ABC中，∠BAC＝150°，D是AB上一点，AD＝1，BD＝4，E点在边BC上，若点E绕点D逆时针旋转15°的对应点F恰好在AC上，则BE的长度为 ．
三、解答题（本大题共7题。其中16题10分，17题6分，18题6分，19题8分，20题8分，21题8分，22题9分，共55分）
16．（10分）（1）解不等式组：；
（2）分解因式：（x﹣y）3﹣9（x﹣y）．
17．（6分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝﹣1．
18．（6分）解方程：
19．（8分）某种型号油电混合动力汽车，从A地到B地，只用燃油行驶，需用燃油76元；从A地到B地，只用电行驶，需用电26元，已知每行驶1千米，只用燃油的费用比只用电的费用多0.5元．
（1）若只用电行驶，每行驶1千米的费用是多少元？
（2）若要使从A地到B地油电混合行驶所需的油、电费用合计不超过39元，则至少需用电行驶多少千米？
20．（8分）如图，在四边形ABCD中，点E和点F是对角线AC上的两点，AE＝CF，DF＝BE，且DF∥BE．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若∠CEB＝2∠EBA，BE＝3，EF＝2，求AC的长．
21．（8分）如图，已知A（8，0），P是y轴上一动点，线段PA绕着点P按逆时针方向旋转90°至线段PB位置，连接AB、OB．
（1）设P点坐标为（0，m），请求出B点坐标；
（2）求BO+BA的最小值．
22．（9分）如图，已知∠AOB＝60°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，∠DCE＝120°，当∠DCE的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E．
（1）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系，并说明理由；
（2）由（图1）的位置将∠DCE绕点C逆时针旋转θ角（0＜θ＜90°），线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由．
2020-2021学年广东省深圳市龙岗区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本部分共10小题，每小题3分，共30分。每小题给出4个选项，其中只有一个选项是正确的，请将正确的选项填在答题卡上）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：B．
2．若实数a，b满足a＞b，则（ ）
A．a＞2b B．2a＞b C．a+2＞b+1 D．a﹣2＞b﹣1
【分析】根据不等式的性质逐一进行判断即可，不等式的性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【解答】解：A．不妨设a＝2，b＝1.5，
则a＜2b，故本选项不合题意；
B．不妨设a＝﹣1.5，b＝﹣2，
则2a＜b，故本选项不合题意；
C．因为a＞b，
所以a+2＞b+1，故本选项符合题意；
D．不妨设a＝2，b＝1，
则a﹣2＝b﹣1，故本选项不合题意；
故选：C．
3．下列各式中，属于因式分解的是（ ）
A．（x+y）（x﹣2y）＝x2﹣xy+y2 B．3x2﹣x＝x（3x﹣1）
C．（a﹣b）2＝（a﹣b）（a﹣b） D．25（x﹣2y）2﹣4（2y﹣x）2
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，根据因式分解的概念判断即可．
【解答】解：A．等号右边不是积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B．从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
C．等号左边不是一个多项式的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
D．没有等号，没有进行变形，不是因式分解，故本选项不符合题意；
故选：B．
4．下列各式中，是分式的为（ ）
A．（1﹣x） B． C． D．1﹣
【分析】根据分式的定义即可求出答案．
【解答】解：根据分式的定义可知：是分式，
故选：C．
5．下列用数轴表示不等式组的解集正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】选项A根据“同大取大”判断即可；
选项B根据“同小取小”判断即可；
选项C根据“大小小大中间找”，包含实心圆点2，不包含空心圆点1；
选项D根据“大小小大中间找”，包含实心圆点1，不包含空心圆点2．
【解答】解：A、不等式组的解集为x≥2，故本选项不合题意；
B、不等式组的解集为x＜1，故本选项不合题意；
C、不等式组的解集为1＜x≤2，故本选项符合题意；
D、不等式组的解集为1≤x＜2，故本选项不合题意；
故选：C．
6．在以下现象中：①用打气筒打气时，气筒里活塞的运动；②传送带上，瓶装饮料的移动；③在笔直的公路上行驶的汽车；④温度计中，液柱的上升或下降；⑤钟摆的摆动．属于平移的是（ ）
A．① B．①② C．①②③ D．①②③④
【分析】根据平移的性质，对题中的现象进行一一分析，选出正确答案．
【解答】解：①用打气筒打气时，气筒里活塞沿直线运动，符合平移的性质，故属平移；
②传送带上，瓶装饮料的移动沿直线运动，符合平移的性质，故属平移；
③在笔直的公路上行驶的汽车沿直线运动，符合平移的性质，故属平移；
④随温度计中，液柱的上升或下降时，体积要发生变化，不符合平移的性质；
⑤钟摆的摆动，在运动的过程中改变图形的方向，不符合平移的性质．
故选：C．
7．如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝5cm，△ABD的周长为16cm，则△ABC的周长为（ ）
A．26cm B．21cm C．28cm D．31cm
【分析】根据线段垂直平分线的概念和性质得到DA＝DC，AC＝2AE＝10，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，AC＝2AE＝10，
∵△ABD的周长为16，
∴AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝16，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝16+10＝26（cm），
故选：A．
8．已知a＜b，则的解集是（ ）
A．x＜5 B．x＞a C．a＜x＜b D．无解
【分析】直接用口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）求解即可．
【解答】解：因为a＜b，
所以的解集是a＜x＜b．
故选：C．
9．若关于x的分式方程＝2有增根，则a的值为（ ）
A．a＝1 B．a＝﹣1 C．a＝3 D．a＝﹣3
【分析】方程两边都乘以（x﹣3）去掉分母，化简求出a的表达式，因为方程有增根，所以x﹣3＝0，求出x的值，代入即可求出a的值．
【解答】解：方程两边都乘以（x﹣3）得：a+1＝2（x﹣3），
a+1＝2x﹣6，
a＝2x﹣6﹣1，
a＝2x﹣7．
∵方程有增根，
∴x﹣3＝0，
∴x＝3，
∴a＝2x﹣7＝2×3﹣7＝﹣1．
故选：B．
10．如图在▱ABCD中，∠ABC＝60°，BC＝2AB＝8，点C关于AD的对称点为E，连接BE交AD于点F，点G为CD的中点，连接EG，BG．则△BEG的面积为（ ）
A．16 B．14 C．8 D．7
【分析】如图，取BC中点H，连接AH，连接EC交AD于N，作EM⊥CD交CD的延长线于M．构建S△BEG＝S△BCE+SECG﹣S△BCG计算即可；
【解答】解：如图，取BC中点H，连接AH，连接EC交AD于N，作EM⊥CD交CD的延长线于M．
∵BC＝2AB，BH＝CH，∠ABC＝60°，
∴BA＝BH＝CH，
∴△ABH是等边三角形，
∴HA＝HB＝HC，
∴∠BAC＝90°，
∴∠ACB＝30°，
∵EC⊥BC，∠BCD＝180°﹣∠ABC＝120°，
∴∠ACE＝60°，∠ECM＝30°，
∵BC＝2AB＝8，
∴CD＝4，CN＝EN＝2，
∴EC＝4，EM＝2，
∴S△BEG＝S△BCE+SECG﹣S△BCG
＝×8×4+×2×2﹣S平行四边形ABCD
＝16+2﹣4
＝14
故选：B．
二、填空题（本部分共5小题，每小题3分，共15分，请将正确的答案填在答题卡上）
11．若代数式有意义，则实数x的取值范围是 x≠﹣1 ．
【分析】根据分式有意义，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x+1≠0，
解得x≠﹣1．
故答案是：x≠﹣1．
12．分解因式：a2﹣4b2＝ （a+2b）（a﹣2b） ．
【分析】直接用平方差公式进行分解．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
【解答】解：a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b）．
故答案为：（a+2b）（a﹣2b）．
13．正八边形每个外角的度数为 45° ．
【分析】利用多边形的外角和等于360度即可得出答案．
【解答】解：因为任何一个多边形的外角和都是360°，
所以正八边形的每个外角的度数是：360°÷8＝45．
故答案为：45°．
14．已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象如图所示，那么关于x的不等式kx+b＞0的解集是 x＞2 ．
【分析】一次函数y＝kx+b的图象在x轴上方时，y＞0，再根据图象写出解集即可．
【解答】解：当不等式kx+b＞0时，一次函数y＝kx+b的图象在x轴上方，故x＞2．
故答案为：x＞2．
15．如图，等腰△ABC中，∠BAC＝150°，D是AB上一点，AD＝1，BD＝4，E点在边BC上，若点E绕点D逆时针旋转15°的对应点F恰好在AC上，则BE的长度为 1+4 ．
【分析】如图，延长BA到T，使得DT＝BE，连接TF，过点T作TM⊥AC于M．证明△TDF≌△BED（SAS），推出BD＝TF＝4，∠DTF＝∠B＝15°，TM＝FM＝2，再利用直角三角形30度角的性质求出AT即可解决问题．
【解答】解：如图，延长BA到T，使得DT＝BE，连接TF，过点T作TM⊥AC于M．
∵AB＝AC，∠BAC＝150°，
∴∠B＝∠ACB＝15°，
∵∠TDE＝∠B+∠DEB＝∠TDF+∠EDF，∠EDF＝∠B＝15°，
∴∠TDF＝∠BED，
∵DT＝EB，DF＝DE，
∴△TDF≌△BED（SAS），
∴BD＝TF＝4，∠DTF＝∠B＝15°，
∵∠TFC＝∠TAF+∠ATF＝45°，TM⊥FM，
∴TM＝FM＝2，
在Rt△ATM中，∵∠TAM＝30°，
∴AT＝2TM＝4，
∴BE＝DT＝AD+AT＝1+4，
故答案为1+4．
三、解答题（本大题共7题。其中16题10分，17题6分，18题6分，19题8分，20题8分，21题8分，22题9分，共55分）
16．（10分）（1）解不等式组：；
（2）分解因式：（x﹣y）3﹣9（x﹣y）．
【分析】（1）分别解不等式，进而得出不等式组的解集；
（2）直接提取公因式（x﹣y），再利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：（1），
解不等式①，得：x≤2，
解不等式②，得：x＞1，
不等式组的解集为：1＜x≤2；
（2）原式＝（x﹣y）[（x﹣y）2﹣9]
＝（x﹣y）（x﹣y+3）（x﹣y﹣3）．
17．（6分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝﹣1．
【分析】先根据分式的减法和乘除法运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．
【解答】解：原式＝（﹣）•
＝•
＝x+1，
当x＝﹣1时，
原式＝﹣1+1＝．
18．（6分）解方程：
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：3＝x﹣3+3x，
解得：x＝1.5，
经检验x＝1.5是分式方程的解．
19．（8分）某种型号油电混合动力汽车，从A地到B地，只用燃油行驶，需用燃油76元；从A地到B地，只用电行驶，需用电26元，已知每行驶1千米，只用燃油的费用比只用电的费用多0.5元．
（1）若只用电行驶，每行驶1千米的费用是多少元？
（2）若要使从A地到B地油电混合行驶所需的油、电费用合计不超过39元，则至少需用电行驶多少千米？
【分析】（1）设只用电行驶，每行驶1千米的费用是x元，则只用燃油行驶，每行驶1千米的费用是（x+0.5）元，根据A，B两地间的路程不变，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）利用A，B两地间的路程＝只用电行驶的总费用÷用电行驶1千米所需费用，可求出A，B两地间的路程，设用电行驶m千米，则用油行驶（100﹣m）千米，根据从A地到B地油电混合行驶所需的油、电费用合计不超过39元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设只用电行驶，每行驶1千米的费用是x元，则只用燃油行驶，每行驶1千米的费用是（x+0.5）元，
依题意得：＝，
解得：x＝0.26，
经检验，x＝0.26是原方程的解，且符合题意．
答：只用电行驶，每行驶1千米的费用是0.26元．
（2）A，B两地间的路程为26÷0.26＝100（千米）．
设用电行驶m千米，则用油行驶（100﹣m）千米，
依题意得：0.26m+（0.26+0.5）（100﹣m）≤39，
解得：m≥74．
答：至少需用电行驶74千米．
20．（8分）如图，在四边形ABCD中，点E和点F是对角线AC上的两点，AE＝CF，DF＝BE，且DF∥BE．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若∠CEB＝2∠EBA，BE＝3，EF＝2，求AC的长．
【分析】（1）证△ADF≌△CBE（SAS），得到AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，证出AD∥CB，即可得到结论；
（2）证∠EAB＝∠EBA，得出AE＝BE＝3，则CF＝AE＝3，即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵AE＝CF，
∴AE+EF＝CF+EF，
即AF＝CE，
∵DF∥BE，
∴∠DFA＝∠BEC，
在△ADF和△CBE中，，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
∴AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，
∴AD∥CB，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：∵∠CEB＝∠EBA+∠EAB＝2∠EBA，
∴∠EAB＝∠EBA，
∴AE＝BE＝3，
∴CF＝AE＝3，
∴AC＝AE+EF+CF＝3+2+3＝8．
21．（8分）如图，已知A（8，0），P是y轴上一动点，线段PA绕着点P按逆时针方向旋转90°至线段PB位置，连接AB、OB．
（1）设P点坐标为（0，m），请求出B点坐标；
（2）求BO+BA的最小值．
【分析】（1）作BC⊥y轴于点C，利用△BPC≌△PAO求得BC＝OP，PC＝AO，即可求出B点坐标；
（2）设直线y＝x+8与x轴交于点E，与y轴交于点F，作点O关于y＝x+8的对称点D，连接DE，DF，DA，DB，则EF垂直平分OD，转化为“轴对称—最短距离”模型即可求出BO+BA的最小值．
【解答】解：（1）如图，作BC⊥y轴于点C，
∵线段PA绕着点P按逆时针方向旋转90°至线段PB位置，
∴PA＝PB，∠BPA＝90°，
∵BC⊥y轴，∠POA＝90°，
∴∠BCP＝∠POA＝90°，∠OAP+∠OPA＝90°，
∵∠CPB+∠OPA＝90°，
∴∠BCP＝∠OAP，
∴△BPC≌△PAO（ASA），
∴BC＝OP，PC＝AO，
∵P（0，m），A（8，0），
∴BC＝OP＝m，PC＝AO＝8，
∴B点坐标为（m，m+8）；
（2）如图，
∵B（m，m+8）
∴B点在直线y＝x+8上，
设直线y＝x+8与x轴交于点E，与y轴交于点F，作点O关于y＝x+8的对称点D，连接DE，DF，DA，DB，则EF垂直平分OD，
∴BD＝BO，
∴OB+AB＝BD+AB≥AD，
∴BD+AB的最小值为AD，即BO+AB的最小值为AD，
∵OE＝OF＝8，
∴∠FEO＝∠EFO＝45°，
∴四边形DEOF为正方形，
∴∠DEA＝90°，DE＝8，EA＝16，
∴AD＝，
∴BO+AB的最小值为．
22．（9分）如图，已知∠AOB＝60°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，∠DCE＝120°，当∠DCE的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E．
（1）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系，并说明理由；
（2）由（图1）的位置将∠DCE绕点C逆时针旋转θ角（0＜θ＜90°），线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由．
【分析】（1）先判断出∠OCE＝60°，再利用特殊角的三角函数得出OD＝OE＝OC，即可得出结论；
（2）分两种情况画图，同（1）的方法得OF+OG＝OC，再判断出△CFD≌△CGE，得出DF＝EG，最后等量代换即可得出结论．
【解答】解：
（1）OE+OD＝OC．理由如下：
∵OM是∠AOB的平分线，
∴∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝30°，
∵CD⊥OA，∴∠ODC＝90°
∴∠OCD＝60°
∴∠OCE＝∠DCE﹣∠OCD＝60°，
在Rt△OCD中，OD＝OC•cos30°＝OC，
同理：OE＝OC，
∴OD+OE＝OC；
（2）OD+OE＝OC或OE﹣OD＝OC．理由如下：
①如备用图1，过点C作CF⊥OA于点F，CG⊥OB于点G，
∴∠OFC＝∠OGC＝90°
∵∠AOB＝60°，
∴∠FCG＝120°，
同（1）的方法得，OF＝OC，OG＝OC，
∴OF+OG＝OC，
∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C在∠AOB的平分线上，
∴CF＝CG，
∵∠DCE＝∠FCG＝120°，
∴∠DCF＝∠ECG，
∴△CFD≌△CGE（ASA）
∴DF＝EG，
∴OF＝OD+DF＝OD+EG，OG＝OE﹣GE，
∴OF+OG＝OD+OE，
∴OD+OE＝OC；
②如备用图2，过点C作CF⊥OA于点F，CG⊥OB于点G，
∴∠OFC＝∠OGC＝90°
∵∠AOB＝60°，
∴∠FCG＝120°，
同（1）的方法得，OF＝OC，OG＝OC，
∴OF+OG＝OC，
∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C在∠AOB的平分线上，
∴CF＝CG，
∵∠DCE＝∠FCG＝120°，
∴∠DCF＝∠ECG，
∴△CFD≌△CGE（ASA）
∴DF＝EG，
∴OF＝DF﹣OD＝EG﹣OD，OG＝OE﹣GE，
∴OF+OG＝OE﹣OD，
∴OE﹣OD＝OC；
综上所述：线段OD、OE与OC之间的数量关系为：OD+OE＝OC或OE﹣OD＝OC．
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